CCINP Maths 1 MP 2008

Thème de l'épreuve Fonction zêta alternée de Riemann
Principaux outils utilisés séries de fonctions, séries de Fourier
Mots clefs fonction zêta, polynômes de Bernoulli

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F (x) =

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X
(-1)n-1
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(x) =

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X
1
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x
n
n=1

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  sèr  st  ts (gn )n>1 és sr [0, 1[ r
gn (t) =

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X

(-t)k .

k=0

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1

trr q F (1) =

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0

 étrr q  sér  ts

n>1

ér  t  F  +

X (-1)n-1
nx

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 t x > 0 tr s rts sr ]0, +[   t t 7
 st

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ln n
nx

ln t
t  ér q
tx

st t à rtr  rt r ét  x q 
n>1

 Pr n > 1  s fn : x 7

(-1)n-1

nx

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X

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n>1

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 ér q F st  t  ss C 1 sr ]0, +[

r r x > 1, F (x) - (x)  t  x t  (x)  ér q 
F (x) = (1 - 21-x )(x) .

Ps  ér  t    +

 Prt     sér tré r ê

 r q  rt     sérs

X
n>1

cn =

n-1
X

an t

X
n>1

bn st  sér

X

cn ù

n>2

ak bn-k  s tt rt  t étrr  tr s  r  x   sér

k=1

X
n>2

cn (x) rt   

X (-1)n
n>1

nx

r ê

tt ét  strr  t q  rt     sérs rts st s
éssrt  sér rt
s tt tt rt n és  tr sérr  é à  t x  ré strtt
st

t   r

 X
qr ss    tr t  s  t  F   sér rt
cn (x) rsq x > 1
n>2

 étrr q r x > 0 |cn (x)| >
1
2

4x (n - 1)

n2x
X

 ér r 0 < x 6   tr   sér s ù cn (x) n>2

x=1

 ss s tt qst 7. q x = 1
1

X(n - X)
1
H
1
 ér  rss  cn (x)  t  n-1 ù Hn = 1 + + · · · +
n
2
n

 ésr  ééts ss  rt rt
s rt   sér rq

 étrr  t   st
  ér  tr   sér

X

Hn-1
n

n>2

cn (x)

n>2

    s  sér à   ét  t  s 

1

ét sttq  

 rr  t  ln 2 t  F  (1)  ét té à rr  t  s
    t F s étrr  ét té à rr  t  s
    t x 7 1 - 21-x 
  ér  rés a t b q sért étt à   ln 2 t F  (1) ts
q  t r x  s  1+ 
(x) =

a
+ b + o(1).
x-1

ét sttq   s

 sèr  sér  ts

X

vn ù vn st é sr [1, 2] r

n>1

1
vn (x) = x -
n

Z

n

n+1

dt
.
tx

 str q r n > 1 t x  [1, 2]   
0 6 vn (x) 6

 str q r x  [1, 2]  sér

X
n>1

st  stt r

1
1
-
.
x
n
(n + 1)x
vn (x) r  t rs  =

+
X

vn (1)

n=1

 rr r x ]1, 2]  s

+
X

vn (x) à   (x) t 1 - x

n=1

 étrr q  sér  ts

X

vn r rét sr [1, 2]  rr

n>1

tsr  rst   sér
  ér q   r x  s  1+ 
(x) =

1
+  + o(1).
x-1

t

ér s réstts rééts  rss à   ln 2 t    s
+
X
(-1)n-1 ln n
n=1

  s

F (2k)

n

.

à  s rs  r

s tt rt  s rs étr  r rttt  r  r s
(2k)   tr k > 1 Pr   trt s ôs t rs  r
R[X] és  Rèr s ôs à ts rés
 t  ô t s t  ssé
 t q st (Bn )  R[X] st  st  ôs  r s  ér s
rrétés sts 
B0 = 1,

n  N

, Bn

= nBn-1 et

Z

1

Bn (t) dt = 0.

0

 t q st  t  s st  ôs  r q  tr (Bn )
   st  ôs  r
 s bn = Bn (0) bn st é  nè r  r
 r B1 t B2   ér b1 t b2 
 r r n > 2 Bn (1) - Bn (0)
 étr
étrr q r tt n  N   Bn (X) = (-1)n Bn (1 - X)
 ét  sér  rr
t k  tr tr  ét t gk  R s R r 
x
r x  [0, 2[ t gk st érq  ér 2.
gk (x) = B2k
2

str  s q st  q st  rés (an (k))n>0 t q r tt ré x
 t 
+

a0 (k) X
gk (x) =
an (k) cos(nx).
+
2
n=1

rss s ts
 t

n>1

t

k > 1

an (k) =

trr q   

 (2k)(2k - 1)
k 
(1)
-
B
(0)
-
an (k - 1).
B
2k-1
2k-1
(2n)2
(n)2

  ér  r 
 r q r

an (1)

n>1

t

r

k > 2

n > 1

an (k) =

(-1)k-1 (2k)!
.
22k-1 (n)2k

 rrqr r  st ss  rétrr q tt r rst r r

s
étrr r

k = 1

k>1

 rt tr

(2k)

t

b2k 

 t s bn
 étrr  tst  r  r q r tt

Bn (X) =

n  
X
n
k=0

k

n  N

bn-k X k .

  ér  rt  rérr rttt  r s rs  r
ss r à étrr s ôs  r ssés rr s  s s
 rr  tt rt rttt tr  r 

n

bn

r  tr

é

  éé