CCP Maths 1 MP 2008

Thème de l'épreuve Fonction zêta alternée de Riemann
Principaux outils utilisés séries de fonctions, séries de Fourier
Mots clefs fonction zêta, polynômes de Bernoulli

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Maths 1 MP 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur INRIA) ; il a été relu par Hervé Diet (ENS Cachan) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE). Cette épreuve propose une étude croisée des fonctions zêta et zêta alternée de Riemann, définies respectivement par P 1 x n=1 n + (x) = P (-1)n-1 nx n=1 + et F(x) = Elle se compose de quatre parties largement indépendantes. · La première est consacrée à quelques généralités. On s'intéresse notamment à la définition et à la régularité des fonctions F et , et on établit une relation entre F et sur ] 1 ; + [. · La deuxième partie est consacrée à l'étude du produit de Cauchy de la série définissant F par elle-même. On illustre ainsi le fait que le produit de Cauchy de deux séries convergentes n'est pas en général convergent. + P (-1)n-1 ln n · La troisième partie propose le calcul de la somme de la série n n=1 à l'aide d'une étude de la fonction au voisinage de 1. · Enfin, la quatrième partie est consacrée au calcul des F(2k) pour k N . Pour cela, on se ramène au calcul des ((2k))kN , que l'on effectue à l'aide des nombres de Bernoulli. Le problème se conclut par un algorithme effectif de calcul des nombres de Bernoulli. D'une longueur raisonnable pour une épreuve de quatre heures, ce problème d'analyse permet de tester ses connaissances sur les séries de fonctions, notamment les différents types de convergence (simple, uniforme, normale), le théorème des séries alternées, le théorème de convergence dominée et le théorème sur les limites d'une série de fonctions. Ce sujet permet également de manipuler des fonctions périodiques, des séries de Fourier et des polynômes. Par ses objectifs raisonnables et la diversité des résultats et notions d'analyse qu'elle utilise, cette épreuve constitue un excellent sujet d'entraînement aux concours. Indications I. Généralités 1 Remarquer que pour tout x R, la série définissant F(x) est alternée. 2 On pourra prolonger les fonctions gn et g par continuité en 1 avant d'appliquer le théorème de convergence dominée à ces prolongements. 3 Pour établir la convergence normale, calculer Sup |1/nx | pour n N . Enfin, x>2 observer que pour tout n > 2, |1/nx| ---- 0. x+ 4.b Utiliser le théorème des séries alternées et la question précédente. II. Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même 6.a Observer que, pour x > 1, la série P cn (x) est le produit de Cauchy de deux n>2 séries absolument convergentes. Hn Hn-1 - . n+1 n 7.c Démontrer que Hn est négligeable devant n. 7.b Déterminer, pour n > 2, le signe de III. Calcul de la somme d'une série à l'aide d'une étude de zeta au voisinage de 1 8.a Utiliser les résultats des questions 2 et 4. 8.b Utiliser également l'égalité démontrée à la question 5. + P 9.c Raisonner sur les sommes partielles de la série vn (x). n=1 9.d Montrer que le reste de la série converge uniformément vers 0 sur [ 1 ; 2 ]. 9.e Utiliser également l'égalité démontrée à la question 9.c. 10 Observer que la somme demandée est -F (1). Calcul des F(2k) à l'aide des nombres de Bernoulli Z 1 12 Utiliser le fait que Bn (1) - Bn (0) = Bn (t) dt. IV. 0 13 Montrer que ((-1)n Bn (1 - X))nN est une suite de polynômes de Bernoulli. 14 Erreur d'énoncé : admettre l'unicité et montrer l'existence de la suite. Pour cela, justifier que gk est 2-périodique, paire, continue et de classe C 1 par morceaux sur R. 15.a Effectuer des intégrations par parties sur l'écriture intégrale des coefficients an (k) et utiliser une propriété des polynômes de Bernoulli. 15.c Raisonner par récurrence sur k N à l'aide de la relation démontrée en 15.a. 16 Exprimer gk (0) à l'aide du résultat de la question 14 et utiliser la question précédente. 17.a On pourra montrer préalablement que pour tout k {0, . . . , n}, on a (k) Bn = n! Bn-k (n - k)! I. Généralités (-1)n-1 qui définit F(x) nx nN est alternée. Pour x 6 0, son terme général ne tend pas vers 0, donc cette série ne converge pas. Pour x > 0, le module de son terme général tend vers 0 en décroissant, donc elle converge par application du théorème des séries alternées. En résumé, 1 Pour tout x R, la série de terme général La fonction F est définie sur R+ . 2 Pour n N et t [ 0 ; 1 [, on a n+1 1 - (-t) 1+t On en déduit que la limite simple de (gn )n>1 est la fonction g définie sur [ 0 ; 1 [ par gn (t) = 1 1+t Avant d'appliquer le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions (gn )nN , prolongeons par continuité les fonctions gn et g à l'intervalle [ 0 ; 1 ] tout entier. La fonction g se prolonge en une fonction continue sur [ 0 ; 1 ] en posant g(1) = 1/2, et pour tout n N la fonction gn est prolongeable par continuité à [ 0 ; 1 ] en posant n P gn (1) = (-1)k g(t) = k=0 Ainsi, pour tout n N , gn est continue sur [ 0 ; 1 ] et il en est de même de la fonction g. Enfin, pour n N et t [ 0 ; 1 ], on a 2 1 - (-t)n+1 |gn (t)| = 6 1+t 1+t Puisque la fonction t 7 2/(1 + t) est intégrable sur [ 0 ; 1 ] et indépendante de n, le théorème de convergence dominée assure que la suite de fonctions (Gn )n>0 définie sur [ 0 ; 1 ] par Z t n (-1)k n+1 P (-1)k-1 k P tk+1 = t Gn (t) = gn (u) du = k 0 k=0 k + 1 k=1 converge sur [ 0 ; 1 ] et que sa limite G vérifie Z t + P (-1)k-1 k G(t) = t = g(u) du = ln(1 + t) k k=1 0 Z 1 En t = 1, ceci s'écrit F(1) = g(t) dt = ln(2) 0 3 Constatons que, pour n N et x > 2, on a (-1)n-1 1 1 = x 6 2 nx n n 1 La série de terme général 2 étant convergente et indépendante de x, il vient que n P (-1)n-1 La série de fonctions converge normalement sur [ 2 ; + [. nx n>1 Par conséquent, la série P (-1)n-1 converge uniformément vers F sur [ 2 ; + [. nx n>1 (-1)n-1 ---- 0 x+ nx De plus, le premier terme de la série de fonctions est constant, égal à 1. On en déduit que la fonction F admet une limite en + et que En outre, pour n > 2, lim F(x) = 1 x+ 4.a Soit x > 0. Notons ] 0 ; + [ - R x : ln(t) t 7- x t La fonction x est de classe C sur R+ et l'on a pour tout t > 0, x (t) = 1 - x ln t tx+1 1 Ainsi, x (t) > 0 si et seulement si t 6 e x . On en déduit le tableau de variations t x 1 0 + x - ex 0 1 ex + - 0 Pour x R, notons x sa partie entière. Puisque pour tout n N , x (n) = La suite ln n nx ln n , nx 1 est décroissante à partir du rang e x + 1. n>1 Le rapport du jury incite les candidats à « ne pas oublier que le rang, ou indice, d'une suite est un entier. » Ainsi, « on ne dit pas que la suite est 1 décroissante à partir du rang e x . En revanche, elle sera décroissante à partir 1 d'un entier supérieur, par exemple e x + 1 (le +1 a souvent été oublié). » 4.b Observons que pour tout n N , et tout x > 0, fn (x) = (-1)n-1 e-x ln(n) Par conséquent, la fonction fn est indéfiniment dérivable sur R+ et, pour x > 0, on a fn (x) = -(-1)n-1 ln(n)e-x ln(n) = (-1)n ln n nx ln n nx Soient a R+ et x [ a ; + [. La série de terme général fn (x) est alternée et, d'après la question précédente, |fn (x)| tend vers 0 en décroissant à partir d'un certain rang. Ainsi, |fn (x)| =