CCP Maths 1 MP 2006

SESSION 2006 MPM 1004 A CONCOURS (OMMUNS POlYÏE(HNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE -- FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. *** NB: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. *** Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème indépendants. EXERCICE 1 Montrer que les deux séries suivantes sont convergentes puis calculer leur somme. 1 a. g.... ... "t(" + 1)(n + 2) 2n n.>.l (" _1)! . b. EXERCICE 2 On considère la fonction f définie sur R de la façon suivante : f est une fonction périodique de période 27! , f est une fonction paire et pour tout x EUR [O,7r] : f(x) = x2 . a. Déterminer la série de Fourier de la fonction f b. En déduire, avec soin, les réels : Z(:121)n ,Î--l--_-- et Î---------------- 1 "=] "=]" n=0(2n+1)2 1 c. Déterminer, en énonçant le théorème utilisé, le réel: Î----. n=ln PROBLEME : Une introduction aux fonctions tests Dans tout le problème, R est muni de sa norme naturelle : la valeur absolue. Toutes les fonctions considérées seront à valeurs dans R . Si h est une fonction de classe C " , h(k) désigne la dérivée k--ième de h. Si h est une fonction bornée sur R , on note "h"æ : suplh(x)] . xelR Une fonction définie sur R est dite nulle à l'infini si ses limites en +00 et en --oo sont nulles. Objectifs : Le support d'une fonction f définie sur un intervalle [, noté Supp f , est l'adhérence de l'ensemble des points où elle ne s'annule pas : Supp f = {x & l,f(x) # O} . Une fonction est dite à support compact si son support est une partie compacte de IR . On appellera fonction test, une fonction de classe C °° sur R à support compact. On note T l'ensemble des fonctions tests. Il est facile de vérifier que Test une IR -algèbre. Le but du sujet est de découvrir des fonctions tests dans la partie I et d'en voir deux utilisations ; pour l'approximation uniforme de fonctions dans la partie II, et pour démontrer un théorème de Whitney à la partie III. Les parties II et III sont indépendantes et utilisent des résultats de la partie I. 1. Découverte des fonctions tests 1. Soit A une partie de R . Montrer que A est bornée si et seulement si son adhérence Z est une partie compacte de R . Une fonction ]" définie sur I est donc à support compact si et seulement si {x EUR I , f (x) # O} est une partie bornée de R . 2. Quelques exemples a. On note u la fonction paire définie sur R par u(x)==4--x2 si xe[0,2] et u(x)=0 si x > 2 . Représenter la fonction u et déterminer son support. La fonction u est-elle à support compact '? La fonction u est--elle une fonction test '? b. La fonction sinus est--elle une fonction test ? --l 3. Soit h la fonction définie sur IR par h(x) : e " si x > O et h(x) = 0 si x 5 0 . a. La fonction h est, d'après les théorèmes généraux, de classe C °° sur ]O,+oc[. Montrer que pour tout entier naturel k, il existe un polynôme Pk dont on précisera le degré tel que pour , . . . 1 rl , . .. tout reel x stnctement posrt1f, h""(x) = Pk (--)e " . En dedu1re que h est de classe C sur x R. b. La fonction h est--elle une fonction test? h est-elle développable en série entière au voisinage de 0 ? 4. On définit sur R la fonction ça par ço(x) : h(--(x + 1)(x --1)) . a. Déterminer le support de (0 puis justifier que c'est une fonction test. Déterminer les variations de ça puis tracer l'allure de sa courbe. b. Déterminer une fonction test dont le support est [3,8] puis une fonction test dont le support est [1,2]...[5,6]. 5. Déterminer les limites en +00 et --oo d'une fonction définie sur R à support compact. 6. Construction d'une suite régularisante +00 a. Justifier que la fonction çp de la question 4. est intégrable sur R et que ! (p(t) dt > 0. En --CO déduire l'expression d'une fonction test :p positive, de support [--l,l] , intégrable sur R et +00 telle que p(t) dt : 1 . --CO Pour tout entier naturel non nul n, on définit sur R la fonction pn par p,, (x) : np(nx) . La suite de fonctions ( ,on )n est appelée suite régularisante. +oo b. Pour tout entier naturel non nul n, déterminer le support de p,, et calculer pn (t) dt. --oe Il. Approximation uniforme sur R par des fonctions de classe C °° ou par des fonctions tests Un théorème de Weierstrass nous dit que toute fonction continue sur un segment peut être approchée uniformément par des fonctions polynômes. Voyons ce qu'il en est si la fonction est continue sur R tout entier (donc sur un intervalle non borné) 7. L 'approximation polynomiale ne convient plus Soit (P )" une suite de fonctions polynômes qui converge uniformément sur R vers une [? fonction f. a. Justifier qu'il existe un entier naturel N tel que pour tout entier naturel n supérieur ou égal R.lst Que peut-on en déduire quant au degré des fonctions polynômes Pn -- PN lorsque n 2 N ? à N, on ait pour tout réel x, b. Conclure que fest nécessairement une fonction polynôme. Nous allons toutefois démontrer qu'il est possible d'approcher certaines fonctions uniformément sur R , non pas par des fonctions polynômes, mais par des fonctions de classe C °° , ou par des fonctions tests. Plus précisément, nous allons démontrer les deux résultats d'approximation suivants : (A,) : toute fonction continue sur R , nulle à l'infini est limite uniforme sur R d'une suite de fonctions continues sur R à support compact. (A,) : toute fonction continue sur R à support compact, est limite uniforme sur R d'une suite de fonctions tests. L'approximation (A) est un résultat préliminaire, qui est démontré à la question 8. 8. Approximation a' 'une fonction continue nulle à l'infini par une suite de fonctions continues à support compact Pour tout entier naturel n, on définit sur R, la fonction paire 2" par zn(x)=l si xe[0,n[, zn(x)=--x+n+l si xe[n,n+l[ et zn(x)=0 si xe[n+1,+oo[. a. Représenter graphiquement la fonction z". Déterminer la limite simple de la suite de fonctions (zn ). La convergence est-elle uniforme sur R '? b. Soit g une fonction continue sur R , nulle à l'infini. Démontrer que la fonction g est bornée sur R . On peut donc poser pour tout entier naturel ÏZ, CÏn ==5"lpfiég(läfl. {flan c. Etudier la monotonie de la suite (an) puis déterminer sa limite lorsque n tend vers +oo . d. Pour tout entier naturel n , on définit la fonction g" en posant g" : gzn. Déterminer un g" -- gl|æ S kan . e. En déduire le résultat d'approximation (A,) : toute fonction continue sur R , nulle à l'infini réel k tel que pour tout entier naturel n , peut être approchée uniformément sur lR par une suite de fonctions continues sur R à support compact. Dans les questions 9., 10., et II., f désigne une fonction continue sur R et g désigne une fonction continue à support compact. Il existe donc un réel R > 0 tel que Supp g E [--R, R] . 9. Convolution a. Justifier que, pour tout réel x, l'application tl--> g(t) f (x--t) est intégrable sur R. On + définit alors sur lR la fonction g*f par (g*f)(x)= oeg(t)f(x--t)dt. On dit que ---oe g * f est le produit de convolution de g par f. h. Soit x un réel, montrer que l'application t +--> f (t) g(x --t) est intégrable sur R . On définit donc sur R la fonction f* g par (f* g)(x) : f(t)g(x --t)dt . Comparer les fonctions f * g et g* f . 10. Support d'une convolution a. Dans cette question, on suppose de plus que fest à support compact, il existe donc un réel S >O tel que Suppfc[--S,S]. Si x> R+S, que vaut (f*g)(x) '? En déduire que f * g est aussi à support compact. b. Montrer que si la fonction f n'est pas à support compact, f * g n'est pas nécessairement à support compact. 11. Dérivation d'une convolution a. Soit a un réel strictement positif. Justifier que pour tout xe[--a, a], a (f*g)(x)= + f(0g(x--t)dt. --a--R b. Montrer que si g est de plus supposée de classe C' , alors f * g est de classe C'. Écrire alors (f * g), à l'aide d'un produit de convolution. Si on suppose de plus, que g est de classe C °° sur R , on démontre de la même manière et on l'admettra que f * g est également de classe C °° sur R . 12. Application à l'approximation a. Soit n un entier naturel non nul, ,on désigne la fonction test introduite dans la question 6., ] f*p.--f(x>ls [_ n montrer que pour tout réel x, f(x--ll--f(X)lpn(t)dt-- b. On suppose de plus que f est uniformément continue sur R . Montrer avec soin que la suite de fonctions (f * ,on) est une suite de fonctions de 1121 classe C °° qui converge uniformément sur R vers f. c. En déduire le résultat d'approximation (A,): toute fonction continue sur R à support compact, est limite uniforme sur R d'une suite de fonctions tests (on pourra utiliser librement le résultat suivant: une fonction continue sur IR , nulle à l'infini, est uniformément continue sur IR ). Remarque: L'espace des fonctions tests joue un rôle important en analyse, notamment dans la théorie des distributions pour la résolution d'équations aux dérivées partielles. III. Théorème de Whitney Le but de cette partie est de démontrer le théorème suivant : Théorème de Whitney : Si F est une partie fermée de R , alors il existe une fonction f de classe C°0 sur R telleque F=Z(f) où Z(f)={xeR,f{x)=0}. 13. Justifier que la réciproque du théorème de Whitney est vraie. 14. Une première tentative de preuve... infructueuse Soit F une partie fermée de R. Pour tout réel x, on note d(_x,F)=inf x--y| et d,, l'application définie sur R par yeF d,,(x) = d(x, F). Déterminer Z (d,,) . Quelle propriété notée (P) devrait vérifier l'application d,, pour que le théorème de Whitney puisse être démontré '? Représenter graphiquement d,: dans le cas particulier où F : ]--oe,--1]U[l,+oe[. d,, vérifie-t-elle cette propriété (P) ? Justifier votre réponse. 15. Utilisation de fonctions tests Démontrer le théorème de Whitney dans les cas suivants : (i) F est le complémentaire d'un intervalle ouvert ]a,b[ . (ii) F est le complémentaire de la réunion de deux intervalles ouverts disjoints. 16. Démontrer le théorème de Whitney dans le cas général. On utilisera librement le résultat suivant: une partie ouverte Q de R , peut s'écrire comme une réunion finie ou dénombrable d'intervalles ouverts disjoints. c'est-à--dire Q : U]ak,bk[ , où 1 est une partie ke! de N . Fin de l'énoncé

 CCP Maths 1 MP 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Pierre Bel (ENS Cachan) ; il a été relu par Guillaume Dujardin (ENS Cachan) et Jean Starynkévitch (Professeur en CPGE). Le sujet se compose de deux exercices suivis d'un problème. Les exercices portent sur la convergence de séries et sur le calcul de leurs sommes. · Le premier recourt à des exemples simples qui ne nécessitent que des techniques élémentaires : la décomposition en éléments simples de fractions rationnelles, ainsi que l'identification avec une série entière classique. · Le second est centré sur les séries de Fourier et les théorèmes de convergence classiques associés, pour le calcul de séries particulières. Ces deux exercices étant proches du cours, ils nécessitent une connaissance précise des théorèmes. Les fonctions C à support compact font l'objet du problème. Son objectif est de démontrer quelques résultats d'approximation et le théorème suivant : Théorème (Whitney) : Pour toute partie fermée F de R, il existe une fonction f de classe C telle que la partie F soit exactement l'ensemble des zéros de la fonction f . Ce problème propose de revenir aux définitions de la continuité uniforme et de la limite, ce qui est l'occasion de se rafraîchir la mémoire sur ces éléments du cours de première année. On revoit aussi quelques propriétés : la compacité dans le cas de R et quelques résultats sur les intégrales (inégalités, dérivation). Il introduit en deuxième partie la convolution de deux fonctions, un outil très important de l'analyse. Ce sujet, d'un esprit classique, est d'une difficulté raisonnable à l'exception de la dernière question du problème. La variété des techniques utilisées permet de faire un large tour d'horizon du programme d'analyse. Indications Exercice 1 a Pour le calcul de la somme, penser à la décomposition en éléments simples. b Pour la somme, penser aux développements en séries entières usuelles. Exercice 2 a Par parité, on ne calcule que les an , puis on utilise une intégration par parties pour les calculer. b Utiliser le théorème de Dirichlet. c Utiliser la formule de Parseval. Problème I.3.a Faire un raisonnement par récurrence. I.4.b Utiliser la question précédente et des applications affines. II.7 Regarder le comportement d'un polynôme à l'infini. II.8.b Pour montrer que la convergence n'est pas uniforme, choisir un point d'évaluation pour zn en dehors de son support. II.10.b On peut utiliser les fonctions construites à la question II.8. II.11.b Utiliser le résultat de la question précédente et les résultats sur les intégrales à paramètre. II.12.a Utiliser la question I.6.a. II.12.b Revenir à la définition de l'uniforme continuité. II.12.c Démontrer qu'une fonction à support compact est uniformément continue. III.14 Regarder le comportement de la fonction aux bornes de son support. III.15 Faire attention à la finitude des bornes. Utiliser les fonctions construites aux questions I.3. et I.4. III.16 Utiliser la question III.15.i et une série bien choisie. Exercice 1 a Rappelons un théorème du cours sur les séries de termes généraux équivalents. Proposition : Si deux suites positives (un )nN et (vn )nN sont équivalentes, alors la convergence de la série de terme général un est équivalente à la convergence de la série de terme général vn . Pour tout entier n strictement positif, le terme général 1/(n(n + 1)(n + 2) est positif, l'utilisation du résultat précédent est donc possible. On a 1 1 n(n + 1)(n + 2) n n3 On reconnaît dans le second membre une série de Riemann de paramètre 3, la série est donc convergente (3 est bien strictement plus grand que 1). La série de terme général 1/ [n(n + 1)(n + 2)] est convergente. Afin de calculer explicitement les sommes partielles, déterminons la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle : 1 X(X + 1)(X + 2) La fraction a trois pôles simples 0, -1 et -2. D'un résultat de cours sur les fractions rationnelles, il résulte l'existence de trois réels 0 , -1 et -2 tels que : 1 0 -1 -2 = + + X(X + 1)(X + 2) X X+1 X+2 (1) En multipliant (1) par X, on obtient : 1 X -1 X -2 = 0 + + (X + 1)(X + 2) X+1 X+2 L'évaluation en X = 0 donne 0 = 1/2. De manière similaire, en multipliant (1) par X + 1, on a : 1 (X + 1) 0 (X + 1) -2 = + -1 + X(X + 2) X X+2 ce qui, évalué en X = -1, donne -1 = -1. Puis, en multipliant (1) par X + 2, on a : 1 (X + 2) 0 (X + 2) -1 = + + -2 X(X + 1) X X+1 ce qui, évalué en X = -2, donne -2 = 1/2. La conclusion du calcul donne alors 1 1 1 1 = - + X(X + 1)(X + 2) 2X X + 1 2(X + 2) Cela permet d'obtenir pour tout m entier strictement positif : m X m m m 1 1X 1 X 1 1X 1 = - + n(n + 1)(n + 2) 2 n=1 n n=1 n + 1 2 n=1 n + 2 n=1 En découpant le terme central en deux, cela implique "m # " m # m m m X X 1 1 X1 X 1 1 X 1 1 = - + - n(n + 1)(n + 2) 2 n=1 n n=1 n + 1 2 n=1 n + 2 n=1 n + 1 n=1 En décalant les indices, il vient " m # "m+2 # m+1 m+1 X1 X1 1 1 X1 1 X1 = - + - n(n + 1)(n + 2) 2 n=1 n n=2 n 2 n=3 n n=2 n n=1 m X Le calcul donne alors m X 1 1 1 1 1 = - - + n(n + 1)(n + 2) 2 2(m + 1) 4 2(m + 2) n=1 D'où X n>1 1 = lim n(n + 1)(n + 2) m 1 1 1 - + 4 2(m + 1) 2(m + 2) On en conclut que 1 1 = 4 n>1 n(n + 1)(n + 2) P b Le terme général de la série considérée est un = 2n /(n - 1)!. Cela permet de calculer pour tout entier n : -1 un+1 2n+1 2n 2 = = un n! (n - 1)! n Il en résulte que lim n un+1 2 = lim =0 n n un D'après le critère de d'Alembert, la série converge. On a de plus x R En décalant les indices, on a ex = P xn n>0 n! P 2n+1 P 2n 2n = =2 n>1 (n - 1)! n>0 n! n>0 n! P On conclut finalement 2n = 2e2 n>1 (n - 1)! P