SESSION 2006 MPM 1004
A
CONCOURS (OMMUNS POlYÏE(HNIOUES
EPREUVE SPECIFIQUE -- FILIERE MP
MATHEMATIQUES 1
Durée : 4 heures
Les calculatrices sont autorisées.
***
NB: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision
et à la concision de la
rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur
d'énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des
initiatives qu'il a été amené à prendre.
***
Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème indépendants.
EXERCICE 1
Montrer que les deux séries suivantes sont convergentes puis calculer leur
somme.
1
a. g....
... "t(" + 1)(n + 2)
2n
n.>.l (" _1)! .
b.
EXERCICE 2
On considère la fonction f définie sur R de la façon suivante : f est une
fonction périodique de
période 27! , f est une fonction paire et pour tout x EUR [O,7r] : f(x) = x2 .
a. Déterminer la série de Fourier de la fonction f
b. En déduire, avec soin, les réels : Z(:121)n ,Î--l--_-- et Î---------------- 1
"=] "=]" n=0(2n+1)2
1
c. Déterminer, en énonçant le théorème utilisé, le réel: Î----.
n=ln
PROBLEME : Une introduction aux fonctions tests
Dans tout le problème, R est muni de sa norme naturelle : la valeur absolue.
Toutes les fonctions considérées seront à valeurs dans R .
Si h est une fonction de classe C " , h(k) désigne la dérivée k--ième de h.
Si h est une fonction bornée sur R , on note "h"æ : suplh(x)] .
xelR
Une fonction définie sur R est dite nulle à l'infini si ses limites en +00 et
en --oo sont nulles.
Objectifs :
Le support d'une fonction f définie sur un intervalle [, noté Supp f , est
l'adhérence de l'ensemble
des points où elle ne s'annule pas : Supp f = {x & l,f(x) # O} .
Une fonction est dite à support compact si son support est une partie compacte
de IR .
On appellera fonction test, une fonction de classe C °° sur R à support compact.
On note T l'ensemble des fonctions tests. Il est facile de vérifier que Test
une IR -algèbre.
Le but du sujet est de découvrir des fonctions tests dans la partie I et d'en
voir deux utilisations ;
pour l'approximation uniforme de fonctions dans la partie II, et pour démontrer
un théorème de
Whitney à la partie III.
Les parties II et III sont indépendantes et utilisent des résultats de la
partie I.
1. Découverte des fonctions tests
1. Soit A une partie de R . Montrer que A est bornée si et seulement si son
adhérence Z est une
partie compacte de R .
Une fonction ]" définie sur I est donc à support compact si et seulement si {x
EUR I , f (x) # O} est une
partie bornée de R .
2. Quelques exemples
a. On note u la fonction paire définie sur R par u(x)==4--x2 si xe[0,2] et
u(x)=0 si
x > 2 .
Représenter la fonction u et déterminer son support. La fonction u est-elle à
support
compact '? La fonction u est--elle une fonction test '?
b. La fonction sinus est--elle une fonction test ?
--l
3. Soit h la fonction définie sur IR par h(x) : e " si x > O et h(x) = 0 si x 5
0 .
a. La fonction h est, d'après les théorèmes généraux, de classe C °° sur
]O,+oc[. Montrer que
pour tout entier naturel k, il existe un polynôme Pk dont on précisera le degré
tel que pour
, . . . 1 rl , . ..
tout reel x stnctement posrt1f, h""(x) = Pk (--)e " . En dedu1re que h est de
classe C sur
x
R.
b. La fonction h est--elle une fonction test? h est-elle développable en série
entière au
voisinage de 0 ?
4. On définit sur R la fonction ça par ço(x) : h(--(x + 1)(x --1)) .
a. Déterminer le support de (0 puis justifier que c'est une fonction test.
Déterminer les
variations de ça puis tracer l'allure de sa courbe.
b. Déterminer une fonction test dont le support est [3,8] puis une fonction
test dont le support
est [1,2]...[5,6].
5. Déterminer les limites en +00 et --oo d'une fonction définie sur R à support
compact.
6. Construction d'une suite régularisante
+00
a. Justifier que la fonction çp de la question 4. est intégrable sur R et que !
(p(t) dt > 0. En
--CO
déduire l'expression d'une fonction test :p positive, de support [--l,l] ,
intégrable sur R et
+00
telle que p(t) dt : 1 .
--CO
Pour tout entier naturel non nul n, on définit sur R la fonction pn par p,, (x)
: np(nx) . La suite de
fonctions ( ,on )n est appelée suite régularisante.
+oo
b. Pour tout entier naturel non nul n, déterminer le support de p,, et calculer
pn (t) dt.
--oe
Il. Approximation uniforme sur R par des fonctions de classe C °° ou par des
fonctions tests
Un théorème de Weierstrass nous dit que toute fonction continue sur un segment
peut être
approchée uniformément par des fonctions polynômes.
Voyons ce qu'il en est si la fonction est continue sur R tout entier (donc sur
un intervalle non
borné)
7. L 'approximation polynomiale ne convient plus
Soit (P )" une suite de fonctions polynômes qui converge uniformément sur R
vers une
[?
fonction f.
a. Justifier qu'il existe un entier naturel N tel que pour tout entier naturel
n supérieur ou égal
R.lst
Que peut-on en déduire quant au degré des fonctions polynômes Pn -- PN lorsque
n 2 N ?
à N, on ait pour tout réel x,
b. Conclure que fest nécessairement une fonction polynôme.
Nous allons toutefois démontrer qu'il est possible d'approcher certaines
fonctions uniformément sur
R , non pas par des fonctions polynômes, mais par des fonctions de classe C °°
, ou par des fonctions
tests.
Plus précisément, nous allons démontrer les deux résultats d'approximation
suivants :
(A,) : toute fonction continue sur R , nulle à l'infini est limite uniforme sur
R d'une suite de
fonctions continues sur R à support compact.
(A,) : toute fonction continue sur R à support compact, est limite uniforme sur
R d'une suite de
fonctions tests.
L'approximation (A) est un résultat préliminaire, qui est démontré à la
question 8.
8. Approximation a' 'une fonction continue nulle à l'infini par une suite de
fonctions continues à
support compact
Pour tout entier naturel n, on définit sur R, la fonction paire 2" par zn(x)=l
si xe[0,n[,
zn(x)=--x+n+l si xe[n,n+l[ et zn(x)=0 si xe[n+1,+oo[.
a. Représenter graphiquement la fonction z". Déterminer la limite simple de la
suite de
fonctions (zn ). La convergence est-elle uniforme sur R '?
b. Soit g une fonction continue sur R , nulle à l'infini.
Démontrer que la fonction g est bornée sur R . On peut donc poser pour tout
entier naturel
ÏZ, CÏn ==5"lpfiég(läfl.
{flan
c. Etudier la monotonie de la suite (an) puis déterminer sa limite lorsque n
tend vers +oo .
d. Pour tout entier naturel n , on définit la fonction g" en posant g" : gzn.
Déterminer un
g" -- gl|æ S kan .
e. En déduire le résultat d'approximation (A,) : toute fonction continue sur R
, nulle à l'infini
réel k tel que pour tout entier naturel n ,
peut être approchée uniformément sur lR par une suite de fonctions continues
sur R à
support compact.
Dans les questions 9., 10., et II., f désigne une fonction continue sur R et g
désigne une fonction
continue à support compact. Il existe donc un réel R > 0 tel que Supp g E [--R,
R] .
9. Convolution
a. Justifier que, pour tout réel x, l'application tl--> g(t) f (x--t) est
intégrable sur R. On
+
définit alors sur lR la fonction g*f par (g*f)(x)= oeg(t)f(x--t)dt. On dit que
---oe
g * f est le produit de convolution de g par f.
h. Soit x un réel, montrer que l'application t +--> f (t) g(x --t) est
intégrable sur R .
On définit donc sur R la fonction f* g par (f* g)(x) : f(t)g(x --t)dt .
Comparer les fonctions f * g et g* f .
10. Support d'une convolution
a. Dans cette question, on suppose de plus que fest à support compact, il
existe donc un réel
S >O tel que Suppfc[--S,S]. Si x> R+S, que vaut (f*g)(x) '?
En déduire que f * g est aussi à support compact.
b. Montrer que si la fonction f n'est pas à support compact, f * g n'est pas
nécessairement à
support compact.
11. Dérivation d'une convolution
a. Soit a un réel strictement positif. Justifier que pour tout xe[--a, a],
a
(f*g)(x)= + f(0g(x--t)dt.
--a--R
b. Montrer que si g est de plus supposée de classe C' , alors f * g est de
classe C'. Écrire
alors (f * g), à l'aide d'un produit de convolution.
Si on suppose de plus, que g est de classe C °° sur R , on démontre de la même
manière et
on l'admettra que f * g est également de classe C °° sur R .
12. Application à l'approximation
a. Soit n un entier naturel non nul, ,on désigne la fonction test introduite
dans la question 6.,
]
f*p.--f(x>ls [_
n
montrer que pour tout réel x,
f(x--ll--f(X)lpn(t)dt--
b. On suppose de plus que f est uniformément continue sur R .
Montrer avec soin que la suite de fonctions (f * ,on) est une suite de
fonctions de
1121
classe C °° qui converge uniformément sur R vers f.
c. En déduire le résultat d'approximation (A,): toute fonction continue sur R à
support
compact, est limite uniforme sur R d'une suite de fonctions tests (on pourra
utiliser
librement le résultat suivant: une fonction continue sur IR , nulle à l'infini,
est
uniformément continue sur IR ).
Remarque: L'espace des fonctions tests joue un rôle important en analyse,
notamment dans la
théorie des distributions pour la résolution d'équations aux dérivées
partielles.
III. Théorème de Whitney
Le but de cette partie est de démontrer le théorème suivant :
Théorème de Whitney : Si F est une partie fermée de R , alors il existe une
fonction f de classe
C°0 sur R telleque F=Z(f) où Z(f)={xeR,f{x)=0}.
13. Justifier que la réciproque du théorème de Whitney est vraie.
14. Une première tentative de preuve... infructueuse
Soit F une partie fermée de R.
Pour tout réel x, on note d(_x,F)=inf x--y| et d,, l'application définie sur R
par
yeF
d,,(x) = d(x, F).
Déterminer Z (d,,) . Quelle propriété notée (P) devrait vérifier l'application
d,, pour que le
théorème de Whitney puisse être démontré '?
Représenter graphiquement d,: dans le cas particulier où F : ]--oe,--1]U[l,+oe[.
d,, vérifie-t-elle cette propriété (P) ? Justifier votre réponse.
15. Utilisation de fonctions tests
Démontrer le théorème de Whitney dans les cas suivants :
(i) F est le complémentaire d'un intervalle ouvert ]a,b[ .
(ii) F est le complémentaire de la réunion de deux intervalles ouverts
disjoints.
16. Démontrer le théorème de Whitney dans le cas général. On utilisera
librement le résultat
suivant: une partie ouverte Q de R , peut s'écrire comme une réunion finie ou
dénombrable d'intervalles ouverts disjoints. c'est-à--dire Q : U]ak,bk[ , où 1
est une partie
ke!
de N .
Fin de l'énoncé
