CCP Maths 1 MP 2004

Thème de l'épreuve Convergence des séries de Fourier
Principaux outils utilisés séries de Fourier

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 SESSION 2004 ' MPM 1005 CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. *** NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. A propos de l'hypothèse « de classe C' par morceaux » du théorème de convergence normale d'une série de Fourier... Pour toute fonction f: R ----> @, continue par morceaux et de période 27t, on associe ses 1 21: . coefficients de Fourier exponentiels définis, pour n eZ, par c ( f ) -- Îo f (t) e""' dt et ses 7r coefficients de Fourier trigonométriques définis par : a, (f) = 1 J:" f(t) cos(n :) dt (pour n & N) et b,, (f) = ' [:" f(t) sin(n :) dt (pour n e N * ). 7: TE On pose, pour tout entier naturel p et tout réel x : S ,.(f)sin(n ... n=_p On rappelle le théorème de convergence normale : Si f: R --> (C est une fonction continue de période 27t et de classe C' par morceaux, la série de Fourier de f converge normalement vers la fonction f sur lRl. Ainsi, la fonction fest limite uniforme de la suite de polynômes trigonométriques (S p( f )) pe N. Nous allons étudier ce qui peut se produire si on enlève à ce théorème l'hypothèse « de classe C' par morceaux ». Une première partie démontre des résultats préliminaires. Une deuxième partie traite d'un exemple où, sans l'hypothèse << de classe C' par morceaux », la série de Fourier peut diverger. Une troisième partie recherche une condition plus faible pour que, sans l'hypothèse « de classe C1 par morceaux », on puisse quand même assurer que la série de Fourier de f converge uniformément vers la fonction f sur R. 1. Résultats préliminaires ]. Si, dans le théorème de convergence normale ci-dessus, on suppose que la fonction f n'est pas continue mais seulement continue par morceaux sur R : a. Rappeler le théorème de Dirichlet en précisant de quel type de convergence il s'agit. b. Cette convergence pourrait-elle être uniforme sur R ? 2. On considère la fonction continue (p :,R ---> R, de période 211 , paire et définie pour x e [O, n], par  @ continue et de période 27: dont la somme de Fourier de rang n est notée Sn (f). Pour n entier naturel non nul, on définit la somme de Fejér de f de rang n, notée on (f) comme la moyenne de Cesàro des sommes de Fourier : c,,). On démontre, et nous l'admettrons, le théorème de Fejér : «La suite de polynômes trigonométriques (on (f)) converge uniformément sur R vers la fonction f ». Une application : Si f : R --> C est une fonction continue et de période 27: telle que la suite (Sn ( f )) converge simplement sur R, montrer que la suite (Sn ( f)) converge vers la fonction f. 5. Si (un) est une suite de réels positifs qui converge vers 0, montrer qu'il existe une suite de réels (dn) décroissante et de limite nulle telle que, pour tout entier naturel n, 0 5 un S dn (on pourra, par exemple, vérifier que la suite ( sup{ u k, k 2 n} ) convient). n II. Un exemple de Série de Fourier divergente (en un point) On considère la suite de fonctions ( fn) définies sur l'intervalle [O, n] pour tout entier naturel non nul n par : fn (x) : ---Ë-sin[(2"3 +1)--fl. n 6. Montrer que la série de fonctions 2 fn converge normalement sur [O, TC]. n21 On définit alors la fonction f paire, continue, de période 271 sur R et telle que pour tout réel xe[Oml f=Îflül . ' n . 2 +1 . 7. On pose, pour p et k entiers naturels, Ip, k = L cos( p t) sm( k2 t) dt et, pour q ent1er naturel, '] T... : ZIM . p=0 3. Calculer, pOur p et k entiers naturels, l'intégrale Ip, k . . k+q 1 b. Pour q et k entiers naturels, déterminer un réel positif ck tel que T q, k : ck + Z 2 _ 1 et en j=k--q .] + déduire que, pour tout couple (q, k) d'entiers naturels, T q, k 2 O . N c. Déterminer, pour N au voisinage de + oo , un équivalent simple de z 2k1 1 . k=0 + . . . 1 d. En déduire que, pour k au v01smage de + oo , T k, k ..., --2-- Ink . 8 Montrer ue our entier naturel non nul a (f ) -- âÎ--1-- ] . q :p p 7 ,, "'Tc _1n2 p2n3--l. . " ao(f) 2 9. Montrer que, pour p ent1er naturel non nul, S 3 (f )(0) _>_ + 2 T 3 3 2p " 2 TE p 21" "',2P "' _ N N a a (on remarquera que : ÎO + E a, = 20 + E a, ). l=1 l=0 Conclure que la suite (S n ( f )(O)) diverge. III. Fonctions à variation bornée, Théorème de Jordan Pour deux réels a < b on note S[a' " l'ensemble des subdivisions de l'intervalle [a, b]. Si fest une fonction de [a, b] ---> C et o = (x... x,,..., x") & S[a,b], on note: n--l V(6, f) = Z|f(x... ) -- f(x.)\ . i=O On dira que la fonction f est à variation bomée s'il existe un réel positif M tel que pour toute (: EUR S[a_b], l'on ait: V(o, f) SM. On appelle alors variation totale de f sur [a, b] le réel positif noté : V([a,b],f)= sup V(0,f)-- ceS[a, b] 10. Montrer que la fonction f: [O, 1] --+ R définie par f (0) = O et f(x) = x cos(£--) si x # O est x continue et n'est pas à variation bomée sur [O, 1]. (on pourra choisir 0 : (xk )0$k$n+1 subdivision de [O, 1] : x0 = 0, x... =l et Vk & {l, ...,n}, xk : -------------1-------- ). 2(n +1 -- k) 11. Exemples généraux a. Montrer qu'une fonction f : [a, b] ----> lR qui est monotone est à variation bomée sur [a, b] et préciser V( [a, b] , f). h. Montrer qu'une fonction f: [a, b] ---> R qui est somme de deux fonctions monotones est à variation bomée sur [a, b]. c. Montrer qu'une fonction [a, b] ---->C qui est continue et de classe C1 par morceaux est à variation bomée. 12. Soit une fonction f : [a, b] --> C à variation bomée sur [a, b] et soit a < c < b. Montrer que chacune des restrictions de f aux intervalles [a, c] et [c, b] est à variation bomée et que: V(laacl.f)+V(lc,bl,f)SV(la.bl.f)- Remarque : on peut même montrer qu'il y a égalité mais ce ne sera pas utile pour ce problème. 13. Soit f: R ----) C une fonction continue et de période 27t telle que la restriction de f à l'intervalle [O, 2 n] soit à variation bomée. Pour n entier relatif et N entier naturel, tous deux non nuls, on utilisera la subdivision , . . . 27tk o : (xk )O @ continue et de période 2% telle que la restriction de f à l'intervalle [O, 2 Tt] soit à variation bornée converge uniformément vers la fonction f 16. Montrer que la série de Fourier de la fonction (p de la question 2. converge uniformément sur R vers la fonction (p . 17. Application Montrer que la série de Fourier d'une fonction f: R --> (C, de période 271: et lipschitzienne converge uniformément sur R vers la fonction f. Fin de l'énoncé

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 CCP Maths 1 MP 2004 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Olivier Dudas (ENS Ulm) ; il a été relu par Hicham Qasmi (ENS Lyon) et David Lecomte (Université de Stanford). Le problème étudie certaines conditions suffisantes pour qu'une série de Fourier converge uniformément. Il ne nécessite néanmoins aucune connaissance approfondie sur ce sujet puisque la majorité des théorèmes sont rappelés. Il comporte trois parties qui peuvent se traiter indépendamment, quitte à admettre les résultats intermédiaires. · La première partie fait état de plusieurs résultats sur la convergence des séries de Fourier, qui sont utiles pour la suite du problème. On s'intéresse aussi aux applications directes du théorème de Fejér. · Dans la deuxième partie, on étudie un exemple précis de fonction dont la série de Fourier est divergente en un point. Cette fonction est définie comme la somme d'une série de fonctions, et son étude fait ainsi appel aux outils classiques d'analyse. · Enfin, dans la troisième partie, on introduit l'ensemble des fonctions à variation bornée, qui englobe celui des fonctions C 1 par morceaux. On montre qu'une fonction continue et à variation bornée est la limite uniforme de sa série de Fourier. Quelques applications de cette nouvelle condition suffisante sont alors envisagées. Ce sujet est bien adapté à la durée de l'épreuve ; la dernière partie est un peu plus difficile que les deux autres. Il ravira les candidats qui s'intéressent d'assez près à la théorie des séries de Fourier. Indications Première partie 1.b Que dire de la limite uniforme d'une suite de fonctions continues ? 2 S'intéresser au nombre dérivé de à droite de 0. n P 3.b Remarquer que = (n + 1) . k=0 4 Appliquer le résultat de la question précédente à la suite (Sn (f )(x))nN . Deuxième partie P 6 Quelle est la nature de la série 1/n2 ? 7.a Afin de simplifier l'intégrande, on utilisera la formule cos a sin b = 1 (sin(a + b) + sin(b - a)) 2 7.b Pour prouver la positivité, montrer que dans tous les cas Tq,k est une somme de termes positifs. 7.c Utiliser l'équivalent suivant : 1+ 1 1 + ···+ 2 n n ln n 9 Calculer d'abord explicitement Sn (f )(0), puis minorer l'expression obtenue à l'aide du résultat de la question 8. Troisième partie 10 On pourra examiner le cas où n devient grand. 11.a Calculer V(, f ) pour une subdivision quelconque. 11.b Montrer plus généralement, à l'aide de l'inégalité triangulaire, qu'une somme de fonctions à variations bornées est également à variation bornée. 11.c Pour une subdivision donnée, considérer la subdivision formée de et des points de discontinuité de f . 12 Considérer la concaténation d'une subdivision de [ a ; c ] et d'une subdivision de [ c ; b ] . 13.a Montrer que |f (t) - f (xk )| 6 Vk (f ) pour tout réel t compris entre xk-1 et xk . 13.b Calculer explicitement le membre de gauche de l'inégalité. 13.c Utiliser les deux questions précédentes. 14.b Utiliser le calcul de la question précédente et la majoration de |uk | . 14.c Ne pas oublier d'utiliser le résultat de la question 5. 15 Considérer la suite un = cn (f ) ei n x + c-n (f ) e-i n x et montrer que l'on peut supposer un = 0. Utiliser ensuite une suite (dn ) indépendante de x et utiliser le résultat de la question précédente. 16 Remarquer que est la somme de deux fonctions monotones sur [ 0 ; 2 ]. 17 Montrer qu'une fonction lipschitzienne est continue et à variation bornée sur tout segment. I. Résultats préliminaires 1.a Le théorème de Dirichlet affirme que la série de Fourier d'une fonction 2-périodique de classe C 1 par morceaux converge simplement vers la quantité 1 (f (x + 0) + f (x - 0)) 2 où f (x + 0) (respectivement f (x - 0)) désigne la limite à droite (respectivement à gauche) de f au point x. Autrement dit, x R Sp (f )(x) ---- p+ 1 (f (x + 0) + f (x - 0)) 2 En particulier, la série de Fourier converge simplement vers f en tout point de continuité de f . 1.b Pour tout entier naturel p, Sp (f ) est une fonction polynomiale trigonométrique donc continue sur R. Ainsi, si f est limite uniforme de la suite (Sp (f ))pN , elle est automatiquement continue sur R, ce qui contredit l'hypothèse de l'énoncé. Finalement, Si f n'est pas continue, la série de Fourier de f ne converge pas uniformément sur R. Rappelons la preuve de la transmission de continuité par limite uniforme. Si (gn ) est une suite de fonctions réelles continues sur R tendant uniformément vers g, alors par définition Sup |gn (x) - g(x)| ---- 0 n xR ce que l'on traduit par : pour tout > 0 fixé, N N n > N Sup |gn (x) - g(x)| 6 xR 3 L'entier N étant lui aussi fixé, exprimons maintenant la continuité de gN au point x0 : > 0 x ]x0 - , x0 + [ |gN (x) - gN (x0 )| 6 3 Grâce à l'inégalité triangulaire, on en déduit que, pour tout réel x dans l'intervalle ] x0 - ; x0 + [, |g(x) - g(x0 )| 6 |g(x) - gN (x)| + |gN (x) - gN (x0 )| + |gN (x0 ) - g(x0 )| |g(x) - g(x0 )| 6 ce qui prouve bien que g est continue au point x0 . 2 Voici l'allure du graphe de : -2 0 - - 2 La fonction est de classe C 1 sur R r Z, étant donné que la fonction x 7- de classe C 1 sur l'intervalle ] 0 ; [ . Cependant, x est 1 (x) = 2 x x ] 0 ; [ (x) ---- + donc x0+ 1 Ceci montre que n'est pas de classe C par morceaux sur [ 0 ; 1 ]. Or, par définition, une fonction est de classe C 1 par morceaux sur R si et seulement si elle l'est sur tout segment de R. Par conséquent, n'est pas de classe C 1 par morceaux sur R. 3.a Dire que la suite (un )nN converge vers revient à écrire qu'au voisinage de +, un - = o(1) La série de terme général constant égal à 1 est une série divergente et à termes positifs, si bien que la relation de négligeabilité précédente se transmet aux sommes partielles et on obtient P n n P (uk - ) = o 1 = o(n + 1) k=0 k=0 3.b L'égalité précédente est équivalente à n 1 P (uk - ) ---- 0 n n + 1 k=0 Or, n n n n 1 P 1 P 1 P 1 P (uk - ) = uk - = uk - n + 1 k=0 n + 1 k=0 n + 1 k=0 n + 1 k=0 par conséquent u0 + u1 + · · · + un ---- n n+1 4 Supposons que la suite (Sn (f ))nN converge simplement vers une fonction g sur R, c'est-à-dire x R Sn (f )(x) ---- g(x) n