CCP Maths 1 MP 2003

Thème de l'épreuve Polynôme de meilleure approximation au sens de Tchebychev
Principaux outils utilisés polynômes, séries numériques, espaces vectoriels normés, topologie élémentaire, projecteurs orthogonaux, calcul intégral
Mots clefs polynômes de Tchebychev, théorème des moments, approximation quadratique, equioscillation

Corrigé

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SESSION 2003 MPM 105 A CONCOURS (OMMUNS POLYÏECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE -- F ILIERE MP MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. *** NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. UTILISATION DES POLYNOMES DE TCHEBYCHEV EN ANALYSE Notations : On note E l'espace vectoriel des applications continues de [--1,1] dans R. On désigne par En l'espace vectoriel des fonctions polynomiales de [-1,1] dans R de degré inférieur ou égal à n où n est un entier naturel. On pourra confondre les expressions : polynôme et fonction polynomiale. Si f est un élément de E, on pose || f ll... sup | f(x)]. xe[--l,l] Les parties II., III. sont indépendantes et utilisent les résultats de la partie I. I. Polynômes de Tchebychev Dans toute cette partie, n désigne un entier naturel. , 1. Existence et unicité ' a) Déterminer un polynôme T à coefficients réels de degré n vérifiant la propriété (*): (*): VH & R, T(cosa9) : cos(n9). (on pourra remarquer que cos(n 9) est la partie réelle de (0059 + i sin 9)" ). b) Montrer qu'un polynôme vérifiant (*) est unique. On l'appelle le polynôme de Tchebychev d'indice n, on le note T n . On définit alors une fonction polynomiale sur [-1,1] par : Vx & [--l, l], IL(x) : cos(n arcos x). 2. a) Montrer que Vx e[--1,l], T +2 (x) 2xT " (x)--Tn (x) (on pourra calculerT ... (x) + T (x)). b) Calculer 13,7},T2,T3. e) Donner le coefficient du terme de plus haut degré de Tn . 3. Racines et extrema n--l a) Montrer que Vx & [-1,1], T,(x) : 2"'1 H(x --- cos &) où & = (--2Ë--Îl--)--fi-- . ...) 2n k7r b) On pose pour k dans {O, 1,. .n.,}, ck-- -- cos(--). n Calculer ||7;|Lo puis montrer que : Vk EUR {O,l,...,n}, |T,(ck)l : ||ÎL||°0 et 'que : Vk EUR {O,l,...,n --1}, T,(c...) : --T,(ck). Les n +1 réels co, (:1 ,..., cn sont appelés points de Tchebychev. c) Dessiner le graphe de T, , préciser sur le graphe les réels co,c1 ,c2 ,c3. Il. Polynômes de Tchebychev et orthogonalité Orthogonalité des T, k t 4. Montrer que pour toute fonction il de E, l'application t l---> \/--(--)--2 est intégrable sur ]--1,1[. 1 -- t f (l') g(f) dt \/1--t2 Pour f et g éléments de E, on pose <,f g>=f1 5. a) Soit h une fonction positive de E, montrer que si J 11 \/î(tl2 dt : 0 alors h est la fonction ' 1 -- t nulle. b) Montrer que ( , ) définit un produit scalaire sur E. Ceci nous permet de définir une norme euclidienne sur E : pour tout élément h de E, on pose llhllz = (h, 11)- 6. Calculer  selon les valeurs des entiers naturels m et n. En déduire, pour tout entier n'm naturel n que la famille (T 0,T1 ,...,Tn) est une base orthogonale (pour { , >) de En . Polynôme de meilleure approximation quadratique Dans toute la suite de la partie II., f désignera un élément de E et n un entier naturel. Onpose d,(f,E,) =inf{||f--le,Q EUREn}. (fifi) llTkllz 7. a) Enoncer un théorème justifiant l'existence et l'unicité d'un vecteur tn (f) dans En tel que lV--MJÆ=dxflay b) Exprimer tn (f) a l'aide des polynômes de Tchebychev. Le but de la suite de la partie Il. est d'exprimer || f || 2 en fonction des On dit que tn (f) est le polynôme de meilleure approximation quadratique de f sur E n . 8. Montrerque d2(f,En)= l|f||22--Î . 2 9. a) En déduire que la série Z +ao f--a.(f)ll. =0- +00 2 11. a) En déduire que ||f|l2 : z . b) Application : un théorème des moments. Que peut-on dire d'une fonction h de E telle que pour tout entier naturel n, 1 h(t)T(t) " d = ? L __1_ t2 t 0 III. Pol nôme de meilleure a roximation au sens de Tcheb chev ' Dans toute cette partie, n désigne un entier naturel et f un élément de E. Onnote doe(f,En) =inf{llf--Qlæ,Q eEn}. On dit qu'un élément P de En , est un polynôme de meilleure approximation (on notera en abrégé PMA) au sens de Tchebychev de f d'ordre n, s'il vérifie une des deux conditions équivalentes : «) W--PL=dAflEJ (ii) VQeEn, f--P||æ s||f--Ql|æ. Existence d'un PMA d'ordre n pour f Onpose K= {Q EE", f--Qllæ sl|f|læ} 12. a) Montrer que K est une partie non vide fermée et bornée de E n . b) En déduire que K est une partie compacte non vide de E n . 13. a) Montrer que a'oo (f,En) = doe(f,K) . b) En déduire qu'il existe un élément P de E,, oe1 que || f -- Pl|æ = doe (f, E,) . P est donc un PMA d'ordre n def. Condition suffisante pour être un PMA Soit h un élément de E. On dit que h équioscille sur k+1 points s'il existe k+1 réels x0  0 alors Q(x.) ----P(x,) > 0 . On a de même, que si f (xi) --- P(x,) < 0 alors Q(x,) ---- P(x,) < 0 . b) En déduire que P = Q et conclure. Détermination de PMA 16. Dans cette question, pour x & [-1,1], on prend f(x) : x"+1 et on pose : qn (x) : x"+1 -- 2"" 71...(x) . Montrer que qn est un PMA d'ordre n def. 17. En déduire que pour tout polynôme P unitaire de degré n + 1 , on a 2'" Tn+1 00 S ||Pl|æ. 18. a) Dans cette question, f est un polynôme de degré n + 1 . Déterminer un PMA d'ordre n def . b) Application : déterminer un PMA d'ordre 2 de f(x) = 5x3 + 2x -- 3. Remarque : On peut montrer l'unicité du PMA. Il n'existe pas de formule générale qui donne l'expression du PMA d'une fonction quelconque. On peut cependant utiliser un algorithme (de Remes) qui fournit une suite de polynômes qui converge vers le PMA. Fin de l'énoncé

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 CCP Maths 1 MP 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Moez Ajmi (École Polytechnique) ; il a été relu par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan). Ce sujet étudie le polynôme de meilleure approximation au sens de Tchebychev. Le but est de montrer l'existence d'un tel polynôme pour une fonction continue donnée, sans s'intéresser à l'unicité. · La première partie, très classique, traite des polynômes de Tchebychev, de leurs propriétés les plus courantes (degré, coefficient dominant), ainsi que de leurs propriétés numériques (racines, norme). On y utilise les formules de trigonométrie, ainsi que des raisonnements par récurrence. · La deuxième étudie les propriétés algébriques des polynômes de Tchebychev (base, projection orthogonale). Les outils utilisés sont élémentaires (intégrabilité d'une fonction, série convergente). · La dernière partie est consacrée aux polynômes de meilleure approximation au sens de Tchebychev (PMA). On utilise un peu de topologie élémentaire (notion de compact) ainsi que des résultats de la première partie. Il s'agit de déterminer une méthode permettant de calculer le PMA d'ordre n d'une fonction polynomiale de degré n + 1. Dans l'ensemble, ce sujet est assez classique et d'une difficulté moyenne. Indications I. Polynômes de Tchebychev 2.a Utiliser l'égalité p, q R cos(p) + cos(q) = 2 cos p+q 2 cos p-q 2 2.c Raisonner par récurrence. 3.a Déterminer les racines de Tn et utiliser la décomposition en facteurs premiers d'un polynôme (remarquer que Tn est scindé). 3.b Utiliser la définition de Tn . II. Polynômes de Tchebychev et orthogonalité h(t) 4 Majorer l'application t 7 par une application intégrable sur ] -1 ; 1 [. 1 - t2 5.a Ne pas oublier de démontrer que h(1) = h(-1) = 0. 6 Faire le changement de variable t = cos . 7.a Remarquer que tn (f ) n'est autre que la projection orthogonale de f sur En . 8 Utiliser le théorème de Pythagore. 9.b Le terme général d'une série convergente tend vers 0 quand n tend vers +. khk2 h2 (t) 6 et passer à l'intégrale. 10.a Utiliser le fait que t ] -1 ; 1 [ 1 - t2 1 - t2 11.b Utiliser la question 11.a. III. PMA au sens de Tchebychev 13.a Raisonner par l'absurde. 13.b Utiliser la continuité de l'application : ( En - R Q 7- kf - Qk 15.b Considérer le polynôme R = P - Q, de degré n, et montrer qu'il admet n + 1 racines en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires. 16 Utiliser les questions 14.b et 15. 17 Remarquer qu'un polynôme P unitaire et de degré n + 1 s'écrit sous la forme P(X) = Xn+1 - Q(X), où Q est un polynôme de degré n. 18.a S'inspirer de la question 16. I. Polynômes de Tchebychev 1.a La formule de Moivre donne R cos(n) = Re (exp(in)) = Re [(cos + i sin )n ] n k n-k k = Re cos ()i sin () k=0 k P n cos(n) = cosn-2k ()(-1)k (1 - cos2 ())k 062k6n 2k On pose P Tn (x) = 062k6n n P k (-1) n xn-2k (1 - x2 )k 2k Tn est bien un polynôme à coefficients réels, et vérifiant la propriété R Tn (cos ) = cos(n) Il reste à montrer que le polynôme Tn est de degré n : P n k Tn (x) = (-1) xn-2k (1 - x2 )k 2k 062k6n k X P n k = (-1)k xn-2k (-1)l x2l 2k l l=0 062k6n X P k n k k+l Tn (x) = (-1) xn-2k+2l 2k l l=0 062k6n Le terme de plus haut degré de Tn est obtenu pour k = l : P P n k n n 2k (-1) x = xn 2k k 2k 062k6n 062k6n Comme le coefficient du terme de plus haut degré de Tn est non nul (c'est une somme d'entiers strictement positifs), on en déduit que Tn est de degré n. Un polynôme de la forme an Xn + an-1 Xn-1 + · · · + a0 n'est pas forcément de degré n ; il faut vérifier que le terme de plus haut degré, an , est non nul. 1.b Supposons qu'il existe un autre polynôme Rn vérifiant Rn Rn (cos ) = cos(n) = Tn (cos ) Comme x = cos décrit [ -1 ; 1 ] lorsque décrit R, on a x [ -1 ; 1 ] Rn (x) = Tn (x) soit (Rn - Tn )(x) = 0 Le polynôme Rn - Tn admettant une infinité de racines, il s'agit du polynôme nul, d'où Rn = Tn . Conclusion : Il y a un unique polynôme vérifiant la relation (). 2.a Utilisons l'égalité suivante, qui découle directement de la définition du polynôme Tn : x [ -1 ; 1 ] Tn (x) = cos(n Arccos x) (1) et appliquons la formule d'addition des cosinus : p, q R cos p + cos q = 2 cos p+q 2 cos p-q 2 Pour x [ -1 ; 1 ], Tn+2 (x) + Tn (x) = cos((n + 2) Arccos x) + cos(n Arccos (x)) = 2 cos((n + 1) Arccos x) cos(Arccos x) = 2x cos((n + 1) Arccos x) Tn+2 (x) + Tn (x) = 2x Tn+1 (x) d'où x [ -1 ; 1 ] Tn+2 (x) = 2xTn+1 (x) - Tn (x) Arccos est l'application réciproque de la restriction de cos sur [ 0 ; ] ; elle est définie sur [ -1 ; 1 ]. x [ -1 ; 1 ] cos [Arccos (x)] = x 2.b D'après (1) on a, pour tout x [ -1 ; 1 ], T0 (x) = cos(0) = 1 et T1 (x) = cos(Arccos x) = x Grâce à la relation établie à la question précédente, il vient, pour tout x [ -1 ; 1 ], T2 (x) = 2xT1 (x) - T0 (x) = 2x2 - 1 et T3 (x) = 2xT2 (x) - T1 (x) = 4x3 - 3x 2.c T0 a pour coefficient dominant 1. Montrons par récurrence sur n > 1 la propriété P(n) : Tn a pour coefficient dominant 2n-1 . · P(1) et P(2) sont vraies, au vu des expressions de T1 et T2 . · P(n) et P(n + 1) = P(n + 2) : supposons vérifiées P(n) et P(n + 1) pour n > 1 fixé. 2x Tn+1 est de degré n + 2 et Tn de degré n, donc Tn+2 est de degré n + 2. Le coefficient dominant de Tn+2 est fourni par celui de 2x Tn+1 , soit le double de celui de Tn+1 , c'est-à-dire 2n+1 . · Conclusion : P(n) est vraie pour tout n > 1. On a donc montré que Tn a pour coefficient dominant 2n-1 , pour tout n N .