CCP Maths 1 MP 2002

Thème de l'épreuve Produits infinis
Principaux outils utilisés Suites et séries, séries de Fourier, intégrales à paramètre
Mots clefs développement du sinus en produit infini, fonction Gamma

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 SESSION 2002 A MPM 104 CONCOURS (OMMUNS P0lYÏICHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. *** NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. Autour des produits infinis Si n() est un entier naturel et si (un) est une suite de réels non nuls, on lui associe la suite 112110 ïl (Pn)nz..., defime pour tout entier naturel n ?. no par: P" : Hu}, : ",... . u [J=HO bl . m,+l """" n de terme général M converge si la suite (P") converge vers n ' n' On dit que le produit infini Hu nZno "ZI... +oo un nombre fini non nul. On notera alors Hun sa limite. n=nO Si la suite (P") n'admet pas de limite finie ou si elle converge vers 0 on dit que le produit nano 1. Généralités et exemples P . . . . . "" , montrer que, pour que le produ1t 1nf1n1 | | u, converge, Il est P Il n 1120 nécessaire que la suite (un ),,20 converge vers l. 1. En considérant le quotient Tournez la page S.V.P. l\) 2. 801t (",, )"20 une suite de reels non nuls qu1 converge vers l. a. Montrer qu'il existe un entier naturel no tel que pour tout entier n 2 no, un > O . b. Montrer que les produits infinis nu" et Hun sont de même nature. nZO "ZH... 3. On suppose dans cette question que (un )"20 est une suite de réels strictement positifs. a. Montrer que le produit infini Hun converge si et seulement si la série îlnun converge. n20 n20 b. Montrer que le produit infini H(l + un) converge si et seulement si la série Zu" converge. n20 n20 c. Si, de plus, pour tout entier naturel n on a O1R de période 2% par : Vt EUR [-- n,n], fa (z) = cos(oc t). cost Pour t réel tel que sint # 0, on pose cotant : . . sm t , , . . , . 1 +°° 20c ' 6. Developper fa en ser1e de Fourier et en dedu1re que cotan (om) = -- + ----2--2 . om ,,=1 n(oc -- n ) 7. Soit xE ] O, 7t[, on définit la fonction g sur [D, x] par : 1 g(t) =cotant---- si te ]0, x] et g(0) :o. t a. Montrer que la fonction g est continue sur [O, x] et calculer [ g(t) dt. 0 b. Montrer que pour tout te [O, x], g(t) = 2 t 2 1 2 22° n=1t "'n'": +oo 2 - x sm x , . , , . . c. Montrer que H (1 -- 2 2 ) = et en dedu1re le developpement eulenen de sm x : ,,=1 n Tt x +oo x2 pourtoutxEUR}--n,rt[ :sinx=xH(l-- 2 2). n=l " TE Tournez la page S.V.P. ) (Formule de Wallis). . +°° 1 8. Application : Déterminer H(l-- 4 , n=l Îl-- III. Formule de Weierstrass et constante d'Euler 9. Soit xe ]0,+oe[. a. Montrer que la fonction { 1--9 6" .t""' est intégrable sur ]0, + oo[. +oo --ï On POSEUR, pour XE l0, +°°[, F(x) =J. e .t""' dt (Fonction Gamma d'Euler). 0 b. Calculer F(l) . c. Montrer que la fonction F est dérivable sur ]O,+oo[ et déterminer F'(x) sous forme d'intégrale. 10. Soit la suite de fonctions (f")n21 définies sur ]0, + oo[ par : Vte ]0,n], f,,(r):[1-%) _ Vie ]n,+oo[ , fn(t)=0 a. Montrer que pour tout le ]0, +oo[ : OS f"(t) Se". n --9+oo () n . n [ ;: \.- b. En déduire que, pour tout xe ]O, +oo[ : F(x) : 11m (l------] .t' ' dt. ] --_ 11. On pose pour n entier naturel et pour xe ]O, + oo[ : In (x) : Jo(l -- u)". u" 'du. a. Déterminer, pour n 2 l , une relation entre I,,(x)l et 1,1_1(x+1)- b. En déduire, pour n entiernaturel et pour x e ]0, + oo[, In (x). c. Démontrer la formule de Gauss : v.-\' pour tout xe ]O,+oo[ : F(x)= lim ---;--Ü--lZ------. n-->+oo H (x + k) k=O 12. Application : l +°° x2 a. Montrer ue, our tout xe 0,1 : -------------------- =x l-- ,, . q p ] [ F(x)F(l--.r) g( ] b. Déterminer alors, pour tout x e ] 0, l[ , une expression simple de F(x)F(l -- x) . (Formule des compléments). +00 EUR. En déduire J e*"2 du. 0 . 1 1 b. Pour tout ent1er n 2 1 , on pose vn =1+--+...+-----lnn. 2 n Montrer que la suite (vn )nZ] converge. Sa limite notée y est la constante d'Euler. 14. Démontrer la formule de Weierstrass : 1 +°° x 3-- t t 0, oo : = ' Y'" 1 ---- " . pour ou xe] + [ Î(X) xe H( +nje (Cette formule permet, par un produit infini complexe, de définir la fonction F pour tout ZE(C\(--N)par: 1 =zeYZ (l+£)eÎ ). n=l Î(z) n it:] 15. Application : &. Montrer que, pour tout xe ]0,1] : ". =__--Y+ +oo b. En déduire J e"'. lntdt. () Fin de l'énoncé.

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 CCP Maths 1 MP 2002 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (ENS Cachan) ; il a été relu par Walter Appel (professeur en CPGE) et Éric Ricard (agrégé de mathématiques). Ce sujet comporte un seul problème décomposé en trois parties indépendantes dans une très large mesure. · La première partie permet de démontrer les premiers résultats concernant la théorie des produits infinis. On introduit la notion de convergence au sens de ces produits, puis on cherche des conditions nécessaires et suffisantes pour assurer cette convergence. On n'utilise aucune technique particulière et le candidat peut s'en sortir facilement s'il maîtrise correctement son cours sur les séries. · La deuxième partie utilise un développement en série de Fourier classique afin d'établir une expression de la fonction sinus comme produit infini. Cette partie est calculatoire, la seule subtilité résidant dans la justification de l'interversion d'une limite et d'une intégrale (par exemple en montrant une convergence normale). · La dernière partie introduit la fonction . C'est une intégrale à paramètre très classique mais non moins difficile à étudier pour autant. Si le début de la partie concernant la continuité et la dérivabilité de cette fonction n'est que l'application pénible de résultats de cours, les résultats finaux sont intéressants et justifient qu'on s'y intéresse, quitte à sauter au besoin quelques questions dans la lecture du corrigé. On notera que ce sujet est particulièrement long. Ceci étant, il expose ainsi la plus grande partie des résultats concernant la fonction qui, rappelons-le, est un très grand classique des écrits, toutes écoles confondues. Indications Partie I 1 Remarquer que les suites (Pn )nN et (Pn+1 )nN ont même limite non nulle. 2.b Montrer que les suites des produits partiels sont proportionnelles. 3.b Utiliser la question 1 et l'équivalent ln(1 + t) t. t0 3.c Raisonner comme à la question précédente. 4.c Chercher un développement limité à l'ordre 2 du terme général du produit infini. -1 n n 1 P 1 5 Montrer que 1 - > . k=1 pk k=1 k Partie II 6 Remarquer que la fonction dont on calcule les coefficients de Fourier est paire et continue. 7.a Utiliser les développements limités des fonctions sinus et cosinus. 7.b Utiliser la question 6. 7.c Montrer que la convergence est normale dans l'expression de la question 7.b définissant g comme somme d'une série. Partie III t 9.a Utiliser un équivalent en 0 et montrer que f est négligeable devant t 7 e- 2 en l'infini. 9.c Utiliser le théorème de dérivabilité des intégrales à paramètre. 10.a Utiliser l'inégalité ln(1 + t) 6 t valable pour tout réel t strictement plus grand que -1. 10.b Utiliser le théorème de convergence dominée à l'aide de la question précédente. 11.a Intégrer par parties. n! 11.b Montrer par récurrence : In (x) = . x(x + 1) · · · (x + n) 11.c Établir une relation entre le terme général de la suite dont est la limite à la question 10.b et la fonction In . 12.a Utiliser la question 11.c. 12.b Utiliser la question 7.c. Z + 2 1 12.c Calculer et relier cette valeur à e-u du à l'aide d'un changement 2 0 de variable. 13.a Utiliser un théorème de comparaison série-intégrale. 13.b Relier le terme vn de cette suite aux sommes partielles de la série de la question précédente. 14 Appliquer le logarithme au terme général de la suite dont est la limite et remplacer le terme en ln n par une somme en utilisant la question précédente. 15.a Utiliser l'expression de ln sous la forme de somme d'une série obtenue à la question précédente. 15.b Relier cette intégrale à à l'aide de la question 9.c. I. Généralités et exemples 1 Supposons que le produit infini (Pn )nN converge. Alors, par définition, il existe un réel non nul l tel que : Pn ---- l n On en déduit que : lim n+ 1 1 = Pn l et lim Pn+1 = l n+ La limite du produit de deux suites étant le produit des limites, on a : lim n+ Pn+1 l = lim un+1 = = 1 + n Pn l Par conséquent : Si (Pn )nN converge, la suite (un )nN converge vers 1. 2.a La suite (un )nN tend vers 1. Posons = 1/2. Alors par définition de la convergence : n0 N n N n > n0 = |un - 1| < = 1 2 En particulier, pour un tel n0 : n > n0 = un > 1 >0 2 2.b On sait que pour tout entier n, le réel un est non nul. Par conséquent, on a : n0 -1 c= k=0 uk 6= 0 Il existe donc une constante non nulle c telle que : n n uk = c k=n k=0 n > n0 uk 0 Par conséquent, les deux suites n uk k=0 et nN n k=n uk 0 sont de même n>n0 nature. La définition même de la convergence des produits infinis entraîne que : Les produits infinis 3.a Supposons que la série P uk et k>n k>0 uk sont de même nature. 0 ln un converge. Soient (Sn )nN la suite des sommes n>0 partielles et l sa limite dans R. Alors : ! n ln uk k=0 = n P k=0 ln uk = Sn ---- l n L'exponentielle étant une fonction continue, on en déduit que : n uk = eS k=0 Par conséquent, le produit infini n ---- el 6= 0 n uk converge. k>0 Réciproquement, supposons que le produit infini converge et soit L non nul tel que : n uk = L k=0 lim n+ Les éléments de la suite (un )nN étant tous strictement positifs, on en déduit que si la limite du produit est non nulle, alors elle est strictement positive (ainsi que tous les produits partiels). Par conséquent, on peut appliquer le logarithme à ses éléments. Sachant que la fonction logarithme est continue sur R+ , on a alors : ! n n P Sn = ln(uk ) = ln uk ---- ln L n k=0 k=0 Par conséquent, la série converge. On a donc bien : Le produit uk converge si et seulement si la série k>0 P ln uk converge. k>0 3.b D'après la question précédente, il nous suffit de montrer que si (un )nN est une suite de réels strictement positifs, alors : P P un converge si et seulement si ln(1 + un ) converge. n>0 n>0 Supposons dans un premier temps que la série général tend vers 0 et donc : ln(1 + un ) n+ P un converge. Alors, son terme un Le théorème de comparaison des séries à termes strictement positifs assure alors que les deux séries sont de même nature et donc : P ln(1 + un ) converge. n>0 P Supposons maintenant que la série ln(1 + un ) converge. De la même manière, on en déduit que son terme général ln(1 + un ) tend vers 0 en l'infini. En passant à l'exponentielle qui est une fonction continue, on en déduit que : 1 + un ---- e0 = 1 n Par conséquent, (un )nN tend de nouveau vers 0 et on conclut de même par le théorème de comparaison des séries à terme général strictement positif. En vertu de la question précédente, on a bien ainsi : Le produit (1 + uk ) converge si et seulement si la série k>0 P uk converge. k>0 3.c On a 0 < un < 1 donc 0 < 1 - un < 1. On peut donc considérer la série de terme général ln(1-un). La démonstration est alors strictement identique à celle de la