CCP Maths 1 MP 2001

Thème de l'épreuve Démonstration et utilisation du théorème de Brouwer dans le plan
Principaux outils utilisés convexité, topologie, algèbre bilinéaire

Corrigé

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SESSION 2001 MPOO4 A CONCOURS (OMMUNS POlYTECHNIOUES ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP MATHÉMATIQUES 1 DURÉE : 4 heures Les calculatrices ne sont pas autorisées. Après une première partie consacrée à l'étude de la projection sur les convexes fermés de R" on ; ° \ 2 , \ . ! etablrra (dans lP*--. ) le theoreme du pornt fixe de Brouwer et quelques unes de ses consequences. On suppose que PE." est muni de son produit scalaire canonique et de la norme associée, notés ( | ) n et || , donc si x=(xl,...,xn) et y=(yl,...,yn) sont des éléments de R" on a: (xly)=îxiyi et i=l 1/2 . . ° . , . . . Hxll =(xlx) . SI X est une part1e de R" on notera X son interieur, 501t f:X --->R" on dira que a E X est un point fixe de f si f (a) =u ; si ie {l,...,n},f,-- désigne la composante de rang i de f, donc: f(x) : (fi(....r),,fl(x),......,f,,(r)) I. Proiection sur un convexe fermé de R" 2 1. Démontrer que si (x, y) EUR(ÎÊ'." , on a: |(xly)l Sl|xll "y" (inégalité de Schwarz). Montrer que '(fly)l = "X! | bic et ||a--bll=lla--cl si et seulement si x et y sont colinéaires. Montrer que si {a,b,c} CR" vérifie : yl b+c 2 0. Soit alors 5:[0,1]-->R définie par: 3( (t)(x))=l|(x--P )--t (--y P(.\ ))l.l Montrer qu'il existe te]0,l[ tel que: >< llx-- P< ()II2 6. Déduire de 4. et 5. que u : P(x) si et seulement si: u EA et (x--uly--u)SO pour tout y EUR A. 7. Soit {x, y} c: R" montrer que : (x-- y|P(x) --- P(y)) 2 HP(x) -- P( y)"2 . En déduire que P vérifie les propriétés suivantes : P est continue, P (R") = A, P(x) : x si x E A. 8. Montrer que si x e A, alors P(x) & A (raisonner par l'absurde en supposant qu'il existe une boule de centre P(x) , de rayon strictement positif, incluse dans A). Il. Théorème de Brouwer dans R2 Pour toute la suite du problème, on se place dans È...2 ; si r > O, B(O, r) désigne le disque fermé de centre O et de rayon r et S(O,r) le cercle correspondant, on note B =B(O,l) et S = 5 (0,1). On entend par application dérivable (ou C1 ou C2) de B (ou de B >< R) dans R2 (ou R), la restriction \ \ , ° - ; - / ° ° 2 3 a B (ou a B >< R) d une application derrvable (ou C1 ou C2) def1me sur un ouvert de R (ou R ), ' \ ') contenant B (ou B >< l"«zf...), a valeurs dans lPl" (ou F). A: Cas particulier d'une application de classe C2 Soit f:B --> lPlZ, on suppose que f est de classe C2 et que f(B) c B et on se propose de montrer que f possède au moins un point fixe. On va raisonner par l'absurde et supposer que : f(x) # x pour tout x E B. ... 9. Montrer qu'il existe p:B --->R,, unique, telle que: x+p(x)(x-- f(x))eS pour tout xe B. Expliciter p, montrer qu'elle est de classe C2 et que p(x) = 0 si et seulement si x E S . On 80(j aXi pose : oc(x) : p(x)(x--f(x)) et 0t,--j(x) : (x) pour tout (i,j)e {1,2}2 et (p(x) : x+0t(x). "%) Y----(Pl(x> 8 . ., . 10. Montrer que, pour tout x E B, la matrice âË_'2 8(Ëî est smguhere (on pourra, a cet 8x1 --( ) % ------ lPY définie par : J(t) : HB w(x,t)dxldx2 . Justifier l'existence de J et calculer J(O) et J(1). c) Montrer, grâce au théorème de Fubini que "B B(x)dxldx2 : 0. (1) Soit g:B --9 P2 de classe C 2 . 8g__L< x)a--82( a81( x)---a----82( SÛIÔHÏ Il(g J...B ax1X)(ax2X)dxldX2 , 12(g)=JJB'--(ax2X)ax1X)XmdX2. Montrer que : zl=JÏ.'lg,(m,3)ä(mi)_glt )Ê--82( Jr--îs)lds-- JJ,gl @ & (x)dxidXz 8x2 8x2 8x18x2 2 On obtient alors, de façon analogue : zz=flatfl)ô--ëtfi>--gla--gz ...-- >lds--u , 8x1 8x1 )dx28xl (x)dx 1dx2 Montrer que: HB'y(x)dxldx2 :O et donc, que J est constante; montrer que ceci est impossible. 0 ° ; / / \ ° ° ' ° 2 On a a1ns1 demontre le theoreme de Brouwer part1cul1er : toute application de classe C , de B dans B, a au moins un point fixe. Tournez la page S.V.P. B. Forme générale du théorème de Brouwer On admettra la généralisation suivante du théorème de Weierstrass : soit F un fermé borné non v1de de R , son g:F ---> F:. SI g est continue, il ex1ste, pour tout 8 > 0, une apphcat10n g... de R2 dans Ê', de classe C2 , telle que : sup{|g(e)(x) -- g(x)l:x & F} S 8 . 12. Montrer que si F est un fermé borné non vide de R2, et si :F --> R2 est continue, il existe, 8 pour tout £>O une application g... de R2 dans R2, de classe C2, telle que: sup{Hg(e)(x) -- g(x)ll:x EUR F} S 8 . 13. Soit f 18 ----> B , f continue. Soit 8 > 0, il existe, d'après 12. une application f... de R2 dans f(g)(X)--f(x)":x & B}S e. S . [1 © 3132 _f(8)(X) . Olt (£)--£a"... '--).'-.--'... , h(8)(.X) " 1+8 . MOHÏÏEURÏ que h(8)(B) C B et que . R2, de classe C2, telle que : SUP{l 14. Montrer que si f : B --> B est continue, elle possède au moins un point fixe. 15. Soit r > 0, soit f :Ë(O, r) ---> _Ë(O, r), montrer que si fest continue elle possède au moins un . . . l pomt fixe (cons1dérer g: B --> R2, g(x) : ;-- f (rx) ). 16. Soit A un convexe fermé borné non vide de R2, soit f :A -->R2, f continue telle que: f(A\Â)CA. a) Montrer qu'il existe r > 0 tel que : A U f(A) <: _Ë(O, r). b) On associe au convexe fermé non vide A la projection P, comme cela a été défini en question 3. Soit alors h : B(O,r) --> lPÎ2 définie par h(x) : f (P(x)) Déduire de l'étude de h que f possède au moins un point fixe dans A. On a donc le théorème de Brouwer général : si A est un convexe fermé borné non vide de R2, et si f :A -->R2 est continue et vérifie : f ( A \ A) c A , alors f possède au moins un point fixe dans A. III. Quelgues conséquences du théorème de Brouwer 17. 18. 19. 20. Soit f :B --> S , telle que : f(x) = x pour tout x E S. Montrer, en étudiant (-- f) , que f ne peut être continue (ceci constitue le théorème de non rétraction). Soit f:B-->lP-î2 telle que : f continue et f(x)=x pour tout xeS. Soit alors y6£f(B) , _y___--f(x ) "Y f(x montrer, en étudiant g : B ----> lPä2 définie par: gx)( ,que y & B. En déduire que : Bcf(B). Soit h:S >< [0,1] --> S telle que : h continue et h(x,0) : x pour tout x & S . Supposons qu'il existe y E S tel que : h(x,l)= y pour tout x e S ; soit alors f, de B dans S, définie par : ()[=||Î|| """... si x7£ 0. y si x= 0 Montrer que f est continue et que cela contredit le théorème de non rétraction ; en déduire que (x ----> h(x,l)) ne peut être constante (on dit que S n'est pas contractile). Soit : È'...2---->JË2 telle que: f continue, (f(x)|x)20 pour tout xeR2, ||f(X)II----|W+oe. Soit yelPä.ï soit r>O, on définit, si yOE f OE(Û,r)), l'application y-- __f__ g(,.): Ë(O,Ï)--)Ëî2 par: g(l')x (X ): Ï--î_--||yf (x)--|| a) Montrer qu'il existe u... & S (O,r) tel que l'on ait : {f(u...) a...) = (y la...) -- r b) Montrer que f(R2) = lÊ12. Y " f ("o-->)ll Fin de l'énoncé.

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 CCP Maths 1 MP 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Yacine Dolivet (ENS Ulm) ; il a été relu par Thomas Chomette (ENS Ulm) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan). Dans ce sujet on se propose de démontrer la version 2-dimensionnelle du fameux théorème de Brouwer qui affirme que toute application continue d'un convexe compact dans lui-même possède au moins un point fixe. Dans une première partie assez classique, on établit l'existence et les propriétés de la projection sur les convexes. On aborde ensuite la démonstration proprement dite du théorème. La démarche adoptée consiste à étudier d'abord le cas des fonctions C 2 , puis à étendre l'existence d'un point fixe par densité à toutes les fonctions continues. Dans une dernière partie enfin, on établit quelques conséquences intéressantes du théorème ; plusieurs d'entre elles sont des exercices classiques dans l'esprit de ce qui pourrait tomber à l'oral. Il est donc judicieux d'assimiler les idées développées ici. Outre le fait que le théorème de Brouwer semble devenir un thème à la mode, ce sujet, complet, fait de plus intervenir beaucoup de techniques classiques d'algèbre bilinéaire, d'analyse et de topologie. Bref, c'est un bon entraînement. Indications Mise en garde : pour les questions 5 et 8, la résolution proposée ici s'écarte des suggestions de l'énoncé dans le seul souci pédagogique de mieux mettre en valeur les arguments à utiliser, qui restent les mêmes de toute façon. Partie I 1 Écrire l'identité du parallélogramme. 2 Quand F est compact dx : y 7 kx - yk possède un minimum sur F. 4 Développer k(x - ) + ( - y)k2 et comparer à kx - k2 . 5 Développer kx - (ty + (1 - t)P(x))k2 > kx - P(x)k2 et comparer à kx - P(x)k2 . 7 Écrire x - y = (x - P(x)) + (P(x) - P(y)) + (P(y) - y) . 8 Pour tout x0 dans le segment [ x ; P(x) ], on a kx - x0 k = kx - P(x)k - kx0 - P(x)k Partie II 9 Montrer que le discriminant de l'équation du second degré en , kx + (x - f (x))k2 = 1 est strictement positif. D'autre part, la fonction racine est C sur R+ . 10 Différencier la relation k(x)k = 1 et en déduire que l'image de la matrice jacobienne de est incluse dans l'orthogonal de (x) . 11.a (x, 1) est la matrice étudiée dans la question précédente. 11.c s'annule sur le cercle ! 11.d Que vaut sur le cercle ? Et que dire de la constance de J d'après la question 11.b ? 1 f+ f et utiliser l'inégalité triangulaire. 13 Écrire f = 1+ 1+ 14 Considérer une suite (xn ) constituée de points fixes de h1/n , montrer qu'elle a une valeur d'adhérence et montrer que celle-ci est point fixe de f . 16.b Prouver que h a un point fixe et montrer que celui-ci ne peut se trouver que dans A. Partie III 19 Montrer que h est uniformément continue. 20.a Montrer que g(r) a un point fixe, et multiplier la relation g(r) (u(r) ) = u(r) par u(r) . 20.b D'après la question d'avant (y|u(r) ) > r ky - f (u(r) )k. Utiliser alors l'inégalité de Schwarz à gauche et l'inégalité triangulaire à droite. I. Projection sur un convexe fermé de Rn 1 La première partie de cette question fait directement appel au cours, on redonne rapidement la démonstration. Soient deux vecteurs x et y. Alors pour tout t R on a kx + t yk > 0, d'où, en prenant le carré et en développant kyk2 t2 + 2 (x | y) t + kxk2 > 0 Or, un polynôme du second degré en t ne peut être toujours positif que si son discriminant (réduit) est négatif ou nul, ce qui s'écrit 2 (x | y) 6 kxk2 kyk2 D'où, en prenant la racine de cette inégalité (inégalité de Schwarz) | (x | y) | 6 kxk kyk Dans le cas d'égalité, le discriminant s'annule et donc il existe une racine double t0 vérifiant kx + t0 yk = 0. Les deux vecteurs sont alors colinéaires. Pour montrer l'inégalité demandée, on se sert de la relation du parallélogramme ! w w2 w b + cw 2 2 2 w w kb - ak + kc - ak = 2 wa - + kb - ck 2 w D'où, avec les hypothèses de l'énoncé w w2 w b + cw w + kb - ck2 kb - ak2 = w a - w 2 w w2 w w b + cw w w > wa - 2 w z v u w kwk2 + kz k2 = 2(kuk2 + kv k2) 1 1 avec u = (w + z) et v = (w - z) . En prenant w = b - a et z = c - a, 2 2 on obtient la forme de la propriété du parallélogramme utilisée juste avant. Notons enfin qu'on aurait pu aboutir au résultat sans connaître cette relation. En effet, avec les hypothèses, si jamais a - b et a - c sont colinéaires, alors, puisqu'ils sont de même norme et que b 6= c, on a a =(b + c)/2 et l'inégalité est vraie, et s'ils ne le sont pas, l'inégalité de Schwarz écrite pour a - b et a - c est stricte. Alors, en élevant au carré l'inégalité suivante w w w w wa - b + c w = 1 k(a - b) + (a - c)k 6 1 (ka - bk + ka - ck) w 2 w 2 2 et en utilisant cette inégalité stricte de Schwarz, on obtient le résultat. 2 Ce qu'on cherche à montrer, c'est que la distance à un fermé de Rn est toujours atteinte. Soient x Rn et F un fermé non vide de Rn . Considérons dx : y 7 kx - yk l'application distance au point x définie sur Rn ; elle est continue. Si F est borné, sa restriction dx au compact F (on rappelle que dans Rn les fermés bornés sont F exactement les compacts), admet un minimum qui est atteint en un certain u F. Si F n'est plus borné, on choisit y0 dans F (F est non vide). On note d = kx - y0 k et B = B(x, d) la boule fermée centrée en x de rayon d. Alors F B étant compact et d'après ce qui vient d'être dit, il existe u F B minimisant dx et en FB particulier kx - y0 k > kx - uk. Mais alors, pour tout y F, · soit kx - yk 6 kx - y0 k alors y B et donc kx - yk > kx - uk, · soit kx - yk > kx - y0 k > kx - uk de toute façon. Ainsi y F u F kx - yk > kx - uk 3 Soit A un convexe fermé non vide. La question précédente établit l'existence de u. Il ne nous reste alors plus qu'à montrer qu'il est unique pour la propriété demandée. Considérons donc un autre v A vérifiant la même chose. On a donc bien sûr kx - uk > kx - vk et kx - vk > kx - uk, autrement dit kx - uk = kx - vk w w w u + vw w w < kx - uk d'après la À présent, si on avait u 6= v, on aurait wx - 2 w u+v question 1. Mais ceci est absurde puisque A étant convexe, est dans A et donc 2 w w w w u + v w nécessairement w wx - 2 w > kx - uk. La meilleure façon de montrer l'importance de l'hypothèse de convexité est de considérer le cas où A est un cercle (non réduit à un point). Alors pour x son centre, u ne pourrait pas être moins unique puisqu'ici tous les élements de A sont équidistants de x ! 4 Considérons A satisfaisant les hypothèses de l'énoncé et prenons y quelconque dans A. Alors on a kx - yk2 = k(x - ) + ( - y)k2 = kx - k2 + k - yk2 - 2 (x - | y - ) kx - yk2 > kx - k2 puisque tous les autres termes du membre de droite sont positifs selon l'hypothèse.