CCP Maths 1 MP 2000

Thème de l'épreuve Résolution d'une équation fonctionnelle
Principaux outils utilisés convergence uniforme, espaces vectoriels normés, intégration

Corrigé

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SESSION 2000 A CONCOURS (0IllllN$ ÏOLYÎECIINIOIIES ÉPREUVE SPÉCIFIOUE-FILIÈRE MP MATHÉMATIQUES 1 DURÉE : 4 heures Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la circulaire n° 99-018 du 01.02.99. Le problème proposé a pour but la démonstration d'un théorème relatif aux contractions d'un espace de Banach et l'étude, grâce à ce théorème, d'une équation fonctionnelle. Si X et Y sont des ensembles, YX désigne l'ensemble des applications de X dans Y. Si X est un ensemble non vide, JV... désigne la norme de la convergence uniforme sur l'espace vectoriel des applications bornées de X dans R : L lÇ, (f ) : sup({l f (x)l:x EUR X }) I. Convergence uniforme dans C([O,I],R) Soit (fn) N une suite de Cauchy, pour JlÇ, , de C([O,I],R). "EUR 1. Montrer que, pour tout x EUR [0,1], (f,,(x)) (fn )ne NC "eN converge. Soit f la limite simple de la suite 2. Montrer que f est bornée et que JV,, ( fn -- f ) --> O. H-->+°° 3. Justifier que (C([O,I],R), M,) est un espace de Banach. 4. Soit (un) N la suite de C([O,l], R) définie par: un(x) : ex" pour tout x EUR [0,1]. "EUR Montrer que, pour tout x E [0,1], (un(x)) converge. La suite (un) pour JV,, ? N est-elle de Cauchy neN ne X 5. Soit (vn) e'"dt pour tout xe [0,1]. ne N la suite de C([O,I], R) définie par : v,,(x) = --l0 Montrer que (V,, )ne N converge uniformément sur [0,1] vers un élément v de C ([0,1], R). Tournez la page S.V.P. Il. Théorème du point fixe de Banach Soit (E, | ") un espace de Banach réel, soit A un sous--ensemble fermé non vide de E et soit T e AA vérifiant : il existe oc & [O,l[ tel que "T(x) -- T(y)ll S oclix ---- y" pour tout (x,y) & A2 (on dit que T est contractante ou encore que T est une contraction). 1. Soit (x, y) e A2 tel que : T(x) : x, T(y) : y. Montrer que x = y. 2. Soit a e A, on définit (a,,)neN par: ao : a, a,... : T(an). 2.1 Montrer que: Ha,... --a,, Soc"llal --aOH. En déduire que si (n,p)e NXN* on a: Siia1_Oii£îôan+i) an+p _ an 2.2 Montrer que (an) est convergente et que sa limite est élément de A. l'IGN 2.3 Montrer que T possède un unique point fixe qui est la limite de (an )ne N. On établit ainsi le théorème du point fixe de Banach « Toute contraction T d'un fermé non vide A d'un espace de Banach possède un point fixe unique, de plus si a e A, la suite (a,, )ne N def1me par ao : a, an +1 : T(a,,) , converge vers ce pornt fixe ». 3. On suppose que A = E , soit alors, U & EE définie par: U(x) : x+ T(x) . 3.1 Montrer que U est une bijection continue de E sur E. 3.2 Montrer que, pour tout (x,y)e E2 on a: "U"(x)--U_l(y)ns(l--0c)_lux--yH (U est donc un homéomorphisme de E sur E). 4. Soit °f(E) : {V & EE:(V linéaire) et (V continue)}, on note encore "VII : sup({llV(x)" : "xl! E l}) la norme subordonnée de V (V EUR °Ü(E )) ; soit [ l'identité de E. 4.1 Soit V EUR J(E ) telle que HVH < 1, montrer que Vest contractante. 4.2 Soit (v,) IIVH<1, UV,--VH --> @. II--)+°° une suite de J(E) et soit V & J(E) tels que : "V,," < 1 pour tout n eN, neN Soit y e E alors, d'après 3. I+Vn et I+V sont des isomorphismes de E; on peut donc définir (xn )HEN= ((I+Vn)_l(y)) et x= (I+V)"'(y), montrer que: neN llxn--xll --> 0 n---->+00 (on aura intérêt à écrire : V(x) -- V,, (x") = (V(x) -- V,, (x)) + (v,, (x - xn )) ). III. Etude d'une transformation de l'ensemble C ([0,1], R). Soit (p:[0,1]X[0,1]XR--> R, on dira que (p est de type % si : (p est continue et, il existe r e R + tel que l'on ait : |< [0,1] >< Rx R. 1. Montrer que s'il existe ('P,M)e C'(R3,R)>R'°" par: 1 (T.p (a))(x) = ]0 C([0,l],R) par: 5 (u) = u+ 1 T (14) . ( À) ( 0, montrer que l'on a : >\. EUR ]-- 7,:{=> 5(R définie par: (p(x,y,z) = u(x,y)z ; on supposera p. : 0. 3.1 Montrer que (p est de type % et que si X e]--1/Mæ (u),1//Væ (u)[, on &: 5( 0. On note " "... n--)+°° la norme subordonnée, associée à M,, définie sur J(C([O,l], R)). Si ((pn) N est la ne suite de C([O,1]X[O,I]XR,R) définie par (p,,(x,y,z)=tt,,(x,y)z montrer que: HTfl--TwHw _) o. n--)+oo IV. Etude d'une application 1 On considère l'équation intégrale de Fredholm : (E) w(x) : x + Je sin(xy) w(y)dy . Une solution de (E) (s'il en existe) est donc un élément w de R"... tel que, pour tout x EUR [0,1], on 1 ait : w(x) : x+_[0 sin(xy)w(y)dy. On s'intéresse à la résolution de (E) dans C([O,l], R). 1. Montrer, en utilisant III) que (E) possède une solution unique w & C ([0,1], R). (_ 1)i+l 2. Soit, (vn) (Zi--l)! (xy)2i--l . n N, la suite de C([0,1]2 , R) définie par : v,, (x, y) = 2 i=l ne * 1 Pour n E N on définit l'équation intégrale (E,) par: W" (x) = x + J0vn (x, y) W,, (y)dy . 2.1 Montrer que (E 1) possède une solution unique w1 & C([0,1],R) et expliciter w1 . 2.2 Montrer que, pour tout n 22, la résolution de (En) se ramène à celle d'un système linéaire que l'on explicitera. 2.3 Montrer, en utilisant III.3) que, si n22, (En) possède une solution unique wn eC([O,1],R). (on aura intérêt à montrer que: --le]---- 1/J1Ç, (v,,),1/JV..., (v,,)[ sin22). 2.4 Montrer que JiÇ,(wn -- w) --> O. n--)+°° Fin de l'énoncé

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 CCP Maths 1 MP 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guilhem Bichot (Mines de Paris) ; il a été relu par Lionel Eyraud (ENS Lyon) et Brice Goglin (ENS Lyon). L'épreuve se compose d'un seul problème, en quatre parties, consacré à l'analyse. La première partie montre la complétude de C ([ 0 ; 1 ] , R) muni de la norme uniforme. La deuxième partie établit le théorème du point fixe de Banach. Dans la troisième partie, on étudie une transformation définie par une intégrale. Enfin la dernière partie applique les résultats des trois premières à une équation fonctionnelle. Ce problème est assez difficile et requiert une bonne maîtrise de l'analyse dans les espaces de Banach et des grands théorèmes de l'analyse (convergence monotone et dominée). Indications I.1 Montrer que (fn (x)) est de Cauchy, pour cela, utiliser la propriété kfn+p (x) - fn (x)k 6 N (fn+p - fn ). I.2 Écrire que fn est de Cauchy, puis fixer x et n, et faire tendre p vers l'infini. I.3 Utiliser la question I.2. I.4 Pour montrer que (un ) n'est pas de Cauchy pour N , raisonner par l'absurde et remarquer que la limite simple de (un ) n'est pas continue. I.5 Pour la convergence simple, utiliser le théorème de convergence dominée. Pour la convergence uniforme, étudier la monotonie de vn - v. II.2.1 Pour la première inégalité, raisonner par récurrence sur n. Pour la deuxième, écrire an+p -an comme une somme de p termes et utiliser la première inégalité. II.2.2 Montrer que (an ) est de Cauchy en utilisant la question II.2.1. Pour prouver que la limite est dans A, remarquer que A est fermé. II.2.3 Pour l'existence, utiliser la question II.2.2 et passer à la limite dans an+1 = T(an ). Pour l'unicité, utiliser la question II.1. II.3.1 Pour la continuité, remarquer que T est lipschitzienne. Pour la bijectivité, se ramener à un problème de point fixe et utiliser la question II.2.3. II.3.2 Commencer par minorer kU(u) - U(v)k. x-y II.4.1 Si x 6= y, considérer . kx - yk II.4.2 Remarquer que (I + Vn )(xn ) = (I + V)(x) et utiliser l'indication fournie par l'énoncé. III.1 Utiliser l'inégalité des accroissements finis. III.2.2 Pour montrer que T (u) est continue, utiliser le théorème de continuité des intégrales à paramètre. III.2.4 Utiliser la question II.3.2. 2 III.3.1 Pour montrer que est de type U, utiliser que µ est bornée sur [ 0 ; 1 ] . Pour démontrer l'isomorphisme, utiliser la question III.2.4. IV.1 Faire apparaître S(,-1) pour bien choisie et utiliser la question III.3.1. IV.2.1 Écrire (E1 ) et remarquer que w1 est nécessairement de la forme a x. Puis réinjecter. IV.2.2 Écrire (En ) et remarquer que wn est nécessairement de la forme n P a2i-1 x2i-1 . Réinjecter pour trouver le système satisfait par les a2i-1 . i=1 IV.2.3 Pour montrer que N (vn ) < 1, écrire vn (x, y) - sin xy comme reste d'une série alternée. Ensuite, utiliser la question III.3.1. IV.2.4 Utiliser la question II.4.2 (en vérifiant ses hypothèses grâce aux questions III.2.3, III.3.1, III.3.2). I. Convergence uniforme dans C ([ 0 ; 1 ] , R) I.1 L'énoncé munit implicitement C ([ 0 ; 1 ] , R) de la norme N , ce qui est possible car toute fonction continue sur un compact est bornée, et [ 0 ; 1 ] est compact. Soient x [ 0 ; 1 ] et > 0. (fn ) est de Cauchy pour N : N n > N p N (fn+p - fn ) 6 Soit N ainsi choisi. On a alors n > N p kfn+p (x) - fn (x)k 6 N (fn+p - fn ) 6 Nous venons donc de prouver que > 0 N n > N p kfn+p (x) - fn (x)k 6 c'est-à-dire que (fn (x)) est de Cauchy, et donc converge, R étant complet. Pour tout x [ 0 ; 1 ], (fn (x)) converge. I.2.a Montrons que f est bornée. (fn ) est de Cauchy pour N : en choisissant = 1, on a N n > N p N (fn+p - fn ) 6 1 Soient N ainsi choisi, n = N, et x [ 0 ; 1 ]. Alors p kfN+p (x) - fN (x)k 6 N (fN+p - fN ) 6 1 En faisant tendre p vers l'infini, kf (x) - fN (x)k 6 1 d'où, par inégalité triangulaire kf (x)k 6 kfN (x)k + 1 d'où enfin kf (x)k 6 N (fN ) + 1 Comme ceci est vrai pour tout x [ 0 ; 1 ], f est bornée sur [ 0 ; 1 ]. Il faut connaître les deux énoncés équivalents de l'inégalité triangulaire : (i) (x, y) E2 , (ii) (x, y) E2 , kx + yk 6 kxk + kyk kx - yk > | kxk - kyk | I.2.b Montrons que N (fn - f ) ---- 0. n Soit > 0. (fn ) est de Cauchy pour N : N n > N p N (fn+p - fn ) 6 Soient N ainsi choisi, n > N, et x [ 0 ; 1 ]. Alors p kfn+p (x) - fn (x)k 6 N (fn+p - fn ) 6 En faisant tendre p vers l'infini, kf (x) - fn (x)k 6 Comme ceci est vrai pour tout x [ 0 ; 1 ], N (f - fn ) 6 Nous venons donc de prouver que > 0 N c'est-à-dire que n > N N (f - fn ) 6 N (f - fn ) ---- 0 n I.3 Un espace de Banach est, par définition, un espace vectoriel normé complet. Nous devons donc montrer que C ([ 0 ; 1 ] , R) muni de N est complet. Soit (fn ) une suite de C ([ 0 ; 1 ] , R), de Cauchy pour N . On applique le résultat de la question I.2 : (fn ) converge uniformément sur [ 0 ; 1 ] vers une fonction f . Il ne reste plus qu'à montrer que f est continue : f est continue car elle est limite uniforme de la suite des fn qui sont toutes continues. C ([ 0 ; 1 ] , R) muni de N est un espace de Banach. I.4.a Montrons que (un (x)) converge pour tout x [ 0 ; 1 ]. Soit x [ 0 ; 1 ]. ­ Si x < 1, alors xn ---- 0, donc par continuité de l'exponentielle, n un (x) ---- e0 = 1 n ­ Si x = 1, alors pour tout n, 1n = 1 et un (1) = e1 = e. Ainsi, la suite (un ) converge simplement vers la fonction u : [ 0 ; 1 ] R définie par u(x) = ( 1 si x < 1 e si x = 1