CCINP Maths 1 MP 2000

SESSION 2000

A

CONCOURS (0IllllN$ ÏOLYÎECIINIOIIES

ÉPREUVE SPÉCIFIOUE-FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 1

DURÉE : 4 heures

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous 
réserve des conditions
définies dans la circulaire n° 99-018 du 01.02.99.

Le problème proposé a pour but la démonstration d'un théorème relatif aux 
contractions d'un
espace de Banach et l'étude, grâce à ce théorème, d'une équation fonctionnelle.

Si X et Y sont des ensembles, YX désigne l'ensemble des applications de X dans 
Y.
Si X est un ensemble non vide, JV... désigne la norme de la convergence 
uniforme sur l'espace

vectoriel des applications bornées de X dans R : L lÇ, (f ) : sup({l f (x)l:x 
EUR X })

I. Convergence uniforme dans C([O,I],R)

Soit (fn) N une suite de Cauchy, pour JlÇ, , de C([O,I],R).

"EUR

1. Montrer que, pour tout x EUR [0,1], (f,,(x))
(fn )ne NC

"eN converge. Soit f la limite simple de la suite

2. Montrer que f est bornée et que JV,, ( fn -- f ) --> O.

H-->+°°

3. Justifier que (C([O,I],R), M,) est un espace de Banach.

4. Soit (un) N la suite de C([O,l], R) définie par: un(x) : ex" pour tout x EUR 
[0,1].

"EUR
Montrer que, pour tout x E [0,1], (un(x)) converge. La suite (un)

pour JV,, ?

N est-elle de Cauchy

neN ne

X

5. Soit (vn) e'"dt pour tout xe [0,1].

ne

N la suite de C([O,I], R) définie par : v,,(x) = --l0

Montrer que (V,, )ne N converge uniformément sur [0,1] vers un élément v de C 
([0,1], R).

Tournez la page S.V.P.

Il. Théorème du point fixe de Banach

Soit (E,

| ") un espace de Banach réel, soit A un sous--ensemble fermé non vide de E et 
soit T e AA

vérifiant : il existe oc & [O,l[ tel que "T(x) -- T(y)ll S oclix ---- y" pour 
tout (x,y) & A2 (on dit que T est
contractante ou encore que T est une contraction).

1. Soit (x, y) e A2 tel que : T(x) : x, T(y) : y. Montrer que x = y.

2. Soit a e A, on définit (a,,)neN par: ao : a, a,... : T(an).

2.1 Montrer que: Ha,... --a,, Soc"llal --aOH. En déduire que si (n,p)e NXN* on 
a:

Siia1_Oii£îôan+i)

an+p _ an

2.2 Montrer que (an) est convergente et que sa limite est élément de A.

l'IGN

2.3 Montrer que T possède un unique point fixe qui est la limite de (an )ne N. 
On établit

ainsi le théorème du point fixe de Banach « Toute contraction T d'un fermé non 
vide A
d'un espace de Banach possède un point fixe unique, de plus si a e A, la suite

(a,, )ne N def1me par ao : a, an +1 : T(a,,) , converge vers ce pornt fixe ».

3. On suppose que A = E , soit alors, U & EE définie par: U(x) : x+ T(x) .

3.1 Montrer que U est une bijection continue de E sur E.

3.2 Montrer que, pour tout (x,y)e E2 on a: "U"(x)--U_l(y)ns(l--0c)_lux--yH (U 
est
donc un homéomorphisme de E sur E).

4. Soit °f(E) : {V & EE:(V linéaire) et (V continue)}, on note encore "VII : 
sup({llV(x)" : "xl! E l})
la norme subordonnée de V (V EUR °Ü(E )) ; soit [ l'identité de E.

4.1 Soit V EUR J(E ) telle que HVH < 1, montrer que Vest contractante. 4.2 Soit (v,) IIVH<1, UV,--VH --> @.

II--)+°°

une suite de J(E) et soit V & J(E) tels que : "V,," < 1 pour tout n eN, neN Soit y e E alors, d'après 3. I+Vn et I+V sont des isomorphismes de E; on peut donc définir (xn )HEN= ((I+Vn)_l(y)) et x= (I+V)"'(y), montrer que: neN llxn--xll --> 0
n---->+00

(on aura intérêt à écrire : V(x) -- V,, (x") = (V(x) -- V,, (x)) + (v,, (x - xn 
)) ).

III. Etude d'une transformation de l'ensemble C ([0,1], R).

Soit (p:[0,1]X[0,1]XR--> R, on dira que (p est de type % si :

(p est continue et, il existe r e R + tel que l'on ait :
|< [0,1] >< Rx R. 1. Montrer que s'il existe ('P,M)e C'(R3,R)>R'°" par:
1

(T.p (a))(x) = ]0 C([0,l],R) par: 5 (u) = u+ 1 T 
(14) .
( À) ( 0, montrer que l'on a : >\. EUR ]-- 7,:{=> 5(R définie par: (p(x,y,z) = 
u(x,y)z ; on
supposera p. : 0.

3.1 Montrer que (p est de type % et que si X e]--1/Mæ (u),1//Væ (u)[, on &: 
5( 0. On 
note " "...
n--)+°°

la norme subordonnée, associée à M,, définie sur J(C([O,l], R)). Si ((pn) N est 
la

ne

suite de C([O,1]X[O,I]XR,R) définie par (p,,(x,y,z)=tt,,(x,y)z montrer que:
HTfl--TwHw _) o.

n--)+oo

IV. Etude d'une application

1

On considère l'équation intégrale de Fredholm : (E) w(x) : x + Je sin(xy) 
w(y)dy .

Une solution de (E) (s'il en existe) est donc un élément w de R"... tel que, 
pour tout x EUR [0,1], on

1
ait : w(x) : x+_[0 sin(xy)w(y)dy. On s'intéresse à la résolution de (E) dans 
C([O,l], R).

1. Montrer, en utilisant III) que (E) possède une solution unique w & C ([0,1], 
R).

(_ 1)i+l

2. Soit, (vn) (Zi--l)!

(xy)2i--l .

n
N, la suite de C([0,1]2 , R) définie par : v,, (x, y) = 2
i=l

ne

* 1
Pour n E N on définit l'équation intégrale (E,) par: W" (x) = x + J0vn (x, y) 
W,, (y)dy .

2.1 Montrer que (E 1) possède une solution unique w1 & C([0,1],R) et expliciter 
w1 .

2.2 Montrer que, pour tout n 22, la résolution de (En) se ramène à celle d'un 
système
linéaire que l'on explicitera.

2.3 Montrer, en utilisant III.3) que, si n22, (En) possède une solution unique

wn eC([O,1],R). (on aura intérêt à montrer que: --le]---- 1/J1Ç, (v,,),1/JV..., 
(v,,)[
sin22).

2.4 Montrer que JiÇ,(wn -- w) --> O.

n--)+°°
Fin de l'énoncé