MP ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE OPTION INFORMATIQUE CONCOURS D'ADMISSION 2008 COMPOSITION D'INFORMATIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. Le langage de programmation choisi par le candidat doit être spécifié en tête de la copie. Structure de corde La majorité des langages de programmation fournissent une notion primitive de chaînes de caractères. Si ces chaînes s'avèrent adaptées à la manipulation de mots ou de textes relativement courts, elles deviennent généralement inutilisables sur de très grands textes. L'une des raisons de cette inefficacité est la duplication d'un trop grand nombre de caractères lors des opérations de concaténation ou d'extraction d'une sous-chaîne. Or il existe des domaines où la manipulation efficace de grandes chaînes de caractères est essentielle (représentation du génôme en bio-informatique, éditeurs de texte, etc.). Ce problème aborde une alternative à la notion usuelle de chaîne de caractères connue sous le nom de corde. Une corde est tout simplement un arbre binaire, dont les feuilles sont des chaînes de caractères usuelles et dont les noeuds internes représentent des concaténations. Ainsi la corde représente le mot GATTACCATAGATTAC, obtenu par concaténation des cinq mots GATTAC, CAT, AG, ATT et AC. L'intérêt des cordes est d'offrir une concaténation immédiate et un partage possible de caractères entre plusieurs chaînes, au prix d'un accès aux caractères un peu plus coûteux. La partie I traite de fonctions préliminaires sur les mots. La partie II définit les principales opérations sur les cordes. Enfin, les parties III et IV étudient le problème de l'équilibrage des cordes, selon deux algorithmes différents dont le second, l'algorithme de Garsia-Wachs, est optimal. Les parties peuvent être traitées indépendamment. La partie IV utilise les notations de la partie III. Partie I. Préliminaires sur les mots On considère les mots dans construits sur un alphabet . Le mot x = a0 a1 · · · an-1 de longueur n est représenté dans ce problème par la liste des entiers codant ses caractères a0 , a1 , . . . an-1 . Ainsi le mot ATT est représenté par une liste h65, 84, 84i. Pour ne pas dépendre du codage des caractères, on identifie les caractères et leurs codes. Le type des mots est défini par : 1 (* Caml *) type mot == int list ; ; { Pascal } type mot = ^cellule ; cellule = record lettre : integer ; suite : mot ; end ; En Pascal la liste vide est nil et on pourra utiliser la fonction suivante pour construire des mots : function nouveauMot(a:integer; x:mot) : mot; var r : mot; begin new(r); r^.lettre := a; r^.suite := x; nouveauMot := r; end; Question 1 Écrire la fonction longueurMot qui calcule la longueur d'un mot. (* Caml *) longueurMot : mot -> int { Pascal } function longueurMot(x : mot) : integer Question 2 Écrire la fonction iemeCar qui prend en arguments un entier i et un mot x = a0 a1 . . . an-1 , et qui renvoie le caractère ai . On supposera 0 i < n. (* Caml *) iemeCar : int -> mot -> int { Pascal } function iemeCar(i : integer ; x : mot) : integer Question 3 Écrire la fonction prefixe qui prend en arguments un entier k et un mot x = a0 a1 . . . an-1 , et qui renvoie le mot a0 a1 . . . ak-1 c'est-à-dire le mot constitué des k premiers caractères de x. On supposera 0 k n. (* Caml *) prefixe : int -> mot -> mot { Pascal } function prefixe(k : integer ; x : mot) : mot Question 4 Écrire la fonction suffixe qui prend en arguments un entier k et un mot x = a0 a1 . . . an-1 , et qui renvoie le mot ak ak+1 . . . an-1 c'est-à-dire le mot obtenu en supprimant les k premiers caractères de x. On supposera 0 k n. (* Caml *) suffixe : int -> mot -> mot { Pascal } function suffixe(k : integer ; x : mot) : mot Partie II. Opérations sur les cordes Comme expliqué dans l'introduction, une corde est un arbre binaire dont les feuilles sont des mots. Plus précisément, une corde est soit vide, soit constituée d'un unique mot (une feuille), soit un noeud constitué de deux cordes et représentant leur concaténation. Pour des raisons d'efficacité, on conserve dans les feuilles aussi bien que dans les noeuds la longueur de la corde correspondante. On définit donc le type corde suivant : (* Caml *) type corde = | Vide | Feuille of int*mot | Noeud of int*corde*corde ; ; { Pascal } type corde = ^arbre ; nature = (Feuille, Noeud) ; arbre = record case indicateur : nature of Feuille : (n :integer ; x :mot) ; Noeud : (n :integer ; g, d :corde) ; end ; 2 En Pascal la corde vide est représentée par nil. Dans la suite, on garantira l'invariant suivant sur les cordes : dans une corde de la forme Feuille(n, x), on a n = longueurMot(x) et n > 0 ; dans une corde de la forme Noeud(n, c1 , c2 ), on a c1 6= Vide, c2 6= Vide et n est la longueur totale de la corde, c'est-à-dire la somme des longueurs de c1 et c2 . On notera en particulier que la corde de longueur 0 est nécessairement représentée par Vide. Question 5 Écrire la fonction longueur qui renvoie la longueur d'une corde. (* Caml *) longueur : corde -> int { Pascal } function longueur(c : corde) : integer Question 6 Écrire la fonction nouvelleCorde qui construit une corde à partir d'un mot. (* Caml *) nouvelleCorde : mot -> corde { Pascal } function nouvelleCorde(m : mot) : corde Question 7 Écrire la fonction concat qui construit la concaténation de deux cordes. (* Caml *) concat : corde -> corde -> corde { Pascal } function concat(c1 : corde ; c2 : corde) : corde Question 8 Écrire la fonction caractere qui prend en arguments un entier i et une corde c représentant le mot a0 a1 · · · an-1 , et qui renvoie le caractère ai . On supposera 0 i < n. (* Caml *) caractere : int -> corde -> int { Pascal } function caractere(i : integer ; c : corde) : integer Question 9 Écrire la fonction sousCorde qui prend en arguments un entier i, un entier m et une corde c représentant le mot a0 a1 · · · an-1 , et qui renvoie une corde représentant le mot ai ai+1 · · · ai+m-1 c'est-à-dire la sous-corde de c débutant au caractère i et de longueur m. On supposera 0 i < i + m n. (* Caml *) sousCorde : int -> int -> corde -> corde { Pascal } function sousCorde(i : integer ; m : integer ; c : corde) : corde On s'attachera à réutiliser dans la corde résultat autant de sous-arbres de la corde c que possible. Partie III. Équilibrage Le hasard des concaténations peut amener une corde à se retrouver déséquilibrée, c'est-à-dire à avoir certaines de ses feuilles très éloignées de la racine et donc d'accès plus coûteux. Le but de cette partie est d'étudier une stratégie de rééquilibrage a posteriori. Considérons une corde c composée de k + 1 feuilles, et donc de k noeuds internes. Notons ces k + 1 feuilles x0 , x1 , . . . xk lorsqu'on les considère de la gauche vers la droite, si bien que c représente 3 le mot x0 x1 . . . xk . La profondeur de la feuille xi dans c est notée prof(xi ) et est définie comme la distance de xi à la racine de c. Voici un exemple de corde pour k = 5 où la profondeur de chaque feuille est indiquée entre parenthèses : (1) (3) (3) (4) (3) (4) Le coût de l'accès à un caractère de la feuille xi est défini comme la profondeur de cette feuille dans c, soit prof(xi ) (on ne considère donc pas le coût de l'accès dans le mot xi lui-même). Le coût total d'une corde est alors défini comme la somme des coûts d'accès à tous ses caractères, et vaut donc Coût(c) = k X longueurMot(xi ) × prof(xi ) i=0 Un rééquilibrage consiste à construire une corde différente, dont les feuilles sont x0 , x1 . . . xk dans le même ordre (le mot représenté ne doit pas changer) et dont le coût est, éventuellement, meilleur. L'algorithme proposé est le suivant. On considère un tableau file de cordes dans lequel les feuilles de c vont être successivement insérées dans le sens des indices croissants. Les cases d'indices 0 et 1 ne sont pas utilisées. La case d'indice i contient soit la corde vide (Vide), soit une corde de hauteur inférieure ou égale à i - 2 et dont la longueur est comprise dans l'intervalle [Fi , Fi+1 [ où Fi désigne le i-ème terme de la suite de Fibonacci. La hauteur d'une corde c, notée hauteur(c), est la profondeur maximale de ses feuilles, c'est-à-dire : hauteur(Vide) = 0 hauteur(Feuille(n, x)) = 0 hauteur(Noeud(n, c1 , c2 )) = 1 + max{hauteur(c1 ), hauteur(c2 )} Pour équilibrer la corde c dont les feuilles sont les mots x0 , x1 , . . . xk , dans cet ordre, on procède ainsi : 1. On insère successivement chaque feuille xj dans le tableau file à partir de la case 2. L'insertion d'une feuille, et plus généralement d'une corde, à partir de la case d'indice i se fait ainsi : (a) La corde à insérer est concaténée à droite de la corde se trouvant dans la case i ; soit c le résultat. Si la longueur de c est comprise dans l'intervalle [Fi , Fi+1 [, on affecte c à la case i et on a terminé l'insertion de cette corde. (b) Sinon, on affecte Vide à la case i et on retourne à l'étape (a) pour effectuer l'insertion de c à partir de la case d'indice i + 1. On garantit l'invariant suivant : après l'insertion de la feuille xj , la concaténation successive de toutes les cordes contenues dans les cases de file, considérées dans le sens des indices décroissants, est égale à une corde représentant le mot x0 x1 . . . xj . 2. Le résultat est alors la corde résultant de la concaténation successive de toutes les cordes de file, considérées dans le sens des indices décroissants. 4 Question 10 Calculer le résultat de cet algorithme sur la corde de l'exemple précédent. Question 11 On rappelle que la suite de Fibonacci (Fn ) est définie par F0 = 0, F1 = 1, F n+2 = Fn+1 + Fn pour n 0. Afin d'éviter tout débordement arithmétique en calculant Fn , on limite la taille de file à 44 cases indexées de 0 à 43 (les cases 0 et 1 n'étant pas utilisées). On introduit la constante tailleMax = 44 et on calcule les valeurs de Fn pour 0 n tailleMax une fois pour toutes dans un tableau fib ainsi déclaré : { Pascal } (* Caml *) let tailleMax = 44 ; ; const tailleMax = 44 ; let fib = make_vect (tailleMax+1) 0 ; ; var fib :array[0..tailleMax] of integer ; Écrire la fonction initialiserFib qui initialise le tableau fib. Question 12 Le tableau file utilisé par l'algorithme est déclaré comme un tableau global contenant des cordes : { Pascal } (* Caml *) let file = make_vect tailleMax Vide ; ; var file :array[0..tailleMax-1] of corde ; Écrire la fonction inserer qui prend en arguments une corde c et un entier i, tels que 2 i < tailleMax, hauteur(c) i - 2 et longueur(c) Fi , et réalise l'insertion de c dans le tableau file à partir de la case d'indice i. (* Caml *) inserer : corde -> int -> unit { Pascal } procedure inserer(c : corde ; i : integer) Question 13 Montrer que l'invariant hauteur(ci ) i - 2 et longueur(ci ) Fi est préservé par cette fonction pour toutes les valeurs ci non vides des cases du tableau file (2 i < tailleMax). Question 14 Écrire la fonction equilibrer qui réalise l'équilibrage d'une corde par l'algorithme ci-dessus. (* Caml *) equilibrer : corde -> corde { Pascal } function equilibrer(c : corde) : corde Question 15 Soit c une corde non vide renvoyée par la fonction equilibrer ci-dessus. Soit n sa longueur et h sa hauteur. Montrer que l'on a n Fh+1 En déduire qu'il existe une constante K (indépendante de n) telle que Coût(c) n (log (n) + K) où est le nombre d'or (1 + 5)/2 et log désigne le logarithme à base . On admettra que l'on a Fi+1 i / 5 pour tout i 0. 5 Partie IV. Équilibrage optimal Bien que satisfaisant en pratique, l'équilibrage étudié dans la partie précédente n'est pas optimal. Le but de cette partie est d'étudier une stratégie optimale de rééquilibrage (algorithme de GarsiaWachs). Les notations sont celles de la partie III. L'algorithme proposé procède en deux temps : il commence par construire une corde de coût minimal, ayant les mêmes feuilles que c mais pas nécessairement dans le même ordre ; puis, dans un deuxième temps, il transforme cette corde en une autre de même coût où les feuilles sont maintenant dans le même ordre que dans c. La première partie de l'algorithme opère sur une liste de cordes q = hq0 , q1 , . . . qm i et procède de la manière suivante : 1. Initialement, la liste q est la liste hx0 , x1 , . . . xk i des k + 1 feuilles de c. 2. Tant que la liste q contient au moins deux éléments, on effectue l'opération suivante : (a) Déterminer le plus petit indice i tel que longueur(qi-1 ) longueur(qi+1 ) le cas échéant, et poser i = m sinon. (b) Ôter qi-1 et qi de la liste q et former leur concaténation ; soit c la corde obtenue. (c) Déterminer le plus grand indice j < i tel que longueur(qj-1 ) longueur(c ) le cas échéant, et poser j = 0 sinon. (d) Insérer c dans la liste q juste après qj-1 (et donc au début de la liste q si j = 0). 3. Le résultat est l'unique élément restant dans la liste q. Il est clair que le résultat de cet algorithme est une corde ayant les mêmes feuilles que c mais que ces feuilles ne sont pas nécessairement dans le bon ordre. On admettra le résultat suivant : l'arbre obtenu est de coût minimal. Question 16 Pour simplifier le codage, on suppose que le nombre k de feuilles est inférieur à une certaine valeur (ici maxf = 1000) et que la liste q est représentée dans un tableau global q : (* Caml *) let maxf = 1000 ; ; let q = make_vect maxf Vide ; ; { Pascal } const maxf :integer = 1000 ; var q :array[0..maxf-1] of corde ; Écrire la fonction initialiserQ qui prend en argument une corde c, remplit les k + 1 premiers éléments de q avec les feuilles x0 , . . . , xk de c (c'est-à-dire des cordes de la forme Feuille), et renvoie la valeur de k. On supposera c 6= Vide. (* Caml *) initialiserQ : corde -> int { Pascal } function initialiserQ(c : corde) : integer On admettra avoir effectué le reste de l'algorithme ci-dessus et avoir donc écrit une fonction phase1 qui prend en argument une corde c et renvoie la corde obtenue par l'algorithme ci-dessus. (* Caml *) phase1 : corde -> corde { Pascal } function phase1(c : corde) : corde 6 La deuxième étape de l'algorithme procède ainsi. Soit c1 la corde obtenue à l'issue de la première étape de l'algorithme. Chaque feuille xi de c se trouve dans c1 à une certaine profondeur ; notons pi cette profondeur. On admet la propriété suivante : il existe une corde c2 dont les feuilles sont exactement x0 , x1 , . . . xk dans cet ordre et où la profondeur de chaque xi est exactement pi . On peut alors construire c2 en ne connaissant que les pi , et c2 est dès lors un rééquilibrage optimal de c. Question 17 Les profondeurs pi seront stockées dans un tableau global prof : (* Caml *) let prof = make_vect maxf 0 ; ; { Pascal } var prof :array[0..maxf-1] of integer ; Écrire la fonction initialiserProf qui prend en argument les cordes c et c1 et range dans le tableau prof, à l'indice i, la profondeur de la feuille xi (de c) dans c1 pour 0 i k. On pourra avantageusement réutiliser le tableau q et la fonction initialiserQ. (* Caml *) initialiserProf : corde -> corde -> unit { Pascal } procedure initialiserProf(c : corde ; c1 : corde) Indication : on admettra que, pour comparer les feuilles de c et c1 , on peut utiliser l'égalité fournie par le langage, i.e. le symbole =. Question 18 Écrire la fonction reconstruire qui construit c2 à partir de la seule donnée des tableaux q et prof. Attention : pour des profondeurs pi quelconques, il n'existe pas nécessairement de corde où chaque xi a la profondeur pi . On demande ici un algorithme qui fonctionne uniquement sous l'hypothèse qu'une telle corde existe (ce qui est le cas ici). (* Caml *) reconstruire : unit -> corde { Pascal } function reconstruire : corde Question 19 Combiner les fonctions ci-dessus pour obtenir une fonction de rééquilibrage optimal. (* Caml *) equilibrerOpt : corde -> corde { Pascal } function equilibrerOpt(c : corde) : corde 7 
