Mines Informatique optionnelle MP 2017

Thème de l'épreuve Langages unaires. Exponentiation rapide.
Principaux outils utilisés récursivité, automates, langages
Mots clefs exponentiation rapide, puissance, langage unaire, écriture binaire inverse

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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A2017 ­ INFO MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne), ENSAE PARISTECH. Concours Centrale-Supelec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP. CONCOURS 2017 ÉPREUVE D'INFORMATIQUE MP Durée de l'épreuve : 3 heures L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit. Cette épreuve concerne uniquement les candidats de la filière MP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : INFORMATIQUE - MP L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Épreuve d'informatique 2017 Première partie : langages et automates On s'intéresse aux langages sur l'alphabet S = {a} ; un tel langage est dit unaire. Un automate reconnaissant un langage unaire sera dit unaire. Lorsqu'on dessinera un automate unaire, il ne sera pas utile de faire figurer les étiquettes des transitions, toutes ces étiquettes étant l'étiquette a. C'est ce qui est fait dans cet énoncé. Dans un automate unaire, on appelle chemin une suite q1, ..., qp d'états telle que, pour i compris entre 1 et p, il existe une transition de qi ­ 1 vers qi ; on dit qu'il s'agit d'un chemin de q1 à qp. On appelle circuit un chemin q1, ..., qp tel qu'il existe une transition de qp vers q1. Dans cet exercice, tous les automates considérés seront finis et auront un et un seul état initial. On dit qu'un automate est émondé si, pour tout état q, il existe d'une part un chemin de l'état initial à q et d'autre part un chemin de q à un état final. On rappelle qu'un langage non vide est rationnel si et seulement s'il est reconnu par un automate ou encore si et seulement s'il est reconnu par un automate déterministe émondé. Soient a et b deux entiers positifs ou nuls. On note L(a, b ) le langage unaire défini par : L(a, b ) = {aak + b | k entier positif ou nul}. r 1 ­ Donner sans justification une condition nécessaire et suffisante pour que L(a, b) soit fini. Dans le cas où cette condition est satisfaite, donner sans justification le cardinal de L(a, b ). r 2 ­ On considère l'automate A1 ci-dessous. Indiquer sans justification deux entiers a1, b 1 tels que A1 reconnaisse le langage L(a1, b 1). 0 1 4 3 2 Automate A1 r 3 ­ On considère l'automate A2 ci-dessous : 1 2 3 4 5 6 0 Automate A2 On note L2 le langage reconnu par A2. Indiquer sans justification quatre entiers a2, b 2, a3, b3 tels que A2 reconnaisse le langage L2 = L(a2, b 2) È L(a3, b 3). Page 1 sur 7 Épreuve d'informatique 2017 r 4 ­ Construire un automate déterministe émondé A3 en appliquant la procédure de déterminisation à l'automate A2.! r 5 ­ En s'appuyant sur l'automate A3, indiquer sans justification cinq entiers a4, b 4, b5, b 6, b 7, tels que A3 reconnaisse le langage L3 = L(a4, b 4) È L(a4, b 5) È L(a4, b 6) È L(a4, b 7) (remarque : le langage L3 est égal par ailleurs au langage L2). On dit ci-dessous qu'un automate est de la forme F si, en omettant les états finals, il peut se tracer selon le schéma ci-dessous : q0 ... qr­1 qr ... qs Le chemin q0, ..., qr ­ 1 peut être vide, auquel cas on a r = 0. Le circuit qr , ..., qs ne doit pas être vide mais on peut avoir r = s avec une transition de l'état qr vers lui-même (un tel circuit s'appelle aussi une boucle). On constate que les automates A1 et A3 sont de la forme F, mais non A2. r 6 ­ Dessiner sans justification un automate de la forme F qui reconnaît le langage L(1, 2). On fera figurer le ou les état(s) final(s). ATTENTION : on ne demande aucune justification mais uniquement de tracer un automate de la forme F en choisissant correctement les longueurs du chemin et du circuit et en ajoutant le ou les état(s) final(s). r 7 ­ Dessiner un automate de la forme F qui reconnaît le langage L(2, 3) È L(5, 2). On fera figurer le ou les état(s) final(s). Comme à la question précédente, on ne demande aucune justification. r 8 ­ En s'inspirant de la réponse à la question précédente, décrire sans justification un automate de la forme F qui reconnaît le langage L(2, 3) Ç L(5, 2). Indiquer deux entiers a et b tels qu'on ait la relation : L(2, 3) Ç L(5, 2) = L(a, b ). r 9 ­ Montrer qu'un automate déterministe émondé qui reconnaît un langage unaire rationnel infini est de la forme F. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les états finals pour qu'un automate de la forme F reconnaisse un langage infini. r 10 ­ Soit L un langage rationnel unaire infini. En s'appuyant sur la question précédente, montrer qu'il existe deux entiers a et b tels que L contient L(a, b ). r 11 ­ On considère une suite (un)n ³ 0 de nombres entiers positifs ou nuls. On suppose que la suite (un + 1 ­ un)n ³ 0 est positive et strictement croissante. Soit L le langage défini par : L = {aun | n ³ 0}. En utilisant la question précédente, montrer que L n'est pas rationnel. r 12 ­ Montrer que le langage L défini par L = {an2 | n ³ 0} n'est pas rationnel. Page 2 sur 7 Épreuve d'informatique 2017 Seconde partie : algorithmique et programmation Préliminaire concernant la programmation Il faudra coder des fonctions à l'aide du langage de programmation Caml, tout autre langage étant exclu. Lorsque le candidat écrira une fonction, il pourra faire appel à d'autres fonctions définies dans les questions précédentes ; il pourra aussi définir des fonctions auxiliaires. Quand l'énoncé demande de coder une fonction, il n'est pas nécessaire de justifier que celle-ci est correcte, sauf si l'énoncé le demande explicitement. Enfin, si les paramètres d'une fonction à coder sont supposés vérifier certaines hypothèses, il ne sera pas utile dans l'écriture de cette fonction de tester si les hypothèses sont bien vérifiées. Dans les énoncés de l'exercice, un même identificateur écrit dans deux polices de caractères différentes désignera la même entité, mais du point de vue mathématique pour la police en italique (par exemple n) et du point de vue informatique pour celle en romain (par exemple !). On ne se préoccupera pas d'un éventuel dépassement du plus grand entier représentable. On pourra utiliser les fonctions suivantes. · La fonction "#$%&"' ajoute une valeur en début d'une liste dont la référence est passée en paramètre ; par exemple si on a : &"()&%*(")+)'",)-./)0/)12//) après l'instruction :)"#$%&"')&%*(")3//) 4&%*(" vaut -3/)./)0/)125) · La fonction 6"$%&"' retire la valeur du début d'une liste dont la référence est passée en paramètre et renvoie la valeur retirée ; par exemple si on a : &"()&%*(")+)'",)-./)0/)12//) après l'instruction :)&"()78&)+)6"$%&"')&%*("//) 4&%*(" vaut [0/)12 et 78& vaut .5) Cette fonction ne doit être utilisée que si la liste dont la référence est passée en paramètre n'est pas vide. · La fonction &9!:;";' renvoie la longueur d'une liste passée en paramètre. · La fonction %!7"'*" reçoit en paramètre une liste et renvoie une nouvelle liste qui est l'inverse de la première. Par exemple, si on a : &"()&%*(")+)-./)0/)12// l'instruction %!7"'*")&%*("//)renvoie la liste -1/)0/).2. On considère un ensemble U muni d'une loi de composition interne associative appelée multiplication et possédant un élément neutre pour cette loi noté e. Cette multiplication est notée avec le signe ×. Par exemple, U peut être l'ensemble des entiers ou des réels munis de la multiplication usuelle, l'élément neutre étant 1. L'ensemble U peut aussi être l'ensemble des matrices carrées booléennes (respectivement d'entiers, de réels) d'une même dimension d avec le produit usuel comme multiplication, l'élément neutre étant la matrice identité booléenne (respectivement entière, réelle) de dimension d. Soit a un élément de U et soit n un entier positif ou nul. On définit an de la façon suivante : · a0 = e, · si n 1, an = an ­ 1 × a. La multiplication étant associative, si i et j sont deux entiers positifs ou nuls de somme égale à n, on a : an = ai × aj. Page 3 sur 7 Épreuve d'informatique 2017 Un élément a de U et un entier n supérieur ou égal à 1 étant donnés, on cherche à calculer an en s'intéressant au nombre de multiplications effectuées. Dans toute la suite, a et n désignent respectivement un élément quelconque de U et un entier strictement positif. Exemple 1 : n = 14. On peut calculer a14 en multipliant 13 fois l'élément a par lui-même. On effectue ainsi 13 multiplications. Exemple 2 : n = 14. On peut calculer a14 en calculant a2 par a2 = a × a, puis a3 par a3 = a2 × a puis a6 par a6 = a3 × a3, puis a7 par a7 = a6 × a, puis enfin a14 = a7 × a7. On a ainsi obtenu le résultat en effectuant 5 multiplications. Exemple 3 : n = 14. On peut aussi calculer a14 en calculant a2 par a2 = a × a, puis a4 par a4 = a2 × a2, puis a6 par a6 = a2 × a4 puis a8 par a8 = a4 × a4, puis a14 par a14 = a6 × a8. On a ainsi obtenu le résultat en effectuant encore 5 multiplications. L'objectif est de déterminer des algorithmes qui effectuent peu de multiplications. Soit x un nombre réel positif ; on note ëx û la partie entière par défaut de x et éx ù sa partie entière par excès. On appelle suite pour l'obtention de la puissance n toute suite non vide croissante d'entiers distincts (n0, n1, ..., nr) telle que : · n0 = 1, · nr = n, · pour tout indice k vérifiant 1 k r, il existe deux entiers i et j distincts ou non vérifiant 0 i k ­ 1, 0 j k ­ 1 et nk = ni + nj (la paire {i, j} n'est pas nécessairement unique). À une suite pour l'obtention de la puissance n correspond une suite de multiplications conduisant au calcul de an. Par exemple, la suite (1, 2, 4, 6, 7, 12, 19) correspond au calcul de a19 en faisant les 6 multiplications suivantes : a2 = a × a, a4 = a2 × a2, a6 = a2 × a4, a7 = a × a6, a12 = a6 × a6, a19 = a7 × a12. Réciproquement, considérons un calcul de an dans lequel on fait en sorte d'ordonner les multiplications pour que les puissances calculées soient d'exposants croissants ; on peut associer à ce calcul une suite pour l'obtention de la puissance n. À l'exemple 1 est associée la suite (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14), de longueur 14. À l'exemple 2 est associée la suite (1, 2, 3, 6, 7, 14), de longueur 6. À l'exemple 3 est associée la suite (1, 2, 4, 6, 8, 14), de longueur 6. Le nombre de multiplications correspondant à une suite pour l'obtention de la puissance n est égal à la longueur de la suite diminuée de 1. r 13 ­ Montrer que tout calcul de an qui n'utilise que des multiplications nécessite un nombre de multiplications au moins égal à élog 2 nù . Donner une famille infinie de valeurs de n qui peuvent être calculées en effectuant exactement ce nombre de multiplications ; justifier la réponse. On considère un algorithme appelé par_division ayant pour objectif le calcul de an. Cet algorithme s'appuie sur le principe récursif suivant : Page 4 sur 7 Épreuve d'informatique 2017 si n vaut 1, alors an vaut a, sinon · on calcule la partie entière par défaut, notée q, de n / 2 , · on calcule par l'algorithme par_division la valeur de b = aq, · si n est pair, alors an = b × b, sinon an = (b × b) × a. Ainsi, pour obtenir a14, l'algorithme par_division fait appel au calcul de a7 qui fait appel au calcul de a3 (pour obtenir a6 en multipliant a3 par a3 puis a7 en multipliant a6 par a) qui fait appel au calcul de a1 (pour obtenir a2 puis a3). Les différentes puissances calculées sont les puissances 1, 2, 3, 6, 7 et 14. On constate ainsi que la suite pour l'obtention de la puissance 14 correspondant à l'algorithme par_division est la suite (1, 2, 3, 6, 7, 14), de longueur 6. De même, la suite pour l'obtention de la puissance 19 correspondant à l'algorithme par_division est la suite (1, 2, 4, 8, 9, 18, 19) de longueur 7. r 14 ­ Calculer (sans justification) la suite correspondant à l'algorithme par_division successivement : · pour l'obtention de la puissance 15 ; · pour l'obtention de la puissance 16 ; · pour l'obtention de la puissance 27 ; · pour l'obtention de la puissance 125. Dans chaque cas, indiquer la longueur de la suite obtenue. r 15 ­ Écrire en Caml la fonction nommée $8'<6%7%*%9! qui calcule la suite pour l'obtention de la puissance n correspondant à l'algorithme par_division. Si ! est une valeur entière strictement positive, $8'<6%7%*%9!)!)renvoie une liste contenant la suite pour l'obtention de la puissance n. r 16 ­ Montrer que l'algorithme par_division pour l'obtention de la puissance n effectue au plus 2 ´ ëlog 2 nû multiplications. Montrer que ce nombre est atteint pour un nombre infini de valeurs de n. On considère maintenant un algorithme appelé par_decomposition_binaire dont l'objectif est aussi le calcul de an. Cet algorithme utilise la décomposition d'un entier suivant les puissances de 2. L'algorithme est expliqué ci-dessous à l'aide d'exemples. · Soit n = 14. On décompose 14 selon les puissances de 2 : 14 = 2 + 4 + 8. On a donc : a14 = (a2 × a4) × a8, ce qui conduit à calculer les puissances de a d'exposants 2, 4, 8 mais aussi 6 et 14 ; la suite pour l'obtention de la puissance 14 correspondant à cet algorithme est la suite (1, 2, 4, 6, 8, 14). · Soit n = 18. On a : 18 = 2 + 16, ce qui implique : a18 = a2 × a16. L'algorithme calcule les puissances d'exposants 2, 4, 8, 16 puis 18 ; la suite pour l'obtention de la puissance 18 correspondant à cet algorithme est : (1, 2, 4, 8, 16, 18). · Soit n = 101. On a : 101 = 1 + 4 + 32 + 64. L'algorithme calcule a101 en utilisant les multiplications impliquées par la formule : a101 = ((a × a4) × a32) × a64 ; on calcule les puissances 2, 4, 5 (pour a × a4 = a5), 8, 16, 32, 37 (pour a5 × a32 = a37), 64 et 101 (pour a37 × a64 = a101) ; la suite pour l'obtention de la puissance 101 correspondant à cet algorithme est : (1, 2, 4, 5, 8, 16, 32, 37, 64, 101). Page 5 sur 7 Épreuve d'informatique 2017 De manière générale, l'algorithme procède en écrivant la décomposition unique de n comme une somme de puissances croissantes du nombre 2, et calcule la valeur cible de an en effectuant les produits correspondant aux sommes partielles de cette somme. r 17 ­ Calculer (sans justification) la suite correspondant par_decomposition_binaire successivement : · pour l'obtention de la puissance 15 ; · pour l'obtention de la puissance 16 ; · pour l'obtention de la puissance 27 ; · pour l'obtention de la puissance 125. Dans chaque cas, indiquer la longueur de la suite obtenue. à l'algorithme On considère la décomposition de n suivant les puissances croissantes du nombre 2 : n = c0 + c1 × 2 + ... + ci × 2i + ... + ck × 2k, où, pour i vérifiant 0 i < k, le coefficient ci vaut 0 ou 1 et ck vaut 1. On appelle écriture binaire inverse de n la suite (c0, c1, ..., ci, ..., ck). Par exemple, l'écriture binaire inverse de l'entier 14 est (0, 1, 1, 1), celle de l'entier 18 est (0, 1, 0, 0, 1) et celle de l'entier 101 est (1, 0, 1, 0, 0, 1, 1). r 18 ­ Écrire en Caml une fonction nommée =%!8%'"<%!7"'*" qui calcule l'écriture binaire inverse d'un nombre donné. Si ! est une valeur entière strictement positive, alors =%!8%'"<%!7"'*") ! renvoie une liste contenant l'écriture binaire inverse de n. r 19 ­ Écrire en Caml la fonction $8'<6">9#$9*%(%9!<=%!8%'" qui calcule la suite pour l'obtention de la puissance n correspondant à l'algorithme par_decomposition_binaire. Si ! est une valeur entière strictement positive, $8'<6">9#$9*%(%9!<=%!8%'")! renvoie une liste contenant la suite cherchée. r 20 ­ On suppose que l'on a n = 3k, où k est un entier positif ou nul. En utilisant la formule : 3k = 3k ­ 1 + 2 ´ 3k ­ 1, montrer qu'il existe une suite pour l'obtention de la puissance n de longueur 2k + 1. Indiquer une telle suite correspondant à n = 27 ; comparer la longueur de cette suite à la longueur de la suite correspondant à l'algorithme par_division. r 21 ­ Soit k un entier positif ou nul. Écrire en Caml une fonction *;%("<1 calculant une suite de longueur 2k + 1 pour l'obtention de la puissance 3k. On s'appuiera pour cela sur la question précédente. Si ? est une valeur entière positive ou nulle, *;%("<1)?)renvoie une liste contenant la suite cherchée. r 22 ­ On suppose que l'on a n = 5k, où k est un entier positif ou nul quelconque. Montrer qu'il existe une suite pour l'obtention de la puissance n de longueur 3k + 1. Indiquer la suite correspondant à n = 125 ; comparer la longueur de cette suite à la longueur de la suite correspondant à l'algorithme par_division. r 23 ­ Donner une suite de longueur 6 pour l'obtention de la puissance 15. Qu'en déduire quant aux algorithmes par_division et par_decomposition_binaire étudiés précédemment ? Page 6 sur 7 Épreuve d'informatique 2017 r 24 ­ On considère un tableau (ou vecteur) T, indicé à partir de 0, contenant une suite pour l'obtention d'une certaine puissance positive n. Soit k un entier compris entre 1 et la longueur de T diminuée de 1. Soit val la valeur contenue dans T à l'indice k. On sait que val est la somme de deux valeurs du tableau T situées à des indices (éventuellement confondus, éventuellement non uniques) strictement inférieurs à k. Il s'agit de programmer une fonction nommée >@"'>@"'<%!6%>" qui détermine ces deux indices. Par exemple, si tableau T contient les valeurs 1, 2, 3, 4, 7, 14, 17, 31, la longueur du tableau vaut 8, et, si k vaut 6, alors val vaut 17 et la fonction >@"'>@"'<%!6%>" doit renvoyer les indices 2 et 5 correspondant aux valeurs 3 et 14 du tableau ; si, avec ce même tableau, k vaut 1, la fonction doit renvoyer 0 et 0. Écrire en Caml la fonction >@"'>@"'<%!6%>" telle que, si : · A code un vecteur contenant une suite pour l'obtention d'une certaine puissance positive n (la valeur de n est inutile pour l'écriture de la fonction), · ? code un entier compris entre 1 et la longueur de A diminuée de 1, alors >@"'>@"'<%!6%>" A ? renvoie une liste de deux entiers contenant les deux indices cherchés, par ordre croissant. Indiquer (sans justification) la complexité C(k) de cette fonction. r 25 ­ Dans cette question, U est l'ensemble des réels. Soit x un nombre réel quelconque et soit un tableau (ou vecteur) T contenant une suite pour l'obtention d'une certaine puissance positive n. Écrire en Caml une fonction $;%**8!>" qui calcule la valeur de xn en utilisant le tableau T. Si B est une valeur de type ,&98( et A code un vecteur contenant une suite pour l'obtention d'une certaine puissance positive n, alors $;%**8!>")B)A)renvoie la valeur de xn en effectuant des multiplications suivant la suite représentée par T. Indications : · on utilisera la fonction >@"'>@"'<%!6%>" de la question précédente); en appelant h la longueur de T, la complexité de la fonction $;%**8!>" devra nécessairement être en O(h ´ C(h)) (il n'est pas demandé de justifier cette complexité) ; · si A est un vecteur, 7">(<&"!:(@)A)donne la longueur de A ; · l'opérateur)C5)permet de faire le produit de deux valeurs de type ,&98(. r 26 ­ Décrire le principe d'une fonction nommée suite_optimale permettant d'exhiber une suite de longueur minimale pour l'obtention de la puissance n, en effectuant une énumération exhaustive des suites possibles. Cette fonction devra utiliser une fonction récursive nommée suite_optimale_rec dont on donnera aussi le principe. r 27 ­ Écrire en Caml les fonctions *;%("<9$(%#8&"<'"> et *;%("<9$(%#8&")correspondant aux fonctions de la question précédente. Si ! est une valeur de type %!(, alors *;%("<9$(%#8&"<'">) !) renvoie une liste contenant une suite de longueur minimale pour l'obtention de la puissance n. Page 7 sur 7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Mines Informatique optionnelle MP 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Martin Guy (ENS Lyon) ; il a été relu par William Aufort (ENS Lyon) et Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à l'université). L'épreuve se compose de deux problèmes indépendants. Le premier porte sur les langages et les automates ; le second est consacré à l'algorithmique. · Le premier problème se concentre sur les langages sur un alphabet unaire et sur les automates finis. Après l'observation et la construction de différents automates, on prouve que les langages rationnels unaires infinis contiennent né cessairement ak+ | k N pour un certain et un certain . On en dérive enfin une propriété permettant de prouver que certains langages unaires ne sont pas rationnels. Ce premier problème permet de vérifier la maîtrise des bases sur les automates ainsi que de prouver des propriétés sur certains langages. · Le second problème, plus conséquent, présente deux algorithmes permettant de calculer la puissance n d'un élément a (pouvant être un entier, un réel ou une matrice) avec le moins de multiplications possible. Il peut se séparer en plusieurs parties. Tout d'abord, les premières questions permettent de s'approprier la notion de suite pour l'obtention de la puissance n à partir d'exemples, puis se concentrent sur l'algorithme d'exponentiation rapide. Les questions suivantes présentent un second algorithme basé sur la décomposition binaire de la puissance n. Au passage, on montre qu'un algorithme optimal d'élévation à la puissance n effectue nécessairement entre log(n) et 2 × log(n) multiplications. On constate ensuite que les deux algorithmes étudiés ne sont pas optimaux puisqu'il existe des exemples pour lesquels ils ne renvoient pas la suite optimale de multiplications à effectuer. Les dernières questions se consacrent donc à la recherche d'une suite optimale via l'exploration exhaustive de l'ensemble des suites. Ce problème permet de vérifier les acquis en algorithmique mais aussi en programmation car tous les algorithmes étudiés doivent être implémentés. Ce sujet comporte quelques questions pointues et il est assez long, mais plusieurs questions peuvent se faire rapidement, notamment celles qui demandent d'omettre la justification. Indications Partie I 1 Se concentrer sur les conditions pour que {k + | k N} soit fini. 2 Trouver « à la main » quelques mots reconnus par l'automate A1 et observer un motif. 3 Séparer l'automate en deux parties. 7 Commencer par trouver un automate non déterministe semblable à celui de la question 3 reconnaissant L(2, 3) L(5, 2). 8 Observer qu'il suffit de supprimer des états finals à l'automate déterministe obtenu à la question 7. 9 Utiliser le déterminisme de l'automate pour construire le chemin q0 , . . . , qs puis le fait que L est infini pour justifier la transition entre qs et qr . 10 Utiliser l'hypothèse que L est un langage rationnel pour en tirer un automate qui le reconnaît puis utiliser la question 9 pour affirmer qu'il existe un état final dans le circuit qr , . . . , qs . 11 Prouver par l'absurde. Se ramener à la question précédente en commençant par montrer que L est infini. Partie II 13 Montrer ce résultat par une récurrence forte sur n. Pour la seconde partie de la question, considérer n de la forme 2k . 16 Prouver le résultat par récurrence forte sur n. Pour la seconde partie, considérer n de la forme 2k - 1. 18 Remarquer que la décomposition en binaire de n/2 se déduit aisément de celle de n pour en déduire un algorithme récursif. 19 Utiliser l'écriture binaire inverse (c0 , . . . , ck ) de n. Utiliser une fonction auxiliaire récursive qui va traiter la décomposition binaire inverse de la puissance, en distinguant deux cas selon la valeur du coefficient courant de la décomposition. 20 Prouver par récurrence sur k en utilisant la formule donnée et en observant que pour obtenir la puissance 2 × 3k il suffit de calculer 3k + 3k . Pour la seconde partie de la question, décomposer 27 avec la formule à la manière de la preuve. 21 Se servir de l'exemple précédent (n = 27) pour trouver l'algorithme. 22 Utiliser l'identité 5k = 2 × 2 × 5k-1 + 5k-1 . 23 S'inspirer de la suite obtenue à la question précédente pour n = 125. 24 Il faut tester toutes les paires d'indices. 25 Utiliser un tableau pour stocker les puissances intermédiaires calculées. 26 Il faut réussir à énumérer toutes les listes en respectant deux conditions : la liste doit être triée par ordre croissant et chaque élément est somme d'exactement deux éléments d'indice plus petit. Visualiser l'énumération exhaustive comme un arbre. 27 Séparer en plusieurs fonctions auxiliaires codant différentes étapes de l'algorithme. I. Langages et automates 1 Soit (, ) N fixé. Distinguons deux cas. Si 6= 0, la suite (k + )kN est strictement croissante (et donc non majorée car c'est une suite d'entiers). Parconséquent, L(, ) contient une infinité d'éléments. Sinon, = 0 et on a L(0, ) = a . Ainsi, 2 L(, ) est fini si et seulement si = 0. Dans ce cas, on a Card L(0, ) = 1. 2 En déroulant les étapes de l'automate, on s'intéresse aux 3 premiers mots reconnus par l'automate pour découvrir le motif : Mot aa aaaaaa aaaaaaaaaa Longueur 2 6 10 Décomposition 2=2+0×4 6=2+1×4 10 = 2 + 2 × 4 En décomposant la longueur de chaque mot sous la forme 1 + k1 on trouve les valeurs recherchées. Ainsi, L'automate A1 reconnaît le langage L(4, 2). Pour aller plus vite, il suffit de regarder le nombre minimum de a à lire pour aller de l'état initial jusqu'à l'état final, ici 2, ce qui donne la valeur de 1 . Pour 1 , la longueur du circuit depuis l'état final donne la valeur recherchée. Cette approche est motivée par la forme k + de l'ensemble des exposants. 3 L'automate A2 est composé de deux automates de la forme de A1 : la partie haute (composée des états {0, 1, 2, 3}) et la partie basse (composée de {0, 4, 5, 6}). On raisonne alors comme précédemment sur chacune des parties. L'automate A2 est un automate non déterministe. La lecture de la première lettre permet soit d'aller à l'état 1, soit d'aller à l'état 4. Il suffit alors de raisonner séparément sur chaque partie. Ainsi, la partie haute reconnaît le langage L(3, 2) et la partie basse reconnaît le langage L(2, 3). Le langage L2 reconnu par A2 est l'union de ces deux langages donc L2 = L(3, 2) L(2, 3) État Successeurs 4 Pour déterminiser, on construit successivement un au0 {1, 4} tomate en partant de l'état initial et en créant des nou{1, 4} {2, 5} veaux états suivant l'ensemble des états accessibles via {2, 5} {3, 6} une transition de l'automate depuis l'état en cours (au{3, 6} {1, 5} trement dit, les successeurs de l'état courant en lisant a). {1, 5} {2, 6} Par exemple, les successeurs de l'état 0 sont les états 1 {2, 6} {3, 5} et 4. On crée donc un état {1, 4}. Ensuite, on fait de même {3, 5} {1, 6} avec l'état {1, 4} : on regarde les successeurs à partir de {1, 6} {2, 5} ces états. On s'arrête lorsqu'on ne crée pas de nouvel état. Les états finals de A3 sont les parties d'états de A2 qui contiennent un état final de A2 . On obtient alors l'automate déterministe émondé A3 suivant : {0} {1,4} {2,5} {3,6} {1,5} {2,6} {3,5} {1,6} 5 On remarque que la forme de l'automate A3 est similaire à celle de A1 à ceci près qu'il y a 4 états finals, chacun étant associé à un i différent. Comme précédemment, on compte la longueur du chemin depuis l'état initial jusqu'à chacun des états finals pour trouver la valeur i associée. Enfin, 4 est encore une fois la longueur du circuit en partant d'un état final (elle est la même quel que soit l'état final). Le langage reconnu par A3 est L3 = L(6, 2) L(6, 3) L(6, 5) L(6, 7). 6 Un exemple d'automate de la forme F reconnaissant L(1, 2) est 0 1 2 7 En combinant un automate pour L(2, 3) en partie haute et un automate pour L(5, 2) en partie basse, on obtient l'automate suivant pour le langage L(2, 3)L(5, 2) : 1 2 3 4 5 6 0 7 8 Suivant le cheminement de la question 4, déterminisons cet automate pour en déduire l'automate suivant de la forme F : {0} {1,4} {2,5} {3,6} {2,7} {3,8} {2,4} {3,5} {2,6} {3,7} {2,8} {3,4} Afin de gagner du temps lors de l'épreuve et déterminiser rapidement le premier automate, il n'est pas la peine de faire le tableau. Il suffit de remarquer que l'on ne crée à chaque fois qu'un seul état et lire parallèlement la partie haute et la partie basse de l'automate. 8 L'automate A4 suivant est un automate de la forme F reconnaissant le langage L(2, 3) L(5, 2) : {0} {1,4} {2,5} {3,6} {2,7} {3,8} {2,4} {3,5} {2,6} {3,7} {2,8} {3,4}