Mines Informatique MP 2014

Thème de l'épreuve Langages définis par une fonction sur le nombre de a et de b. Calcul d'une axiomatique.
Principaux outils utilisés langages rationnels, automates, graphes, logique
Mots clefs automate, graphe, récursivité

Corrigé

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A 2014 INFO. MP ECOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP) ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS 2014 EPREUVE d'INFORMATIQUE Filière : MP Durée de l'épreuve : 3 heures. L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Sujet mis àla disposition des concours : CYCLE INTERNATIONAL, ECOLES DES MINES, TELECOM SUDPARIS, TPE--EIVP. L'én0ncé de cette épreuve comporte 8 pages. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : INFORMATIQUE - MP Recommandations aux candidats 0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures même s'il n'a pas été démontré. 0 Il ne faut pas hésiter à formuler les commentaires qui semblent pertinents même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Composition de l'épreuve L'épreuve est constituée : 0 d'un exercice sur les automates et les langages : pages 2 et 3 ; ' d'un problème d'algorithmique et programmation : pages 3 à 8. Épreuve d'informatique 2014 Première partie : automates et langages Un alphabet Z est un ensemble fini d'éléments appelés lettres. Un mot sur 2 est une suite finie, éventuellement vide, de lettres de Z ; la longueur d'un mot a est le nombre de lettres composant a et est notée |a ; le mot de longueur nulle est noté 8. On note par E* l'ensemble de tous les mots sur Z. Un langage sur X'. est une partie de Z*. Soit a un mot sur un alphabet Z ; pour toute lettre x de 2, on note |a|x le nombre d'occurrences de la lettre x dans le mot a. On note N l'ensemble des entiers naturels. On considère dans cet exercice l'alphabet Z = {a, 19}. Soit f une application quelconque définie sur N et à valeurs dans N. On note L(f) l'ensemble des mots a appartenant à Z* vérifiant l'égalité |a|a =f(|a|b). El 1--On considère la fonction f1 définie par: Vn & N, f1(n) : 2. Dessiner un automate reconnaissant le langage L(f1). On considère la fonction f2 définie par : V n & N, fg(n) : 1 si n est pair et fg(n) : () sinon. Cl 2 -- Décrire L(fg) par une expression rationnelle de la forme oc(bab + a + b)[3, où oc et B sont des expressions rationnelles à déterminer. Justifier la réponse. Remarque : on note aussi | l'opérateur noté + dans l'expression rationnelle ci-dessus. Cl 3 -- Dessiner un automate non nécessairement déterministe reconnaissant le langage décrit par l'expression rationnelle bab + a + 19. Cet automate devra nécessairement posséder un seul état initial et un seul état final. Cl 4 -- En s'appuyant sur l'expression rationnelle obtenue à la question Cl 2, compléter l'automate obtenu à la question précédente pour obtenir un automate non déterministe reconnaissant le langage L(f2). Cet automate devra nécessairement posséder un seul état initial et un seul état final. Cl 5 -- Déterminiser l'automate obtenu à la question précédente. On utilisera un algorithme vu en cours et on ne fera apparaître que les états accessibles depuis l'état initial. El 6--Montrer que si f n'est pas majorée par une constante, alors L(f) n'est pas rationnel. Cl 7 -- On considère le langage L: sur 2 défini par L: = {a EUR 2* vérifiant |a|a : |a|b}. Le langage L= est-il rationnel ? Cl 8 -- On considère le langage Lg sur 2 défini par : Lg : {a EUR 2* avec |a|a S |a|b}. Le langage Lg est-il rationnel ? On utilisera le résultat de la question précédente. Épreuve d'informatique 2014 Cl 9 -- On considère le langage L> sur 2 défini par : L> : {u e 2* avec |u|a > |u|b}. Le langage L> est-il rationnel ? On utilisera le résultat de la question précédente. CI 10 -- Montrer que la réciproque de la proposition énoncée dans la question Cl 6 est fausse. Indication : on pourra admettre que le langage P des mots de la forme 19" où la est une lettre et n est un entier premier n'est pas rationnel. Seconde partie : logique et programmation Préliminaire concernant la programmation Il faudra écrire des fonctions ou des procédures à l'aide d'un langage de programmation qui pourra être soit Caml, soit Pascal, tout autre langage étant exclu. Indiquer en début d'épreuve le langage de programmation choisi ; il est interdit de modifier ce choix au cours de l'épreuve. Certaines questions du problème sont formulées différemment selon le langage de programmation ; cela est indiqué chaque fois que cela est nécessaire. Lorsque le candidat écrira une fonction ou une procédure, il pourra faire appel a une autre fonction ou procédure définie dans les questions précédentes ; il pourra aussi définir une procédure ou une fonction auxiliaire. Enfin, si les paramètres d'une fonction ou d'une procédure à écrire sont supposés vérifier certaines hypothèses, il ne sera pas utile, dans l'écriture de cette fonction ou de cette procédure, de tester si les hypothèses sont bien vérifiées. Dans les énoncés du problème, un même identificateur écrit dans deux polices de caractères différentes désignera la même entité, mais du point de vue mathématique pour la police en italique (par exemple n) et du point de vue informatique pour celle en romain (par exemple n). On ne se préoccupera pas d'un éventuel dépassement du plus grand entier codable dans le langage de programmation choisi. Indications pour la programmation Caml Si n est un entier, l'instruction let A = make_matrix n n false;; permet de construire une matrice carrée booléenne A a n lignes et n colonnes, et dont les cases sont initialisées a false. Fin des indications pour Caml Pascal On utilisera dans tout le sujet les déclarations ci-dessous. CONST MAX = 100; type Tableau_Boolean = array [O .. MAX -- 1] of Boolean; type Matrice_Boolean = array [O .. MAX -- 1] of Tableau_Boolean; Épreuve d'informatique 2014 On supposera que la constante MAX est suffisamment grande pour que les tableaux et matrices de types Tableau_Boolean et Mat rice_Boolean puissent coder les tableaux et matrices considérés dans ce problème. Fin des indications pour Pascal On considère un ensemble fini [7 de n propositions logiques distinctes : H : {Po, P1, ..., Pn _ 1}. On suppose qu'un ensemble d'implications entre ces propositions, appelé ensemble des implications initiales et noté ], a déjà été établi. On peut en général déduire d'autres implications a partir de l'ensemble des implications initiales en utilisant la transitivité des implications : pour deux propositions P et Q appartenant à 17, si Q se déduit de P a l'aide d'une suite d'implications appartenant à ], on dit que << Pimplique Q >>, ce que l'on note P => Q. Dans toute la suite, on s'intéresse aux implications que l'on peut déduire de I . Pour tout P dans 17, on suppose que 1 contient l'implication P => P ; une telle implication, nommée boucle, est notée P =>O P. Si P et Q sont dans 17, la notation P =>1 Q signifie que l'implication P => Q appartient a I (pour tout P dans 17, on a donc aussi P =>1 P). EXEURHIpIBIZIOE=4,I= {P030P0, P130P1, P230P2, P3 30P3,P031P2,P231P3, P3 31P0,P3 31P1}. EXEURHIpIBZZ n=4,l= {P030P0, P130P1, P230P2, P330P3, P031P1, P131P2, P231P1, P3 31P2}. Pour P et Q dans 17, P implique Q (autrement dit, P => Q) s'il existe un entier k 2 () et k + 1 propositions PiO, Pi1, ..., Pi], Pi0 ..., Pik appartenant à IÎ tels que l'on ait : . Pi0 : P, ' P@=Q, . pour j vérifiant O 5 j 5 k -- ], l'implication Pi], => Pi0 + 1) appartient a I . + 1)' Avec les notations ci-dessus, on dit alors qu'il existe une preuve de longueur k de l'implication P => Q, ce que l'on note P =>k Q. Les implications de I sont donc les preuves de longueur 0 (si P = Q) ou 1. Dans l'exemple 1, on a PO =>2 P3 car on a PO =>1 P2 et P2 =>1 P3 ; on a aussi PO =>3 P3 car on peut ajouter une boucle en considérant les trois implications PO =>O P0, P0 =>1 P2 et P2 =>1 P3. En revanche, on n'a pas : PO =>2 P1. Dans l'exemple 1, les implications qui peuvent être prouvées mais qui n'appartiennent pas a I sont : PO => P1, P0 => P3, P2 => P0, P2 => P1, P3 => P2. CI 11 -- Pour l'exemple 2, donner la liste des implications qui peuvent être prouvées mais qui n'appartiennent pas a I . Cl 12 -- Soient P et Q dans 17 ; soient h et k deux entiers positifs ou nuls vérifiant: h 5 k. Montrer que si on a P :>}, Q, alors on a aussi P =>k Q. Épreuve d'informatique 2014 Cl 13 -- Soient P et Q dans 17. Montrer qu'on a l'implication P => Q si et seulement si on a P :>" _ 1 Q. Une matrice booléenne est une matrice dont les coefficients prennent uniquement les valeurs faux et vrai (false et true en langage de programmation). Le produit de matrices booléennes s'obtient selon la formule habituelle en prenant comme somme de deux valeurs booléennes le << ou logique >> (disjonction, notée v) et comme produit de deux valeurs booléennes le << et logique >> (la conjonction, notée A) ; le produit de deux matrices A et B est noté A >< B. . . . . vrai vrai faux vrai Par exemple, s1 on cons1dere les deux matr1ces : AO : . et B = . , le faux vra1 vra1 faux . vrai vrai rodu1tA >< B vaut . . p 0 0 (vra1 faux) On ne s'intéressera dans ce probléme qu'à des matrices carrées ; la dimension d'une matrice carrée est son nombre de lignes (et donc de colonnes). Si k est un entier strictement positif, on obtient la matrice Ak en multipliant k -- 1 fois la matrice A par elle--même. Cl 14 -- On considère deux matrices carrées booléennes A et B de même dimension d. Il s'agit d'écrire en langage de programmation le calcul du produit A >< B. Caml : Écrire en Caml une fonction nommée mult telle que, si A et B codent A et B, alors mult A B renvoie une matrice codant le produit A >< B. Pascal : Écrire en Pascal une fonction nommée mult telle que si : 0 A et B, de type Mat rice_Boolean, codentA et B, 0 d, de type Integer, contient la valeur de d, alors mult (A, B, 01) renvoie une matrice, de type Matrice_Boolean, codant le produit A >< B. On considère encore l'ensemble [7 des n propositions logiques P0, P1, ..., Pn _ 1 et l'ensemble ] d'implications initiales entre ces propositions. On associe a 17 et 1 une matrice A carrée booléenne de dimension n définie de la façon suivante : - les lignes et les colonnes de A sont indicées de 0 a n -- 1 ; - soient i et j deux entiers vérifiant O S i S n -- 1 et O 5 j 5 n -- 1 ; en notant A[i, j] le coefficient de A situé sur la ligne d'indice i et la colonne d'indice j, A[i, j] vaut vrai si et seulement si l'implication P,-- => Pj appartient a I . Ainsi, les matrices A1 et A2 correspondant respectivement à l'exemple 1 et à l'exemple 2 sont: vrai faux vrai faux vrai vrai faux faux faux vrai faux faux faux vrai vrai faux faux faux vrai vrai faux vrai vrai faux vrai vrai faux vrai faux faux vrai vrai Matrice A1 Matrice A2 CI 15 --Montrer que, pour i etj vérifiant O S i S n -- 1, 0 5j S n -- 1 et pour tout k strictement positif, le coefficient Ak[i, j] vaut vrai si et seulement si on a P,-- =>k Pj. Épreuve d'informatique 2014 Cl 16 -- Montrer que, pour tout k 2 n -- 1, on aAk : A" _1. On appelle fermeture transitive de A et on note F T(A) la matrice A" _ 1. Cl 17 -- Il s'agit d'écrire en langage de programmation une fonction nommée FT qui calcule la fermeture transitive de A en utilisant des multiplications de matrice. Caml : Écrire en Caml la fonction FT telle que, si A code la matrice A, alors FT A renvoie la matrice F T(A). Pascal : Écrire en Pascal la fonction FT telle que si : 0 A, de type Mat ri ce_Boolean, code la matrice A, 0 n, de type Integer, contient la dimension de A, alors FT (A, n) , de type Mat rice_Boolean, renvoie la matrice FT(A). Cl 18 -- Soit P une proposition appartenant à H. Il s'agit d'écrire en langage de programmation une fonction nommée deduction qui détermine toutes les propositions Q appartenant à H telles que l'on ait P => Q. On utilisera pour cela la récursivité. ATTENTION : On exige que la complexité de cette fonction soit de l'ordre de 112. On ne justifiera pas la complexité de la fonction qui sera écrite. Caml : Écrire en Caml la fonction de du et ion telle que si : 0 A code la matrice A, 0 i est un entier compris entre 0 et n -- 1, alors de du ction A i renvoie un tableau de booléens de longueur n tel que, pour j compris entre 0 et n -- 1, la valeur d'indice j de ce tableau vaut true si et seulement si on a Pi => PJ,. Pascal : Écrire en Pascal la fonction deduction telle que si : 0 A, de type Matrice_Boolean, code la matrice A, 0 n, de type Integer, contient la valeur de n, 0 i, de type Integer, contient un entier compris entre 0 et n -- 1, alors deduction (A, n, i) renvoie un tableau de type Tableau_Boolean tel que, pour j compris entre 0 et n -- 1, la valeur d'indice j de ce tableau vaut true si et seulement si on a Pi => PJ_. CI 19 -- Il s'agit d'écrire en langage de programmation une fonction nommée F T_bis de complexité n3 calculant la matrice F T (A). Caml : En utilisant la fonction de du et ion, écrire en Caml la fonction FT_bi s telle que si A code la matrice A, alors FT_bi s A renvoie la matrice F T(A). Pascal : En utilisant la fonction deduction, écrire en Pascal la fonction FT_bis telle que si : 0 A, de type Matrice_Boolean, code la matrice A, 0 n, de type Integer, contient la valeur de n, alors FT_bi s (A, n) renvoie la matrice F T(A). Soient P et Q deux propositions appartenant à H. On dit que les propositions P et Q sont équivalentes si on a : P => Q et Q => P. Soit P appartenant à H. On dit ici que P est un axiome si on a la propriété suivante : quelle que soit la proposition Q appartenant à 17, si on a Q => P, alors on a aussi P => Q et donc P et Q sont équivalentes ; autrement dit, P est équivalente à toute proposition qui l'implique. -6- Épreuve d'informatique 2014 Cl 20 -- Donner tous les axiomes dans l'exemple 1. CI 21 -- Donner tous les axiomes dans l'exemple 2. On pose B = F T(A). Des questions précédentes, on déduit que, si i et j sont deux entiers compris entre 0 et n -- 1, on a Pi => Pj si et seulement si B[i, j] vaut vrai. CI 22 -- Il s'agit, connaissant la matrice B, de programmer une fonction est_axiome qui indique si une proposition donnée est ou non un axiome. Caml : Écrire en Caml la fonction est_axiome telle que si : 0 B code la matrice B, 0 i est un entier compris entre 0 et n -- 1, alors est_axiome B i renvoie la valeur true si Pi est un axiome et la valeur fa 1 s e sinon. Pascal : Écrire en Pascal la fonction est_axiome telle que si : 0 B, de type Matrice_Boolean, code la matrice B, 0 n, de type Integer, contient la valeur de n, 0 i, de type Integer, contient un entier compris entre 0 et n -- 1, alors est_axiome (B, n, i) renvoie la valeur true si Pi est un axiome et la valeur fa 1 s e sinon. On appelle suite unidirectionnelle de propositions une suite (Q0, Q1, ..., Qh), où h est un entier positif ou nul, telle que : 1. pour i vérifiant O S i 5 h, Qi appartient à H, 2. pour i vérifiant O S i 5 h -- 1, Qi => Qi+1, 3. pour i vérifiant O S i 5 h -- 1, Qi + 1 n'implique pas Qi- El 23 -- Montrer que les propositions d'une suite unidirectionnelle de propositions sont deux a deux distinctes. Cl 24 -- Soit Q une proposition appartenant à 17. Montrer qu'il existe un axiome P avec P => Q. On admet le résultat suivant : on peut partitionner H en sous--ensembles de sorte que deux propositions de H soient équivalentes si et seulement si elles appartiennent au même sous- ensemble. On appelle classes d'équivalence ces sous--ensembles. Par définition : les classes d'équivalence sont non vides, l'union des classes d'équivalence est égale à H, l'intersection de deux classes d'équivalence est vide. Dans l'exemple 1, il y a deux classes d'équivalence : les classes {Po, P2, P3} et {P1 }. Cl 25 -- Donner les classes d'équivalence dans l'exemple 2. CI 26 -- On considère une classe d'équivalence C contenant un axiome. Montrer que toutes les propositions contenues dans C sont des axiomes. Épreuve d'informatique 2014 On dit qu'une classe d'équivalence est une classe source si elle contient un axiome (auquel cas tous les éléments de la classe source sont des axiomes). Soit X une partie de 17. On dit ici que X est une axiomaîique si, quelle que soit la proposition Q appartenant à 17, il existe une proposition P appartenant à X vérifiant P => Q. Cl 27 -- Montrer qu'on obtient une axiomatique de cardinal minimum en choisissant une et une seule proposition dans chacune des classes sources. Cl 28 -- On pose encore B = F T(A). Il s'agit d'écrire en langage de programmation une fonction nommée axiomatique qui détermine une axiomatique de cardinal minimum. On pourra utiliser un tableau pour éliminer, lorsqu'on a choisi un axiome, les axiomes qui lui sont équivalents. Caml : Écrire en Caml la fonction axiomatique telle que, si B code la matrice B, alors axiomatique B renvoie une liste d'entiers contenant les indices de propositions de 17 formant une axiomatique de cardinal minimum. Pascal : On définit le type suivant : type Pile = record table : array [O .. MAX -- 1] of Integer; nb : Integer; end; Si P est de type Pile, P code une pile de P . nb entiers situés dans P . table entre les indices O et P . nb -- 1. Écrire en Pascal la fonction axiomat ique telle que si : 0 B, de type Matrice_Boolean, code la matrice B, 0 n, de type Integer, contient la valeur de n, alors axiomatique (B, n) renvoie un résultat de type Pile contenant les indices de propositions de 17 formant une axiomatique de cardinal minimum.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Mines Informatique MP 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Charles-Pierre Astolfi (ENS Cachan) ; il a été relu par Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) et Benjamin Monmege (ENS Cachan). Ce sujet comporte deux parties indépendantes, l'une sur les automates et l'autre sur la logique. Le tout est assez long, avec peu de questions de programmation. · La partie I s'intéresse à la reconnaissance de mots sur un alphabet {a, b} pour lesquels le nombre d'occurrences de a s'exprime en fonction du nombre d'occurrences de b à l'aide d'une application f : N N. On y retrouve des questions très classiques pour ce concours : déterminisation d'automate, dessin d'automates reconnaissant des cas particuliers, utilisation des propriétés de clôture des langages rationnels. Aucune question de programmation n'est présente dans cette partie. · Bien que le contexte et le vocabulaire de la partie II soient liés à la partie logique du programme, il s'agit en fait ni plus ni moins que d'un problème d'accessibilité et de calcul de composantes fortement connexes dans un graphe orienté. Cette notion est l'extension naturelle de la recherche de composantes connexes dans un graphe non orienté, notion faisant dorénavant explicitement partie du programme de l'option informatique. Cette partie est une application presque directe du cours. Indications Partie I 1 Déterminer une expression rationnelle qui décrit L(f1 ) puis donner son automate. 2 Discuter la forme d'un mot u de L(f2 ) suivant la parité du nombre d'occurrences de la lettre b dans un mot. 4 Assembler l'automate de la question précédente avec les automates reconnaissant et . 6 Par l'absurde, supposer qu'il existe un automate à N états qui reconnaît L(f ) avec f non majorée. Alors l'exécution d'un mot de longueur supérieure à N (un tel mot existe car f est non majorée) sur cet automate passe deux fois par le même état. 7 Trouver la fonction f qui vérifie L= = L(f ). 8 En notant L> le langage {u tel que |u|a > |u|b }, vérifier et utiliser le fait que L= = L6 L> . 9 Considérer le complémentaire de L> . 10 Considérer la fonction P, indicatrice des nombres premiers puis intersecter L(P) avec b . Partie II 13 Montrer qu'une preuve de longueur minimale entre deux propositions est de longueur au plus n - 1. 15 Procéder par récurrence sur k. 16 Utiliser les questions 12, 13 et 15. 18 Effectuer un parcours en profondeur du graphe représentant les implications. 23 Raisonner par l'absurde. 24 Par l'absurde, construire une suite unidirectionnelle de longueur n + 1 et conclure en utilisant la question 23. 27 Utiliser la question 24 pour prouver que l'on a bien une axiomatique, puis prouver que toute axiomatique contient au moins autant d'éléments que de classes d'équivalence. 28 Parcourir les propositions dans l'ordre, en « marquant », pour chaque axiome, les propositions qui lui sont équivalentes. I. Automates et langages 1 L(f1 ) est l'ensemble des mots qui contiennent exactement deux fois la lettre a. Ce langage est décrit par l'expression rationnelle b ab ab . L'automate ci-dessous reconnaît L(f1 ). b b b a a 2 Les mots de L(f2 ) ne peuvent contenir que 0 ou 1 fois la lettre a. Plus précisément, L(f2 ) = {bn | n > 0 et n impair} {bp abq | p, q > 0 et p + q pair} Montrons que L(f2 ) = (bb) (bab + a + b)(bb) . Soit u L(f2 ). · Si u = bn avec n > 0 et n impair, alors il existe un entier k > 0 tel que n = 2k + 1, de sorte que u = (bb)k b qui est de la forme voulue. · Si u = bp abq avec p, q > 0 et p + q pair, raisonnons selon la parité de p et q (qui ont forcément la même parité, car leur somme est paire). Si p et q sont tous les deux pairs, alors il existe k et positifs tels que p = 2k et q = 2. Dans ce cas, u est de la forme (bb)k a(bb) . Si p et q sont tous les deux impairs, alors il existe k et positifs tels que p = 2k + 1 et q = 2 + 1. Dans ce cas, u est de la forme (bb)k bab(bb) . Dans tous les cas, u est de la forme décrite par (bb) (bab + a + b)(bb) , ce qui prouve que L(f2 ) (bb) (bab + a + b)(bb) . Réciproquement, soit u un mot appartenant au langage dénoté par l'expression rationnelle (bb) (bab + a + b)(bb) . Trois cas sont à distinguer (où k, > 0) : · Si u = (bb)k b(bb) , alors u = b2k+2+1 . Or 2k + 2 + 1 est impair donc u L(f2 ). · Si u = (bb)k a(bb) , alors u = b2k ab2 . Or 2k + 2 est pair donc u L(f2 ). · Si u = (bb)k bab(bb) avec k, > 0, alors u = b2k+1 ab2+1 . Or 2k + 1 + 2 + 1 est pair donc u L(f2 ). En conclusion, Le langage L(f2 ) est représenté par l'expression rationnelle (bab + a + b) avec = (bb) = . 3 Un automate non déterministe qui reconnaît bab + a + b est donné ci-dessous. a b b a b 4 L'automate ci-dessous reconnaît le langage (bb) . b b En le plaçant de part et d'autre de l'automate de la question 2, on obtient un automate qui reconnaît le langage décrit par l'expression rationnelle (bb) (bab+a+b)(bb). a 2 3 b b b 4 b a 0 1 5 b b b Les états sont numérotés pour pouvoir les utiliser lors de la déterminisation de l'automate dans la question suivante. 5 Construisons la partie accessible de l'automate déterministe des parties. Pour cela, on maintient un ensemble E de parties d'états ne contenant initialement que le singleton {0} réduit à l'état initial. On ajoute ensuite itérativement les parties d'états accessibles dans l'automate non déterministe, à partir d'une des parties de E. Par exemple, dans l'automate non déterministe, on peut atteindre l'état 1 (respectivement les états 1, 2 et 4) en lisant la lettre a (respectivement la lettre b) depuis 0. On ajoute donc les parties d'états {1, 2, 4} et {1} à E. On recommence le procédé jusqu'à ne plus ajouter de parties d'états à E. L'automate des parties est donné ci-dessous. L'état initial est {0} et les états finals (ceux possédant au moins un état final de l'automate non déterministe) sont {1, 2, 4} et {1}. Sa table de transition est la suivante : {0} {0} {1} {1} {1, 2, 4} {1, 2, 4} {3} {3} {0, 5} {0, 5} {5} {5} a b a b a b a b a b a b a b {1} {1, 2, 4} {5} {3} {0, 5} {1} {1} {1, 2, 4} {1} a {1, 2, 4} {3} b b b {0, 5} b a b {0} a {1} {5} b