Mines Informatique MP 2013

Thème de l'épreuve Recherche d'un motif dans un texte
Principaux outils utilisés tableaux, automates
Mots clefs recherche de motif, automate des suffixes

Corrigé

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A 2013 INFO. MP ECOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (EILIERE MP) ECOLE POLYTECHNIQUE (EILIERE TSI) CONCOURS 2013 EPREUVE d'INFORMATIQUE Filière : MP Durée de l'épreuve : 3 heures. L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Sujet mis àla disposition des concours : CYCLE INTERNATIONAL, ECOLES DES MINES, TELECOM SUDPARIS, TPE--EIVP. L'én0ncé de cette épreuve comporte 14 pages. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : INFORMATIQUE - MP Recommandations aux candidats 0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures même s'il n'a pas été démontré. 0 Il ne faut pas hésiter à formuler les commentaires qui semblent pertinents même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Composition de l'épreuve L'épreuve comporte un seul problème. Page 1 sur 14 Épreuve d'informatique 2013 Préliminaire concernant la programmation. Il faudra écrire des fonctions ou des procédures à l'aide d'un langage de programmation qui pourra être soit Caml, soit Pascal, tout autre langage étant exclu. Indiquer en début de problème le langage de programmation choisi; il est interdit de modifier ce choix au cours de l'épreuve. Certaines questions du problème sont formulées différemment selon le langage de programmation; cela est indiqué chaque fois que nécessaire. Par ailleurs, pour écrire une fonction ou une procédure en langage de programmation, le candidat pourra définir des fonctions ou des procédures auxiliaires qu'il explicitera, ou faire appel à d'autres fonctions ou procédures définies dans les questions précédentes. Dans l'énoncé du problème, un même identificateur écrit dans deux polices de caractères différentes désigne la même entité, mais du point de vue mathématique pour la police écrite en italique (par exemple : p) et du point de vue informatique pour celle écrite en romain (par exemple : p). Le but du sujet est d'étudier plusieurs algorithmes de recherche d'un mot, appelé motif, dans un texte. Un alphabet 2 est un ensemble fini d'éléments appelés lettres. Un mot sur 2 est une suite finie, éventuellement vide, de lettres de 2 ; la longueur d'un mot u est le nombre de lettres composant u ; le mot de longueur nulle est noté 8. L'ensemble des mots sur 2 est noté Z*. L'alphabet 2 utilisé est un sous-ensemble de l'alphabet usuel composé des 26 lettres de a à z. Si u est un mot, on note l(u) la longueur de u ; la notation u,-- désigne la (i + 1)6 lettre de u. Le mot u s'écrit donc : u : u0u1...ul(u) _ 1. On dit que la lettre u,-- est à la position i. On dit qu'un mot f sur 2 est un facteur d'un mot u sur 2 s'il existe deux mots v et w sur 2 avec u : vfw, où vfw désigne le mot obtenu en concaténant v, f et w ; on appelle alors position de f l'indice de u où f commence ; on dit que f figure dans u a la position l(v). Si v est le mot de longueur nulle, on dit que f est un préfixe de u ; si w est le mot de longueur nulle, on dit que f est un sufi'ixe de u. Il peut exister dans un mot plusieurs occurrences d'un même facteur. Le mot de longueur nulle, 8, est considéré comme étant préfixe et suffixe de tout mot. Dans tout l'énoncé, on considère deux mots tet rn sur un alphabet 2 de longueurs non nulles, appelés respectivement texte et motif. On suppose que toute lettre de l'alphabet 2 apparaît au moins une fois dans t. On veut résoudre le problème (P) suivant : (P) déterminer la position de chaque occurrence de m dans t. On supposera toujours qu'on a: l(m) S l(t); on ne vérifiera pas cette condition dans la programmation. Par exemple, quand rn : abab et t : aaabababbbbalyalybbaa, rn est un facteur de t et figure aux positions 2, 4 et 11. Indications pour la programmation Caml Les mots sont codés en utilisant le type string de Caml. Si u est de type string et si i est un entier correspondant à un indice d'une lettre de u, string_length u renvoie le nombre de lettres de u et u . [i] est le caractère se trouvant dans u à l'indice i. Fin des indications pour Caml Page 2 sur 14 Épreuve d'informatique 2013 Pascal On utilise les définitions suivantes : const MAX_LONGUEUR = 100; const MAX_SIGMA = 26; type tab_char = array[0 .. MAX_LONGUEUR -- 1] of char; type tab_int_sigma = array[0 .. MAX_SIGMA -- 1] of integer; type pile = RECORD nb : integer; table : array[0 .. MAX_LONGUEUR -- 1] of integer; end; La constante MAX_LONGUEUR donne la longueur maximum des mots considérés. La constante MAX_S I GMA donne le nombre maximum de lettres de l'alphabet. Les mots sont toujours codés en utilisant des tableaux de type tab_char ; les lettres du mot sont écrites consécutivement dans ce tableau à partir de l'indice 0. Fin des indications pour Pascal Première partie : algorithme simple Cl 1-- Soit s un entier positif ou nul vérifiant la relation s + Km) 5 l(t). Il s'agit d'écrire une fonction est_present qui permette de savoir si m figure dans t a la position s. La fonction parcourt les lettres du motif m de la gauche vers la droite et arrête la recherche des que possible. Caml : Écrire en Caml une fonction nommée est_present telle que, si : 0 m et t, de type string, codent m et t, 0 s code l'entier s, alors est_present m t s renvoie le booléen true si m figure dans t a la position s et le booléen f al se dans le cas contraire. Pascal : Écrire en Pascal une fonction nommée est_present telle que, si : 0 m et t, de type tab_char, contiennent m et t, . lm, de type int ege r, contient la longueur de m, 0 s, de type integer, contient la valeur de s, alors est_present (m, lm, t, s) renvoie le booléen true si m figure dans t àla position s et le booléen f al se dans le cas contraire. Cl 2 --Préciser la complexité de la fonction est_present dans le pire cas et le meilleur cas. Cl 3 -- Il s'agit d'écrire une fonction nommée positions qui résout le probléme (P) en utilisant la fonction est_present. Caml : Écrire en Caml la fonction positions telle que si m et t, de type string, codent m et t, alors positions m t renvoie une liste contenant les positions de m dans t. Page 3 sur 14 Épreuve d'informatique 2013 Pascal : Écrire en Pascal la fonction pos it ions telle que si : 0 m et t, de type t ab_char, contiennent m et t, . lm et lt, de type integer, contiennent les longueurs de m et t, alors positions (m, lm, t , lt) renvoie un résultat de type pile contenant, dans le champ (ou membre) nb, le nombre de positions de m dans t et, dans le champ table, la liste des positions de m dans t. Cl 4 -- Préciser, pour une valeur de [(t) 2 1 quelconque et 1071) S l(t) quelconque, la complexité dans le pire cas de la fonction positions ; on exprimera cette complexité en fonction de [(t) et l(m). Donner un exemple de deux mots m et t pour lesquels cette complexité est atteinte. Deuxième partie : une amélioration de la méthode précédente Dans la recherche simple, lorsque la recherche du motif m en position s est terminée, on poursuit la recherche en position s + 1. On peut améliorer cet algorithme en poursuivant si possible la recherche un peu plus loin dans le texte t ; pour cela, on suit la méthode décrite plus bas nommée algorithme amélioré. On note nb_2 le cardinal de 2. On numérote les lettres de 2 de () a nb_2 -- 1. On suppose que l'on a défini en langage de programmation une fonction numero telle que : 0 en Caml, si x, de type char, code une lettre x de Z, numero x renvoie le numéro de la lettre x dans 2 ; 0 en Pascal, si x, de type char, code une lettre x de Z, numero (x) renvoie une valeur de type integer donnant le numéro de la lettre x dans 2. On ne demande pas d'écrire en langage de programmation la fonction numero. On suppose que cette fonction a une complexité constante. On introduit un tableau D d'entiers défini comme suit. Si l'entier k vérifie 0 5 k 5 nb_2 -- 1, la case d'indice k du tableau D contient la position de la derniére occurrence de la lettre de numéro k dans le motif m. Par convention, si cette lettre n'est pas présente dans le motif m, cette position est égale à --1. Par exemple, pour 2 = {a, b, c} et pour le motif bboa, on a nb_2 : 3, le numéro de la lettre a est 0, celui de la lettre la est 1, celui de la lettre c est 2 et le tableau D contient : 0 dans la case d'indice 0, la valeur 3, 0 dans la case d'indice ], la valeur 1, 0 dans la case d'indice 2, la valeur --1. Cl 5 -- Il s'agit de construire le tableau D en un temps linéaire en la longueur [(m) du motif m. On justifiera la complexité linéaire de la construction du tableau D. Caml : Écrire en Caml une fonction nommée calcul_D telle que, si : 0 m, de type string, code le motif m, . an igma contient le nombre de lettres de l'alphabet 2, alors cal cul_D m an igma renvoie un vecteur (ou tableau) codant le tableau D. Pascal : Écrire en Pascal une fonction nommée calcul_D telle que, si : 0 m, de type tab_char, contient m, . lm, de type integer, contient la longueur de m, . anigma, de type int ege r, contient le nombre de lettres de l'alphabet Z, Page 4 sur 14 Épreuve d'informatique 2013 alors calcul_D(m, lm, anigma) renvoie un tableau de t ab_int_s igma codant le tableau D. type Pour décrire l'algorithme amélioré, on introduit la notion de fenêtre de recherche. Cette fenêtre dépend d'un indice bvérifiant 0 $ $ S [(t) -- [(m) ; cette fenêtre contient les [(m) lettres consécutives de t comprises entre les indices bet @+ [(m) -- 1 ; ces lettres sont mises en regard avec les [(m) lettres du motif m. On dit alors que la fenêtre est à la position ei Dans l'algorithme, la fenêtre se déplace toujours de la gauche vers la droite; le motif se déplace avec la fenêtre alors que le texte ne bouge pas. On considère l'exemple défini par : Exemple] : tl : ababbaaacabbaab ml : bbaa Au départ de l'algorithme amélioré, $ : 0 et la fenêtre de recherche est en gris sur la figure 1. Indices 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 tl a a b b a a a c a b b a a b ml b b a a Figure 1 : fenêtre de recherche àla position 0 On examine cette position de la fenêtre en comparant le facteur abab de tl qui est dans la fenêtre avec le motif ml qui est en regard et on constate que ce facteur n'est pas une occurrence de ml dans tl . On considère alors la lettre de tl qui se trouve a droite de la fenêtre de recherche ; c'est la lettre b à l'indice 4 de tl en gras sur la figure 1 ; on note cle" cette lettre. On remarque que si on considère la fenêtre de recherche positionnée à l'indice 1 ou à l'indice 2, la lettre du motif ml qui se trouve en regard de cle" n'est pas la lettre b, c'est la lettre a dans les deux cas : l'examen de ces deux positions de la fenêtre ne permettrait pas de découvrir une occurrence du motif dans le texte. C'est pourquoi on n'examine pas les positions 1 et 2 de la fenêtre. En revanche, si on met la fenêtre en position 3, cle" est en regard de la dernière apparition de la lettre b dans ml , en gras sur la figure 1 ; on retient cette position pour savoir si le motif figure on non à l'indice 3 du texte. La fenêtre de recherche est maintenant en gris sur la figure 2 : Indices 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 tl a a b b a a a c a b b a a b ml b b a a Figure 2 : fenêtre de recherche àla position 3 On examine la fenêtre et on constate que tl contient une occurrence de ml àla position 3. Maintenant, cle" est la lettre de tl qui se trouve à l'indice 7 en gras sur la figure 2 : il s'agit de la lettre a. On déplace la fenêtre pour que cle" se trouve en regard de la derniére occurrence de la lettre a dans ml , en gras sur la figure 2 ; on déplace en conséquence la fenêtre d'une seule case, elle se trouve alors a la position 4 et est représentée sur la figure 3. On examine la fenêtre et on constate que tl ne contient pas une occurrence de ml à l'indice 4. Page 5 sur 14 Épreuve d'informatique 2013 Indices 0 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 tl a b a b b a a a a b b a a b ml b b a a Figure 3 : fenêtre de recherche àla position 4 On continue avec le même principe pour trouver d'autres éventuelles occurrences de ml dans tl . Maintenant, cle" est la lettre de tl qui se trouve à l'indice 8, en gras sur la figure 3 : il s'agit de la lettre c. Le déplacement suivant consistera à décaler la fenêtre vers la droite en n'examinant pas les positions qui mettraient en regard de cle" une lettre de ml différente de la lettre c. Cl 6 -- Dans l'exemple de la figure 3, indiquer la prochaine position de la fenêtre de recherche et dire si cette position correspond ou non a une occurrence de ml dans tl . Cl 7 -- Décrire la suite du déroulement de l'algorithme appliqué à Exemple] jusqu'à ce qu'on puisse conclure que toutes les occurrences de ml dans tl ont été déterminées. On poursuivra les déplacements de la fenêtre vers la droite en utilisant le même principe que précédemment. Cl 8 -- On revient au déroulement de l'algorithme amélioré dans le cas général. On suppose que la fenêtre est a la position $ et que l'on a l(t) > a) + 2l(m). En utilisant le tableau D et la fonction numero décrits plus haut, indiquer la position suivante de la fenêtre. Cl 9 -- Il s'agit d'écrire une fonction positions2 qui résout le probléme (P) en appliquant l'algorithme amélioré. Caml : Écrire en Caml la fonction pos it ionsZ telle que si : 0 m et t, de type string, codent m et t, . an igma contient le nombre de lettres de l'alphabet 2, alors positionsZ m t anigma renvoie une liste contenant les positions de m dans t déterminées selon l'algorithme amélioré. Pascal : Écrire en Pascal la fonction po 5 it ions 2 telle que si : 0 m et t, de type tab_char, contiennent m et t, . lm et lt, de type integer, contiennent les longueurs de m et t, . anigma, de type integer, contient le nombre de lettres de l'alphabet 2, alors positionsZ (m, lm, t , lt , anigma) renvoie un résultat de type pile contenant, dans le champ nb, le nombre de positions de m dans t et, dans le champ t able, la liste des positions de m dans t déterminées selon l'algorithme amélioré. Cl 10 -- Préciser, en fonction de l(t) et l(m), la complexité dans le meilleur cas de la fonction positions2. On ne prendra pas en compte la complexité du calcul du tableau D. Donner un exemple qui atteint cette complexité. Dans toute la suite, on se propose de résoudre le probléme (P) a l'aide d'automates. Un automate A est décrit par un quintuplet (2, Q, ], F, 7), où : Page 6 2 est un alphabet ; Q est un ensemble fini et non vide appelé ensemble des états de A ; I g Q est appelé ensemble des états initiaux de A ; sur 14 Épreuve d'informatique 2013 . F g Q est appelé ensemble des états finals de A ; 0 T g Q >< 2 >< Q est appelé l'ensemble des transitions; étant donnée une transition (p, X, a) E T, on dit qu'elle va de l'état p à l'état q et qu'elle est d'étiquette x; on pourra la noter p % q ; on dit aussi que p est l'origine de la transition et a son extrémité. Un calcul de A est une suite de la forme po % p1 % 192 pk _ 1 % pk où, pour 0 S i S k -- 1, p,-- x% p... est une transition ; po est l'origine du calcul, pk son extrémité. L'étiquette du calcul est le mot x0x1x2. . .xk _ 1 formé par la suite des étiquettes des transitions successives. Un calcul de A est dit réussi si son origine est dans I et son extrémité dans F. Un mot m sur 2 est reconnu par A s'il est l'étiquette d'un calcul réussi. Le langage reconnu par A, noté L(A), est l'ensemble des mots reconnus par A. L'automate A est dit déterministe si 1 contient exactement un élément et si, pour tout p & Q et tout x EUR 2, il existe au plus un état a & Q avec (p, X, a) E T. L'automate A est dit complet si, pour tout p & Q et tout x EUR 2, il existe au moins un état a & Q avec (p, X, a) E T. Si A est un automate déterministe complet, on définit sa fonction de transition 5 de (Q >< E) dans Q par : 5(p, x) = a si et seulement si (p, X, a) E T. On définit alors, récursivement, une fonction 5* de (Q >< 2 *) dans Q par : ' sipEUR Q, 5*(p, 8)=19. . sip EUR Q, u EUR 2* etxe Z, 5*(p, ux) : 5(5*(p, u),x). Dans tout le sujet, les automates considérés auront un seul état initial. On notera an le nombre d'états d'un automate; les états seront numérotés de 0 a an -- 1. L'état initial possédera toujours le numéro 0. Si p est le numéro d'un état, on dira qu'il s'agit de l'état p, identifiant ainsi un état avec son numéro. Un automate peut être représenté par un dessin comme il est fait ci-dessous pour représenter l'automate Aex, qui est déterministe et non complet. Aex possède trois états : O, 1 et 2. L'état () est l'état initial. ° a ° b @ Aex possède un seul état final, l'état 2. Aex possède trois transitions, les transitions @ . (0, a, 1), (1, a, 1) et (1, b, 2)- Figure 4 : l'automate Aex Troisième partie : implémentation d'un automate L'automate Aex représenté sur la figure 4 sert d'exemple ci-dessous pour illustrer le codage d'un automate en langage de programmation. Indications pour Caml On utilise une constante définie par : let MAX_Q = 100 ;; MAX_Q donne le nombre maximum d'états des automates considérés. Page 7 sur 14 Épreuve d'informatique 2013 Pour représenter l'ensemble des états finals d'un automate, on utilise une liste, de type int li st, qui contient les numéros des états finals. Si p est un état d'un automate, une transition d'origine p est codée par un couple de type (char * int) contenant l'étiquette de cette transition et le numéro de l'extrémité de cette même transition. Si p est un état d'un automate, on représente l'ensemble des transitions d'origine p par la liste des transitions d'origine p ; cette liste est de type (char * int) list. L'ensemble des transitions d'un automate A est codé par un vecteur ; si p vérifie les inégalités () S p S an -- l, l'élément d'indice p de ce vecteur contient la liste des transitions d'origine p. Ce vecteur est ainsi en Caml de type (char * int) list vect . Pour définir un automate A, on utilise le type enregistrement (type produit) suivant : type automate = {an : int; F : int list; T : (char * int) list vect; };; dans lequel les champs (ou membres) correspondent : 0 pour an, au nombre d'états de A, 0 pour F, a la liste des états finals de A, 0 pour T, à l'ensemble des transitions de A. L'automate Aex de la figure 4 peut être défini par : let T_Aex = make_vect 3 [];; T_Aex. (0) <-- [ ('a' , l)]; T_Aex.(l) <-- [('a',1); ('b',2)];; let Aex = {an = 3 ; F = [2]; T = T_Aex};; Fin des indications pour Caml Indications pour Pascal On ajoute les définitions suivantes aux définitions données plus haut : const MAX_Q = 100; type transition = RECORD etiquette : char; extremite : integer; end; type tab_int_Q = array[0 .. MAX_Q -- 1] of integer; type tab_transition = array[0 .. MAX_STGMA -- 1] of transition; type tab_tab_transition = array[0 .. MAX_Q -- 1] of tab_transition; type automate = RECORD an : integer; an : integer; F : tab_int_Q; an : tab_int_Q; T : tab_tab_transition; end; La constante MAX_Q donne le nombre maximum d'états des automates considérés. Page 8 sur 14 Épreuve d'informatique 2013 Si p est un état d'un automate, une transition d'origine p est codée par un enregistrement de type transition, le champ (ou membre) etiquette contenant l'étiquette de cette transition et le champ ext remite le numéro de l'extrémité de cette même transition. Si p est un état d'un automate, on représente l'ensemble des transitions d'origine p en utilisant un tableau de type tab_transition (on ne codera que des automates déterministes avec le type automate). L'ensemble des transitions d'un automate est codé par un tableau de type tab_t ab_transition, la case d'indice p de ce tableau contenant la liste des transitions d'origine p. Un automate déterministe A sera codé par un enregistrement de type automate dans lequel les champs (ou membres) correspondent : 0 pour an, au nombre d'états de A ; 0 pour an, au nombre d'états finals de A ; 0 pour F, a un tableau contenant la liste des états finals de A ; 0 pour an, a un tableau donnant les nombres de transitions issues de chaque état ; plus précisément, si p est compris entre () et an -- 1, an [p] contient le nombre de transitions d'origine p ; 0 pour T, à l'ensemble des transitions de A. L'automate Aex de la figure 4 peut être défini par une variable Aex de type automate avec les instructions : Aex.an := 3; Aex.an := 1; Aex.F[0]:= 2; Aex.an[0] = 1; Aex.T[0][0].etiquette := 'a'; Aex.T[0][0].extremite := 1; Aex.an[1] := 2; Aex.T[1][0].etiquette := 'a'; Aex.T[1][0].extremite := 1; Aex.T[1][1].etiquette .= 'b', Aex.T[1][1].extremite := 2; Aex.an[2] := 0; Fin des indications pour Pascal Soit A un automate déterministe sur un alphabet 2. Cl 11 -- Il s'agit de savoir si un état est final ou non. On rappelle qu'un état est identifié avec son numéro. Caml : Écrire en Caml une fonction nommée est_f inal telle que si : 0 A, de type automate, code l'automate A, 0 p est un entier codant un état de A, alors est_final A p renvoie le booléen true si p est un état final de A et false sinon. Indiquer la complexité de cette fonction. Pascal : Écrire en Pascal une fonction nommée est_f inal telle que si : 0 A, de type automate, code l'automate A, 0 p, de type integer, contient un état de A, alors est_f inal (A, p) renvoie un booléen qui vaut true si p est un état final de A et f al se dans le cas contraire. Indiquer la complexité de cette fonction. Page 9 sur 14 Épreuve d'informatique 2013 Cl 12 -- On suppose que p est un état et x une lettre ; on veut connaître l'état q atteint à partir de l'état p par la transition d'étiquette x si cette transition existe. On rappelle que le cardinal de l'alphabet est majoré par une constante (égale à 26). Caml : Écrire en Caml une fonction nommée et at_suivant telle que si : 0 A, de type automate, code l'automate A, 0 p est un entier codant un état de A, 0 x est une lettre appartenant à 2, alors et at_suivant A p x renvoie un entier codant l'état q tel que (p, x, q) soit une transition de A si cette transition existe et -- 1 sinon. Indiquer la complexité de cette fonction. Pascal : Écrire en Pascal une fonction nommée et at_suivant telle que si : 0 A, de type automate, code l'automate A, 0 p, de type integer, contient le numéro d'un état de A, 0 x, de type char, contient une lettre appartenant à 2, alors et at_suivant (A, p, x) renvoie une valeur de type integer contenant l'état q tel que (p, x, q) soit une transition de A si cette transition existe et --1 sinon. Indiquer la complexité de cette fonction. CI 13 -- Il s'agit de déterminer l'état, s'il existe, qui est extrémité du calcul dont l'origine est l'état initial et dont l'étiquette est un mot donné. Caml : Écrire en Caml une fonction nommée execut ion telle que si : 0 A, de type automate, code l'automate A, 0 u, de type string, code un mot M sur 2, alors exe cut ion A u renvoie un entier codant l'état q qui est l'extrémité du calcul dont l'origine est l'état initial et dont l'étiquette est M, si q existe, et --1 sinon. Indiquer la complexité de cette fonction. Pascal : Écrire en Pascal une fonction nommée execut ion telle que si : 0 A, de type automate, code l'automate A, 0 u, de type tab_char, contient un mot M sur Z, 0 lu, de type integer, contient la longueur de u, alors execution (A, u, lu) renvoie une valeur de type integer donnant l'état q qui est extrémité du calcul dont l'origine est l'état initial et dont l'étiquette est M, si q existe, et -- 1 sinon. Indiquer la complexité de cette fonction. CI 14 -- Il s'agit de savoir si un mot est reconnu ou non par un automate. Caml : Écrire en Caml une fonction nommée reconnait telle que si : 0 A, de type automate, code l'automate A, 0 u, de type string, code le mot M sur 2, alors reconnait A u renvoie le booléen true si le mot u est reconnu par A et f al 5 e sinon. Indiquer la complexité de cette fonction. Pascal : Écrire en Pascal une fonction nommée reconnait telle que si : 0 A, de type automate, code l'automate A, 0 u, de type tab_char, contient le mot M sur Z, 0 lu, de type integer, contient la longueur de u, alors reconnait (A, u, lu) renvoie le booléen true si le mot u est reconnu par A et f al 5 e sinon. Indiquer la complexité de cette fonction. Page 10 sur 14 Épreuve d'informatique 2013 CI 15 -- On considère un automate A déterministe complet sur un alphabet E, un état p de A et une lettre x de 2. L'objectif de la question est de concevoir une fonction permettant de modifier l'extrémité de la transition d'origine p et d'étiquette x. Caml: On considère une liste, nommée trans, de type (char * int) list, codant l'ensemble des transitions d'origine p. Écrire en Caml une fonction remplace telle que, si : 0 x code la lettre x, 0 q code un état de A, alors remplace x trans q renvoie une liste identique a trans sauf que le couple contenant l'étiquette x est remplacé par le couple (x, q) . Indiquer la complexité de cette fonction. Pascal : On considère un tableau, nommé trans, de type tab_transition, codant l'ensemble des transitions d'origine p. Écrire en Pascal une fonction remplace telle que, si : 0 x, de type char, contient la lettre x, 0 q, de type intege r, contient un état de A, alors remplace (x, trans, q) renvoie un tableau de type tab_transition identique a trans sauf que le couple contenant l'étiquette x est remplacé par le couple (x , q) . Indiquer la complexité de cette fonction. Quatrième partie : utilisation d'automates. On considère un mot m sur 2 : m : mOm1...ml(m) _ 1. Cl 16 -- Dessiner un automate déterministe comportant [(m) + 1 états reconnaissant le langage réduit au seul mot m. On note Am cet automate. Cl 17 -- Il s'agit de construire l'automate Am en langage de programmation. Caml : Écrire en Caml une fonction nommée aut omat e_de_mot telle que, si m, de type string, code le mot m, alors aut omate_de_mot m renvoie un résultat de type automate codant l'automate Am. Pascal : Écrire en Pascal une fonction nommée aut omat e_de_mot telle que, si : 0 m, de type tab_char, contient le mot m, . lm, de type intege r, contient la longueur de m, alors aut omat e_de_mot (m, im) renvoie un résultat de type automate codant l'automate Am. El 18 -- Il s'agit d'utiliser l'automate Am pour déterminer si un mot M sur 2 est préfixe du mot m. Caml : Écrire en Caml une fonction nommée est_prefixe telle que, si m et u, de type string, codent les mots m et u, alors est_prefixe m il renvoie le booléen t rue quand u est préfixe de m et f al se dans le cas contraire. On utilisera les fonctions aut omat e_de_mot et execution. Page 11 sur 14 Épreuve d'informatique 2013 Pascal : Écrire en Pascal une fonction nommée e st_pref ixe telle que, si : 0 m et u, de type tab_char, contiennent les mots m et u, . lm et lu, de type integer, contiennent les longueurs de m et u, alors est_prefixe (m, lm, u, lu) renvoie le booléen true quand u est préfixe de m et f al se dans le cas contraire. On utilisera les fonctions aut omat e_de_mot et execution. CI 19 -- On s'intéresse à présent au langage composé des mots dont m est suffixe. On le note LSm. Montrer que ce langage est rationnel. CI 20 -- Expliquer comment on peut modifier l'ensemble des transitions de Am pour obtenir un automate non déterministe reconnaissant LSm. On note ASm cet automate. On considère le cas où 2 = {a, b} et m = ab. Dessiner l'automate ASab. CI 21 -- Déterminiser l'automate ASab dessiné a la question précédente. On utilisera pour cela un algorithme de déterminisation d'automate. Soit t un texte et m un motif. On note DSm un automate déterministe complet reconnaissant le langage LSm ; on suppose que DSm a un seul état final. CI 22 -- Décrire les principes d'un algorithme utilisant l'automate DSm pour résoudre le probléme (P). L'algorithme devra avoir une complexité de l'ordre de la longueur de t. Justifier la validité de cet algorithme avec soin. CI 23 -- Il s'agit de programmer l'algorithme précédent. Caml: On suppose que l'on dispose d'une fonction DS telle que, si m est de type string, alors DS m renvoie un résultat de type automate codant l'automate DS,". En utilisant cette fonction, écrire en Caml une fonction nommée pos it ions 3 telle que, si m et t, de type string, codent le motif m et le texte t, alors positions3 m t résout le probléme (P), c'est-à-dire renvoie une liste contenant les positions du motif m dans le texte t. Pascal : On suppose que l'on dispose d'une fonction DS telle que, si : 0 m, de type tab_char, contient le mot m, . lm, de type integer, contient la longueur de m, alors DS (m, im) renvoie un résultat de type automate codant l'automate DS,". En utilisant cette fonction, écrire en Pascal une fonction nommée posit ions3 telle que, si : 0 m et t, de type tab_char, contiennent m et t, . lm et lt, de type integer, contiennent les longueurs de m et t, alors positions3 (m, lm, t, lt) résout le probléme (P), c'est-à-dire renvoie un résultat de type pile contenant, dans le champ nb, le nombre de positions de m dans tet, dans le champ table, la liste des positions du motif m dans le texte t. Page 12 sur 14 Épreuve d'informatique 2013 Cinquième partie : automate des suffixes Le but de cette la partie est d'écrire un automate déterministe complet, avec un seul état final, reconnaissant le langage LSm. On considère un alphabet 2 et un mot m : moml...ml(m) _1 sur 2. On note Pref(m) l'ensemble des préfixes de m. Soit hm l'application de 2* dans Pref(m) définie par : pour tout mot a sur 2 , hm(u) est le plus long mot a la fois suffixe de a et préfixe de m. Cl 24 -- Préciser hm(u) pour tout mot a quand m est réduit à une seule lettre x EUR 2. On revient au cas général : m est un mot quelconque sur 2. Cl 25 -- Soit a E E*. Montrer que a & LSm si et seulement si hm(u) : m. CI 26 -- Préciser hm(8). Préciser hm(u) quand a est un préfixe de m. Cl 27 -- Montrer que hm(ux) : hm(hm(u)x) pour tout mot a et toute lettre x. On définit un automate déterministe et complet sur l'alphabet Z, noté Sm, de la façon suivante : 0 les états de Sm sont les préfixes de m, . l'état initial de Sm est 8, . l'état final de Sm est m, 0 pour tout préfixe a de m et toute lettre x, (n, x, hm(ux)) est une transition de Sm et Sm n'admet pas d'autres transitions que les transitions de cette forme. Convention : on numérote les états de Sm ; l'état initial sest noté () et pour i compris entre l et l(m), le préfixe moml...mi_1 est noté i. Cl 28 -- On suppose que l'on a 2 = {a, b}. Dessiner l'automate Sg. Indication : cet automate n'a qu'un seul état, noté 0. El 29--On suppose que l'on a 2 = {a, b} et on considère le mot ab. Dessiner l'automate S ab en représentant les états par leurs numéros. Indication : cet automate a trois états, les états EUR, a, ab, numérotés O, 1 et 2. Cl 30-- On considère l'automate Sm et un mot a sur 2 ; on note 5 la fonction de transition de Sm. Montrer l'égalité 5*(8, a) = hm(u). CI 31 -- Montrer que Sm reconnait le même langage que DSm, c'est-à-dire LSm. Page 13 sur 14 Épreuve d'informatique 2013 Soit m un mot sur 2 et x une lettre de 2. On pose m' = mx. On note h = hm et h' = hm'. On admet les propriétés suivantes de la fonction h'. Soit u' un préfixe de m' et y une lettre. (i) Si u' est préfixe de m et u' 75 m : h'(u'y) = h(u'y). (ii) Si u' = m : h'(my) = h(my) quand y 75 x et h'(mx) = mx. (iii) Si u' = m' : h'(m'y) = h'(h(mx)y). CI 32 -- Donner des règles simples de construction pour passer de Sm a Sm'. Cl 33 -- On considère le cas 2 = {a, b} et le mot aba. Illustrer les règles énoncées à la question précédente en traçant l'automate S abc, a partir de l'automate S ab obtenu à la question CI 29. Cl 34 -- Il s'agit de programmer la fonction DS pour l'alphabet 2 = {a, b}. Caml : Écrire en Caml une fonction nommée DS telle que, si m, de type string, code un mot m, alors DS m renvoie un résultat, de type automate, codant l'automate S.... On supposera si nécessaire qu'on a défini une constante entière MAX_LONGUEUR et que les mots considérés ont au plus MAX_LONGUEUR lettres. Pascal : Écrire en Pascal une fonction nommée DS telle que, si : 0 m, de type tab_char, contient le mot m sur Z, . lm, de type integer, contient la longueur de m, alors DS (m, lm) renvoie un résultat, de type automate, codant l'automate S.... Cl 35 -- On revient a un alphabet 2 quelconque. Donner la complexité de la fonction positions3. Page 14 sur 14

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Mines Informatique MP 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Charles-Pierre Astolfi (ENS Cachan) ; il a été relu par Guillaume Batog (Professeur en CPGE) et Benjamin Monmege (ENS Cachan). Ce sujet étudie divers algorithmes permettant de trouver toutes les positions d'une chaîne de caractères dans un texte. Il est composé de cinq parties indépendantes, trois axées sur la programmation et deux traitant d'automates. · La première partie demande d'implémenter un algorithme naïf en programmation impérative. Les questions sont assez simples et de difficulté croissante. · La deuxième partie est une amélioration de l'algorithme en supprimant certaines comparaisons inutiles. Cette partie est plutôt facile une fois que l'on a compris l'amélioration proposée. Le sujet fait toujours travailler sur un exemple avant d'aborder les questions plus difficiles. · La troisième partie porte sur une implémentation des automates, exercice très classique probablement déjà traité en cours. · La quatrième partie fait programmer un nouvel algorithme basé sur l'automate (déterministe et complet) reconnaissant le langage des mots de suffixe m. · La cinquième partie propose une méthode pour construire efficacement l'automate des suffixes précédent. Cette partie comporte des questions théoriques. C'est un sujet long où la programmation prend une place prépondérante. Il était tout à fait possible de rester bloqué pendant les trois heures de l'épreuve sur les questions de programmation. La complexité des fonctions programmées est systématiquement demandée. Indications Partie I 2 Il s'agit de donner la complexité en nombre de comparaisons de caractères. 3 Utiliser la question 1 pour toutes les positions s possibles. Partie II 5 Parcourir m de gauche à droite en respectant l'invariant suivant : à la fin de l'itération i, le tableau D est correct pour le préfixe de longueur i. 6 Noter que c n'apparaît pas dans le motif. 8 À quoi correspond D(numero(clé)) ? 10 De combien au maximum peut-il augmenter à chaque étape ? Dans quel cas ? Partie IV 19 Donner une expression rationnelle qui décrit LSm . 20 Il faut rajouter des transitions à l'état initial. 22 Que signifie passer par l'état final lorsqu'on exécute un mot sur l'automate DSm ? Partie V 24 Les préfixes d'un mot x à une lettre sont et x. 26 Le seul suffixe de est . 27 Montrer d'abord que hm (hm (u)x) est à la fois un suffixe de ux et un préfixe de m, puis montrer qu'il s'agit du plus long mot vérifiant cette propriété. 30 Raisonner par récurrence sur la longueur de u. 31 On peut raisonner par équivalence en utilisant les questions 25 et 30. 34 Construire successivement les automates DSm0 , DSm0 m1 , . . . , DSm dans la même table de transition de taille l(m) en utilisant les règles de la question 32. I. Algorithme simple 1 On compare lettre par lettre m à ts · · · ts+l(m)-1 (la sous-chaîne de t de longueur l(m) commençant en s). Si on rencontre un indice i tel que mi 6= ti , le motif ne se trouve pas dans t à la position s et on peut renvoyer false tout de suite, sans exécuter d'autre comparaison. Pour faire cela, on utilise une référence continue, initialisée à true et qui devient fausse si et seulement s'il existe i tel que mi 6= ti . let est_present m t s = let continue = ref true and i = ref 0 in while (!continue && !i < string_length m) do if m.[!i] != t.[s + !i] then continue := false; incr i; done; !continue;; En Caml, les fonctions incr et decr sont standard et définies par let incr r = r := (!r) + 1 and decr r = r := (!r) - 1;; 2 Dans le pire des cas, m et ts · · · ts+l(m)-1 sont égaux et on doit effectuer l(m) comparaisons pour s'en assurer. En revanche si m0 6= ts , on peut s'arrêter tout de suite après cette première comparaison. est_present effectue toujours au moins 1 et au plus l(m) comparaisons. L'énoncé parle de la complexité sans la définir. Dans les problèmes sur les chaînes de caractères, il est sous-entendu qu'il s'agit de complexité en nombre de comparaisons de caractères. 3 On utilise une référence pos vers une liste pour stocker les positions de toutes les occurrences de m dans t. Une position de m ne peut évidemment pas être strictement supérieure à l(t) - l(m). let positions m t = let pos = ref [] in for i=((string_length t) - (string_length m)) downto 0 do if est_present m t i then pos := i :: (!pos); done; !pos;; Il faut parcourir le texte de droite à gauche pour obtenir la liste des positions dans l'ordre croissant. 4 Chacun des l(t) - l(m) + 1 passages dans la boucle peut effectuer dans le pire des cas l(m) comparaisons. Dans le pire des cas, positions effectue l(m) (l(t) - l(m) + 1) comparaisons. Cette complexité est atteinte lorsque tous les indices entre 0 et l(t) - l(m) sont des positions du motif, par exemple si le texte est au (a répété u fois) et le motif av avec u > v. II. Une amélioration de la méthode précédente 5 On parcourt le motif m de gauche à droite, et pour tout 0 6 i < l(m) on met à jour D pour indiquer que m apparaît à la position i. On maintient l'invariant de boucle suivant : à la fin de l'itération i, le tableau D est correct pour la sous-chaîne m0 · · · mi . let calcul_D m nbSigma = let D = make_vect nbSigma (-1) in for i=0 to (string_length m) - 1 do D.(numero m.[i]) <- i done; D;; On effectue l(m) itérations et chaque itération prend un temps constant (mettre à jour un tableau), d'où calcul_D est de complexité linéaire en l(m). 6 Puisque c n'apparaît pas dans m1 , alors pour toute position telle que 5 6 6 8, le texte t1 ne contient pas d'occurrence de m1 à la position . Sinon, cela signifierait qu'on a trouvé une occurrence de m1 qui contient c, ce qui est impossible. La prochaine valeur de est 9 qui n'est pas une position de m1 dans t1 . 7 Lorsque = 9, la clé est la lettre de t1 qui se trouve à l'indice 13, c'est-à-dire a. =9 9 a b 10 b b 11 b a 12 a a 13 a 14 b Comme la dernière lettre de m1 est aussi un a, on avance d'une lettre et donc = 10. C'est la position d'une occurrence de m1 dans t1 . = 10 10 b b 11 b b 12 a a 13 a a 14 b Lorsque = 10 la clé est la lettre de t1 en position 14. Étant donné que la dernière occurrence de b dans m1 est en position 2 on devrait avancer la fenêtre de 3 positions, soit = 13. Mais l'énoncé suppose que 6 l(t1 ) - l(m1 ) = 11, le décalage n'est donc plus possible. Il n'y a aucune occurrence de m1 dans t1 après cette position. 8 Il faut avancer la fenêtre de recherche de sorte que la clé = t+l(m) soit directement en regard de la dernière occurrence de clé dans le motif, soit à la position d = D(numero(clé)) dans le motif. Ainsi, les lettres du texte et du motif coïncident à la position + l(m) si on effectue un décalage de + l(m) - ( + d) = l(m) - d. On remarque que ce décalage est possible si +l(m)-d 6 l(t)-l(m) soit +2l(m) 6 l(t)+d, ce qui est le cas lorsque + 2l(m) < l(t) (d peut valoir -1.) La position suivante de la fenêtre est + l(m) - D(numero(t+l(m) )).