Mines Informatique MP 2005

Thème de l'épreuve Satisfiabilité d'une formule booléenne ; transformations de languages et d'automates
Principaux outils utilisés automates et langages, logique propositionnelle, graphes, complexité d'une fonction

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Épreuve d'informatique 2005 A 2005 -- INF -- MP ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DES TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI.) CONCOURS D'ADMISSION 2005 ÉPREUVE D'INFORMATIQUE Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures) Sujet mis àla disposition des concours Cycle International, ENSTIM et TPE--EIVP. Les candidats et les candidates sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : « INFORMATIQUE -- Filière MP » RECOMMANDATIONS AUX CANDIDATS ET CANDIDATES . L'énoncé de cette épreuve, y compris cette page de garde, comporte 9 pages. 0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat ou une candidate repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il ou elle le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il ou elle a décidé de prendre. 0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures même s'il n'a pas été démontré. . Il ne faut pas hésiter à formuler les commentaires qui semblent pertinents même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. . L'utilisation d'une calculatrice ou d'un ordinateur est interdite. COMPOSITION DE L'ÉPREUVE L'épreuve comporte deux parties indépendantes : 0 un problème sur les automates, pages 2 et 3 (60 mn environ) ; 0 un problème d'algorithmique, logique et programmation, pages 3 a 9 (120 mn environ). Page 1 sur 9 Tournez la page S.V.P. 1. Problème sur les automates (60 mn environ) Notations et terminologie Un alphabet 2 est un ensemble fini d'éléments appelés lettres. Un mot sur 2 est une suite finie, éventuellement vide, de lettres de 22 On note 2" l'ensemble des mots sur 2. La longueur d'un mot est le nombre de lettres qui le composent. Un langage est une partie de Z*. Si a appartient à 2 et si n désigne un entier positif, a" est le mot constitué de n fois la lettre a ; a0 est le mot vide. Un automate Zest décrit par une structure <2Î, Q, T, I, F>, où : 0 27 est un alphabet ; 0 Q est un ensemble fini et non vide appelé ensemble des états de 2 ; 0 T ç Q >< 2 x Q est appelé l'ensemble des transitions ; étant donnée une transition (p, a, q) EUR T, on dit qu'elle va de l'état p à l'état q et qu'elle est d'étiquette a ; 0 I g Q est appelé ensemble des états initiaux de fil; 0 F ; Q est appelé ensemble des états finals de flL Début de l'énoncé du problème Dans tout ce problème, l'alphabet 27 utilisé n'a que deux lettres notées a et b : 2 = {a, b}. On note OE(Z*) l'ensemble des parties de 27", c'est--à--dire l'ensemble des langages sur 27*. On se propose d'étudier plusieurs « transformations de langage », c'est--à--dire plusieurs fonctions de ? (2*) dans !P (D"). On désigne par L3 le langage des mots sur 23 dont la longueur est multiple de 3. D 1 -- Indiquer un automate déterministe reconnaissant L3. D 2 -- Donner une expression rationnelle de L3. On considère une fonction notée (D de 1P(Z*) dans OE(Z*) définie de la façon suivante. Soit L une partie de Z* ; un mot v appartient à CD(L) si et seulement si v est le plus long préfixe de la forme a" d'un mot de L. Autrement dit, un mot v appartient à (L_--,). D 4 -- Donner un exemple de langage L sur 2, non rationnel, tel que  un automate reconnaissant L. Décrire à partir de _ l'automate % un automate reconnaissant  un automate reconnaissant L. Décrire à partir de ' l'automate 54 un automate fl'reconnaissant I' (L). On donnera une description précise de l'automate 2' mais il n'est pas demandé de justifier la réponse. Un automate ÿl' décrit de façon trop imprécise sera considéré comme inexact. On considère une troisième fonction notée 'P de 1'(2*) dans fP(Z*) définie de la façon suivante. Soit L une partie de 27". Un mot v appartient à 'F(L) si et seulement s'il peut se déduire d'un mot u de L contenant au--moins une fois la lettre b par effacement de la première occurrence dans u de la lettre b ; cela revient à dire qu'un mot v appartient à 'P(L) si et seulement s'il existe un entier n 2 0 et un mot x sur 2 tels que : v = a"x et le mot u = a"bx est dans L. D 8 --- Déterminer T(L3). Cl 9 -- Donner un exemple de langage L sur 2 non rationnel invariant par 'l', c'est--à--dire vérifiant 'P(L) = L. On prouvera que le langage L proposé n'est pas rationnel. On prouvera la relation 'P(L) = L. D 10 --- Soit L un langage rationnel et fll= <2, Q, T, ], F> un automate reconnaissant L. Décrire, à partir de l'automate 54, un automate fll' reconnaissant 'P(L). On donnera une description précise de l'automate ñ' mais il n'est pas demandé de justifier la réponse. Un automate fll' décrit de façon trop imprécise sera considéré comme inexact. FIN DU PROBLÈME SUR LES AU T 0MA T ES 2. Problème d'algorithmique, logique ,et programmation (120 mn environ) L'objectif de ce problème est l'étude d'un cas particulier, de complexité polynomiale, du problème de la satisfiabilité ; ce sujet ne sera abordé que dans la seconde partie. La première partie introduit un algorithme de graphes qui sera utilisé par la suite. Préliminaire concernant la programmation : il faudra écrire des fonctions ou des procédures à l'aide d'un langage de programmation qui pourra être soit Caml, soit Pascal, tout autre langage étant exclu. Indiquer en début de problème le langage de programmation choisi ; il est interdit de modifier ce choix au cours de l'épreuve. Certaines questions du problème sont formulées différemment selon le langage de programmation; cela est indiqué chaque fois que c'est nécessaire. Par ailleurs, lorsqu'un candidat ou une candidate écrira une fonction ou une procédure en langage de programmation, il ou elle précisera si nécessaire le rôle des variables locales et pourra définir des fonctions ou procédures auxiliaires qu'il ou elle explicitera. Enfin, lorsque le candidat ou la candidate écrira une fonction ou une procédure, il ou elle pourra faire appel à une autre fonction ou procédure définie dans les questions précédentes. Dans l'énoncé du problème, un même identificateur écrit dans deux polices de caractères différentes désignera la même entité mais du point de vue mathématique pour une police (en italique) et du point de vue informatique pour l'autre (en romain) ; par exemple, G sera la représentation informatique du graphe G. Définitions et notations concernant les graphes . Un graphe orienté G est composé d'un ensemble fini d'éléments appelés sommets et d'une liste de couples de sommets, chacun de ces couples étant appelé arc ; dans ce problème, en notant n le nombre de sommets de G, l'ensemble des sommets sera toujours {O, 1, ..., n -- l}. 0 Si x et y sont deux sommets d'un graphe G et que (x, y) est un arc de G, on dira que y est un fils de x (on dit aussi que y est un successeur de x). - Si x et y sont deux sommets d'un graphe G, on appelle chemin de x à y une suite de sommets xo, xl, ..., x,, (p 2 0) avec xo = x, xp = y et, pour tout i vérifiant 1 S i .<. p, (x,--_ ;, x,--) est un arc de G ; on dit alors que y est un descendant de x ; on remarque qu'un sommet est descendant de lui--même. - Une représentation graphique d'un graphe G consiste à associer à chaque sommet de G un cercle contenant -- le numéro du sommet et à tracer des flèches du cercle représentant un sommet aux cercles correspondant à ses fils. Exemple introductif : un graphe (nommé Gex) et une représentation de Gex On considère le graphe Gex à 7 sommets, représenté ci--contre, dont l'ensemble des sommets est donc {O, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. °." ° Les arcs de ce graphe sont : (O, 5), (5, O), (4, O), (4, 1), (5, 1), (1, 0),(1, 2), (2, 6)- Le sommet 0 a pour fils le sommet 5. @ Le sommet 1 a pour fils les sommets 0 et 2. Le sommet 2 a pour fils le sommet 6. Le sommet 3 n'a pas de fils. Le sommet 4 a pour fils les sommets 0 et 1. ° ° ° Le sommet 5 a pour fils les sommets 0 et l. Le sommet 6 n'a pas de fils. Le graphe Gex Indications pour la programmation Caml : On définit les types suivants : type Graphe : {nb_sommets : int; fils : int list vect};; type Clause : {a : int; b : int};; type Formule : {nb_var : int; clauses : Clause list};; Ces trois types sont des types enregistrements (aussi appelés types produits). Une valeur de type enregistrement contient des champs. On peut accéder à un champ d'une valeur de type enregistrement en faisant suivre le nom de cette valeur d'un point puis du nom du champ considéré. Par exemple, si G est de type Graphe, G contient les champs nb_s ommets et fils, auxquels on accède par G . nb_sommets et G . fils. Pour une valeur G de type Graphe, le champ G . nb_sommets est égal au nombre de sommets de G, le champ G . fils est un tableau (aussi appelé vecteur) de longueur G.nb_sommets et, pour un entier 5 vérifiant 0 S s 5 G.nb_sommets -- 1, G.fils. (s) est la liste des fils du sommet s. Le graphe Gex de l'exemple introductif est défini par : let Gex = {nb_sonmets = 7: fils = [HS]; [0:2]: [6]; []: [0:1]; [0:l]; [ll]l:: Fin des indications pour Caml Pascal : Dans tout le problème, on supposera qu'on écrit les différentes fonctions dans un fichier contenant les définitions suivantes : const MAX : 200; MAX_CLAUSES = 100: type Table : RECORD nb : Integer; val : array[0 .. MAX -- 1] of Integer; end; type Graphe : RECORD nb_sommets : Integer; fils : array [O .. MAX -- 1] of Table; end; type Clause : RECORD a, b : Integer; end; type Formule = RECORD nb_var : Integer; nb_clauses : Integer; clauses : array[0 .. MAX_CLAUSES -- 1] of Clause; end; type Valeurs = array[0 .. MAX -- 1] of Boolean; On supposera que les graphes traités n'ont jamais plus de MAX sommets. Les types Table, Graphe, Clause et Formule sont des types pour des enregistrements (RECORD). Un enregistrement contient des champs (quelquefois aussi appelés des membres); par exemple, une variable de type Graphe contient les champs nb_sommets et fils ; on peut accéder à un champ d'une variable de type enregistrement en faisant suivre le nom de cette variable d'un point puis du nom du champ considéré, comme on le voit dans la définition de Gex ci--dessous. Les variables de type enregistrement se manipulent comme toute autre variable : on peut définir des variables de type enregistrement, on peut affecter à une variable de type enregistrement la valeur d'une autre variable du même type, les variables de type enregistrement peuvent servir de paramètres à des fonctions ou procédures et peuvent être renvoyées par des fonctions. Lorsqu'on a affaire à une variable T de type Table, le tableau T . val sert à contenir un ensemble de données entières et on convient que le champ T . nb indique toujours le nombre de données de cet ensemble ; on a toujours T . nb < MAX et les données contenues dans T . val se trouvent toujours dans les cases indicées de 0 à T . nb -- l. Pour une variable G de type Graphe, le champ G . nb_sommets est égal au nombre de sommets de G et, pOur un entier s vérifiant 0 S s 5 G . nb_sommets -- 1, la table G. fils [5] contient les fils du sommet s : leur nombre est dans G. fils [5] .nb et leurs numéros dans le tableau G . fils [5] .val. Ainsi, le graphe Gex de l'exemple introductif est défini par : Gex.nb_sommets := 7; Gex.fils[0].nb := l; Gex.fils[0].val[0] : Gex.fils[1].nb := 2; Gex.fils[l].val[0] : Gex.fils[l].val[l] . Gex.fils[2].nb := l; Gex.fils[2].val[0] : Gex.fils[3].nb := O; Gex.fils[4].nb := 2; Gex.fils[4].val[0] - Gex.fils[4].val[l] . Gex.fils[5].nb := 2; Gex.fils[5].val[0] - Gex.fils[5].val[l] . Gex.fils[6].nb := 0; Fin des indications pour Pascal Il U1 Il Il NO II || || H 0 Ch II Il HO PREMIÈRE PARTIE Descendants d'un sommet d'un graphe orienté Il s'agit dans cette partie d'étudier un algorithme, nommé ici calcuI_descendants, qui permet de déterminer les descendants d'un sommet dans un graphe donné. À titre d'exemples, remarquons que, dans le graphe Gex de l'exemple introductif, les descendants du sommet 0 sont les sommets O, 1, 2, 5 et 6, les descendants du sommet 4 sont tous les sommets sauf le sommet 3, le sommet 2 a pour descendants les sommets 2 et 6, les sommets 3 et 6 n'ont pour descendants qu'eux--mêmes. Considérons un graphe G ayant n sommets et considérons un sommet r (0 5 r 5 n -- l) de ce graphe. On suppose qu'on cherche les descendants du soumet r. Le principe de l'algorithme calcul_descendants est de « marquer » de proche en proche tous les descendants du sommet r, en commençant par le sommet r lui--même. Le marquage des descendants de r utilise un algorithme récursif appelé marquage décrit ci--dessous : - Marquage de G à partir de s - marquer s ; 0 pour tout fils non marqué t de s, eflectuer « Marquage de G à partir de t ». Pour effectuer dans G l'algorithme calcul_descendants à partir de r, on part d'une situation dans laquelle aucun sommet n'est marqué puis on effectue « Marquage de G à partir de r ». Après l'application de cet algorithme, les sommets marqués sont les descendants du sommet r. [I 11 -- Appliquer l'algorithme ci--dessus au graphe Gex à partir du sommet 1 en détaillant toutes les opérations de l'algorithme. Cl 12 ---- Il s'agit de programmer le calcul des descendants d'un sommet r donné dans un graphe G donné. On utilisera pour cela un tableau de variables booléennes nommé marques et destiné à contenir les « marques » des sommets. Plus précisément, après le déroulement de l'algorithme, si 3 est un sommet du graphe, la case d'indice s du tableau marques contiendra la valeur vrai (c'est--à--dire true pour le langage de programmation) si et seulement si le sommet s est descendant de r; sinon, cette case contiendra la valeur faux (c'est--à--dire false pour le langage de programmation). Pour répondre à la question ci-dessous, on sera amené à écrire aussi, en langage de programmation, une fonction récursive nommée marquage correspondant à l'algorithme décrit plus haut. Caml: Écrire en Caml une fonction calcul_descendants telle que, si G est une valeur de type Graphe et r un entier représentant un sommet du graphe, calcul_descendants G r renvoie le tableau marques contenant les marques des sommets indiquant les descendants de r. Pascal : Écrire en Pascal une fonction calcu1_descendants telle que, si G est une variable de type Graphe et r un entier représentant un sommet du graphe, calcul_descendants (G, r) renvoie le tableau marques, de type Valeurs, contenant les marques des sommets indiquant les descendants de r. E] 13 ---- Prouver l'exactitude de l'algorithme calcul_descendants, c'est--à--dire que les sommets marqués après l'exécution de l'algorithme sont bien exactement les descendants de r. D 14 --- Indiquer la complexité dans le pire des cas de l'algorithme calcul_descendants. Cette complexité sera exprimée à l'aide du nombre n de sommets et du nombre m d'arcs du graphe G. On justifiera brièvement la réponse. SECONDE PARTIE Un problème de satisfiabiüté On appelle variable booléenne une variable qui ne peut prendre que les valeurs vrai ou faux. Si x est une variable booléenne, on appelle complémenté de x et on note x la négation de x qui vaut vrai si x vaut faux et inversement. On appelle littéral une variable booléenne ou son complémenté. Pour un littéral a = 35 , où x est une variable booléenne, on définit le complémenté & de a comme étant égal à x. On a ainsi défini le complémenté de tout littéral. On appelle clause une disjonction de littéraux et longueur d 'une clause le nombre des littéraux qui composent cette clause. On appelle formule logique sous forme normale conjonctive une conjonction de clauses. Dans ce problème, on s'intéresse aux formules logiques sous forme normale conjonctive pour lesquelles toutes les clauses sont de longueur 2. On dira qu'une telle formule est sous forme NC2. Lorsqu'on considérera une formule logique, on supposera que les littéraux d'une même clause sont différents et que toutes les clauses sont différentes. Une formule logique est dite satisfiable s'il existe une façon d'attribuer des valeurs aux variables booléennes telle que la formule soit évaluée à vrai. On représente le « ou logique » (disjonction) par le symbole v et le « et logique » (conjonction) par le symbole A. D 15 --- Étant données trois variables booléennes x, y et 2, on considère la formule : F.=(xvy)A(x VZ)A(} VZ)A(ÏVE). « - F , est--elle satisfiable ? Justifier votre réponse. 13 16 ---- Étant données quatre variables booléennes x, y, z et t, on considère la formule : F2 = (xvy)A(î vz)A(ÿ v E)A(tv E)A(y v ?)A(xv 37). F 2 est--elle satisfiable '? Justifier votre réponse. On s'intéresse à l'histoire ci--dessous. Quatre personnes, nommées X, Y, Z et T, peuvent être chacune soit fiable, soit non fiable : une personne fiable dit toujours la vérité ; une personne non fiable peut dire la vérité ou mentir. Chacune de ces personnes sait si les autres sont fiables ou non. 0 La personne X dit : Z est fiable. . La personne Y dit : Z est non fiable, T est fiable. . La personne Z dit : Y est fiable, T est fiable. . La personne T dit :X est non fiable, Y est fiable. Par ailleurs, on sait que : - X est fiable ou Y est fiable ouX et Ysont fiables. . Z est fiable ou T est fiable ou Z et T sont fiables. On définit quatre variables booléennes ; la variable booléenne x (resp. y, z, t) vaut vrai si X (resp. Y, Z, T) est fiable et faux si X (resp. Y, Z, T) n'est pas fiable. D 17 -- Exprimer, à l'aide des variables x, y, z, t et de leurs complémentés, sous forme NC2, les renseignements dont on dispose sur la fiabilité ou la non-fiabilité des quatre personnes X, Y, Z et T. Cl 18 --- Déterminer les personnes fiables et les personnes non fiables. On prouvera le résultat. On va désormais numéroter à partir de 0 les variables booléennes d'une formule. Ainsi, si les variables sont x, y et 2, on associe à x le numéro 0, à y le numéro 1 et à z le numéro 2. Par ailleurs, s'il y a p variables booléennes, on numérote les complémentés des variables à partir de p en respectant l'ordre choisi pour numéroter les variables ; avec l'exemple précédent, comme p vaut 3, on numérote x avec le numéro 3, y avec le numéro 4 et z avec le numéro 5. Pour alléger les explications, on identifie désormais un littéral avec son numéro. D 19 ---- On considère un entier compris entre 0 et 2p ---- 1 identifiant un littéral ad'une formule dépendant de p variables booléennes. Il s'agit d'écrire une fonction, nommée barre, qui calcule le numéro du complémenté de 04 Par exemple, si la formule possède trois variables, barre(0) doit valoir 3 et barre(5) doit valoir 2. Caml : Écrire en Caml une fonction barre telle que si alpha est le numéro d'un littéral d'une formule dépendant de p variables, barre alpha p donne le numéro du complémenté de ce littéral. Pascal: Écrire en Pascal une fonction barre telle que si alpha est le numéro d'un littéral d'une formule dépendant de p variables, barre (alpha , p) donne le numéro du complémenté de ce littéral. À partir d'une formule logique F sous forme NC2, on construit un graphe orienté G(F). Si la formule dépend de p variables, le graphe possède 2p sommets, les sommets O, 1, 2, ..., 2p -- 1, correspondant à ces variables et à leurs complémentés. À chaque clause av ,5, où aet ,B sont des littéraux, on fait correspondre deux ares de G(F) : unde a versfletunde fl vers a D 20 -- On considère la formule : © ' © © F. = (xvy)A(î VZ)A(} vz)A(î v 2). Cette formule possède trois variables. On identifie xà0,yàl,zà2, x à3, yà4, zà5.Dessinerle graphe G(F,) associé à F . en disposant les sommets comme ci--contre. @ @ @ Indications pour Caml Une formule logique sous forme NC2 sera représentée par une valeur de type Formule; ainsi la formule (x v y) A (; v z) A (; v 2) A (; v ?) sera définie de la façon suivante : {nb_var=3; clauses : [{a=0;b=l}; {a=3;b=2}; {a=4;b=2}; {a=3;b=5}]};; Le premier champ indique le nombre de variables, le second champ indique la liste des clauses. Fin des indications pour Caml Indications pour Pascal Une formule logique sous forme NC2 sera représentée par une variable de type Formule; si la variable utilisée pour coder la formule (x v y) A (3:-- v 2) A (; v 2) A (; v ?) s'appelle F, la formule est définie par les instructions suivantes : F.nb_var := 3; .nb_clauses := 4; .clauses[0]. = .clauses[0]. .clauses[l]. .clauses[l]. .clauses[2]. .clauses[2]. .clauses[3]. .clauses[3]. Le champ nb_var indique le nombre des variables booléennes et le champ nb_clauses le nombre de clauses. Le champ clauses est un tableau de variables de type Clause qui décrit les clauses. On supposera que le nombre de variables booléennes ne dépasse pas la moitié de la constante MAX et que le nombre de clauses ne dépasse pas la constante MAX_CLAUSES. Fin des indications pour Pascal . I Il" U"lWNJ>NLül--*O . \. l \. ! mmmmmmmmm U'fl'U'OEÜWU'W |] I D 21 -- Il s'agit d'écrire une fonction nommée transformer qui reçoit en paramètre une formule logique F sous forme NC2 et qui construit G(F). Caml : Écrire en Caml une fonction transformer telle que, si F est une valeur de type Formule, alors trans former F renvoie une valeur de type Graphe correspondant au graphe G(F) décrit plus haut. Pascal : Écrire en Pascal une fonction transformer telle que, si F est une variable de type Formule, alors trans former (F) renvoie une valeur de type Graphe correspondant au graphe G(F) décrit plus haut. CI 22 -- Indiquer la complexité de la fonction transformer définie précédemment. On exprimera cette complexité en fonction du nombre p de variables et du nombre q de clauses de la formule F à laquelle est appliquée la fonction transformer. D 23 -- Par la suite, il sera utile de pouvoir retirer d'une formule logique F sous forme NC2 toutes les clauses contenant un littéral donné a ou son complémenté. Dans la formule F ' ainsi obtenue, une ou plusieurs variables ne figureront plus. Néanmoins, on considère que toutes les variables de F sont aussi variables de F ', n'imposant donc pas que toutes les variables d'une formule figurent effectivement. Par exemple, si de F1 = (x v y) A (; v z) A (; v z) A (; v ? ), formule contenant trois variables, on décide de retirer le littéral ; ou son complémenté, on obtient F '1 = (} v z) et on considère encore que F ', dépend de trois variables, et les entiers correspondant aux variables restantes sont inchangés (à ; correspond toujours le numéro 4 et à z le numéro 2). Caml: Écrire en Caml une fonction retirer qui, si F est une valeur de type Formule ayant F . nb_var variables et si alpha est un entier compris entre 0 et 2> fl ». CI 26 -- Étant donnée une formule logique F sous forme NC2, montrer que, s'il existe un chemin de aà ,6 dans le graphe G(F), alors il existe aussi un chemin de ? à 5 dans G(F). D 27 -- Étant donnée une formule logique F sous forme NC2, que peut--on dire de la formule F s'il existe dans le graphe G(F) àla fois un chemin de a à a et un chemin de 5 à a? D 28 -- Étant donnés une formule logique F sous forme NC2 et deux littéraux a et fi de F, montrer que s'il n'existe pas de chemin de a à 67 dans le graphe G(F), alors ,6 et _,5_ ne sont pas tous les deux descendants de adans G(F). Cl 29 -- Soit F une formule logique sous forme NC2. On considère un littéral a tel qu'il n'existe pas de chemin de a à ?! dans le graphe G(F). On note F ' la formule obtenue à partir de F en retirant toutes les clauses contenant un littéral descendant de adam G(F) ou bien le complémenté d'un de ces descendants; on retire donc en particulier les clauses contenant aou a. Montrer que F est satisfiable si et seulement si F' l'est. En supposant que F ' est satisfiable, indiquer, à l'aide des valeurs des variables figurant dans F ' qui donnent la valeur vrai à F ', des valeurs des variables figurant dans F qui donnent la valeur vrai à F. D 30 -- Soit F une formule logique sous forme NC2. Montrer que, si pour tout littéral a de F, il n'existe pas dans le graphe G(F) àla fois un chemin de a à Eet un chemin de "& à a, alors F est satisfiable. D 31 -- Soit F une formule logique sous forme NC2. Décrire un algorithme s'appuyant sur les questions précédentes permettant de savoir si F est ou non satisfiable et qui, dans le cas où F est satisfiable, calcule des valeurs des variables pour lesquelles F vaut vrai. On utilisera une fonction récursive et on indiquera pourquoi le calcul se termine. On ne justifiera pas ici cet algorithme. D 32 --- Il s'agit de programmer l'algorithme, nommé satisflable, décrit dans la question D 31. Caml : Écrire en Caml une fonction satisfiable telle que si : ° F est une valeur de type Formule, 0 solution est un tableau pour 2 x F . nb_var variables booléennes, alors satisfiable F solution . renvoie une valeur booléenne indiquant si la formule F décrite par F est ou non satisfiable, . si F est satisfiable, remplit le tableau solution pour qu'il contienne, après exécution de la fonction, les valeurs des littéraux pour des valeurs des variables donnant la valeur vrai à F. Pascal : Écrire en Pascal une fonction satisf iable telle que si : 0 F est une valeur de type Formule, 0 solution est un tableau de type Valeurs, alors satisfiable (F, solution) . renvoie une valeur booléenne indiquant si la formule F décrite par F est ou non satisfiable, . si F est satisfiable, remplit le tableau solution pour qu'il contienne, après exécution de la fonction, les valeurs des littéraux pour des valeurs des variables donnant la valeur vrai à F. D 33 -- Indiquer la complexité dans le pire des cas de l'algorithme safisfiable définie précédemment. On exprimera cette complexité en fonction du nombre p de variables et du nombre q de clauses de la formule . F à laquelle est appliquée la fonction safisflabIe. FIN DU PROBLÈME D'ALGOIHTHMIQUE, LOGIQUE ET PROGRAMMA TION

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 Mines Informatique MP 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Boris Yakobowski (ENS Cachan) ; il a été relu par Samuel Mimram (ENS Lyon) et Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE). Le sujet est constitué de deux parties totalement indépendantes. La première partie traite de langages et d'automates. On étudie la transformation de langages (rationnels ou non) par trois fonctions. Parallèlement, étant donné un automate reconnaissant un langage, on en déduit un automate reconnaissant l'image de ce langage par une des fonctions de transformation. Cette étude permet, entre autre, de montrer la non rationalité d'un langage sans utiliser directement le lemme de l'étoile. Une importante fraction du programme consacré aux automates est abordée : expressions et langages rationnels, automates non déterministes, lemme de l'étoile. Cette partie est constituée de deux questions d'introduction et de trois sousparties. Bien que ces dernières paraissent indépendantes, des résultats de la première sous-partie peuvent être utilisés dans la troisième. Les questions les plus difficiles sont les questions 5 et 9. La seconde partie s'intéresse au problème de la satisfiabilité d'une formule booléenne mise sous la forme d'une conjonction de disjonctions à 2 littéraux (appelée forme NC2). Ce problème, bien connu, peut être résolu en temps polynomial ; le sujet permet la conception d'un algorithme réalisant une telle tâche. Plus précisément, l'algorithme décide si une formule est satisfiable et, dans ce cas, il exhibe une solution. Le sujet commence par construire un algorithme sur des graphes généraux, avant de s'intéresser à la partie logique proprement dite. Les connaissances demandées sont les résultats du cours sur la logique booléenne, ainsi que les notions d'algorithmique standard : algorithmes récursifs, complexité, preuve de la correction d'une fonction. Quelques connaissances sur les graphes sont également utiles. Cette partie est longue, mais globalement facile si l'on suit scrupuleusement les indications de l'énoncé. Les questions 15 à 18 proposent des exemples simples, tandis que les questions 19 à 24 introduisent les notations et les fonctions auxiliaires. Ensuite, les questions 25 à 28 préparent le fonctionnement de l'algorithme, qui est explicité dans les questions 29 à 33. Indications I. Problème sur les automates 3 Procéder par double inclusion ; pour le sens non trivial, penser à utiliser la division euclidienne. 4 Se rappeler qu'un automate ne sait pas compter. 5 L'automate modifié doit s'arrêter dès qu'il rencontre un b menant à un état final, et accepter les suites de a non suivies par un b. En particulier, toutes les transitions étiquetées par un b deviennent indésirables. 6 Caractériser (L3 ) en fonction de la longueur des mots qu'il contient et des lettres qui doivent nécessairement être présentes dans ces mots. 7 Encoder le fait que la lettre b ait déjà été ajoutée ou non au mot avec de nouveaux états. 8 À nouveau, caractériser la longueur des mots de (L3 ) puis examiner l'inclusion réciproque. 9 Trouver un langage non rationnel sur l'alphabet = {a}, puis ajouter des b à la fin des mots qu'il contient. Pour prouver la non-rationalité, on essaiera de réutiliser des résultats obtenus sur . 10 Procéder comme à la question 7, en se rappelant si b a été supprimé ou non. Attention, cette fois la suppression ne peut avoir lieu qu'au début. II. Problème d'algorithmique, logique et programmation 12 Si vous ne connaissez pas de fonction itérant sur les éléments d'une liste, vous pouvez en écrire une récursive. 13 Montrer successivement que tous les sommets marqués sont des descendants (en exhibant un chemin entre un sommet marqué et r), puis que tous les descendants sont marqués (en trouvant un sommet après lequel un descendant est marqué). 14 Étudier l'ensemble des arcs accessibles depuis r qui sont visités. 15 Procéder par équivalences logiques successives, ou bien en utilisant une table de vérité. 17 Utiliser la définition de l'implication logique par la disjonction et la négation. 19 La fonction barre envoie [0, p - 1] sur [p, 2p - 1], et vice-versa. 21 Itérer une fonction qui ajoute les arcs correspondant à une unique clause. 22 Détailler les opérations effectuées pour chaque clause. 23 Caractériser exactement quand une clause doit être retirée, et itérer cette fonction sur la liste des clauses. 24 Trouver la complexité des opérations effectuées sur chaque clause. 25 Caractériser ce que représente un arc entre et , et utiliser la transitivité de l'implication. 26 Se rappeler que transformer ajoute 2 arcs pour chaque clause. 27 Utiliser la question 25 pour voir ce qu'impliquent ces deux chemins. 28 Raisonner par contraposition, en construisant un chemin de à . 29 On peut déduire trivialement une assignation pour F' à partir d'une assignation pour F. Dans l'autre sens il faut assigner tous les littéraux qui ont été retirés de F. Pour tous sauf un, il n'y a qu'une valeur possible. 30 Utiliser une récurrence sur le nombre de littéraux présents dans la formule, ainsi que la question précédente. 31 Distinguer les cas suivants : · la formule ne comprend plus de littéraux ; · la formule ne comprend que des littéraux impliquant leur complémentaire ; · la formule comprend un littéral n'impliquant par son complémentaire. 32 Écrire une fonction auxiliaire retirant récursivement tous les descendants d'un littéral d'une formule, et l'utiliser pour implémenter l'algorithme défini à la question précédente. 33 Trouver le nombre maximal d'appels récursifs et la complexité du corps de la fonction entre deux appels. I. Problème sur les automates Soit u un mot de longueur n appartenant à un langage L ; on note u[i] sa ie lettre (pour 1 6 i 6 n). On s'autorise également l'écriture a pour le langage {a} . La longueur du mot u est notée |u|. L'énoncé définissant l'étoile sur un ensemble de lettres, la notation a est a priori impropre. On peut au choix écrire systématiquement {a} ou prévenir le correcteur de cette petite liberté de notation. Par ailleurs, comme on le rappellera plus bas, l'étoile s'étend également aux langages. 1 L'automate comprend 3 états, chacun encodant le résultat de la congruence de la longueur du mot modulo 3. L'état correspondant à un reste nul est acceptant (en plus d'être l'état initial). a a a 0 1 2 b b b Il n'y a pas de convention universellement admise sur les états initiaux et acceptants : les premiers sont parfois notés par un cercle épais ou par une flèche entrante, tandis que les états acceptants le sont par un double cercle ou une flèche sortante. 2 Soit L31 le langage des mots de longueur exactement 3. Une expression régulière de ce langage est L31 = (a|b)(a|b)(a|b) L'alternative entre deux langages se note traditionnellement en utilisant les symboles | ou +. Une autre notation pour L31 est donc L31 = (a + b)(a + b)(a + b) Étant donné un entier n, le langage L3k+1 des mots de longueur 3(k + 1) se déduit de L3k grâce à l'expression L3k+1 = L3k L31 Or L30 , le langage des mots de longueur 0, est exactement {}. Par définition de l'étoile de Kleene, on obtient donc L3 = L31 = ((a|b)(a|b)(a|b)) Rappelons que, étant donné un langage X, X0 = {}, Xn+1 = Xn X = XXn , [ et l'étoile de Kleene, ou fermeture, de ce langage est X = Xn . n=0