Centrale Informatique MP-PC-PSI 2018

Thème de l'épreuve Simulation de la cinétique d'un gaz parfait
Principaux outils utilisés algorithmique, programmation, complexité, représentation des nombres, bases de données
Mots clefs simulation, gaz, particules, choc, aléatoire, probabilités, histogramme, insertion, erreur

Corrigé

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î, % Informatique 00 "a , 1--| __/ MP, PC, PSI, TSI @ N EÜNE[IUHS EENTHHLE-SUPÊLEE 3 heures Calculatrices autorisées Simulation de la cinétique d'un gaz parfait La théorie cinétique des gaz vise a expliquer le comportement macroscopique d'un gaz à partir des mouvements des particules qui le composent. Depuis la naissance de l'informatique, de nombreuses simulations numériques ont permis de retrouver les lois de comportement de difiérents modèles de gaz comme celui du gaz parfait. Ce sujet s'intéresse à un gaz parfait monoatomique. Nous considérerons que le gaz étudié est constitué de N particules sphériques, toutes identiques, de masse m et de rayon R, confinées dans un récipient rigide. Les simulations seront réalisées dans un espace à une, deux ou trois dimensions ; le récipient contenant le gaz sera, suivant le cas, un segment de longueur L, un carré de côté L ou un cube d'arête L. Dans le modèle du gaz parfait, les particules ne subissent aucune force (leur poids est négligé) ni aucune autre action à distance. Elle n'interagissent que par l'intermédiaire de chocs, avec une autre particule ou avec la paroi du récipient. Ces chocs sont toujours élastiques, c'est--à--dire que l'énergie cinétique totale est conservée. Les seuls langages de programmation autorisés dans cette épreuve sont Python et SQL. Pour répondre à une question il est possible de faire appel aux fonctions définies dans les questions précédentes. Dans tout le sujet on suppose que les bibliothèques math, numpy et random ont été importées grâce aux instructions import math import numpy as np import random Si les candidats font appel a des fonctions d'autres bibliothèques ils doivent préciser les instructions d'importa-- tion correspondantes. Ce sujet utilise la syntaxe des annotations pour préciser le types des arguments et du résultat des fonctions à écrire. Ainsi def maFonction(nzint, x:float, 1:[str]) --> (int, np.ndarray)z signifie que la fonction maFonction prend trois arguments, le premier est un entier, le deuxième un nombre à virgule flottante et le troisième une liste de chaines de caractères et qu'elle renvoie un couple dont le premier élément est un entier et le deuxième un tableau numpy. Il n'est pas demandé aux candidats de recopier les entêtes avec annotations telles qu'elles sont fournies dans ce sujet, ils peuvent utiliser des entêtes classiques. Ils veilleront cependant à décrire précisément le rôle des fonctions qu'ils définiraient eux--mêmes. Une liste de fonctions utiles est donnée a la fin du sujet. Représentation en Python Chaque particule est représentée par une liste de deux éléments, le premier correspond a la position de son centre, la deuxième à sa vitesse. Chacun de ces éléments (position et vitesse) est représenté par un vecteur (np.ndarray) dont le nombre de composantes correspond a la dimension de l'espace de simulation. Les positions et vitesses sont exprimées sous forme de coordonnées cartésiennes dans un repère orthonormé dont l'origine est placée dans un coin du récipient contenant le gaz et dont les axes sont parallèles aux côtés du récipient issus de ce coin de façon à ce que tout point situé a l'intérieur du récipient ait ses coordonnées comprises entre 0 et L. Les positions sont exprimées en mètres et les vitesses en mns--1. La figure 1 propose des exemples de particules dans des espaces de diverses dimensions. pl = [np.array([5.3]), np.array([4l2.3])] # 1D p2 = [np.array([3.l, 4.8]), np.array([24l, --91.4])] # 2D p3 = [np.array([5.2, 3.2, 2.31), np.array([--lBO.1, 320, 260.2])] # 3D Figure 1 Exemples de particules 2018-02-27 14:14:38 Page 1/8 £cc BY--NC-SA I Initialisation Pour pouvoir réaliser une simulation, il convient de disposer d'une situation initiale, c'est--à--dire d'un ensemble de particules réparties dans le récipient et dotées d'une vitesse initiale connue. Cette partie s'intéresse au positionnement aléatoire d'un ensemble de particules. L'attribution de vitesses initiales a ces particules ne sera pas abordé ici. I.A -- Placement en dimension 1 Nous cherchons d'abord comment placer N particules (sphères de rayon R) le long d'un segment de longueur L sans qu'elles se chevauchent ni qu'elles sortent du segment. La figure 2 montre quelques exemples de placements possibles avec N = 5, R = 0,5 et L = 10. Figure 2 Exemples de placement de 5 particules de rayon 0,5 sur un segment de longueur 10 La fonction placementlD construit aléatoirement, a partir des paramètres géométriques du problème (nombre et rayon des particules, taille du récipient), une liste de coordonnées correspondant a la position initiale du centre de chaque particule. 1 def placementlD(N:int, R:float, L:float) --> [np.ndarray]z 2 def possible(cznp.ndarray) --> bool: 3 if CEO] < R or CEO] > L -- R: return False 4 for p in res: 5 if abs(c[0] -- p[0]) < 2*R: return False 6 return True ? res = [] 8 while 1en(res) < N: p = L * np.random.rand(l) 10 if possible(p): res.append(p) 11 return res Q 1. Détailler l'action de la ligne 9. Q 2. Quelle est la signification du paramètre c de la fonction possible (ligne 2) '? Q 3. Expliquer le rôle de la ligne 3. Q 4. Expliquer le rôle des lignes 4 et 5. Q 5. Donner en une phrase le rôle de la fonction possible. Q 6. Proposer une nouvelle version de la ligne 9 permettant d'éviter certains rejets de la part de la fonction possible. Q 7. On considère l'appel placementlD(4, 0.5, 5) et on suppose que les trois premières particules ont été placées aux points d'abscisses 1, 2,5 et 4 (figure 3). Quelle sera la suite du déroulement de la fonction placementlD '? 0 : : : 5 Figure 3 Q 8. Quelle est la complexité temporelle de la fonction placement1D dans le cas où N << Nmax, nombre maximal de particules de rayon R pouvant être placées sur un segment de longueur L '? Q 9. Pour remédier de manière simple (mais non optimale) à la situation de la question 7, on décide de recommencer à zéro le placement des particules dès qu'une particule est rejetée par la fonction possible. Réécrire les lignes 7 à 11 de la fonction placementlD pour mettre en oeuvre cette décision. I.B -- Optimisation du placement en dimension 1 Pour placer aléatoirement N particules le long d'un segment, nous envisageons une approche plus efficace que celle étudiée dans la sous--partie LA. L'idée est de calculer l'espace laissé libre sur le segment cible par N particules puis de répartir aléatoirement cet espace libre entre les particules. Afin de conserver une répartition uniforme des particules dans tout le segment, nous utilisons l'algorithme suivant : 1. déterminer EUR, espace laissé libre par les N particules dans le segment [O, L[ ; 2. placer aléatoirement dans le segment [O,Æ[, N particules virtuelles ponctuelles (R = O) ; à cette étape, deux particules peuvent parfaitement occuper la même abscisse : il n'y a pas de conflit ; 3. remplacer chaque particule virtuelle par une particule réelle de rayon R en décalant toutes les particules (réelles et virtuelles) situées plus a droite de façon à dégager l'espace nécessaire. Q 10. Écrire la fonction d'entête def placementlDrapide (N: int, R:float, L:float) --> [np.ndarray] : qui implante cet algorithme et renvoie la liste des coordonnées des centres de N particules de rayon R réparties aléatoirement le long d'un segment situé entre les abscisses () et L. On précise que l'ordre de la liste résultat n'est pas important. Q 11. Quelle est la complexité de la fonction placement 1Drapide '? Commenter. I.C -- Analyse statistique Afin de vérifier que la fonction placementlDrapide produit une répartition de particules uniformément répartie sur le segment cible, on l'appelle un grand nombre de fois et on comptabilise pour chaque résultat obtenu la position initiale de chaque particule. Le résultat final est présenté sous forme d'un histogramme dont l'axe horizontal correspond a l'abscisse du centre de la particule dans l'intervalle [O, L] et l'axe vertical au nombre total de particules placées à cette abscisse au cours des différentes exécutions de la fonction. Q 12. Tracer et justifier l'allure des histogrammes pour N = 1, N = 2 et N = 5 dans le cas où R = 1 et L = 10. I. D -- Dimension quelconque L'algorithme optimisé pour un segment, n'est pas utilisable pour des espaces de dimensions supérieures. Nous allons donc généraliser la fonction placement 1D pour la transformer en une fonction utilisable dans un espace de dimension 1, 2 ou 3. Q 13. En s'inspirant de la fonction placementlD, écrire la fonction d'entête def placement (Dzint, N: int, R:float, L:float) --> [np.ndarray] : qui renvoie la liste des coordonnées des centres de N particules sphériques de rayon R placées aléatoirement dans un récipient de côté L dans un espace à D dimensions. Les modifications prévues aux questions 6 et 9 seront prises en compte dans cette fonction. II Mouvement des particules On suppose que l'on dispose désormais d'une fonction d'entête def situationInitiale(D:int, N:int, R:float, L:float) --> [[np.ndarray, np.ndarray]]: qui renvoie une liste de N particules de rayon R, représentées chacune par une liste a deux éléments (position et vitesse, cf. figure 1), placées aléatoirement à l'intérieur d'un récipient de taille L dans un espace à D dimensions. À partir de cette situation initiale, les positions et vitesses des particules vont évoluer au gré du déplacement des particules, des différents chocs entre elles et des rebonds sur les parois. On appelle évènement chaque choc ou rebond. II.A -- Analyse physique Q 14. Comment évolue une particule entre deux évènements ? Flacons--nous dans un espace à une dimension et considérons deux particules de masses ml et m2 qui entrent en collision avec les vitesses initiales 51 et 62. Les vitesses Ül' et 52, des deux particules après le choc sont données par 1 m -- m 1 2m % ,Ul/ : 1 2 Ul __ 2 ,U2 ml __ 7712 ml __ 7712 2771 A m -- m 1 ,02/ = 1 Ul __ 2 1 '02 ml __ 7712 'ÏÏL1 _- 7712 Q 15. Que deviennent ces formules lorsque m1 : m2 '? Commenter. Q 16. Que deviennent ces formules lorsque ml << m2 '? À quelle situation ce cas correspond--t--il dans le problème qui nous occupe '? II.B -- Évolution des particules Q 17. Écrire la fonction d'entête def vol(p: [np.ndarray, np.ndarray] , t:float) --> None: qui met a jour l'état de la particule p (position et vitesse dans un espace de dimension quelconque) au bout d'un vol de 1: secondes sans choc ni rebond. Q 18. Écrire la fonction d'entête def rebond(p: [np.ndarray, np.ndarray], d:int) --> None: qui met a jour la vitesse de la particule p suite a un rebond sur une paroi perpendiculaire à la dimension d'indice d, c'est--à--dire l'axe des abscisses si d vaut 0, l'axe des ordonnées si d vaut 1 et l'axe des cotes si d vaut 2. Par généralisation du résultat obtenu dans un espace a une dimension, on supposera que le rebond d'une particule sur une paroi ne modifie pas la composante de la vitesse parallèle à la paroi et change le signe de sa composante normale à la paroi (rebond parfait). La fonction rebond n'est pas chargée de vérifier que la particule se trouve au contact d'une paroi. Q 19. On revient dans un espace à une dimension. Écrire la fonction d'entête def choc (pl: [np.ndarray, np.ndarray] , p2: [np.ndarray, np.ndarray]) --> None: qui modifie les vitesses des deux particules, pl et p2, suite au choc de l'une contre l'autre. La fonction choc n'est pas chargée de vérifier que les deux particules sont en contact. On supposera dans la toute la suite que l'on dispose d'une version de la fonction choc également opérationnelle dans un espace a deux et trois dimensions. III Inventaire des évènements Chaque évènement sera représenté par une liste de cinq éléments avec la signification suivante : 0. un booléen indiquant si l'évènement est valide ou pas ; 1. un flottant donnant le nombre de secondes, à partir de l'instant courant, au bout duquel l'évènement aura lieu ; 2. un entier compris entre 0 et N -- 1 donnant l'indice dans la liste des N particules de la première (ou seule) particule concernée par l'évènement ; 3. un entier compris entre 0 et N -- 1 donnant l'indice de la deuxième particule concernée par l'évènement ou None s'il n'y a pas de deuxième particule concernée (l'évènement est un rebond sur une paroi) ; 4. un entier compris entre 0 et D -- 1 donnant l'indice de la dimension perpendiculaire à la paroi concernée par l'évènement ou None s'il n'y a pas de paroi concernée (l'évènement est un choc entre deux particules). On supposera, sans avoir besoin de le vérifier, qu'on a toujours une et une seule valeur None parmi les deux derniers éléments de tout évènement. Ainsi [True , 0.4, 34, 57, None] désigne le choc entre les particules d'indice 34 et 57 qui aura lieu dans 0,4 s. Et [True , 1.7, 34, None , 1] désigne le rebond de la particule d'indice 34 sur une paroi perpendiculaire à la dimension d'indice 1 (axe des ordonnées) qui aura lieu dans 1,7 s. III.A -- Prochains évènements dans un espace à une dimension Q 20. Écrire, pour un espace à une dimension, la fonction d'entête def tr (p: [np.ndarray, np.ndarray] , R:float, L:float) --> None or (float, int): qui détermine dans combien de temps la particule p, de rayon R, rencontrera une paroi du récipient de taille L, en faisant abstraction de toute autre particule qui pourrait se trouver sur son chemin. Cette fonction renvoie None si la particule ne rencontre jamais de paroi, sinon elle renvoie un couple dont le premier élément est la durée (en secondes) avant le rebond et le deuxième la direction de la paroi désignée par l'indice de sa dimension perpendiculaire. Q 21. Toujours dans un espace à une dimension, écrire la fonction d'entête def tc(p1: [np.ndarray, np.ndarray] , p2: [np.ndarray, np.ndarray] , R,: float) --> None or float: qui détermine si les deux particules pl et p2, de rayon R, vont se rencontrer, en faisant abstraction de la présence des autres particules et des parois, autrement dit en considérant que ces deux particules sont seules dans un espace infini. Cette fonction renvoie None si les deux particules ne se rencontrent jamais, sinon elle renvoie le temps (en secondes) au bout duquel les particules entrent en collision. On supposera dans la toute la suite que l'on dispose d'une version des fonction tr et tc également opérationnelles dans un espace a deux et trois dimensions. III.B -- Catalogue d'évènements Afin d'alimenter l'algorithme de la partie suivante, on souhaite construire un catalogue des évènements qui pourraient se produire prochainement. Ce catalogue sera représenté par une liste dans laquelle les évènements, représentés par la liste de cinq éléments décrite au début de cette partie, sont ordonnés par date décroissante : le plus lointain en début de liste, le plus proche en fin de liste. Q 22. Écrire la fonction d'entête def ajoutEv(catalogue: [[bool, float, int, int or None, int or None]] , e: [bool, float, int, int or None, int or None]) --> None: qui ajoute au bon endroit dans la liste catalogue l'évènement e. La liste catalogue contient des évènements ordonnés par temps décroissant. Q 23. Écrire la fonction d'entête def ajoutlp(cataloguez[[bool, float, int, int or None, int or None]], i:int, R:float, L:float, particulesz[[np.ndarray, np.ndarray]]) --> None: qui ajoute, dans la liste ordonnée d'évènements catalogue, les prochains évènements potentiels concernant la particule d'indice i de la liste particules qui contient toutes les particules présentes dans le récipient. Le paramètre R donne le rayon d'une particule et L la taille du récipient. Les évènements à prendre en compte sont le prochain rebond contre une paroi et le prochain choc avec chacune des autres particules (cf HLA). Les prochains évènements seront supposés valides et la fonction veillera à maintenir ordonnée la liste catalogue. Q 24. Écrire la fonction d'entête def initCat(particules:[[np.ndarray, np.ndarray]], R:float, L:float) --> [[bool, float, int, int or None, int or None]]: qui utilise la fonction aj out ip et qui renvoie la liste, ordonnée par temps décroissant, des prochains évènements potentiels concernant une liste de particules particules de rayon R dans un récipient de taille L. Q 25. Expliquer pourquoi la liste renvoyée par la fonction initCat contient certains éléments qui corres-- pondent en fait au même évènement. Q 26. Déterminer la complexité temporelle de la fonction initCat pour un espace à une dimension. Q 27. Quelle est la fonction à optimiser en priorité afin d'améliorer la complexité de la fonction initCat '? Quel algorithme classique peut être utilisé pour optimiser cette fonction '? IV Simulation Nous disposons désormais des éléments de base pour simuler l'évolution d'un ensemble de particules identiques enfermées dans un récipient. En partant d'une situation initiale, nous pouvons déterminer les prochains évène-- ments possibles, le plus proche de ces évènements va forcément avoir lieu. Nous pouvons alors établir un nouvel état de l'ensemble des particules juste après cet évènement, puis déterminer une nouvelle liste des prochains évè-- nements possibles à partir de cette nouvelle situation. En répétant ce traitement, il est théoriquement possible de déterminer la position et la vitesse de chacune des particules a un instant quelconque dans le futur. Q 28. Montrer que la liste des prochains évènements possibles ne peut jamais être vide, sauf si toutes les particules sont initialement à l'arrêt. Dans toute la suite, nous considèrerons qu'au moins une particule est en mouvement. Q 29. Ecrire la fonction d'entête def etape (particules: [[np.ndarray, np.ndarray]] , e:[bool, float, int, int or None, int or None]) --> None: qui, partant d'une liste de particules particules représentant la situation a l'instant courant, modifie l'état de chaque particule pour refléter la situation des particules juste après l'évènement e (supposé valide), en supposant qu'aucun autre évènement n'arrive avant celui--ci. Disposant de la fonction etape, il suffirait de la combiner avec la fonction initCat pour implanter l'algorithme de simulation décrit plus haut. Cependant, étant donné la complexité de initCat, il semble intéressant d'opti-- miser cette phase de l'algorithme. Pour cela, remarquons que les évènements qui ne concernent par les particules impliquées dans l'évènement traité par la fonction etape restent valides, a un décalage temporel près. Les seuls nouveaux prochains évènements possibles concernent les particules impliquées dans l'évènement traité. Q 30. Écrire la fonction d'entête def majCat(catalogue: [[bool, float, int, int or None, int or None", particules: [[np.ndarray, np.ndarray]] , e: [bool, float, int, int or None, int or None], R:float, L:float) --> None: qui met a jour son paramètre catalogue, liste ordonnée des prochains évènements potentiels, en supposant que particules représente la situation juste après l'évènement e, supposé valide et déjà retiré de catalogue. Les paramètres R et L désignent respectivement le rayon d'une particule et la taille du récipient. Afin de limiter les manipulations de listes, les évènements qui n'ont plus cours seront conservés dans le catalogue et simplement marqués non valides. On dispose de la fonction d'entête def enregistrer(bdd, t:float, e:[bool, float, int, int or None, int or None], particules: [[np.ndarray, np.ndarray]]) --> None: qui enregistre dans la base de données bdd des informations à propos de l'évènement e survenu au temps t de la simulation. Le temps de la simulation est exprimé en secondes, le début de la simulation étant pris comme origine. Le paramètre particules donne la situation (position, vitesse) des particules au temps t considéré, juste après la survenue de l'évènement e. Q 31. Écrire la fonction d'entête def simulation(bdd, d:int, N:int, B,:float, L:float, T:float) --> int: qui simule l'évolution de N particules identiques de rayon R dans un récipient de côté L dans un espace à d dimensions pendant la durée T (exprimée en secondes). Cette fonction utilise une situation initiale générée aléatoirement par l'intermédiaire de la fonction situationlnitiale (partie H) et renvoie le nombre d'évène-- ments ayant eu lieu pendant toute la simulation. D'autre part, elle enregistre chaque évènement dans la base de données bdd. Q 32. Comment sont gérés les doublons repérés a la question 25 '? Q 33. Dans la représentation choisie pour les évènements, le temps auquel cet évènement peut survenir est donné par rapport a un instant courant (qui correspond à l'instant de l'évènement précédent dans l'implantation choisie) ce qui oblige à recaler chaque évènement au fur et à mesure que le temps de la simulation s'écoule. Une autre possibilité aurait été d'indiquer le temps de chaque évènement par rapport à une référence fixe (le début de la simulation). Discuter des avantages et des inconvénients de chaque représentation en terme de précision du résultat et de complexité de l'algorithme. La représentation retenue ici est--elle la mieux adaptée des deux pour traiter le problème posé '? V Exploitation des résultats On dispose d'une version plus générale de la fonction simulation pour laquelle toutes les particules ne sont plus nécessairement identiques. Cette fonction enregistre ses résultats dans une base de données dont la structure est donnée figure 4. SIMULATIÛN REBÜND integer SI_NW datetime RE_ NW PA_... - PARTICULE PA_ NUM integer varchar(100) Figure 4 Structure physique de la base de données des résultats de simulation Cette base comporte les trois tables suivantes : -- la table SIMULATIDN, de clef primaire SI_NUM, donne les caractéristiques de chaque simulation effectuée. Elle contient les colonnes . SI_NUM numéro d'ordre de la simulation (clef primaire) . SI_DEB date et heure du lancement du programme de simulation . SI_DUR durée (en secondes) de la simulation (il ne s'agit pas du temps d'exécution du programme, mais du temps simulé) . SI_DIM nombre de dimensions de l'espace de simulation . SI_N nombre de particules pour cette simulation . SI_L (en mètres) taille du récipient utilisé pour la simulation -- la table PARTICULE, de clef primaire PA_NUM, des types de particules considérées. Elle contient les colonnes . PA_NUM numéro (entier) identifiant le type de particule (clef primaire) . PA_NOM nom de ce type de particule . PA_M masse de la particule (en grammes) . PA_R rayon (en mètres) de la particule -- la table REBÜND, de clef primaire (SI_NUM, RE_NUM), liste les chocs des particules avec les parois du récipient. Elle contient les colonnes . SI_NUM numéro d'ordre de la simulation ayant généré ce rebond . RE_NUM numéro d'ordre du rebond au sein de cette simulation . PA_NUM numéro du type de particule concernée par ce rebond . RE_T temps de simulation (en secondes) auquel ce rebond est arrivé . RE_DIR paroi concernée: entier non nul de l'intervalle [--SI_DIM, SI_DIM] donnant la direction de la normale à la paroi. Ainsi --2 désigne la paroi située en y = 0 alors que 1 désigne la paroi située en a: = L . RE_VIT norme de la vitesse de la particule qui rebondit (en m--s_1) . RE_VP valeur absolue de la composante de la vitesse normale à la paroi (en m-s_l) Q 34. Écrire une requête SQL qui donne le nombre de simulations effectuées pour chaque nombre de dimen-- sions de l'espace de simulation. Q 35. Écrire une requête SQL qui donne, pour chaque simulation, le nombre de rebonds enregistrés et la vitesse moyenne des particules qui frappent une paroi. Q 36. Écrire une requête SQL qui, pour une simulation n donnée, calcule, pour chaque paroi, la variation de quantité de mouvement due aux chocs des particules sur cette paroi tout au long de la simulation. On se rappellera que lors du rebond d'une particule sur une paroi la composante de sa vitesse normale à la paroi est inversée, ce qui correspond a une variation de quantité de mouvement de 2m|v,l où m désigne la masse de la particule et @L la composante de sa vitesse normale à la paroi. Opérations et fonctions Python disponibles Fonctions -- range (n) renvoie la séquence des 11 premiers entiers (O --> n -- 1) -- list(range (n)) renvoie une liste contenant les 11 premiers entiers dans l'ordre croissant : 1ist(range(5))--> [O, 1, 2, 3, 4] -- random.randrange(a, b) renvoie un entier aléatoire compris entre a et b--1 inclus (& et b entiers) -- random . random() renvoie un nombre flottant tiré aléatoirement dans [O, 1[ suivant une distribution uniforme -- random. shuf f le (u) permute aléatoirement les éléments de la liste u (modifie u) -- random. sample(u, n) renvoie une liste de 11 éléments distincts de la liste u choisis aléatoirement, si n > 1en (u), déclenche l'exception ValueError -- math. sqrt(x) calcule la racine carrée du nombre 50 -- math. cei1(x) renvoie le plus petit entier supérieur ou égal à x -- math. floor(x) renvoie le plus grand entier inférieur ou égal à x -- sorted (u) renvoie une nouvelle liste contenant les éléments de la liste 11 triés dans l'ordre « naturel » de ses éléments (si les éléments de u sont des listes ou des tuples, l'ordre utilisé est l'ordre lexicographique) Opérations sur les listes -- 1en (11) donne le nombre d'éléments de la liste 11 : 1en([1, 2, 3]) --> 3;1en([[1,2], [3,4]]) --> 2 -- u + v construit une liste constituée de la concaténation des listes u et v : [1, 2] + [s, 4, 5] --> [1, 2, 3, 4, 5] -- n * u construit une liste constitué de la liste 11 concaténée 11 fois avec elle--même : 3 *[1, 2] --> [1, 2, 1, 2, 1, 2] e in 11 et e not in 11 déterminent si l'objet e figure dans la liste 11 2 in [1, 2, 3] --> True ; 2 not in [1, 2, 3] --> False u.append(e) ajoute l'élément e a la fin de la liste u (similaire a u = u + [e]) u.pop() renvoie le dernier élément de la liste 11 (u [--1]) et le supprime (del u[--1]) -- del u[i] supprime de la liste u son élément d'indice i -- del u [i : j] supprime de la liste 11 tous ses éléments dont les indices sont compris dans l'intervalle [i, j[ -- u . remove (e) supprime de la liste u le premier élément qui a pour valeur e, déclenche l'exception ValueError si e ne figure pas dans u -- u. insert (i , e) insère l'élément e a la position d'indice i dans la liste u (en décalant les éléments suivants) ; si 1 >= 1en(u), e est ajouté en fin de liste -- u[i] , u[j] = u[j] , u[i] permute les éléments d'indice i et j dans la liste u -- u. sort () trie la liste 11 en place, dans l'ordre « naturel » de ses éléments (si les éléments de 11 sont des listes ou des tuples, l'ordre utilisé est l'ordre lexicographique) Opérations sur les tableauæ (np.ndarray) -- np . array (u) crée un nouveau tableau contenant les éléments de la liste 11. La taille et le type des éléments de ce tableau sont déduits du contenu de u -- np.empty (n, dtype), np. empty( (n, m) , dtype) crée respectivement un vecteur a 11 éléments ou une ma-- trice à 11 lignes et m colonnes dont les éléments, de valeurs indéterminées, sont de type dtype qui peut être un type standard (bool, int, float, ..) ou un type spécifique numpy (np.int16, np.float32, ...). Si le paramètres dtype n'est pas précisé, les éléments seront de type float -- np.zeros(n, dtype), np.zeros((n, m) , dtype) fonctionne comme np.empty en initialisant chaque élé-- ment à la valeur zéro pour les types numériques ou False pour les types booléens -- np.random.rand (n), np.random.rand (n, m) crée un tableau de la forme indiquée (11 lignes, m colonnes) en initialisant chaque élément avec une valeur aléatoire issue d'une distribution uniforme sur [D, 1[ -- a.ndim nombre de dimensions du tableau a (l pour un vecteur, 2 pour une matrice, etc.) -- a. shape tuple donnant la taille du tableau a pour chacune de ses dimensions -- len(a) taille du tableau a dans sa première dimension (nombre d'éléments d'un vecteur, nombre de lignes d'une matrice, etc.) équivalent à a. shape [O] -- a. size nombre total d'éléments du tableau a -- a.f lat itérateur sur tous les éléments du tableau a -- a.min(), a.max() renvoie la valeur du plus petit (respectivement plus grand) élément du tableau a; ces opérations ont une complexité temporelle en O(a.size) -- b in a détermine si b est un élément du tableau a ; si b est un scalaire, vérifie si b est un élément de a; si b est un vecteur ou une liste et a une matrice, détermine si b est une ligne de a -- np . concatenate ( (al , a2)) construit un nouveau tableau en concaténant deux tableaux ; al et a2 doivent avoir le même nombre de dimensions et la même taille à l'exception de leur taille dans la première dimension (deux matrices doivent avoir le même nombre de colonnes pour pouvoir être concaténées) -- a. sort (d) trie le tableau a en place suivant sa dimension d'indice ci (par défaut, la dernière du tableau) : a.sort(0) trie les éléments du vecteur a ou les lignes de la matrice a; a.sort(1) trie les colonnes de la matrice a -- np. sort(a, d) renvoie une copie triée du tableau a suivant sa dimension d'indice d (voir a. sort (d) pour la signification exacte du paramètre d) oooFlNooo

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 Centrale Informatique MP-PC-PSI 2018 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Cyril Ravat (professeur en CPGE) ; il a été relu par Jean-Julien Fleck (professeur en CPGE) et Guillaume Batog (professeur en CPGE). Ce sujet d'informatique a pour objectif la simulation microscopique d'un gaz parfait. Le mouvement particulaire d'un tel gaz, abordé en physique en première année de prépa, permet de s'appuyer sur un modèle simple et accessible. L'étude est divisée en cinq parties de tailles sensiblement équivalentes. · La première aborde l'initialisation de la simulation, c'est-à-dire le placement originel et aléatoire des particules dans l'espace. Si les premières questions, faciles, permettaient à tous les candidats d'engranger quelques points, les dernières sont beaucoup plus difficiles à cause d'un cahier des charges complexe ; elles donnaient l'occasion aux meilleurs candidats de se mettre en valeur. On notera une question 12 très difficile et relativement mal posée. · On traite ensuite l'aspect physique du mouvement des particules, dans un modèle simplifié à une dimension. Les fonctions demandées sont, tout comme leur support physique, assez élémentaires. · Dans la troisième partie, le problème de la gestion des différents événements pour un système de N particules est posé. Une solution intéressante est fournie et étudiée en détail, notamment au niveau de la complexité des algorithmes mis en jeu. Ces questions, intéressantes, demandent du temps et de l'attention pour être traitées correctement. · La quatrième partie rassemble les résultats des questions précédentes pour établir les fonctions globales permettant la réalisation de la simulation. Elle demande d'avoir bien compris les différents modèles et outils utilisés précédemment et favorisait donc les candidats ayant pris le temps de réfléchir sur l'ensemble du sujet. · Enfin, on exploite une base de données pour enregistrer une partie des informations liées à des simulations. Il s'agit de la partie la moins bien écrite du sujet. Les bases de données sont assez mal formées, très partielles pour les informations stockées et avec un formalisme éloigné des canons du domaine. Bien qu'il n'y ait que trois questions, elles sont répétitives. Ce sujet est progressif et intéressant (la courte partie 5 exceptée). Le contexte utilisé est assez familier et la physique sous-jacente suffisamment simple pour ne pas poser de problème à la plupart des candidats. Les données sont représentées par des tableaux numpy car ils permettent l'addition et la multiplication par des scalaires. Il est donc nécessaire de savoir manipuler ces opérations. Il s'agit, pour les quatre premières parties, d'un bon entraînement accessible dès la fin de la première année. Les notions d'ingénierie numérique n'apparaissent pas, mais des questions associées à la représentation des nombres flottants sont présentes. Indications Partie I 1 Ne pas confondre la multiplication par un scalaire d'une liste Python ou d'un tableau np.array. 10 Il peut être profitable de commencer par un schéma d'une situation quelconque, sans hésiter à créer des positions proches ou éloignées les unes des autres. Puis dérouler l'algorithme en déplaçant les particules sur le schéma. Ne pas oublier de mettre en forme le retour comme une liste de tableaux np.array. 12 Le terme « histogramme » est très mal choisi. L'énoncé souhaite que l'on trace la fonction de densité de probabilité. Pour les cas N = 1 et N = 5, la réponse est intuitive. Mais pour le cas N = 2, il faut multiplier des probabilités conditionnelles. Partie II 17 Les tableaux np.array permettent l'utilisation de l'addition et de la multiplication de façon naturelle. La réponse attendue est très courte. Partie III 20 Il s'agit bien d'une question en une dimension, ce qui simplifie largement l'étude. Trois cas sont possibles en fonction de la valeur précédente de la vitesse. 21 Comme à la question précédente, l'étude est en une dimension. Les deux particules ne se choqueront que si elles sont en train de se rapprocher, c'est-à-dire si leur distance diminue en valeur absolue. 22 Une fois trouvé l'endroit où insérer l'événement dans le catalogue, la méthode insert, dont l'énoncé donne l'aide en annexe, est incontournable. 23 La fonction demandée utilise les trois fonctions écrites précédemment. Les fonctions tr et tc ont un comportement similaire pour leur retour, notamment lorsqu'il n'y a pas d'événement associé. Ce retour est à tester avant la fabrication de l'événement. 26 Il faut bien compter toutes les complexités dans le pire des cas où chaque particule est capable de rencontrer toutes les autres. Le résultat peut être exprimé sous la forme d'une somme d'entiers consécutifs qui se simplifie. 27 Ne surtout pas aller chercher un algorithme trop compliqué ou éloigné du cours. Partie IV 29 Mettre à jour les positions pour toutes les particules. Ensuite, ne mettre à jour que les vitesses des particules ayant interagi. Toutes les fonctions nécessaires ont déjà été écrites. 30 L'invalidation des événements doit se faire à la main, selon un test d'appartenance long à écrire, mais simple à concevoir. 31 On ne sait pas à l'avance combien d'itérations seront réalisées. À chaque itération, il faut commencer par supprimer les événements invalides en fin de catalogue. 33 L'erreur numérique associée à la représentation des valeurs flottantes est surtout proportionnelle à la valeur représentée. Partie V 34 Il s'agit d'une requête d'agrégation selon un critère à définir. 35 Cette question est très proche de la précédente. La jointure n'est pas nécessaire. 36 La requête est plus longue à écrire, mais il suffit de traduire ce que dit l'énoncé. I. Initialisation Pour la seconde fois, le concours Centrale-Supélec utilise la syntaxe des définitions de fonctions appelée « annotations ». Elle rend le code plus explicite en précisant les types des arguments et des retours des fonctions. Il est probable que cela devienne une habitude dans ce concours et c'est une bonne idée dont pourraient s'inspirer les autres. 1 La ligne 9 du code proposé crée un tableau np.array d'une unique valeur, générée aléatoirement entre 0 inclus et L exclu. Il fallait bien lire la documentation de la fonction np.random.rand, qui ne fait pas partie des fonctions à connaître. Attention à ne pas confondre le comportement de la multiplication sur les listes et sur les objets np.array. La multiplication d'une liste par un entier provoque une concaténation multiple de cette liste, comme il est rappelé dans l'annexe de l'énoncé, tandis que pour un np.array cela multiplie chaque élément du tableau par l'entier ou le flottant multiplicateur. Ce détail aurait pu être rappelé dans l'annexe. 2 L'argument c de la fonction possible peut être interprété à partir de l'appel à la fonction à la ligne 10. Il s'agit d'un tableau np.array à une dimension, contenant la position d'une nouvelle particule à placer parmi celles déjà présentes dans res. 3 La ligne 3 évacue les deux cas où le placement de la particule est impossible car trop près des bords de l'espace disponible. Elle conduit la fonction possible à renvoyer False s'il faut générer une nouvelle position. 4 Les lignes 4 et 5 testent pour chaque particule déjà présente si la nouvelle particule à insérer est trop proche. Elles ont la même conclusion que la ligne 3. 5 La fonction possible teste la possibilité de placement de la nouvelle particule. Elle renvoie True si c'est possible et False s'il faut générer une nouvelle position. 6 Le rejet réalisé à la ligne 3 peut être évité en générant une valeur comprise entre R et L - R, en remplaçant la ligne 9 par p = R + (L-2*R) * np.random.rand(1) 7 Dans la configuration proposée, chaque particule est espacée de 0,5 des deux particules adjacentes ou du bord. Il n'y a donc pas de place pour positionner une quatrième particule, et la boucle while devient une « boucle infinie ». Ainsi, La suite de l'appel à placement1D ne termine pas. 8 Dans le cas où N Nmax , on peut supposer que presqu'aucun échec de placement de particule ne survient. Le contenu de la boucle while est alors répété N fois et contient des instructions de complexité constante ainsi qu'un appel à la fonction possible. Cette fonction est de complexité linéaire en le nombre d'éléments déjà dans res. Puisque O(1 + 2 + 3 + · · · + N) = O(N2 ), La complexité de la fonction placement est quadratique. La somme des diamètres des particules à placer à la question 7 est pourtant inférieure à la longueur totale du segment. Cela signifie que le nombre Nmax est certainement inférieur au rapport L/(2 R). Si l'on souhaite éviter la boucle infinie, il ne faut pas arriver pour autant à la situation où N - 1 particules sont écartées l'une de l'autre et du bord d'une distance légèrement inférieure à 2 R. À la limite de ce raisonnement, la configuration est Alors Nmax = L+2R 4R 9 Pour recommencer à zéro le placement des particules dès qu'une nouvelle position est impossible, il suffit d'ajouter ce comportement lorsque possible(p) vaut False. res = [] while len(res) < N: p = L * np.random.rand(1) if possible(p): res.append(p) else: res = [] return res 10 L'énoncé demande une fonction en trois étapes. La troisième est une étape de déplacements successifs des particules, de l'espace [ 0 ; ] vers l'espace [ 0 ; L ]. Par exemple, ces déplacements peuvent être représentés par le schéma suivant : 1 3 5 L 6 2 4 6 2 4 6 2 4 1 6 2 4 1 6 2 4 1 3 5 6 2 4 1 3 placement aléatoire remplacement de la particule 1 remplacement de la particule 2 remplacement de la particule 3 remplacement de la particule 4 remplacement de la particule 5 remplacement de la particule 6 6 1 2 3 5 3 5 3 5 4 1 5 3 5 Le placement rapide de N particules peut donc se faire ainsi : def placement1Drapide(N, R, L): # Étape 1 : calcul de l'espace libre final l = L-2*R*N # Étape 2 : placement aléatoire des N particules sur [0; l] positions = l * np.random.rand(N) # Étape 3 : déplacement des particules for i in range(N): for j in range(N): # Déplacement des particules à droite if positions[j] > positions[i]: positions[j] = positions[j]+2*R # Transformation en particule réelle positions[i] = positions[i]+R