Centrale Informatique MP-PC-PSI 2015

Thème de l'épreuve Autour de la dynamique gravitationnelle
Principaux outils utilisés listes, boucles, schémas d'intégration, méthode d'Euler, bases de données
Mots clefs méthode de Verlet, problème à N-corps

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EUNE[IHHS EENTHHLE-SUPËLEE 3 heures Calculatrices autorisées N

Autour de la dynamique gravitationnelle

Modéliser les interactions physiques entre un grand nombre de constituants mène 
à l'écriture de systèmes diffé--
rentiels pour lesquels, en dehors de quelques situations particulières, il 
n'existe aucune solution analytique. Les
problèmes de dynamique gravitationnelle et de dynamique moléculaire en sont 
deux exemples. Afin d'analyser le
comportement temporel de tels systèmes, l'informatique peut apporter une aide 
substantielle en permettant leur
simulation numérique. L'objet de ce sujet, composé de quatre parties, est 
l'étude de solutions algorithmiques
en vue de simuler une dynamique gravitationnelle afin, par exemple, de prédire 
une éclipse ou le passage d'une
comète.

Les programmes doivent être écrits en langage python et les requêtes de base de 
données en langage SQL.
Les candidats sont libres de définir et de programmer toute fonction auxiliaire 
dont ils estiment avoir besoin
pour répondre aux questions posées. Ils ueilleront dans ce cas à définir 
précisément, le rôle de chaque fonction
introduite, ses paramètres et son résultat. Ils peuvent également utiliser 
librement les fonctions de la bibliothèque
standard Python, en particulier celles du module math.

Lorsque le sujet demande l'écriture d'une fonction python, la réponse doit 
commencer par l'entête de la fonction
(instruction def). D'autre part, si le sujet précise que la fonction prend un 
paramètre d'un certain type ou qui
répond à une certaine condition, la fonction n'a pas à vérifier la conformité 
de l'argument reçu.

La lisibilité des codes produits, tant en python qu'en SQL, est un élément 
important d'appréciation.

I Quelques fonctions utilitaires

I .A -- Donner la valeur des expressions python suivantes :

I.A.1) [1, 2, s] + [4, 5, 6]

I.A.2) 2 * [1, 2, 3]

I .B -- Écrire une fonction python smul a deux paramètres, un nombre et une 
liste de nombres, qui multiple
chaque élément de la liste par le nombre et renvoie une nouvelle liste : smul 
(2, [1 , 2, 3]) --> [2, 4, 6].
LG -- Arithmétique de listes

I.C.1) Écrire une fonction python vsom qui prend en paramètre deux listes de 
nombres de même longueur et
qui renvoie une nouvelle liste constituée de la somme terme à terme de ces deux 
listes :
Vsom([1, 2, 3], i:4, 5, 6]) _) [5' 72 9]

I.C.2) Écrire une fonction python vdif qui prend en paramètre deux listes de 
nombres de même longueur et
qui renvoie une nouvelle liste constituée de la différence terme a terme de ces 
deux listes (la première moins la
deuxième) : Vdif([1, 2, 3] , [4, 5, 6]) --> [--3, --3, --3].

II Étude de schémas numériques

min et tmax deux réels tels que tmin < tmax. On s'intéresse a une équation différentielle du second ordre de la forme : Vt EUR I y"(t) = f (W)) (II-1) où f est une fonction donnée, continue sur [R. De nombreux systèmes physiques peuvent être décrits par une équation de ce type. Soient y une fonction de classe C'2 sur [R et t On note I l'intervalle [tmin7 tmaxi ' On suppose connues les valeurs y() : y(tmin) et z0 = y'(tmin). On suppose également que le système physique étudié est conservatif. Ce qui entraîne l'existence d'une quantité indépendante du temps (énergie, quantité de mouvement, .), notée E, qui vérifie l'équation (11.2) où g' = -- f . 1 w e 1 5y'2 +g [R définie par
Vt EUR I, z(t) : y'(t).

2015-03-09 14:08:31 Page 1/4 [_

II.A.1) Montrer que l'équation (11.1) peut se mettre sous la forme d'un système 
différentiel du premier ordre
en z(t) et y(t), noté (S).

t --t .
II.A.2) Soit n un entier strictement supérieur à 1 et Jn : l[0,n -- 1]]. On 
pose h = % et Vi E J...
t,-- : tmin + ih. Montrer que, pour tout entier i EUR |[0,n -- 2]],
ti+1 ti+1
y = z 2 étant
un entier positif donné. Le mouvement de ces points est étudié dans un 
référentiel galiléen muni d'une base

orthonormée. L'interaction entre deux corps j et k est modélisée par la force 
gravitationnelle. L'action exercée
m m
_] k
3
rjk
corps j et k (rjk = ||Pijll) et G = 6,67 >< 10_11 N-m2-kg_2 la constante de gravitation universelle. par le corps k sur le le corps j est décrite par la force Î . = G PP où 7". est la distance séparant les k/J ] k Jk A tout instant t,-- avec i E [[O,n]], chaque corps de masse mj est repéré par ses coordonnées cartésiennes (as,--j, y,,, 2,1) et les composantes de son vecteur v1tesse (v...--j, vyij, UZ,--j) dans le referent1el de reference. Trois listes sont utilisées pour représenter ce système en python -- masse conserve les masses de chaque corps : masse [j] = mj ; -- position contient les positions successives de chaque corps : position [i] [j] = [as,--j,y,--j, z,--j] ; -- vitesse mémorise les vitesses successives de chaque corps : vitesse [i] [j] = [vmj,vyij,vz,--j]. L'objet de la suite du problème est de construire ces listes en mettant en oeuvre l'algorithme de Verlet. III.A -- Position du problème III.A.1) Exprimer la force Î'j exercée sur le corps Pj par l'ensemble des autres corps Pk, avec k % j. III.A.2) Écrire une fonction python force2 (m1, pi, m2, p2) qui prend en paramètre les masses (m1 et m2 en kilogrammes) et les positions (pl et p2, sous forme de listes de trois coordonnées cartésiennes en mètres) de deux corps 1 et 2 et qui renvoie la valeur de la force exercée par le corps 2 sur le corps 1, sous la forme d'une liste a trois éléments représentant les composantes de la force dans la base de référence, en newtons. III.A.3) Écrire une fonction forceN( j , m, pos) qui prend en paramètre l'indice j d'un corps, la liste des masses des N corps du système étudié ainsi que la liste de leurs positions et qui renvoie Fj, la force exercée par tous les autres corps sur le corps j, sous la forme d'une liste de ses trois composantes cartésiennes. III.B -- Approche numérique III.B.1) Expliciter la structure et la signification de position [i] et vitesse [i]. III.B.2) Écrire une fonction pos_suiv (m, pos, vit, h) qui prend en paramètres la liste des masses des N corps du système étudié (en kilogrammes), la liste de leurs positions (en mètres) à l'instant t,, la liste de leurs vitesses (en mètres par seconde) au même instant et le pas d'intégration h (en secondes) et qui renvoie la liste des positions des N corps à l'instant t,-- +1 calculées en utilisant le schéma de Verlet. III.B.3) Écrire une fonction etat_suiv(m, pos, vit, h) qui prend les mêmes paramètres que la fonction pos_suiv et qui renvoie la liste des positions (en mètres) et la liste des vitesses (en m/s) des N corps à l'instant t,-- +1 calculées en utilisant le schéma de Verlet. III.B.4) En notant TN la durée des calculs pour un ln(TN) nombre N de corps, la mise en oeuvre de la fonction 8' etat_suiv a donné le résultat graphique de la figure 2 + ++ où on a porté ln(N ) en abscisse et ln(TN) en ordonnée. 7 +++ a ) Quelle relation simple peut--on établir entre ln(TN) +++ et ln(N ) a partir de la figure 2 ? 6 + + b) Quelle hypothèse peut-on émettre quant à la com-- + + plexité de l'algorithme étudié ? 5 + III.B.5) + 4 + a) Estimer la complexité temporelle de la fonction etat_suiv sous la forme O(N°'). 3 + b) Comparer avec le résultat obtenu àla question III.B/l. 2 + Figure 2 2015-03-09 14:08:31 Page 3/4 [_ IV Exploitation d'une base de données À partir de mesures régulièrement effectuées par différents observatoires, une base de données des caractéristiques et des états des corps célestes de notre Système solaire est maintenue à jour. L'objectif de cette partie est d'extraire de cette base de données les informations nécessaires à la mise en oeuvre des fonctions développées dans les parties précédentes, puis de les utiliser pour prévoir les positions futures des différentes planètes. Les données à extraire sont les masses des corps étudiés et leurs états (position et vitesse) a l'instant tmin du début de la simulation. Une version simplifiée, réduite à deux tables, de la base de données du Système solaire est donnée figure 3. Les masses sont exprimées en kilogrammes, les distances en unités astronomiques (1 au : 1,5 >< 1011 m) et les vitesses en kilomètres par seconde. Le référentiel utilisé pour exprimer les composantes des positions et des vitesses est galiléen, orthonormé et son centre est situé a proximité du Soleil. CORPS ETAT id_corps-- masse id_corps ... Figure 3 Schéma de la base de données La table CORPS répertorie les corps étudiés, elle contient les colonnes -- id_corps (clé primaire) entier identifiant chaque corps ; -- nom, chaine de caractères, désigne le nom usuel du corps ; -- masse de type flottant, contient la masse du corps. La table ETAT rassemble l'historique des états successifs (positions et vitesses) des corps étudiés. Elle est consti- tuée de huit colonnes : -- id_corps de type entier, identifie le corps concerné ; -- datem est la date de la mesure, sous forme d'un entier donnant le nombre de secondes écoulées depuis un instant d'origine ; -- trois colonnes de type flottant pour les composantes de la position x, y, z ; -- trois colonnes de type flottant pour les composantes de la vitesse vx, vy, vz. I V.A -- Écrire une requête SQL qui renvoie la liste des masses de tous les corps étudiés. I V.B -- Les états des différents corps ne sont pas forcément tous déterminés exactement au même instant. Nous allons assimiler l'état initial (à la date tmin) de chaque corps à son dernier état connu antérieur à tmin. Dans toute la suite, on supposera que la valeur de tmin7 sous le format utilisé dans la table ETAT, est accessible à toute requête SQL via l'expression tmin(). IV.B.1) On souhaite d'abord vérifier que tous les corps étudiés disposent d'un état connu antérieur à tmin(). Le nombre de corps présents dans la base est obtenu grâce à la requête SELECT count(*) FROM corps. Écrire une requête SQL qui renvoie le nombre de corps qui ont au moins un état connu antérieur à tmin(). IV.B.2) Écrire une requête SQL qui renvoie, pour chaque corps, son identifiant et la date de son dernier état antérieur à tmin(). IV.B.3) Le résultat de la requête précédente est stocké dans une nouvelle table date_mesure a deux colonnes : -- id_corps de type entier, contient l'identifiant du corps considéré; -- date_der de type entier, correspond à la date du dernier état connu du corps considéré, antérieur à tmin(). Pour simplifier la simulation, on décide de négliger l'influence des corps ayant une masse strictement inférieure à une valeur fixée masse_min() et de ne s'intéresser qu'aux corps situés dans un cube, centré sur l'origine du référentiel de référence et d'arête arete() donnée. Les faces de ce cube sont parallèles aux plans formés par les axes du référentiel de référence. Ecrire une requête SQL qui renvoie la masse et l'état initial (sous la forme masse, x, y, z, vx, vy, vz) de chaque corps retenu pour participer à la simulation. Classez les corps dans l'ordre croissant par rapport a leur distance a l'origine du référentiel. I V.C -- On dispose des variables python tO, p0, VO et masse initialisées a partir du résultat de la requête précédente. 130 est un entier qui donne la date des conditions initiales : il correspond à tmin et à tmin(). p0 est une liste de longueur N, chaque élément de 130 est une liste a 3 éléments de la forme [x, y, 2] représentant la position initiale d'un corps, en unité astronomique. VO a une structure identique mais indique les vitesses initiales des corps considérés, en km/s. masse est décrite en partie III. Écrire la fonction python simulation_verlet (deltat, 11) qui prend en paramètre un incrément de temps en secondes (deltat > O) et un nombre d'itérations (n > O) et qui renvoie la liste 
des positions des corps considérés
pour chaque instant t0, t0 + deltat, ..., 130 + n*deltat (cf variable position 
définie en partie III). Les calculs
seront menés en utilisant le schéma d'intégration de Verlet, le résultat sera 
fourni en unité astronomique.

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