Centrale Informatique optionnelle MP 2015

Thème de l'épreuve Coloration d'un graphe d'intervalles
Principaux outils utilisés graphes, programmation, complexité
Mots clefs graphe, intervalle, coloration, algorithme glouton, ordre d'élimination parfait, enquête policière

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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(. '» Option informatique "" %, FI _/ MPQ cnucnuns EENTHHLE--SUFËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N Les candidats devront répondre aus: questions de programmation en utilisant le langage Caml. Ils devront donner le type, ou la signature, de chaque fonction écrite, sauf lorsqu'il est indiqué par le sujet : dans ce cas la réponse doit être d'un type compatible avec la signature proposée. Par eæemple, la fonction cons définie par letconsxl=x:zl est du type 'a --> 'a list --> 'a list qui est compatible avec la signature int --> int list --> int list. L'énoncé indique la signature attendue, toute réponse de type compatible est acceptée. I Graphes d'intervalles On considère le problème concret suivant : des cours doivent avoir lieu dans un intervalle de temps précis (de 8h a 9h55, .) et on cherche à attribuer une salle a chaque cours. On souhaite qu'à tout moment une salle ne puisse être attribuée à deux cours différents et on aimerait utiliser le plus petit nombre de salles possibles. Ce problème d'allocation de ressources (ici les salles) en fonction de besoins fixes (ici les horaires des cours) intervient dans de nombreuses situations très diverses (allocation de pistes d'atterrissage aux avions, répartition de la charge de travail sur plusieurs machines, ....) I.A -- Représentation du problème On modélise le problème ainsi : -- chaque besoin est représenté par un segment [a, b] où a, b EUR IN et a < b ; -- deux besoins 1 et J sont en conflit quand 1 0 J % (b. La donnée du problème est une suite finie (IO, ----,In_1) de n segments où n EUR IN*. 16 :_= Ï6 :_ Ï3 ° ° l4 _-- Ï2 Ï2 5--5 Ï5 _ Ï1: : : 5 ; :Ï5r--t ; ; Â): Ï :Ï3r--------F--+--f Ë Ë Ë% r--+-------- 0123456789101112 0123456789101112131415 Problème a Problème b Figure 1 Deux exemples de problèmes On représente un segment en Caml par un couple d'entiers, la donnée du problème est une valeur du type (int*int) vect. Le problème a de la figure 1 est représenté par le tableau [| (0,3); (1,3); (2,5); (4,7); (6,10); (8,9); (11,12) |] I.A.1) Écrire une fonction ayant pour signature conflit : int * int --> int * int --> bool telle que conflit I J renvoie true si et seulement si 1 et J sont en conflit. I.B -- Graphe simple non orienté On appelle graphe simple non orienté un couple G = (S, A) où -- S est un ensemble fini dont les éléments sont appelés les sommets du graphe ; -- A est un ensemble de paires d'éléments distincts de S . Lorsque {x,y} EUR A on dit que a: et y sont reliés dans G et {as, y} est appelée une arête de G. Les sommets reliés à un sommet sc sont appelés les voisins de sc. Étant donnée une énumération de S' sous la forme d'une suite finie (sc... ---, xn_1) on représente A en Caml par un élément du type int list vect ainsi: pour i E {O, ---,n -- 1}, la liste A. (i) contient les j tels que a:,» soit relié à % dans G. On représente graphiquement le graphe G par un diagramme où les arêtes sont représentées par des traits entre les sommets. 2015-03--16 13:26:27 Page 1/6 Les arêtes du graphe dont une représentation graphique est donnée figure 2 sont représentées en Caml par le tableau: [I [1:2;31; [0:2;3]; [0;1;3;4]; E0;1;21; [2] |] Une telle liste d'arêtes suffit pour déterminer un graphe lorsque l'énumération des sommets est connue car on peut alors identifier un sommet a son indice. Dans la suite de ce problème on identifiera ainsi un graphe a sa liste d'arêtes. I. C' -- Graphe d 'intervalles Soit Î = (IO, ..., In_1) une suite finie de segments, on appelle graphe d'intervalles associé à Î le graphe G(Î) -- dont les sommets sont les segments IO, ...,In_1 -- et où, pour i, j E {O, ..., n-- 1}, avec i % j , les sommets I,-- et I, sont reliés si et seulement si ils sont en conflit. Le graphe d'intervalles qui correspond au problème a de la figure 1 admet la représentation graphique de la figure 3. @ o'ee @@. Figure 3 I.C.1) Donner une représentation graphique du graphe d'intervalles associé au problème b de la figure 1. I.C.2) Écrire une fonction ayant pour signature construit_graphe : (int * int) vect --> int list vect qui étant donné le tableau des segments Î : (IO, ..., I n_1), énumérés dans cet ordre, renvoie la représentation des arêtes de G(I ) I. D -- Coloration Soit G = (S', A) un graphe simple non orienté dont les sommets sont 950, ...,xn_1. On appelle coloration de G une suite finie d'entiers naturels (co, ..., cn_1) telle que V(Z,j) EUR {0,...,n--1}2, {OE,,OEj} EURA=>C, #Cj L'entier c, est appelé la couleur du sommet a:, et la condition se traduit ainsi: deux sommets reliés ont des couleurs distinctes. Dorénavant, le terme couleur sera synonyme d'entier naturel. La suite finie (O, 1, 2, 3,0) est une coloration du graphe de la figure 2. Lorsqu'une coloration utilise le plus petit nombre de couleurs distinctes possibles, on dit qu'elle est optimale. On note alors x(G) ce nombre minimum de couleurs, appelé le nombre chromatique de G. En associant une salle a chaque couleur, on peut répondre au problème initial a l'aide d'une coloration de son graphe d'intervalles associé. I.D.l) Déterminer des colorations optimales pour les graphes d'intervalles associés aux deux problèmes de la figure 1. On attribuera a chaque fois la couleur 0 a l'intervalle IO. I.D.2) Couleur disponible a ) Écrire une fonction de signature appartient : int list --> int --> bool telle que l'appel à appartient 1 X envoie true si et seulement si l'entier :c est présent dans la liste 1 . b) Écrire une fonction de signature plus_petit_absent : int list --> int telle que l'appel à lus_ etit_absent l renvoie le plus petit entier naturel non présent dans 1. P P 2015-03--16 13:26:27 Page 2/6 c ) On considère ici une coloration progressive des sommets d'un graphe. Pour cela, une coloration partielle est un tableau couleurs : int vect tel que couleurs. (i) contient la couleur de i s'il est coloré et --1 sinon, ce qui ne pose pas de problème car les couleurs sont toujours positives. Ecrire une fonction de signature couleurs_voisins : int list vect --> int vect --> int --> int list telle que l'appel à couleurs_voisins aretes couleurs i renvoie la liste des couleurs des voisins colorés du sommet d'indice i dans le graphe décrit par aretes où le tableau couleurs décrit une coloration partielle. d) En déduire, une fonction de signature couleur_disponible : int list vect --> int vect --> int --> int telle que l'appel à couleur_disponible aretes couleurs i renvoie la plus petite couleur pouvant être attri-- buée au sommet i afin qu'il n'ait la couleur d'aucun de ses voisins dans le graphe décrit par aretes. I .E -- Cliques Soit G = (S', A) un graphe. Un sous-ensemble C C S est appelé une clique de G lorsqu'il vérifie Voe,yEURG, x#y=>{oe,y}6A Le nombre d'éléments de C est appelé sa taille. La taille de la plus grande (celle qui possède le plus grand nombre d'éléments) clique de G est notée w(G). I.E.1) Déterminer x(G) et w(G) lorsque (1) G ne possède pas d'arête (c'est à dire A = (D). (J) G est un graphe complet à n sommets, c'est à dire |S| : n et pour tous u,v EUR S distincts, {u,v} EUR A. I.E.2) Comparer x(G) et w(G) pour un graphe G quelconque. I.E.3) Écrire une fonction de signature est_clique : int list vect --> int list --> bool telle que est_clique aretes xs renvoie true si et seulement si la liste xs est une liste d'indices de sommets formant une clique dans le graphe décrit par aretes. II Algorithme glouton pour la coloration Étant donnée une liste de segments Î = (10,11, ..., In_1) de longueur n > 1, on se p_ropose de déterminer une coloration optimale de son graphe d'intervalles associé. On appelle coloration de 1 une suite finie d'entiers naturels (c... ...,cn_1) telle que On suppose dans cette partie que les segments I k = [a... bk], pour k E {O, ...,n -- 1}, sont énumérés dans l'ordre croissant de leur extrémités gauches, c'est-à-dire que a() < (11 < < an_1 On propose l'algorithme suivant : Pour k variant de 0 a n -- 1, colorer l'intervalle Ik avec la plus petite couleur non encore utilisée dans la coloration des intervalles I], avec 0 < j < k, qui ont une intersection non vide avec Ik. Ainsi, l'intervalle Ï0 est toujours coloré avec la couleur 0, l'intervalle Il reçoit la couleur 0 si [0 0 Il : (Z), et la couleur 1 sinon, etc. II.A -- L'algorithme sur un eoeemple Déterminer la coloration renvoyée par l'algorithme pour le problème b décrit sur la figure 1. II .B -- Coloration Ecrire une fonction de signature coloration : (int * int) vect --> int list vect --> int vect 2015-03-16 13:26:27 Page 3/6 telle que l'appel coloration segments aretes, où segments est un tableau contenant des segments triés par ordre croissant de leurs extrémités gauches et où aretes représente les arêtes du graphe d'intervalles associé à ces segments, renvoie la coloration obtenue avec l'algorithme ci-dessus. II.C -- Preuve de l'algorithme On se propose maintenant de démontrer que l'algorithme ci-dessus fournit une coloration optimale de l'ensemble de segments. Soit k un entier entre 0 et n -- 1. On suppose qu'à la k-ième étape de l'algorithme, le segment I k reçoit la couleur c. II.C.1) L'extrémité gauche du segment Ik appartient a un certain nombre de segments parmi 10,11, ...,Ik_1. Combien au moins ? II.C.2) Prouver que l'ensemble constitué de I k et de ses voisins d'indice inférieur à k constitue une clique de taille au moins c + 1 dans le graphe d'intervalles associé. II.C.3) En déduire que le nombre de couleurs nécessaires à une coloration de l'ensemble des segments est au moins égal à c + 1. II.C.4) Conclure. II .D -- Compleæité Déterminer la complexité de la fonction coloration en fonction du nombre m d'arêtes du graphe d'intervalles associé à la liste I. III Graphes munis d'un ordre d'élimination parfait On introduit ici la notion d'ordre d'élimination parfait, dont on montre qu'il eæiste toujours pour un graphe d'intervalles, et qui permet de proposer un algorithme glouton pour le problème de la coloration d'un graphe. Soient G = (S, A) un graphe et (930, ...,oen_1) une énumération des sommets de G. Pour tout i E {O, ..., n -- 1} on note G,-- : (S,,A,) où S', : {as... ..,a:,} et Vk,l EUR {O,...,n--1}, {oek,xl} EUR A,-- (=> k < i et l < i et {xk,xl} EUR A G,» est ainsi le graphe déduit de G en se restreignant aux sommets de 930 a :c,--. Une énumération (a:... ...,xn_1) des sommets de G est appelée un ordre d'élimination parfait si pour tout i E {O, ..., n -- 1} les voisins de a:,-- d'indices inférieurs à i forment une clique. III.A -- Un eoeemple Déterminer un ordre d'élimination parfait pour le graphe G donné par la représentation de la figure 4. III. B -- Vérification III.B.1) Écrire une fonction de signature voisins_inferieurs : int list vect --> int --> int list telle que voisins_inferieurs aretes x renvoie la liste des voisins du sommet d'indice 93 dont l'indice est strictement inférieur a a:. III.B.2) Écrire une fonction de signature est_ordre_parfait : int list vect --> bool telle que est_ordre_parfait aretes renvoie true si et seulement si l'énumération associée au graphe représenté par aretes est un ordre d'élimination parfait. III.C -- Ordre d'élimination parfait pour un graphe d 'intervalles Montrer que l'énumération des segments (IO, ..., In_1) obtenue en les triant par leurs extrémités gauches en ordre croissant est un ordre d'élimination parfait de leur graphe d'intervalles. III .D -- Coloration On considère un graphe dont (a:... ..., oen_1) est une énumération des sommets. 2015-03--16 13:26:27 Page 4/6 On colore ce graphe à l'aide l'algorithme suivant : pour i allant de 0 à n -- 1, on colore a:,-- avec la plus petite couleur qui ne soit pas utilisée par un de ses voisins déjà colorés. III.D.1) Appliquer cet algorithme de coloration au graphe G de la figure 4 muni a) de l'ordre (a:... ...,oe7) ; b ) d'un ordre d'élimination parfait. III.D.2) Écrire une fonction de signature colore : int list vect --> int vect telle que l'appel à colore aretes renvoie selon cet algorithme un tableau c représentant une coloration valide du graphe décrit par aretes où la couleur du i-ème sommet est donnée par c. (i). III.D.3) Soit (co, ..., cn_1) la coloration obtenue par cet algorithme pour un graphe G dont l'énumération des sommets est un ordre d'élimination parfait. a) Montrer que pour tout i E {O, ...,n -- 1} on a x(G) ; 1 + c,. b ) En déduire que l'algorithme de coloration renvoie une coloration optimale. IV Ordre d'élimination parfait pour un graphe cordal On s'intéresse ici a une nouvelle condition sufiisante pour qu'un graphe admette un ordre d'élimination parfait, qui s'exprime en considérant les cycles de longueur au moins égale à 4 du graphe considéré. Un graphe G est dit cordal lorsque pour tout cycle G = (u0,u1, ...,un_1,v0) de G de longueur n > 4, il existe i, j distincts entre 0 et n -- 1 tels que les sommets u, et uj soient reliés dans le graphe G mais non successifs dans le cycle. Une telle arête {v,,uj} est appelée une corde du cycle G . Autrement dit, le graphe G est cordal lorsque tout cycle de G de longueur supérieure ou égale à 4 possède une corde. I V.A -- Cycles de longueur 4 dans un graphe d'intervalles Soit G un graphe d'intervalles. Dans cette question, on se propose de démontrer par l'absurde que tout cycle de longueur 4 de G possède une corde. On suppose a cet effet que G contient un 4--cycle sans corde. On dispose donc de 4 segments 10,11,12,13 tels que [0 0 Il % (0,11 0 12 % (0,12 0 13 # (0,13 n 10 yé (Z), et [O 0 12 = (I), Il 0 13 = @. On supposera pour simplifier que les extrémités des segments sont toutes distinctes. IV.A.1) Montrer qu'aucun des segments Ik, k = O, 1, 2, 3 n'est inclus dans un autre de ces segments. IV.A.2) On a donc par exemple minlO < min11 < maxlo < maxll. Montrer que min11 < minI2 < maxll < max]2 et de même pour 12 et 13. IV.A.3) Conclure à une contradiction. I V.B -- Cordalité des graphes d'intervalles Montrer plus généralement que tout graphe d'intervalles est cordal. I V.C -- Une enquête policière Six personnes sont entrées dans la bibliothèque le jour où un livre rare y a été volé. Chacune d'entre elles est entrée une seule fois dans la bibliothèque, y est restée un certain temps, puis elle en est sortie. Si deux personnes étaient ensemble dans la bibliothèque à un instant donné, alors au moins l'une des deux a vu l'autre. À l'issue de l'enquête, les témoignages recueillis sont les suivants: Albert dit qu'il a vu Bernard et Édouard dans la bibliothèque. Bernard a vu Albert et Isabelle. Charlotte affirme avoir vu Didier et Isabelle. Didier dit qu'il a vu Albert et Isabelle. Édouard certifie avoir vu Bernard et Charlotte. Isabelle dit avoir vu Charlotte et Édouard. Seul le coupable a menti. Qui est-il ? I V.D -- Ordre d'élimination parfait Un sommet 11 d'un graphe G est dit simplicial lorsque l'ensemble des voisins de U dans G est une clique. Étant donnés un graphe G = (S, A) et S ' C S un ensemble de sommets de G le sous-graphe de G induit par S' est le graphe H = (S', A') où A' C A est l'ensemble des arêtes de G dont les extrémités appartiennent a S'. On représente en Caml un sous-graphe induit d'un graphe G possédant n sommets par le couple (aretes , sg) de type int list vect * bool vect où aretes est une description du graphe G et sg est un tableau de taille n tel que sg. (i) vaut true si le sommet d'indice i est un sommet du sous-graphe induit et false sinon. IV.D.1) Écrire une fonction de signature simplicial : (int list vect * bool vect) --> int --> bool 2015-03-16 13:26:27 Page 5/6 telle que l'appel à simplicial (aretes , sg) k, où le sommet d'indice k est supposé appartenir au sous-graphe induit H décrit par (aretes, sg), renvoie true si le sommet d'indice k est simplicial dans H et false sinon. Déterminer la complexité de la fonction simplicial. IV.D.2) Écrire une fonction de signature trouver_simplicial : (int list vect * bool vect) --> int telle que l'appel à trouver_simplicial (aretes , sg) renvoie, s'il en existe, un sommet simplicial du sous-graphe induit décrit par (aretes , sg). Déterminer la complexité de la fonction trouver_simplicial. IV.D.3) Écrire une fonction de signature ordre_parfait : int list vect --> int list telle que l'appel à ordre_parfait aretes renvoie un ordre d'élimination parfait du graphe décrit par aretes, s'il en existe un. Déterminer la complexité de la fonction ordre_parf ait. I V.E -- Coupures minimales dans un graphe cordal Étant donné un graphe G on appelle coupure de G tout ensemble G Q S' de sommets de G, de cardinal au moins égal à 2, tel que certains sommets reliés par un chemin dans le graphe G ne le sont plus dans le sous-graphe H de G induit par S \ G . On se donne dans cette question un graphe cordal G = (S', A). Soit C une coupure de G de cardinal minimal (supérieur ou égal à 2). Soit H le sous--graphe de G induit par S \ G . Soient a et b deux sommets de G déconnectés par la coupure, et soient G1 et G2 les composantes connexes de a et b dans le graphe H. Soient enfin a: et y deux sommets distincts de la coupure G . IV.E.1) Montrer que $ est voisin dans le graphe G d'un sommet de G1 et d'un sommet de G2, et de même pour y. IV.E.2) Montrer qu'il existe un chemin P1 : (oe,a1,...,ap,y) dont tous les sommets hormis 95 et y sont des sommets de G1 et un chemin P2 : (y,b1, ...,bq,oe) dont tous les sommets hormis a: et y sont des sommets de G2. IV.E.3) On prend deux tels chemins P1 et P2 de longueur minimale. En considérant un cycle formé à partir des chemins P1 et P2, montrer que x et y sont reliés dans le graphe G. IV.E.4) Montrer que G est une clique du graphe G. I V.F -- Sommets simpliciauoe dans un graphe cordal On se propose de montrer que tout graphe cordal G possède la propriété suivante, que l'on appellera la propriété ?(G) : G possède un sommet simplicial, et même deuæ sommets simpliciauæ non voisins si G n'est pas complet. On se donne dans toute la question un graphe cordal G. IV.F.1) Montrer que si G est complet alors tous ses sommets sont simpliciaux. IV.F.2) Montrer que la propriété .'P(G) est vérifiée si G possède 1, 2 ou 3 sommets. IV.F.3) On suppose dans cette question que G n'est pas complet, possède au moins trois sommets et que la propriété ?(G') est vérifiée pour tous les graphes cordaux G' ayant strictement moins de sommets que G. Soit C une coupure de G de cardinal minimal. Soient a et b deux sommets de G déconnectés par la coupure G , et G1 et G2 les composantes connexes de a et b dans le sous-graphe de G induit par S \ G . Soit 51 (resp: S2) l'ensemble des sommets de G1 (resp : G2)- Soit enfin H1 (resp : H 2) le sous-graphe de G induit par 51 U C (resp 52 U C ). a ) Justifier que le graphe H1 est cordal. b) On suppose que H1 est complet. Montrer que 51 contient un sommet simplicial du graphe H1. Prouver que ce sommet est en fait un sommet simplicial de G. c) On suppose que H1 n'est pas complet. Montrer que 31 U C contient deux sommets simpliciaux non voisins du graphe H1. Montrer que au moins l'un de ces deux sommets est dans 51 et que ce sommet est un sommet simplicial de G. d) Montrer que la propriété &" (G) est vérifiée. I V.G -- Ordre d'élimination parfait dans un graphe cordal Montrer que tout graphe cordal possède un ordre d'élimination parfait. oooFlNooo 2015-03-16 13:26:27 Page 6/6

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 Centrale Informatique optionnelle MP 2015 Corrigé Ce corrigé est proposé par Benjamin Monmege (Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Charles-Pierre Astolfi (ENS Cachan) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE). Ce sujet consiste en l'étude d'un problème d'allocation de ressources. Un ensemble de tâches (cours, avion en phase d'atterrissage, requête d'un client informatique, etc.) est modélisé par un ensemble d'intervalles correspondant au temps nécessaire à la réalisation de chacune d'elles. Il s'agit alors d'allouer une ressource (salle, piste d'atterrissage, serveur informatique, etc.) à chaque tâche de sorte qu'une ressource ne soit jamais utilisée au même instant par deux tâches différentes. On cherche par ailleurs à minimiser le nombre de ressources nécessaires. Au long de quatre parties fortement dépendantes, le sujet propose une solution grâce à l'étude de colorations de graphes d'intervalles. · La partie I introduit les graphes d'intervalles, qui permettent de représenter à l'aide de graphes non orientés les contraintes d'intervalles d'un problème d'allocation de ressources. Une allocation de ressources consiste alors en une coloration du graphe, c'est-à-dire à l'étiquetage de chaque sommet par une couleur de telle sorte que les sommets voisins ne soient jamais étiquetés avec la même couleur. Un lien est établi entre le nombre chromatique d'un graphe, c'est-à-dire le nombre minimal de couleurs nécessaire pour le colorier, et la taille de la plus grande clique (sous-graphe complet) du graphe. Certaines fonctions utiles pour la suite du sujet sont également implémentées. · La partie II propose un algorithme glouton pour colorier un graphe d'intervalles. Son implémentation, la preuve de sa correction et sa complexité sont étudiées. · La partie III démontre que l'algorithme glouton précédent reste correct dans le cas plus général de graphes munis d'un ordre d'élimination parfait, c'est-à-dire une énumération de leurs sommets telle que, pour chaque sommet, ses voisins énumérés avant lui forment une clique. · La partie IV étudie finalement une condition suffisante pour qu'un graphe possède un ordre d'élimination parfait, à savoir que le graphe soit cordal : un graphe est cordal si tout cycle de longueur supérieure à quatre possède une corde. Les graphes cordaux sont couramment appelés graphes triangulés. Après avoir montré que tout graphe d'intervalles est cordal, le sujet demande de résoudre une énigme policière à l'aide de cet outil. Le reste du sujet implémente la recherche d'ordres d'élimination parfaits lorsqu'ils existent, puis prouve que tout graphe cordal possède un ordre d'élimination parfait. Les parties I à III du sujet sont des applications directes du cours, où l'on manipule des graphes représentés par des listes d'adjacence. L'énigme policière, ainsi que les questions d'implémentation et de complexité de la partie IV, sont nettement plus difficiles et discriminantes : elles permettent d'évaluer la créativité et la compréhension globale des parties précédentes. Enfin, les trois dernières sections de la partie IV proposent une preuve élégante de théorie des graphes. Indications I.C.2 Utiliser la fonction conflit de la question I.A.1 afin de construire itérativement le tableau de listes de voisins de G(I0 , . . . , In-1 ). I.E.2 Montrer que (G) 6 (G). I.E.3 Remarquer que tester si un ensemble {x0 , . . . , xp-1 } S de sommets est une clique de G consiste à vérifier que, pour tout 0 6 q < p, tous les sommets de {xq+1 , . . . , xp-1 } sont voisins avec xq . Utiliser la fonction appartient de la question I.D.2.a. II.B Employer la fonction couleur_disponible de la question I.D.2.d. II.C.1 Les intervalles sont énumérés dans l'ordre croissant de leurs extrémités gauches. II.C.3 Utiliser l'inégalité trouvée à la question I.E.2. II.D Déterminer dans un premier temps la complexité des fonctions des questions de la partie I.D.2. III.B.2 Utiliser la fonction est_clique de la question I.E.3 ainsi que la fonction voisins_inferieurs de la question III.B.1. III.C Appliquer le résultat de la question II.C.2. III.D.3 Remarquer la ressemblance de cette partie avec la partie II.C. IV.A.2 Grâce à la question I.A.1, expliciter le fait que I1 et I2 ont une intersection non vide et que I0 et I2 ont une intersection vide. IV.A.3 Utiliser la caractérisation de la question I.A.1 pour contredire le fait que I0 I3 6= . IV.B Procéder par récurrence, en remarquant qu'un cycle de longueur n + 1 > 5 dans un graphe d'intervalles peut se réduire en un cycle de longueur n dans un graphe d'intervalles obtenu en fusionnant deux sommets. IV.C Construire le graphe d'intervalles G résumant les informations données et noter qu'il n'est pas cordal. En sachant que seul le coupable a menti, la suppression d'un seul sommet de G le rend cordal. IV.D.1 Utiliser la fonction est_clique de la question I.E.3, puis montrer qu'elle teste si l'ensemble représenté par la liste xs de longueur k est une clique d'un graphe à m arêtes avec une complexité O(1 + km). IV.D.3 Employer une approche gloutonne qui consiste à éliminer itérativement des sommets simpliciaux en utilisant la fonction trouver_simplicial de la question IV.D.2. Justifier que l'algorithme est correct en démontrant que si un graphe G = (S, A) possède un ordre d'élimination parfait, alors pour tout sommet simplicial x dans G, le graphe induit par S r {x} possède un ordre d'élimination parfait. IV.E.1 En notant C1 l'ensemble des sommets de C qui n'ont pas de voisin dans S1 , montrer que C r C1 est une coupure. Déduire de la minimalité de C que C1 = . IV.E.2 Profiter du fait que G1 et G2 sont des composantes connexes de G. IV.E.3 Dans le cycle formé à partir des chemins P1 et P2 , où se trouvent les cordes ? IV.F.3.c Utiliser le résultat de la question IV.F.3.a pour appliquer l'hypothèse P(H1 ). Conclure grâce à la question IV.E.4. IV.G S'inspirer du raisonnement de la question IV.D.3 et utiliser le résultat de la partie IV.F. I. Graphes d'intervalles I.A.1 Soient I = [ a ; b ] et J = [ c ; d ] deux intervalles. S'ils sont en conflit, il existe un réel x appartenant à I J. En particulier, a 6 x 6 b et c 6 x 6 d, ce qui implique que a 6 d et c 6 b. Réciproquement, supposons que a 6 d et c 6 b. Deux cas sont alors possibles : soit a 6 c, auquel cas c I J, soit a > c, auquel cas a I J. Dans tous les cas, les intervalles I et J sont en conflit. Les intervalles [ a ; b ] et [ c ; d ] sont donc en conflit si et seulement si a 6 d et c 6 b. Ainsi, la fonction conflit se contente d'exécuter ce test. let conflit (a,b) (c,d) = (a <= d) && (c <= b);; I.C.1 Le graphe d'intervalles associé au problème b de la figure 1 peut se représenter de la manière suivante : I2 I0 I3 I6 I8 I5 I7 I4 I1 I.C.2 Afin de construire la représentation des arêtes du graphe G(I0 , . . . , In-1 ) associé au tableau de segments (I0 , . . . , In-1 ), parcourons les paires d'intervalles itérativement afin d'insérer une arête (i, j) si Ii et Ij sont en conflit. Un tableau aretes de n listes vides est initialement créé pour recevoir les listes de voisins du graphe. Une boucle sur les indices i parcourt ensuite les intervalles Ii et une boucle interne sur les indices j {0, . . . , i - 1} parcourt les intervalles Ij pour concaténer j en tête de la liste courante des voisins de i, et i en tête de la liste courante des voisins de j, si Ii et Ij sont en conflit : le test de conflit est réalisé à l'aide de la fonction conflit décrite à la question I.A.1. let construit_graphe segments = let n = vect_length segments in let aretes = make_vect n [] in for i=n-1 downto 0 do for j=i-1 downto 0 do if (conflit segments.(i) segments.(j)) then begin aretes.(i) <- j::aretes.(i); aretes.(j) <- i::aretes.(j) end done; done; aretes;; Par souci esthétique, les indices i et j sont parcourus dans l'ordre décroissant, afin de renvoyer une liste des voisins de chaque sommet dans l'ordre croissant. I.D.1 Une coloration du graphe d'intervalles de la figure 3, associé au problème a de la figure 1, est donnée par la suite (0, 1, 2, 0, 1, 0, 0) : Toute coloration de ce graphe nécessite au moins trois couleurs puisque les sommets 0, 1 et 2 sont reliés deux à deux et ne peuvent donc pas avoir une couleur en commun. Pour les mêmes raisons, la suite (0, 1, 2, 0, 1, 0, 2, 1, 0) est une coloration optimale du graphe d'intervalles trouvé en question I.C.1, associé au problème b de la figure 1, comme reproduite ci-dessous : I.D.2.a Le test d'appartenance d'un élément x dans une liste est réalisé à l'aide d'une fonction récursive qui parcourt la liste jusqu'à trouver x et qui conclut négativement si la fin de la liste est atteinte. let rec appartient l x = match l with |[] -> false |a::q -> (a=x) || (appartient q x);; Il est sans doute maladroit dans cette question de répondre en utilisant la fonction de signature mem : 'a -> 'a list -> bool de la librairie standard de Caml telle que mem x l teste l'appartenance de l'élément x dans la liste l. I.D.2.b Notons que le plus petit entier non présent dans une liste l de taille n est nécessairement inférieur à n + 1. Créons donc un vecteur v de taille n, initialisé à false, dont la case d'indice c a pour vocation de contenir true si et seulement si c appartient à l. À l'aide d'un tel vecteur, trouver le plus petit entier non présent revient à trouver l'indice de la première case du vecteur ne contenant pas true, donc n + 1 si toutes les cases contiennent true, ce que réalise la boucle while finale du programme. Construisons ainsi ce vecteur à l'aide d'une fonction auxiliaire récursive de signature parcours : int list -> unit telle que parcours l met à jour le vecteur v en fonction des entiers contenus dans l. let plus_petit_absent l = let n = list_length l in let v = make_vect n false in let rec parcours = function |[] -> () |c::q -> if (c