Centrale Informatique MP 2013

Thème de l'épreuve Diagrammes de décision
Principaux outils utilisés logique, arbres binaires, automates finis
Mots clefs arbres de décision, diagramme de décision, circuit logique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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(, % Informatique "à « --/ MP EÜNEÜUHS EENTHHLE°SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées 2013 Les candidats indiqueront en tête de leur copie le langage de programmation choisi (Pascal on Caml}. Les candidats ayant choisi Caml devront donner le type de chaque fonction écrite. Les candidats travaillant en Pascal pourront écrire des fonctions ou des procédures. I Arbres de décision Un arbre de décision est un arbre binaire dans lequel : -- un noeud interne est associé à une variable, parmi un ensemble V de variables ; -- une feuille est associée à un booléen (vrai ou faux). Si chaque variable de l'ensemble V reçoit une valeur booléenne, un tel arbre permet de prendre une décision en parcourant l'arbre : -- on part de la racine ; -- quand on arrive sur un noeud interne (racine comprise), on regarde quelle est la valeur de la variable associée au noeud : si elle vaut vrai on poursuit le parcours dans le sous--arbre gauche, sinon on poursuit le parcours dans le sous--arbre droit ; -- quand on arrive sur une feuille, le booléen associé constitue la décision. Oonventionnellement, on représente l'arête menant au sous--arbre pour le << cas vrai >> en trait plein ; l'arête me-- nant au sous--arbre << cas faux >> en pointillés. Schématiquement, un arbre est structuré comme indiqué ci--dessous a gauche. variable e \ \ / \ \ \ \ . N \ \ 4 vrai a \ sous--arbre sous--arbre / \., si variable si variable 7° \ faux vraie fausse _/ \« vrai faux Le schéma de droite ci--dessus illustre l'exemple : un module de cours est validé si l'examen est réussi (e), ou sinon, si l'étudiant a été assidu en cours (a) et qu'il réussit un examen de rattrapage (r). Cela revient à définir la validation du module par la formule logique e V (a /\ r). On envisage une représentation simple d'un arbre de décision, a l'aide d'un tableau. On numérote les noeuds : la racine reçoit le numéro 0, les autres noeuds sont numérotés arbitrairement par des entiers consécutifs à partir de 1. On crée un tableau contenant autant de cases que de noeuds, indicé a partir de 0. La case d'indice i contient soit un triplet (nom de variable, numéro du fils gauche, numéro du fils droit) si le noeud numéro i est un noeud interne, soit un booléen si le noeud numéro i est une feuille. En Caml, on définit le type : type noeud = Feuille of bool l Decision of string * int * int;; Un arbre de décision est donc représenté par un vecteur de noeuds (type noeud vect). En Pascal : type SorteNoeud = (Feuille, Decision); type Noeud = record sorte: SorteNoeud; variable: string; (* Utilisé si sorte = Decision *) g, d: integer; (* Utilisés si sorte = Decision *) valeurFeuille: boolean; (* Utilisé si sorte = Feuille *) end; En Pascal un arbre de décision contenant n noeuds sera donc de type array [O. .n--1] of Noeud. I .A -- Définir une variable monAD représentant l'arbre de décision illustré précédemment. Dans les deux questions suivantes, on veut faire déterminer une décision en fournissant une valuation des variables, c'est--à--dire la liste des seules variables qui sont vraies dans l'évaluation. 2013--01-21 18:29:03 Page 1/4 GC) BY--NC-SA I.B -- Définir une fonction eval_var qui, étant donnés le nom d'une variable (string) et une liste (Caml) ou un tableau (Pascal) des seules variables vraies, renvoie un booléen correspondant a la valuation de la variable indiquée. I.C -- Définir une fonction eval qui, étant donnés un arbre de décision et une liste (Caml) ou un tableau (Pascal) des seules variables vraies, renvoie un booléen correspondant a la décision finale. Il Diagrammes de décision On souhaite compacter la représentation en mémoire des arbres de décision. Si plusieurs sous--arbres sont iden-- tiques, on n'a pas envie de les stocker plusieurs fois. En raisonnant sur la représentation informatique des arbres de décision, on voit assez facilement une façon de procéder: si les arbres de numéros 75 et j sont identiques, on peut (par exemple) au niveau du parent }) de j indiquer comme numéro de fils 75 au lieu de j et ainsi éliminer j de la représentation. Ce faisant, on ne représente plus un arbre (car 75 a maintenant deux parents), mais un graphe orienté : on parle de diagrammes de décision. Néanmoins aucune connaissance particulière en théorie des graphes n'est requise b pour aborder ce problème. On dira qu'il existe un arc de 19 vers 75 et on le notera }) --> 75 avec 19 EUR {T, F} (pour mai ou fauoe), selon que l'arc est suivi dans le cas où 19 est vrai (précédemment : fils gauche) ou dans le cas où 19 est faaa: (précédemment : fils droit). Lorsque }) --> 75, on note 75 : succb(p). Exemple : l'expression (z1 /\ 23) V (272 /\ @) admet (entre autres) les diagrammes de décision ci--dessous. 21 21 21 / \ \ \ \ 3 / \ >l / \ & Z2 Z2 Z2 Z2 23 Z2 \ \ / / \ \_/ / / \N / \>l l/// // \/ _\J // 23 23 23 23 23 " // vrai faux « * / \ \ \ \ \ / / \: / \: / \: / \: / \: / :/ vrai faux vrai faux vrai faux faux faux vrai faux <" ' / II .A -- Créer une fonction (Caml) ou procédure (Pascal) redirige a trois paramètres -- un diagramme ainsi b que deux indices @ et w -- qui supprime le noeud @ dans le graphe et transforme tous les arcs u --> @ en arcs b a --> w. Les cases du tableau qui dev1ennent 1noccupees sont remplies avec la valeur speciale Vide. Pour ce faire en Caml on complète : type noeud = Feuille of bool l Decision of string * int * int l Vide;; De même en Pascal on ajoute une sorte de noeuds (le type Noeud lui-méme reste inchangé) : type SorteNoeud = (Feuille, Decision, Vide); Pour transformer un arbre en diagramme sans répétition, on applique deux règles de simplification. -- Elimination : Si pour un noeud @ on a such(v) : succT(v) : w alors on élimine @ et on transforme les arcs b () u-->venu-->w. est transformé en /\ (\_// s<---------- -- Isomorphisme : Soit @ et w deux noeuds, @ # w. Si ce sont des feuilles avec valeur(v) : valeur(w) ou si ce sont des noeuds internes tels que variable(v) : variable(w) et such(v) : such(w) et succT(v) : succT(w) b b alors on élimine @ et on transforme les arcs u --> @ en a _) w. a a a a \ \ \ \ / \" \/ \\ / \--*l \/ \\ S f ' S .. v(z1) w(z1) est trans orme en w(z1) \ | \ \ \ l \ \ \ | \ >l \ | . " V . faux vrai faux vrai II .B -- Créer une fonction trouve_elimination, prenant en paramètre un diagramme et renvoyant l'indice d'un noeud pouvant être supprimé par élimination, s'il en existe un. Sinon, elle doit renvoyer --1. 2013--01-21 18:29:03 Page 2/4 @C) BY--NC-SA II.C -- De même, créer une fonction trouve_isomorphisme, prenant en paramètre un diagramme, et ren-- voyant un couple d'indices correspondant a deux noeuds pouvant être simplifiés par isomorphisme, s'il en existe un. Sinon, elle doit renvoyer le couple (--1,--1). Les candidats qui composent en Caml peuvent directement manipuler des couples. Les candidats qui composent en Pascal créeront une procédure recevant en paramètres deux variables entières transmises par référence : procedure trouve_isomorphisme(diagramme: array of noeud; var i, j: integer); On dit que le diagramme est sous forme réduite s'il n'existe pas de noeuds différents qui correspondent a la même formule logique. II .D -- Prouver l'assertion suivante : Un diagramme est sous forme réduite si, et seulement si, ni la règle d'élimination ni la règle d'isomorphisme ne peuvent lui être appliquées. II.E -- Créer une fonction sans résultat (Caml) ou une procédure (Pascal) appelée reduit, prenant en pa-- ramètre un diagramme, qui détecte les deux simplifications possibles, effectue les redirections correspondantes, jusqu'à ce qu'il ne soit possible de faire aucune simplification supplémentaire. On obtient a ce stade une représentation du diagramme simplifié sous forme d'un tableau dans lequel certaines cases ne sont plus utilisées : elles sont marquées Vide. III Diagrammes de décision ordonnés Nous nous intéressons maintenant a la construction d'arbres de décision a partir de formules logiques. Étant données des formules logiques t, el et 62, on définit l'opérateur t --> 61,62 par : t--> 61,62 : (t/\EUR1)V(--lt/\EUR2) III .A -- Soient :E et y des formules logiques quelconques. Montrer que les trois formules logiques suivantes wc, oeVy, oe/\y peuvent s'écrire en utilisant uniquement les constantes 0 (faux), 1 (vrai), l'opérateur - --> -, - défini précédemment et les variables :E et y. III.B -- Montrer que (a --> b,c) --> d, e = a --> (19 --> d, e), (c --> d, 6). III .C -- Déduire de ce qui précède une méthode systématique de construction d'un arbre de décision a partir d'une formule logique quelconque. III .D -- Soient t une variable booléenne et e une formule logique. Que vaut 75 --> e, e ? Un diagramme de décision est dit ordonné si, pour un ordre donné entre les variables 5151 < OE2 < . . . < 515... alors tout chemin partant de la racine vers les feuilles parcourt les variables dans cet ordre. La fonction booléenne représentée par un diagramme de décision u est notée f ". La méthode de construction d'un arbre de décision imaginée en III.C ne respecte pas forcément un certain ordre des variables. Dans cette partie nous proposons une autre méthode de construction, un ordre étant donné a priori. Pour une variable 75, une expression 6 et une fonction booléenne f , on note f[t : e] la fonction déduite de f en remplaçant toutes les occurrences de t par e. III.E -- Que vaut 75 --> f[t : 1],f[t : O] ? III .F -- En déduire une méthode de construction d'un diagramme de décision réduit ordonné a partir d'une fonction booléenne sur un ensemble ordonné de variables. III .G -- Montrer que pour toute fonction booléenne f de n variables ordonnées 5151 < OE2 < . .. < 515... il existe un unique diagramme de décision réduit ordonné u tel que f " = f . III .I-I -- À l'aide de ce qui précède, donner une méthode simple permettant de décider de l'égalité entre deux fonctions booléennes portant sur le même ensemble de n variables. III .I -- Comment déterminer facilement si une formule logique est une tautologie ? IV Circuits logiques On sait que toute fonction booléenne peut se mettre sous forme normale disjonctive: f s'écrit comme une disjonction (un ou) de minterme3, sachant qu'un minterme est une conjonction (un et) entre toutes les variables de f, chacune d'entre elles pouvant éventuellement être niée. Par exemple, f : z1 /\ (272 V --uz3) s'écrit en forme normale disjonctive : f = (271 /\ --\22 /\ --\23) V (271 /\ Z2 /\ --\23) V (271 /\ Z2 /\ 233). C'est une disjonction de trois mintermes. I V.A -- Pour une fonction booléenne f , évaluer le nombre de portes logiques nécessaires a sa réalisation directe a partir de sa forme normale disjonctive, en fonction du nombre de variables de f . 2013--01-21 18:29:03 Page 3/4 @C) BY--NC-SA On appelle multipleoeeur a deux entrées un circuit logique qui recopie sur sa sortie 3 l'une de ses deux entrées, eo ou el, en fonction de la valeur (resp. 0 ou 1) d'un signal de commande 0. c eo si c = 0 l el si c = 1 mult1plexeur % 3 61 --> I V.B -- Donner la table de vérité du multiplexeur a deux entrées. IV. C' -- Donner un schéma pour réaliser le multiplexeur a deux entrées a partir de portes logiques élémentaires. I V.D -- Donner une méthode simple permettant de déterminer un circuit logique réalisant la fonction boo-- léenne représentée par un diagramme de décision. V Automates On s'intéresse dans cette partie aux combinaisons booléennes d'équations linéaires sur les entiers. Par exemple, avec deux variables, la résolution du système (2oe1 -- 5152 = --4) /\ (7oe1 -- 35152 = 1) ou de (35151 -- 55152 = 2) V (--u(4oe1 -- 35152 = 1)). Les combinaisons logiques peuvent être traitées par l'arbre de décision précédent. On veut construire des automates permettant de résoudre les équations linéaires. Dans le cas général, pour n un entier positif, ces équations a n variables peuvent s'écrire sous la forme <älzî) : 16 avec d' : (al, . . ., a...) E Z", 16 EUR Z, a? : (acl, . . ., 51%) E N", et {l) dénotant le produit scalaire usuel entre deux vecteurs. On note E = {0,1} et on prend comme alphabet A l'ensemble E ". Un mot 961,1 OE1,m oe : : . . . : EUR A* oen,1 oen,m m représente le vecteur d'entiers naturels a? : (acl, . . ., oen) tel que 515, : Ë gr...-23_1 pour tout 1 < 75 < n. J=1 On note 56 le vecteur d'entiers et :E le mot de A* associé a ce vecteur d'entiers. On rappelle que << -- >> représente la concaténation entre deux mots. V.A -- Résoudre le système (2oe1 -- 5152 = --4) /\ (7oe1 -- 35152 = 1). Écrire le mot correspondant. Etant donnée une équation linéaire <ä'lzî) : k, on souhaite construire un automate Aä)k qui reconnaisse seulement les mots correspondant aux solutions de l'équation. V.B -- Soit @ un mot de longueur au moins égale a 2 que l'on écrit sous la forme @ = b -- v', où 19 est une lettre --» et 1)' un mot. Montrer que 17 est solution de l'équation <ä'lzî) : 16 si et seulement si k -- <ä'lb) est un entier pair et "D" est solution de l'équation <älzî) : k', pour une valeur de k' que l'on précisera. On peut donc ainsi construire l'automate. Les états sont indexés par les valeurs lc,-- accessibles. On ajoute un état << rebut >> noté 1. A partir d'un état k,, pour toutes les lettres 19 de l'alphabet A, on crée les états le,-, s'ils --» n'existent pas encore et les transitions (le,, 19, k,), si le,- -- (5119) est un entier pair (la valeur de kj étant le k' de la question précédente) ou les transitions (k,,b,1) sinon. V.C -- Préciser, en le justifiant l'état initial de l'automate Aä)k, ainsi que le (les) état(s) final(aux). V.D -- Montrer que l'on construit ainsi un nombre fini d'états de l'automate Aä)k. V.E -- Donner un algorithme permettant de déterminer s'il existe des solutions de l'équation <ä'lzî) : k. Justifier que cet algorithme se termine. V.F -- Construire l'automate pour l'équation : oe1 -- 45152 + 25153 = 1. Donner également le tableau indiquant les transitions : en ligne les états accessibles ; en colonne les différentes lettres de l'alphabet (dans l'ordre lexical précisé ci--dessous) ; chaque case du tableau contient l'état atteint par lecture de la lettre a partir de l'état correspondant. Pour éviter de surcharger le dessin de l'automate, on pourra ne pas représenter les transitions vers l'état 1. al 51 On définit l'ordre lexical sur les lettres de l'alphabet E '" par : si a = f et b = { sont dans l'alphabet, an bn ona (a 

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 Centrale Informatique MP 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benjamin Monmege (ENS Cachan) ; il a été relu par Charles-Pierre Astolfi (ENS Cachan) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE). Ce problème étudie la représentation de formules logiques à l'aide d'arbres et de diagrammes de décision. Le sujet est composé de cinq parties. · La partie I introduit les arbres de décision, qui sont des arbres binaires permettant de représenter des formules logiques. Un algorithme d'évaluation d'un tel arbre, représenté comme un vecteur, est demandé. · La partie II demande d'écrire une procédure compactant au maximum un arbre de décision en construisant un « diagramme de décision » (dit réduit) dont les noeuds correspondent à des formules logiques différentes. · La partie III commence par donner une méthode directe (sans passer par les arbres de décision) construisant un diagramme de décision à partir d'une formule logique. On s'intéresse ensuite aux diagrammes de décision ordonnés, qui ont la propriété qu'une formule logique admet un unique diagramme de décision ordonné réduit, ce qui permet de décider facilement si deux formules logiques sont équivalentes, ou si l'une est une tautologie. · La partie IV cherche à construire un circuit logique à partir d'une formule, d'abord directement, puis en utilisant les diagrammes de décision. Pour cela, on introduit et étudie des multiplexeurs, qui sont des petits circuits basiques permettant de réaliser physiquement des diagrammes de décision. · Enfin, la partie V, très différente des précédentes, s'intéresse à la représentation des solutions de combinaisons booléennes d'équations linéaires sur les entiers grâce à des automates finis. Une construction est proposée et il est demandé de l'appliquer à un exemple d'équation linéaire. Les parties sont indépendantes, même si les parties II et III utilisent des définitions des parties précédentes. Le sujet aborde largement les notions de logique au programme ; plus accessoirement, la partie I utilise des arbres binaires, et la partie V des automates finis. Il s'agit d'un problème relativement facile et classique : en effet, plusieurs sujets de concours se sont déjà intéressés aux diagrammes de décision, par exemple les sujets 1999 et 2012 de l'X. Il contient assez peu de questions de programmation (celles-ci sont toutes regroupées dans les deux premières parties). Quelques questions théoriques de logique sont cependant difficiles, d'autant que la formulation de l'énoncé est parfois très floue. Indications Partie I I.C Utiliser une fonction récursive auxiliaire qui parcourt le chemin de la racine à une feuille, en fonction de la valuation des variables rencontrées, que l'on calcule grâce à la fonction de la question I.B. Partie II II.B Parcourir le vecteur représentant le diagramme à l'aide d'une boucle while à la recherche d'un noeud où la règle d'élimination peut s'appliquer. On sortira de la boucle dès qu'un tel noeud est trouvé. II.C Procéder de même que dans la question II.B, mais en utilisant deux boucles while imbriquées pour parcourir l'ensemble des couples de noeuds. II.D Attention, l'énoncé de cette question est erroné. Prouver seulement la condition nécessaire de l'assertion : si le diagramme est réduit, alors aucune des deux règles de simplification ne peut lui être appliquée. Trouver ensuite un contreexemple à la réciproque. Partie III III.B Développer la formule (a b, c) d, e pour trouver sa forme normale disjonctive, la simplifier puis la factoriser afin de voir apparaître l'opérateur (a ·, ·). III.C Commencer par utiliser les questions III.A et III.B pour transformer toute formule logique en une formule n'utilisant que l'opérateur (x ·, ·) avec x une variable. III.E Montrer que pour toute valuation v des variables de f , (t f [t = 1], f [t = 0])(v) = f (v) III.F Expliquer comment construire un diagramme de décision ordonné à partir d'une formule logique. En appliquant les règles de simplification de la partie II, on obtient alors un diagramme de décision ordonné où ni la règle d'élimination ni la règle d'isomorphisme ne peuvent s'appliquer. Conclure en supposant que l'équivalence de la question II.D est vraie pour les diagrammes de décision ordonnés. III.G Faire une récurrence sur le nombre n de variables de la fonction booléenne. III.H Utiliser la construction de la question III.F, et l'unicité prouvée dans la question III.G. Partie IV IV.A Commencer par dénombrer les mintermes sur un ensemble à n variables. Partie V - V.C Faire en sorte que le langage reconnu par un état k de l'automate A a ,k soit - - - l'ensemble des mots v A tels que v est une solution de h a | x i = k . - V.D En partant de l'état initial de A a ,k , montrer que l'on construit uniquement des états de la forme p P k i - p p-i+1 2 2 i=1 avec p un entier naturel, et (i )16i6p des entiers que l'on borne uniformément. I. Arbres de décision I.A Pour construire un arbre de décision, on peut, par exemple, créer un vecteur de type noeud de taille égale au nombre de noeuds de l'arbre, que l'on initialise par exemple avec des feuilles vrai. On remplace ensuite les noeuds un par un avec leur valeur réelle. Pour information, on a représenté à droite la numérotation choisie pour créer l'arbre. let monAD monAD.(0) monAD.(2) monAD.(3) monAD.(4) monAD.(6) = make_vect 7 (Feuille true);; <- Decision ("e",1,2); <- Decision ("a",3,4); <- Decision ("r",5,6); <- Feuille false; <- Feuille false;; 0 1 2 3 5 4 6 I.B On parcourt la liste l des seules variables vraies à la recherche de la variable x, grâce à une fonction récursive. Si on trouve la variable x, on renvoie true ; si on arrive à la fin de la liste l sans l'avoir trouvée, on renvoie false. La fonction eval_var est de type 'a -> 'a list -> bool : en particulier, si on suppose que son premier argument est une chaîne de caractères, on obtient une fonction de type string -> string list -> bool. let rec eval_var x l = match l with |[] -> false |y::l' -> (y = x) || (eval_var x l');; I.C On utilise une fonction auxiliaire parcours récursive de type int -> bool telle que parcours v renvoie l'évaluation du sous-arbre de racine d'indice v. Si v est une feuille, l'évaluation est immédiate. Sinon, on calcule la valuation de la variable à la racine grâce à la fonction eval_var puis on évalue le sous-arbre gauche si la variable s'évalue à vrai et le sous-arbre droit dans le cas contraire. La fonction parcours est appelée à partir de la racine d'indice 0. La fonction eval est de type noeud vect -> string list -> bool. let eval arbre l = let rec parcours v = match arbre.(v) with |Feuille b -> b |Decision (x,w,w') -> if (eval_var x l) then parcours w else parcours w' in parcours 0;; II. Diagrammes de décision II.A La fonction diag commence par supprimer le noeud v en associant la valeur Vide à l'élément correspondant du vecteur codant le diagramme de décision. On parcourt ensuite ce vecteur à l'aide d'une boucle for à la recherche d'un noeud u tel qu'au moins l'un de ses sous-arbres est v : dans ce cas, le (ou les) sous-arbre(s) est (sont) remplacé(s) par w. La fonction redirige est de type noeud vect -> int -> int -> unit. let redirige diag v w = diag.(v) <- Vide; for u = 0 to vect_length diag - 1 match diag.(u) with |Decision (x,v1,v2) when v1 = v diag.(u) <- Decision (x,w,w) |Decision (x,v1,v2) when v1 = v diag.(u) <- Decision (x,w,v2) |Decision (x,v1,v2) when v2 = v diag.(u) <- Decision (x,v1,w) |_ -> () done;; do && v2 = v -> -> -> II.B La fonction trouve_elimination, de type noeud vect -> int, parcourt le vecteur codant le diagramme de décision à la recherche d'un noeud v pouvant être éliminé. On réalise ce parcours à l'aide d'une boucle while. On initialise ainsi deux références v et b enregistrant l'indice courant et un booléen vrai si et seulement si un noeud pouvant être éliminé a déjà été trouvé. La référence v est initialisée à 0 et b à false. On sort de la boucle lorsque la référence v atteint la fin du vecteur ou lorsque b devient égal à true. let trouve_elimination diag = let m = vect_length diag in let v = ref 0 and b = ref false in while !v < m && not !b do match diag.(!v) with |Decision (x,w,w') when w = w' -> b := true |_ -> v := !v + 1 done; if !b then !v else -1;; II.C La fonction trouve_isomorphisme, de type noeud vect -> int * int, réalise un parcours similaire à la fonction de la question II.B. À l'aide de deux boucles while imbriquées, l'ensemble des couples d'indices (v, w), avec v < w, est parcouru : une boucle externe parcourt l'ensemble des indices v dans l'ordre croissant, et une boucle interne parcourt l'ensemble des indices de v + 1 au dernier dans l'ordre croissant. Pour chaque couple, on cherche si v et w sont deux feuilles de même valeur, ou deux noeuds vérifiant les conditions décrites dans l'énoncé.