Centrale Informatique MP 2012

Thème de l'épreuve Choix du pivot dans le tri rapide
Principaux outils utilisés tri, tableaux, arbres, complexité
Mots clefs pivot, pseudo médiane, tri rapide, tri, médiane, arbre ternaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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MP 4 heures Calculatrices autorisées 2012 Informatique Les candidats indiqueront en tête de leur copie le langage de programmation choisi (Pascal ou Caml). Les candidats ayant choisi Caml devront donner le type de chaque fonction écrite, lorsque celui-ci n'est pas imposé. Les candidats travaillant en Pascal pourront écrire des fonctions ou des procédures. Choix du pivot dans le tri rapide L'objet de ce problème est le choix d'un pivot dans l'algorithme du tri rapide. On s'intéresse au tri en ordre croissant d'un tableau d'entiers qui pourront toujours être supposés distincts. En Pascal, on dispose du type tableau suivant : const long_tab = 1000; type tableau = array[0..long_tab-1] of integer; La longueur t des tableaux avec lesquels on travaille devra donc être majorée par long_tab et les données sont alors présentes dans la zone indexée par 0 6 i 6 t - 1. Cette longueur utile t devra donc être éventuellement donnée en paramètre. En Caml, on rappelle que la longueur d'un tableau est donnée par vect_length en Caml light et Array.length en Ocaml. I Tri rapide d'un tableau I.A ­ Écrire une fonction/procédure echange réalisant l'échange de deux éléments d'un tableau. echange : int -> int -> int vect -> unit =  procedure echange(i, j : integer ; var t : tableau); I.B ­ Décrire un algorithme simple de tri ; évaluer sa complexité dans le pire des cas en termes de comparaisons. Le programmer. I.C ­ L'algorithme du tri rapide sur un tableau consiste en une première étape où on permute les éléments du tableau de sorte que les éléments plus petits (respectivement plus grands) qu'un pivot p soient placés avant (respectivement après) cet élément p dans le tableau. On exécute ensuite récursivement le tri rapide sur les deux parties du tableau ainsi séparées par p. Par exemple, le tableau [|19; 7; 17; 14; 22; 5; 26; 21; 2; 12|] devient après la première étape (si on choisit 19 comme pivot) : [|2; 7; 17; 14; 12; 5; 19; 21; 26; 22|]. Notons que les éléments inférieurs (respectivement supérieurs) à 19 peuvent être permutés entre eux. Le point crucial est qu'ils soient situés avant (respectivement après) 19 dans le tableau. Un des intérêts importants de cet algorithme est qu'il peut être réalisé en place : le tableau ne sera jamais recopié. Pour cela, les appels récursifs prendront comme arguments les indices délimitant la partie à trier. I.C.1) Expliquer comment on peut réaliser en place la phase de séparation du tableau en temps O(n), avec n la longueur (nombre d'éléments) du (sous-)tableau à traiter. I.C.2) Écrire une fonction separation prenant en entrée un vecteur v et deux indices i1 et i2 (avec 0 6 i1 < i2 6 t - 1, condition que le programme n'aura pas à vérifier), ayant pour fonction de séparer le sous-tableau v[i1 + 1..i2 ] selon le pivot p = v(i1 ), et retournant l'indice du tableau correspondant à la position de p dans v après séparation. Dans l'exemple précédent, l'appel separation v0 0 9 (Caml) ou separation(v0,0,9) (Pascal) retourne l'indice 6 et le vecteur v0 a été modifié. separation: 'a vect -> int -> int -> int =  function separation(var v: tableau ; i1, i2: integer): integer; I.C.3) Écrire une fonction tri_rapide réalisant le tri d'un vecteur/tableau en appliquant l'algorithme décrit plus haut. II Étude de complexité On s'intéresse maintenant à la complexité du tri rapide dans deux cas particuliers. II.A ­ Donner un ordre de grandeur du nombre de comparaisons effectuées lorsque le tableau est déjà trié dans l'ordre croissant (respectivement décroissant). Sans forcément donner un équivalent de ce nombre de comparaison C(n), on donnera (en justifiant) une valeur simple v(n) telle que C(n) = O(v(n)) et v(n) = O(C(n)). 2 avril 2012 16:53 Page 1/3 II.B ­ On suppose ici que lors d'une exécution du tri rapide, chaque séparation du tableau a coupé le tableau en deux parts égales. II.B.1) Montrer qu'un majorant raisonnable du nombre de comparaisons effectuées pour trier un tableau de taille n vérifie une relation de la forme M (2n) = 2M (n) + n. II.B.2) Donner (en fonction de n) la valeur de M (n) lorsque n est de la forme 2k avec k N. II.B.3) On ne suppose plus, ici, que n est de la forme 2k . Montrer que, si on suppose que (M (n))nN est croissante, alors M (n) = O(n ln n). III Recherche d'une pseudo médiane Ce qui précède suggère que le choix d'un pivot « proche de la médiane » permet d'améliorer les performances du tri rapide. Il existe un algorithme permettant de trouver cette médiane en un temps linéaire en la taille du tableau, mais cet algorithme difficile ne sera pas discuté ici. Une façon simple pour lutter contre le pire des cas consiste à choisir le pivot de façon aléatoire, mais le gain obtenu est relativement subtil et le pire des cas reste quadratique. Une méthode intermédiaire consiste à rechercher une « pseudo médiane ». Lorsque ]0, 1[, une -pseudo médiane d'un tableau est une valeur présente dans le tableau telle qu'au moins K1 n (respectivement K2 n ) éléments du tableau lui sont inférieurs (respectivement supérieurs), avec K1 et K2 deux constantes strictement positives. Pour un tableau de taille n = 3k , on utilisera l'algorithme de recherche d'une pseudo médiane suivant : - si k = 0, on retourne directement le seul élément considéré ; - sinon, on regroupe les éléments du tableau par 3, on calcule les 3k-1 médianes de ces groupes, puis on applique récursivement l'algorithme à ces 3k-1 valeurs. Dans les questions III.A et III.B, on admet que cet algorithme permet le calcul d'une pseudo médiane et on propose de le mettre en oeuvre de deux manières différentes. On rappelle que les différents éléments du tableau pourront être supposés distincts. III.A ­ Dans un tableau, en place III.A.1) Écrire une fonction prenant en entrée un tableau et trois indices distincts et retournant la position de la médiane, parmi les trois éléments du tableau dont on a donné les indices. III.A.2) Écrire une fonction calculant une pseudo médiane. Cette fonction travaillera obligatoirement dans le tableau initial, sans en créer de nouveau, et en maintenant globalement invariant l'ensemble des valeurs présentes dans le tableau. On pourra supposer le tableau de taille 3k , placer dans une première étape les médianes de blocs de trois en positions 3i, puis prendre les médianes de ces médianes et les placer en position 9i, etc. III.B ­ À l'aide d'un arbre ternaire On propose de construire un arbre ternaire : les feuilles sont étiquetées par les entrées du tableau et chaque noeud interne est la médiane de ses fils. La figure 1 montre l'arbre construit sur le tableau [7; 1; 4; 9; 8; 5; 3; 2; 6]. 4 4 7 1 8 4 9 8 3 5 3 2 6 Figure 1 En Caml : type ternaire=F of int | N of int*ternaire*ternaire*ternaire;; let racine=function F(x)->x | N(x,_,_,_)->x;; En Pascal : type Arbre = ^Noeud; Noeud = record racine: integer; fg, fm, fd: Arbre; end; 2 avril 2012 16:53 Page 2/3 III.B.1) Écrire une fonction calculant la médiane de trois entiers distincts. mediane3 : int * int * int -> int =  function mediane3(i1, i2, i3 : integer) : integer; III.B.2) Écrire une fonction prenant en entrée trois arbres ternaires et retournant l'arbre ternaire dont la racine est étiquetée par la médiane des trois racines des arbres donnés en entrée et a pour fils ces trois arbres. III.B.3) Écrire une fonction récursive construisant l'arbre ternaire associé à un sous-tableau de taille 3k . En Caml, construire t i j retourne l'arbre du sous-tableau t[i..j]. Même chose en Pascal avec construire(t,i,j) construire : int vect -> int -> int -> ternaire =  function construire(t: tableau ; i, j: integer): Arbre; III.B.4) Écrire une fonction calculant, à l'aide d'un arbre ternaire, une pseudo médiane d'un tableau (dont la longueur pourra être supposée de la forme 3k ). III.C ­ Étude théorique de l'algorithme III.C.1) Donner un ordre de grandeur du temps d'exécution de l'algorithme de calcul d'une pseudo médiane. III.C.2) Si k = 1, la valeur retournée est exactement la médiane du tableau. Montrer que pour k > 2, il existe au moins 2k éléments du tableau qui sont majorés (au sens large) par la valeur retournée. III.C.3) Montrer que pour tout k > 2, il existe un tableau pour lequel il y a exactement 2k éléments du tableau qui sont majorés (au sens large) par la valeur retournée. III.C.4) Prouver que cet algorithme permet de calculer une -pseudo médiane, avec = ln 2/ ln 3. III.C.5) Expliquer comment adapter l'implémentation de l'algorithme si le tableau a une longueur qui n'est pas une puissance de 3 ? III.D ­ Extensions du principe de l'algorithme III.D.1) Si on modifie l'algorithme en considérant des blocs de 5 éléments plutôt que 3, que dire (en supposant que la longueur du tableau est une puissance de 5) du résultat retourné et du temps de calcul de ce nouvel algorithme ? III.D.2) Montrer que pour tout > 0, il existe un algorithme s'exécutant en un coût linéaire et permettant de calculer une (1 - )-pseudo médiane d'un tableau. IV Gain apporté par la pseudo médiane On s'intéresse enfin au gain qu'apporte l'utilisation de pseudo médianes dans le tri rapide. On suppose ici (sauf à la dernière question) que le tri rapide est exécuté en utilisant à chaque étape une 1/2-pseudo médiane. Ici encore, une analyse précise et rigoureuse de la complexité est délicate, mais on souhaite obtenir une évaluation de façon raisonnablement convaincante. On note C(n) le temps de calcul dans le pire des cas pour appliquer le tri rapide avec une 1/2-pseudo médiane. Dans cette évaluation en première approximation, on s'autorise à écrire C(x) même lorsque x n'est pas entier : ce sera un raccourci pour C(x), avec x la « partie entière supérieure de x ». IV.A ­ Justifier qualitativement le fait que C vérifie une inégalité de la forme C(n) 6 C(n - n) + Kn IV.B ­ Montrer que C(n) = C(n/2) + O(n3/2 ). On pourra étudier la suite définie par 0 ð = n et k+1 = k - k si k > 1 (et k+1 = 0 sinon) : établir par exemple que k 6 n/2 si k > n/2. IV.C ­ Conclure. IV.D ­ Que peut-on raisonnablement espérer comme complexité dans le pire des cas, pour un tri rapide effectué en calculant une ln 2/ ln 3-pseudo médiane avec l'algorithme de la partie III ? · · · FIN · · · 2 avril 2012 16:53 Page 3/3

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 Centrale Informatique MP 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Batog (Professeur agrégé) ; il a été relu par Gautier Marti (ENS Lyon) et Benjamin Monmege (ENS Cachan). Le problème porte sur l'algorithme de tri rapide d'un tableau. Il est composé de quatre parties. · La première partie, constituée uniquement de questions de cours, débute par la programmation d'un algorithme de tri simple, au choix, après évaluation de sa complexité. Puis les mêmes questions sont posées pour l'algorithme de tri rapide. Un petit effort de rédaction est demandé pour décrire les algorithmes. · La deuxième partie étudie la complexité du tri rapide dans deux cas extrêmes : le pire, où le tableau est déjà trié, et le meilleur, où le pivot est l'élément médian du sous-tableau traité à chaque étape. Bien que les relations de récurrence obtenues soient classiques, les questions ne sont pas simples car leur formulation approximative nécessite une petite prise d'initiative mathématique pour rendre les choses parfaitement rigoureuses. · La troisième partie, indépendante des précédentes, porte sur un algorithme de recherche d'une -pseudo médiane dans un tableau de taille n ( ] 0 ; 1 [ à déterminer en fin de partie) : au moins n éléments sont inférieurs (respectivement supérieurs) à une -pseudo médiane. Deux implémentations sont proposées : l'une en effectuant des manipulations sur le tableau en entrée (la plus délicate du sujet), l'autre en utilisant une structure d'arbre (sans difficulté). Il s'ensuit une étude théorique de l'algorithme et de ses extensions. · La quatrième partie propose de montrer que la complexité du tri rapide est sous-quadratique (o(n2 )) dans le pire des cas lorsqu'une pseudo médiane est choisie comme pivot. De longueur modeste, cette partie nécessite de posséder une petite expérience sur les questions de complexité. En effet, l'énoncé demande de justifier qualitativement des résultats tout en restant extrêmement rigoureux dans certains calculs. La dernière question est même ouverte. La progression du problème est limpide, de nombreuses questions sont classiques ou faciles. Il est possible de traiter rapidement les trois premières parties, à moins d'être freiné par certaines approximations mathématiques de l'énoncé. Attention, les points de la dernière partie (sûrement nombreux) sont difficiles à décrocher, c'est pourquoi il ne faut pas se brûler les ailes en traitant précipitamment le début de l'épreuve. Indications Partie I I.B Le tri à bulles est rapide à décrire et son analyse en complexité est assez simple. C'est le choix adopté dans ce corrigé. I.C.1 Décrire le principe consistant, pour un tableau v de pivot p, à déplacer un indice g vers la droite, à déplacer un indice d vers la gauche et à échanger v(g) et v(d) à chaque fois que v(g) > p > v(d). Partie II II.B.1 Supposer si besoin en première approximation que la séparation d'un tableau de taille 2n le coupe en deux sous-tableaux de taille n. II.B.2 Pour tout k N , utiliser uk = M(2k )/2k pour trouver le terme général de la suite (M(2k ))k>1 . Partie III III.A.2 Introduire pour structurer les idées une référence pas contenant la distance entre deux éléments consécutifs d'un paquet de 3 dont on veut calculer la médiane : 3 pas contient alors la distance entre deux paquets de 3 consécutifs. À chaque parcours du tableau, pas est multiplié par 3. III.C.1 L'algorithme calcule la médiane de n/3 paquets de 3, puis de n/9 paquets de 3 etc. III.C.2 Établir le résultat par récurrence sur k en s'appuyant sur la version récursive de l'algorithme utilisée dans la question III.B.4. III.C.3 Pour k = 2, le tableau suivant convient : 1 2 3 4 où désigne une valeur suffisamment grande (qu'il est inutile d'expliciter). Utiliser ce modèle pour construire récursivement les tableaux souhaités. III.C.4 Justifier que l'on obtient une ln 2/ ln 3-pseudo médiane d'un tableau t de taille n en appliquant l'algorithme uniquement au sous-tableau t[0..3k - 1] où 3k est la plus grande puissance de 3 inférieure à n. Partie IV IV.A Les résultats de la partie II suggèrent (qualitativement) que C(n1 ) + C(n2 ) est d'autant plus grand que |n1 - n2 | l'est. Supposer que K1 = K2 = 1 pour ne pas rester bloqué par les imprécisions de l'énoncé. p IV.B p Penser télescopage pour établir que k < n/2 si k > n/2. Développer n/2 fois la relation de récurrence de la question IV.A (ne pas se soucier du problème posé par des indices non entiers). IV.D Reprendre tous les raisonnements de cette partie dans le cas général d'une -pseudo médiane avec ] 0 ; 1 [. Faire l'hypothèse que la complexité est majorée par O(n ) avec 6 1 pour ne pas rester bloqué par les imprécisions de l'énoncé. I. Tri rapide d'un tableau I.A Une variable tmp est utilisée pour ne pas perdre la valeur de t(j) au moment de déplacer t(i) à la place j du tableau t. let echange i j t = let tmp = t.(j) in t.(j) <- t.(i); t.(i) <- tmp;; Lorsque des nombres sont manipulés, il est possible d'échanger le contenu de deux références sans utiliser de variable intermédiaire : a := !a + !b; b := !a - !b; a := !a - !b; I.B Décrivons l'algorithme de tri à bulles pour un tableau t de taille n, indicé de 0 à n - 1. Il s'agit d'échanger deux valeurs consécutives dans t qui ne sont pas rangées dans l'ordre croissant. Ces échanges s'opèrent de gauche à droite en partant du premier élément (boucle for interne dans le programme). Un tel parcours du tableau de gauche à droite est effectué n - 1 fois (boucle for externe) : à la fin du k-ième parcours, le k-ième plus grand élément du tableau t est placé en position n-k. C'est pourquoi il suffit d'arrêter le k-ième parcours à la position n - k. Finalement, le tableau est trié à la fin de l'exécution de l'algorithme. Une implémentation de cet algorithme est donnée par la fonction tribulle suivante, de type tribulle : int vect -> unit =  let tribulle t = let n = vect_length t in for k = 1 to n-1 do for j = 1 to n-k do if t.(j) < t.(j-1) then echange j (j-1) t; done; done;; Évaluons la complexité de l'algorithme de tri à bulles. Quel que soit le tableau en entrée, le nombre de comparaisons effectuées est inchangé : n - k au cours du k-ième parcours pour k allant de 1 à n - 1, donc au total n-1 n-1 P P n(n - 1) n-k = j= 2 j=1 k=1 L'algorithme de tri à bulles est de complexité quadratique en termes de comparaisons. D'autres algorithmes peuvent convenir, en gardant à l'esprit que l'énoncé incite fortement à trier un tableau, et non une liste. Pour cela, les algorithmes « simples » (disons de complexité quadratique) les plus adaptés sont le tri à bulles et le tri par sélection, tous deux « en place », c'est-à-dire en modifiant le tableau lui-même, sans utiliser d'espace supplémentaire. Le tri par insertion quant à lui ne peut pas être réalisé en place et il nécessite de translater des morceaux de tableau. I.C.1 Dans l'algorithme suivant, le pivot p est le premier élément du (sous-)tableau t de taille n. Si ce n'est pas le cas, il suffit préalablement d'échanger le pivot avec le premier élément du tableau. Notons g (gauche) la 2e position du tableau t et d (droite) la dernière. L'idée consiste · à déplacer la position g vers la droite tant que t(g) est inférieur au pivot p ; · puis à déplacer la position d vers la gauche tant que t(d) est strictement supérieur au pivot p ; · enfin à échanger t(g) et t(d) (si g < d) car t(d) 6 p < t(g). Ces trois étapes sont répétées tant que la position gauche g est à gauche de la position droite d. À l'issue de ces opérations, tous les éléments à gauche de la position d (incluse) sont inférieurs au pivot et tous ceux à droite lui sont supérieurs. De ce fait, il reste à échanger le pivot avec t(d) pour obtenir la séparation attendue. Le nombre de comparaisons de valeurs du tableau est égal au nombre de positions possibles de g et d, à savoir entre n - 1 et n + 1. La phase de séparation est linéaire en la taille du tableau. I.C.2 La fonction separation ci-dessous programme l'algorithme décrit dans la question précédente (pour un tableau de taille n > 2). let separation v i1 i2 = let pivot = v.(i1) and g = ref (i1+1) and d = ref i2 in while !g <= !d do while !g <= i2 && v.(!g) <= pivot do incr g (* montee de g *) done; while v.(!d) > pivot do decr d (* descente de d *) done; if !g < !d (* aucun echange si g et d se croisent *) then ( echange !g !d v; incr g; decr d ) done; echange i1 !d v; !d;; Une autre méthode, que l'on retrouve traditionnellement dans un cours de taupe, consiste à déplacer le pivot vers la droite en utilisant deux références : · !g désigne la position de fin d'un préfixe de t constitué de valeurs inférieures ou égales au pivot (ce dernier se trouvant à la position !g) ; · !d +1 désigne la position de début d'un suffixe de t constitué de valeurs strictement supérieures au pivot (initialement, ce suffixe est vide). Lorsque !g =!d, le tableau vérifie la propriété de partition pour le pivot se trouvant à la position !g.