X/ENS Physique PSI 2026

ECOLES NORMALES SUPERIEURES
ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2026

MERCREDI 15 AVRIL 2026
08h00 - 12h00
FILIERE PSI - Epreuve n 4

PHYSIQUE (XSR)

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

   Début du sujet

Autour du monde ferroviaire
Dans ce problème, nous étudions différents phénomènes physiques intervenant 
dans l'exploitation
ferroviaire, et plus précisément en matière de traction électrique. La partie I 
s'intéresse aux phénomènes
physiques associés à l'alimentation électrique des trains par un fil de contact 
aérien appelé caténaire. De
nombreux trains électriques utilisant des moteurs à courant continu, la partie 
II s'intéresse à plusieurs
phénomènes physiques ayant lieu au sein de l'entrefer de ces machines ou de la 
carcasse de leur rotor,
afin de discuter des limitations physiques qui déterminent l'épaisseur de 
l'entrefer. Enfin, la partie III
est consacrée à l'étude des propriétés de conduction des jonctions de 
semi-conducteurs, sur lesquelles
reposent la majorité des composants utiles de l'électronique de puissance 
(diodes, transistors,...). Ces
composants sont essentiels à la conception des redresseurs, hacheurs et 
onduleurs qui jouent un rôle
important dans les locomotives électriques actuelles.
Les applications numériques seront effectuées avec la précision qu'un calcul à 
la main permet
aisément, et (sauf mention contraire) sans excéder deux chiffres significatifs. 
Les ordres de grandeur seront donnés avec un seul chiffre significatif. Les 
données numériques ont été choisies pour
rendre aisés les calculs.
Les références des questions abordées devront être indiquées de façon claire.
Le sujet comporte 14 pages. Les différentes parties sont largement 
indépendantes.
Notations, formulaire et données numériques.
· Masse volumique du Cuivre : Cu = 8,96 × 103 kg · m-3

· Masse volumique du Fer : Fe = 7,87 × 103 kg · m-3

· Puissance utile typique d'un moteur à courant continu ferroviaire : Pu  1 MW

· Rayon typique d'un rotor de moteur à courant continu ferroviaire : R  1 m

· Longueur typique d'un rotor de moteur à courant continu ferroviaire : L  1 m
· Perméabilité magnétique du vide : µ0 = 4 × 10-7 H · m-1

· Viscosité dynamique de l'air à T = 298 K :  = 1,7 × 10-5 Pa · s

· Conductivité thermique du Fer : Fe = 80 W · m-1 · K-1

· Coefficient de convection thermique rotor/entrefer (avec rotor en rotation) : 
h = 100 W·m-2 ·K-1
· Coefficient de dilatation thermique isobare du Fer :  = 3 × 10-5 K-1
· Masse de l'électron : me = 9,1 × 10-31 kg

· Charge électrique élémentaire : e = 1,6 × 10-19 C

· Constante de Boltzmann : kB = 1,38 × 10-23 J · K-1

· Nombre d'atomes typique par unité de volume dans un cristal : 1029 m-3
· Quelques données numériques : ln(2 × 109 )  21, exp(20)  5 × 108 et 
exp(1/0,03)  3 × 1014
· Gradient d'un champ scalaire f (r,,z) exprimé en coordonnées cylindriques :
--
f -
1 f -
f -

grad(f ) =
er +
e +
ez .
r
r 
z

-

· Laplacien d'un champ vectoriel de la forme A = A(r,,z)-
e en coordonnées cylindriques :
 2

-
2 A -
 A
1  2 A  2 A 1 A
A 

A = - 2
er +
+
+
+
- 2 -
e .
r 
r 2
r 2  2
z 2
r r
r

i

Quelques phénomènes physiques liés aux caténaires

Le terme  caténaire  désigne l'ensemble du système de câbles suspendus 
au-dessus des voies afin
d'assurer l'alimentation des trains électriques. Ces derniers disposent quant à 
eux d'un pantographe,
qui est un bras articulé situé sur leur toiture. Le pantographe peut être 
replié à l'horizontale lorsque
le train est au repos, ou déployé jusqu'à venir au contact de la caténaire 
lorsque le train fonctionne,
permettant ainsi le passage du courant de la caténaire jusqu'aux machines 
électriques du train. Le
système de câbles formant la caténaire peut être assez complexe, se composant 
en particulier d'un
ou plusieurs fils de contact (nommés ainsi car étant en contact avec les 
pantographes des trains), de
fils porteurs, de câbles de renfort électrique pour les hautes intensités, et 
de poteaux régulièrement
disposés le long des voies afin de porter cet ensemble de câbles.
Pour simplifier, nous allons ici considérer le cas d'un unique fil de contact, 
constitué de cuivre et
de section circulaire de rayon Rc . Ce fil est suspendu à des poteaux 
régulièrement espacés et supposés
alignés (ce qui est le cas en ligne droite), la distance entre deux poteaux 
successifs étant notée Lc . On
a Lc  Rc . Nous allons donc modéliser cet unique fil de contact comme un fil 
infiniment fin de masse
linéique µ, tendu rectilignement. On note (Ox) l'axe du fil, horizontal, et 
(Oy) l'axe vertical ascendant.
On s'intéresse à de petits déplacements verticaux du fil. Ainsi, en toute 
abscisse x et à tout instant t,
y(x,t) désigne le déplacement vertical d'un point M du fil par rapport à sa 
position au repos. De plus,

pour toute abscisse x et à tout instant t, on note -
et (x,t) le vecteur unitaire localement tangent au fil,

au point M , et (x,t) l'angle algébrique que -
et (x,t) forme avec -
ex . Enfin, on note T (x) la tension du
fil à l'abscisse x. Le fil est supposé ne subir ni déplacement horizontal, ni 
extension horizontale.
y

y
M

fil

(x,t)
y(x,t)

x

fil

x

x

Figure 1 ­ Schéma et paramétrage d'une caténaire. À gauche : allure du fil en 
mouvement vertical, à un instant
t donné. L'axe (Ox) représenté en ligne tiretée correspond au cas du fil au 
repos, tandis que l'axe (Oy) est vertical. À
droite : agrandissement d'une portion de fil au voisinage d'un point M 
d'abscisse x, permettant d'illustrer les définitions
de y(x,t) et (x,t).

1. Exprimer la masse linéique µ du fil de cuivre modélisant la caténaire en 
fonction de Cu et Rc .
On considère désormais un tronçon élémentaire de fil de longueur d, 
correspondant à la partie du
fil située entre les abscisses x et x + dx. La longueur au repos de ce tronçon 
est donc dx.
2. Sous l'effet du déplacement vertical du fil, ce petit tronçon peut se 
retrouver légèrement étiré.
Exprimer sa nouvelle longueur d(x,t) en fonction de dx et de (x,t). Dans le cas 
d'un fil très
peu extensible, en déduire que l'on aura |(x,t)|  1 en tout point du fil et à 
tout instant.
3. En négligeant l'influence de la pesanteur, et en se limitant au premier 
ordre non nul en (x,t),
montrer que la tension du fil est uniforme. Dans la suite, on notera donc la 
tension du fil T .
4. Toujours en négligeant l'influence de la pesanteur et en se limitant au 
premier ordre non nul en
(x,t), établir l'équation de D'alembert suivante :
2y
T 2y
(x,t) =
(x,t),
2
t
µ x2
et en déduire l'expression de la célérité c des ondes mécaniques transverses 
dans le fil, en fonction
de T et µ.

Dans le cas d'un fil de contact de caténaire, c'est le frottement entre le 
pantographe et le fil qui
génère des ondes mécaniques dans le fil. Si la vitesse v du train atteint la 
célérité c des ondes, on observe
un phénomène analogue au franchissement du mur du son : l'amplitude des 
déplacements verticaux de
la caténaire devient très importante au niveau du pantographe, ce qui endommage 
à la fois la caténaire
et le pantographe, et peut mener à la rupture de la caténaire.
5. Pour un TGV en exploitation commerciale classique, la vitesse 
caractéristique du train est v =
300 km·h-1 . En estimant une valeur plausible de Rc , donner la tension 
minimale Tmin à appliquer
à la caténaire d'une ligne à grande vitesse (LGV) pour éviter toute 
détérioration due aux ondes
mécaniques générées par les pantographes des TGV.
6. Les caténaires des tramways urbains sont également faites en cuivre, mais 
sont bien moins
tendues que celles des LGV. Proposer deux raisons physiques, liées aux valeurs 
de paramètres
physiques pertinents, pour expliquer la plus faible tension des caténaires de 
tramway.
7. Nous avons ici supposé que le fil d'alimentation était rectiligne lorsque la 
voie ferrée est en ligne
droite. En réalité, si on observe ce fil depuis le ciel dans les lignes 
droites, on constate qu'il décrit
une ligne brisée évoluant autour de la droite médiane entre les deux rails. 
Expliquer le choix de
cette géométrie pour le fil d'alimentation.

ii

Dimensionnement de l'entrefer d'une machine à courant continu

La machine à courant continu a été et est toujours très utilisée dans le 
domaine ferroviaire. Au
vu de la puissance typique développée par les machines à courant continu 
ferroviaires, le champ
magnétique statorique est créé par des bobinages alimentés en courant continu. 
Le stator et le rotor
comportent bien entendu des carcasses ferromagnétiques dont le but est de 
maximiser l'intensité du
champ magnétique statorique au niveau des câblages du rotor. Au vu de la forme 
cylindrique du rotor,
la carcasse ferromagnétique du stator épouse cette forme, comme sur le schéma 
ci-dessous.
bobinage statorique

entrefer

carcasse
du rotor

carcasse statorique

Figure 2 ­ Représentation simplifiée de la structure d'une machine à courant 
continu, en coupe selon
un plan perpendiculaire à son axe de rotation. Le bobinage est enroulé autour 
de la carcasse statorique : les lignes
de courant sortant du plan de la figure sont bouclées sur celles entrant dans 
ce plan.

II.A

Champ magnétique dans l'entrefer

Nous considérons en première approximation que les courants électriques 
parcourant le bobinage
statorique créent un champ magnétique statique dont les lignes sont quasi 
parallèles dans la carcasse

ferromagnétique du stator. Nous nous intéressons au devenir de ces lignes de 
champ dans l'entrefer. À
l'interface entre la carcasse ferromagnétique du stator d'une part, et l'air 
emplissant l'entrefer d'autre
part, se produit un phénomène de réfraction des lignes de champ magnétique, que 
nous allons préciser.
Pour ce faire, nous considérons une interface entre deux milieux, 
respectivement notés (1) et (2).

En un point M de cette interface, on note -
n 12 le vecteur unitaire normal à l'interface en M , dirigé
du milieu (1) vers le milieu (2). On désignera par M1 et M2 deux points alignés 
avec M selon l'axe

dirigé par -
n 12 et tels que M1 (respectivement M2 ) est infiniment proche de M mais 
appartenant
strictement au milieu (1) (respectivement (2)).

-
n 12
milieu (2)

M

interface

milieu (1)

Figure 3 ­ Interface entre deux milieux notés (1) et (2). On a représenté le 
vecteur -
n 12 en un point M de

l'interface.

par

-
-
-
Pour tout vecteur U , on définit ses composantes normale U N et tangentielle U 
T à l'interface en M

- -
 -
- -

n 12 -
n 12 et U T = U - U N .
UN = U · -

On admettra que les équations de Maxwell impliquent les relations de passage 
suivantes :
-
-
-
-
B N (M2 ) = B N (M1 ) et H T (M2 ) = H T (M1 ).

(1)

8. Préciser ce qui différencie un matériau ferromagnétique dur et un matériau 
ferromagnétique
doux. La justification s'appuiera sur un tracé de l'allure des cycles 
d'hystérésis en aimantation
pour les deux types de matériau. En déduire quel type de matériau 
ferromagnétique (dur ou doux)
on doit privilégier ici pour construire la carcasse du stator, et justifier le 
choix du matériau.
Dans toute la suite, le milieu (1) désigne l'air de l'entrefer, dont on 
négligera toute propriété
magnétique. Quant au milieu (2), il désigne le matériau ferromagnétique 
constituant la carcasse
du stator. Pour ce dernier, on effectuera l'approximation d'une aimantation 
linéaire en l'excitation
magnétique, et on notera µr la splitéabilité magnétique relative du matériau (2).
-
-
9. À l'aide de l'Éq. 1, en déduire une relation entre B T (M2 ), B T (M1 ) et 
µr .

-
-

n
et B (M ) (resp. B (M )).
10. On note  (respectivement  ) l'angle entre les vecteurs -
1

2

12

1

2

Montrer que l'on a
tan(2 )
tan(1 ) =
.
µr
11. Donner un ordre de grandeur de µr . Sachant que tan(2 )  0,035 et tan(88 )  
29, tracer
l'allure de 1 en fonction de 2 , pour 2 variant de 0  à 90  . En déduire qu'en 
tout point de
l'interface entre l'air et le milieu ferromagnétique considéré, on peut 
considérer que l'on est dans
un des deux cas limites suivants :

 la ligne de champ magnétique présente un angle 1 > 0  du côté de l'air et 2  
90  du
côté du milieu ferromagnétique ;

 la ligne de champ magnétique présente un angle 2 < 90  du côté du milieu ferromagnétique et 1  0  du côté de l'air. 12. Dans le cas du stator étudié ici, dont le schéma est donné plus haut, dans lequel de ces deux cas limites tombe l'interface entre la carcasse statorique et l'entrefer ? Décrire et schématiser une situation qui tomberait dans l'autre cas limite. Dans la suite, nous admettrons que les lignes de champ magnétique sont radiales dans l'entrefer d'une machine à courant continu. D'un point de vue énergétique, en l'absence de courant dans le bobinage du rotor, le circuit magnétique est donc très bien approximé par celui schématisé ci-dessous, dans lequel on supposera qu'aucune ligne de champ ne peut sortir des faces latérales du matériau ferromagnétique. N/2 spires N/2 spires e carcasse du rotor e carcasse statorique Figure 4 ­ Modélisation du circuit magnétique équivalent à la machine à courant continu, en l'absence de courant au rotor. Une ligne moyenne de champ magnétique est représentée en tireté. Ce dernier est toujours supposé linéaire et sa splitéabilité relative notée µr . On admet qu'en tout point de l'espace M , la densité volumique d'énergie magnétique s'exprime : Emag (M ) = - 1- H (M ) · B (M ). 2 Enfin, on notera N le nombre total de spires du bobinage statorique et I l'intensité du courant parcourant ce bobinage. De plus, on note  la longueur moyenne d'une ligne de champ magnétique au sein du matériau ferromagnétique, et e l'épaisseur de l'entrefer. - 13. Compte tenu des hypothèses effectuées, montrer que la norme de B est uniforme dans le matériau ferromagnétique. On la notera simplement B par la suite et on supposera que sa valeur est la même dans l'entrefer. - 14. Dans l'entrefer, exprimer la norme de H , que l'on notera Hair , en fonction de B. De même, dans - le matériau ferromagnétique, exprimer la norme de H , que l'on notera Hfer , en fonction de B. En déduire les expressions de Emag,air et Emag,fer , les densités volumiques d'énergie magnétique respectivement dans l'entrefer et dans le matériau ferromagnétique, en fonction de B, µ0 et µr . 15. En raisonnant sur la ligne de champ moyenne représentée en ligne tiretée sur la Fig. 4, montrer que : µ0 N I B= . + 2e µr 16. Expliquer pourquoi, dans les machines tournantes, on cherche systématiquement à minimiser l'épaisseur de l'entrefer. Il existe néanmoins plusieurs limitations physiques à la minimisation de l'épaisseur de l'entrefer d'une machine tournante, dont la dilatation thermique du rotor et le cisaillement de la couche d'air contenue dans l'entrefer. Dans la suite, nous allons modéliser ces deux phénomènes afin d'identifier lequel est le plus limitant en pratique. II.B Cisaillement de l'air contenu dans l'entrefer Nous étudions l'écoulement de l'air au sein de l'entrefer, dans le référentiel du stator. Le rotor est ici assimilé à un cylindre plein de hauteur L et de rayon R, en rotation à vitesse angulaire  constante autour de son axe de symétrie. La carcasse statorique est quant à elle assimilée à un cylindre creux de rayon intérieur R + e, e étant l'épaisseur de l'entrefer. Nous adopterons dans la suite le système de coordonnées cylindriques d'axe (Oz) confondu avec l'axe de symétrie du rotor. e R fixe z air Figure 5 ­ Schéma de la couche d'air considérée, entre le rotor de rayon R et la carcasse statorique de rayon intérieur R + e. 17. Rappeler la définition de l'échelle mésoscopique et présenter brièvement son intérêt, ainsi que la notion de particule de fluide. En raisonnant sur une particule de fluide mésoscopique de forme cubique, établir l'expression suivante de la résultante volumique des forces de pression dans un fluide - -- f pr = -grad P, où P désigne le champ de pression. Nous admettrons par ailleurs que la résultante volumique des forces de viscosité dans un fluide a pour expression - = - u, f visc où  désigne la viscosité dynamique du fluide,  l'opérateur laplacien vectoriel et - u le champ de vitesse. 18. En négligeant l'effet du champ de pesanteur, montrer que l'équation du mouvement d'une particule de fluide d'air contenu dans l'entrefer est : -- d- u air = -grad(P ) + - u, dt où air désigne la masse volumique de l'air, supposée uniforme. 19. En régime permanent de rotation du rotor, justifier que si L  R, alors on peut supposer que la pression ne dépend que de r et que le champ de vitesse est de la forme - u = u(r)- e . En supposant cette condition vérifiée, établir les deux équations suivantes sur le champ de vitesse : air u(r)2 dP = r dr et 1 du d2 u u(r) (r) + (r) - 2 = 0. 2 dr r dr r (2) 20. En recherchant les solutions de la forme u(r) = kr n avec k une constante et n un nombre entier, montrer que b u(r) = ar + , r où a et b sont des constantes que l'on explicitera en fonction de R, e et . En déduire la représentation graphique du champ de vitesse u en fonction de r sur l'intervalle [R,R + e]. - d F visc On admet que la force surfacique (contrainte) de cisaillement, notée , exercée par le fluide dS situé à l'intérieur d'un cylindre de rayon r sur le fluide situé à l'extérieur de ce cylindre a pour expression locale : - d u(r) - d F visc = -r e . dS dr r 21. En appliquant le théorème du moment cinétique à un volume de fluide contenu entre les rayons r et r + dr, retrouver l'équation différentielle obtenue pour u(r) dans l'Éq. (2). - 22. Montrer alors que le couple  rotor/air exercé par le rotor sur l'air situé dans l'entrefer a pour expression - rotor/air = A Lb - ez , où A est un préfacteur à déterminer. 23. En déduire l'expression de la puissance mécanique Protor/air cédée par le rotor à l'air de l'entrefer, en fonction de , L, R, e et . En estimant une valeur plausible de  et de e, évaluer Protor/air dans le cas d'un moteur à courant continu utilisé dans une locomotive. Préciser ce qu'il advient de l'énergie correspondante. II.C Dilatation thermique du rotor Lorsque le moteur à courant continu fonctionne, la carcasse ferromagnétique du rotor subit une élévation de température qui mène à une augmentation de son volume. Il faut donc que l'entrefer soit suffisamment large pour permettre la dilatation thermique du rotor. L'objectif de cette sous-partie est d'évaluer un ordre de grandeur de l'augmentation du rayon du rotor due à l'échauffement, dans le cas d'un moteur à courant continu de locomotive. Pour ce faire, le rotor sera assimilé à un cylindre plein homogène en fer, de hauteur L supposée indépendante de la température, mais dont le rayon R dépend de la température T . À température T0 = 298 K, on notera R0 le rayon du rotor. Tout comme dans la sous-partie précédente, nous adopterons dans la suite le système de coordonnées cylindriques d'axe (Oz) confondu avec l'axe de symétrie du rotor. 24. Dans le cas d'une machine à courant continu, proposer deux phénomènes physiques, internes à la carcasse ferromagnétique du rotor, susceptibles d'entraîner son échauffement. Ces phénomènes constituant une source de production de puissance thermique au sein du rotor, justifier que la puissance thermique volumique associée, notée pth , dépend de la vitesse angulaire de rotation du rotor, et qu'elle peut être considérée comme uniforme sur tout le volume du rotor. On se placera sous ces hypothèses simplificatrices dans toute la suite. Dans la suite de l'étude, on s'intéresse à l'expression du profil de température au sein du rotor, tournant à vitesse angulaire constante , dans le cas du régime permanent établi. Au regard de la géométrie du problème, le champ de température est supposé de la forme T (r). On suppose également la loi de Fourier vérifiée au sein du rotor. 25. À l'aide d'un bilan d'énergie à préciser, montrer que, sous ces hypothèses, on a d (r jth (r)) = r pth , dr - - où jth (r) = jth · - er , avec jth (en W · m-2 ) le vecteur densité de flux thermique au sein du rotor. 26. En déduire l'évolution en fonction de r de jth et T , donnée par jth (r) = pth r 2 et T (r) = - pth 2 r +C , 4Fe (3) où Fe est la conductivité thermique du fer, et C une constante réelle. On suppose qu'à l'interface entre le rotor et l'air de l'entrefer, le flux thermique conducto-convectif surfacique, noté  et compté positivement du rotor vers l'air de l'entrefer, suit la loi de Newton = h (T (R) - Tair ) , où h est le coefficient de convection thermique et Tair la température de l'air de l'entrefer, supposée uniforme sur celui-ci. 27. Établir l'expression de la constante C, introduite dans l'Éq. (3). Maintenant que l'on a établi le profil de température au sein du rotor en rotation, nous allons pouvoir estimer son effet sur le volume du rotor. On note m la masse totale du rotor, 0 la masse volumique du fer à la température T0 = 298 K et (r) sa masse volumique à la température T (r). Enfin, on définit le coefficient de dilatation thermique isobare du fer, noté et supposé indépendant de T sur la plage de température explorée ici, et défini par : = 1 V . V T P 28. On considère une masse de fer occupant un volume V i à la température Ti et que l'on porte à la température Tf de façon isobare. Établir l'expression de son nouveau volume V f en fonction de V i , , et Tf - Ti . En déduire l'expression de (r) en fonction de 0 , , T (r) et T0 . 29. Exprimer alors la masse totale m du rotor sous forme intégrale et en déduire l'expression suivante pth 2 pth 2 R0 exp((C - T0 )) = exp R - 1. (4) 4Fe 4Fe 30. En considérant que pth  10 kW · m-3 , et à partir de l'Éq. (4), montrer que le rayon du rotor R se met sous la forme suivante R = R0 exp (C - T0 ) , 2 avec R0 le rayon du rotor lorsqu'il est uniformément à la température T0 . 31. En déduire un ordre de grandeur de l'augmentation relative du rayon du rotor son échauffement. R - R0 , due à R0 iii Étude des jonctions de semi-conducteurs La traction ferroviaire a tiré un important profit du développement de l'électronique de puissance. En effet, c'est l'apparition des diodes de puissance et des transistors de puissance qui a permis de concevoir les redresseurs et hacheurs utilisés pour contrôler l'alimentation des moteurs à courant continu, ainsi que les onduleurs utilisés pour alimenter les machines synchrones et asynchrones. Ces composants utilisent des matériaux semi-conducteurs, dans le cadre de jonctions PN , que nous proposons d'étudier ici. III.A Semi-conducteurs Un bon cadre théorique pour la description des propriétés de conduction électrique des matériaux semi-conducteurs est celui de la théorie des bandes. Dans cette approche, on considère que les électrons des différents atomes du matériau peuplent différentes  bandes  en fonction de leurs niveaux d'énergie. On appelle  bande de valence  l'ensemble des niveaux d'énergie peuplés par les électrons de valence des différents atomes, en l'absence d'agitation thermique. Par ailleurs, on appelle  bande de conduction  l'ensemble des niveaux d'énergie permettant aux électrons de se déplacer au sein du matériau, et donc de participer à la conduction électrique. Dans le cas d'un matériau semi-conducteur, cette bande est distincte de la bande de valence : on a E C > E V , en notant E 
V le plus haut niveau
d'énergie de la bande de valence et E C le plus bas niveau d'énergie de la 
bande de conduction.
Ainsi, on définit  l'énergie de gap  E g d'un matériau semi-conducteur comme 
l'écart énergétique
entre le plus haut niveau de la bande de valence et le plus bas niveau de la 
bande de conduction :
Eg = EC - EV.

(5)

L'agitation thermique des électrons de valence permet à une faible partie 
d'entre eux d'atteindre
la bande de conduction, et donc de pouvoir participer à la conduction 
électrique. Chaque électron
passé dans la bande de conduction laisse derrière lui une place vacante dans la 
bande de valence, que
l'on appellera  trou . L'apparition de ces trous permet donc aux électrons 
restés dans la bande de
valence de se déplacer. En effet, tout électron situé dans un atome voisin d'un 
atome présentant un
trou peut aller combler le trou en question. Il laisse à son tour derrière lui 
un trou, et de proche en
proche, il peut en résulter un courant électrique, que l'on associera 
simplement au déplacement du
 trou . Chaque  trou  sera donc considéré comme une particule de charge +e > 0 
(-e étant la
charge d'un électron) et pouvant participer à la conduction électrique.
On s'intéresse dans la suite au cas du silicium (Si) pur, matériau 
semi-conducteur très utilisé en
électronique de puissance. On notera n le nombre d'électrons atteignant la 
bande de conduction par
unité de volume du matériau, et p le nombre de trous dans la bande de valence 
par unité de volume
du matériau.
Il est possible de  doper  un matériau semi-conducteur en remplaçant une partie 
de ses atomes
par des atomes d'un autre élément chimique, possédant un nombre d'électrons de 
valence différent.
Chaque atome de silicium possède 4 électrons de valence, il est donc possible 
de doper le silicium de
deux façons.
· Dopage N : on remplace certains atomes de silicium par des atomes 
pentavalents, c'est-à-dire
possédant 5 électrons de valence (comme le phosphore P). Pour chacun, ce 5ème 
électron de
valence passe directement dans la bande de conduction du matériau, augmentant 
ainsi n.
· Dopage P : on remplace certains atomes de silicium par des atomes trivalents, 
c'est-à-dire ne possédant que 3 électrons de valence (comme le bore B), chacun 
entraînant directement l'apparition
d'un trou supplémentaire dans la bande de valence du matériau, augmentant ainsi 
p.

E
Bande de
conduction

EC

Eg
EV

électrons de
conduction

détail

trous

agitation
thermique

Bande de
valence

Figure 6 ­ Niveaux d'énergie occupés par les électrons dans un semi-conducteur. 
Sur la droite, on détaille
la situation des électrons figurés par des disques noirs. Certains électrons 
atteignent la bande de conduction grâce à
l'agitation thermique, et laissent derrière eux un trou dans la bande de 
valence.
Si le matériau n'est pas dopé, il est dit  intrinsèque .
Dans toute la suite, les grandeurs n et p seront accompagnées d'un indice i si 
elles se rapportent au
silicium intrinsèque, N si elles se rapportent au silicium dopé N, et P si 
elles se rapportent au silicium
dopé P. Ces deux grandeurs dépendent par ailleurs de la température, et on 
donne, pour le silicium,
ni = 2 × 1016 m-3 à 298 K.
On admet enfin que le dopage ne modifie pas la valeur du produit n(T ) × p(T ).

32. Dans le cas du silicium dopé N, on note nD le nombre d'atomes de silicium 
par unité de volume
remplacés par des atomes pentavalents. Pour un dopage faible, on remplace 1 
atome de silicium
sur 100 millions, et pour un dopage fort, on en remplace 1 sur 100 000. 
Justifier alors que pour
le silicium dopé N,
nN  nD

et

pN 

n2i
.
nD

(6)

33. En déduire une estimation des intervalles auxquels appartiennent 
respectivement nN et pN pour
le silicium à 25 C, entre un dopage faible et un dopage fort.
Dans le cas du silicium dopé P, on note nA le nombre d'atomes de silicium par 
unité de volume
remplacés par des atomes trivalents. Les proportions d'atomes remplacés sont 
les mêmes que pour un
dopage N. Le raisonnement étant symétrique, on admettra que dans le silicium 
dopé P,
nP 

III.B

ni 2
nA

et

pP  n A .

(7)

Jonction PN

On constitue une jonction PN en mettant en contact un semi-conducteur dopé P et 
un semiconducteur dopé N. Dans toute la suite, nous supposerons qu'il s'agit de 
silicium faiblement dopé
dans les deux cas, avec nA = nD . On supposera que les deux matériaux ont une 
forme de pavé, on
notera S l'aire de l'interface entre eux, et (Ox) l'axe normal à cet interface. 
L'origine O est prise sur

l'interface et l'axe (Ox) est orienté par le vecteur unitaire -
ex dirigé du silicium dopé P vers le silicium
dopé N. On supposera que la section S de la jonction est assez grande pour que 
le problème soit
unidimensionnel. Ainsi, toutes les grandeurs physiques utiles ne dépendent que 
de la seule coordonnée
cartésienne x.

34. Dans la mesure où nP 6= nN et pP 6= pN , la mise en contact du silicium 
dopé N avec le silicium
dopé P donne lieu à un phénomène de diffusion des électrons de conduction et 
des trous. Indiquer

si le courant électrique diffusif qui en résulte est orienté selon +-
ex ou --
ex .
35. Initialement, les semi-conducteurs dopés N et P sont neutres. Justifier que 
sous l'effet de cette
diffusion, ils acquièrent une densité volumique de charge e non nulle au 
voisinage de l'interface.
Préciser le signe de e dans chacun des deux matériaux.

-
36. Indiquer la direction et le sens du champ électrique E créés par cette 
distribution de charges.
En déduire le sens du courant électrique conductif qui en résulte.
Dans toute la suite, on admet que pour une jonction PN à l'équilibre, la 
diffusion des porteurs de
charge a pour effet de décaler les niveaux d'énergie E C et E V au sein du 
silicium dopé N par rapport à
ces mêmes niveaux au sein du silicium dopé P. Il s'en suit le profil 
énergétique représenté sur la Fig. 7
pour les électrons au sein de la jonction PN (on ne s'intéresse ici qu'aux 
électrons).
E
E C côté dopé P
E C côté dopé N
E V côté dopé P
E V côté dopé N
x=0

x

Figure 7 ­ Allure des niveaux d'énergie des électrons au voisinage de la 
jonction PN.
37. En déduire l'allure du tracé des fonctions suivantes : le potentiel 
électrostatique V (x), la com
-

posante Ex (x) = E (x) · -
ex du champ électrique, et enfin la densité volumique de charge locale
du matériau e (x).
38. La différence de potentiel électrostatique U0 résultant entre le 
semi-conducteur dopé N et le
semi-conducteur dopé P est donnée par :

kB T
nD nA
ln
U0 =
.
(8)
e
ni 2
Estimer l'ordre de grandeur de U0 et commenter.

III.C

Relation courant-tension de la jonction PN

On appelle zone de charge d'espace (ZCE) la région sur laquelle V (x) varie, 
qui correspond à celle
sur laquelle e prend des valeurs non nulles. Nous effectuerons dans la suite 
l'approximation d'une ZCE
 abrupte , c'est-à-dire que la fonction e (x) sera supposée avoir l'allure 
représentée sur la Fig. 8.
Compte tenu du fait que nA = nD , la neutralité globale de la jonction impose 
que la ZCE s'étend de
façon symétrique par rapport au plan x = 0. En notant LZCE la largeur de la 
ZCE, on a donc que la
ZCE correspond aux positions x  [-a,a] avec a = LZCE /2 > 0.
Nous allons chercher à calculer le courant électrique I traversant la jonction 
PN vers les x croissants
lorsque l'on applique une tension de polarisation U à celle-ci, entre la partie 
dopée P et la partie dopée

e
LZCE

-a

x

a

0

Figure 8 ­ Allure de e (x) dans le cadre de l'approximation d'une ZCE abrupte.
N. On supposera que la tension U se retrouve appliquée directement aux bornes 
de la ZCE, le champ
électrique étant quasi nul dans les semi-conducteurs hors de celle-ci. La 
différence de potentiel aux
bornes de la ZCE passe donc de V (a) - V (-a) = U0 à V (a) - V (-a) = U0 - U .
x=0
x
Silicium
dopé P

Silicium
dopé N

I
U
Figure 9 ­ Orientation du courant I et de la tension U .
Le courant I résultant de l'application de cette tension est bien sûr dû au 
flux d'électrons d'une
part, et au flux de trous d'autre part. Nous raisonnerons tout d'abord sur le 
flux d'électrons. Divers
phénomènes sont à prendre en compte. On note n(x) la densité d'électrons de 
conduction en x.
· La diffusion des électrons de conduction, qui s'effectue selon la loi de 
Fick, le coefficient de
diffusion des électrons dans le matériau étant noté Dn .
· La conduction électrique, la densité de courant de conduction due aux 
électrons étant modélisée
par la loi d'Ohm locale :
-

-
j cond,n (x) = µn e n(x) E (x),

(9)

où µn est le coefficient de mobilité des électrons au sein du semi-conducteur.
· L'annihilation et la création d'électrons de conduction. En effet, au cours 
de leur déplacement
dans le matériau dopé P, les électrons ont une certaine probabilité de  tomber  
dans un trou et
ainsi ne plus pouvoir participer à la conduction. À l'inverse, l'agitation 
thermique peut créer des
paires  électron de conduction + trou . L'ensemble de ces phénomènes résulte en 
un terme de
création d'électrons de conduction par unité de temps et par unité de volume 
noté cn et donné
par :
cn (x) =

nP - n(x)
,
n

(10)

où nP est la densité d'électrons de conduction dans le matériau dopé P à 
l'équilibre, correspondant
à la densité fournie par l'Éq. (7), et n est une durée caractéristique du 
matériau considéré.
III.C.a

Étude du matériau dopé P hors de la ZCE

Nous commençons par étudier la région x  -a, dopée P, où les électrons sont 
nettement minoritaires par rapport aux trous. Le champ électrique y étant quasi 
nul, on négligera tout flux d'électrons
dû aux phénomènes de conduction.
39. En effectuant un bilan à préciser, montrer qu'en régime stationnaire, la 
densité d'électrons de
conduction vérifie, dans la région x  -a :
d2 n
1
nP
(x) -
n(x) = -
.
2
dx
n Dn
n Dn

(11)

40. En déduire que l'on a, dans la région x  -a :

x+a
n(x) = nP + (n(-a) - nP ) exp
,
Ln

(12)

où Ln est une longueur typique à exprimer en fonction de n et Dn .
41. En déduire que l'intensité du courant due aux électrons traversant la 
section en x = -a, comptée
positivement vers les x croissants, s'exprime
In =

III.C.b

SeDn
(n(-a) - nP ) .
Ln

(13)

Étude de la ZCE

Compte tenu de l'approximation d'une ZCE  abrupte  qui a été faite, les charges 
initialement
disponibles pour la conduction dans les matériaux dopés sont exactement 
compensées par la densité
volumique de charge e au sein de la ZCE. Il n'y a donc aucun processus de 
création ou d'annihilation
possible lors de la traversée de la ZCE. Ainsi, le flux d'électrons venant du 
matériau dopé N et entrant
dans la ZCE en x = a est égal à celui qui en ressort en x = -a. L'intensité In 
exprimée dans la
sous-partie précédente donne donc exactement la contribution des électrons au 
courant I.
Néanmoins, pour déterminer In , il reste à connaître n(-a). Pour cela, il faut 
raisonner sur la région
-a  x  a, c'est-à-dire la ZCE. Il y règne de forts courants de diffusion et de 
conduction tant pour les
électrons que pour les trous. On notera Idiff,n et I c,n les intensités 
respectives des courants de diffusion
et de conduction dus aux électrons dans la ZCE, et on admettra que Idiff,n  In 
et I c,n  In . Par
ailleurs, les électrons étant largement majoritaires vis-à-vis des trous dans 
la région x  a, qui est
dopée N, on supposera que n(a) = nN .
42. Par un bilan à préciser, montrer qu'en régime permanent on a, au sein de la 
ZCE, donc sur
l'intervalle x  [-a,a] :
dn(x)
µn
=
dV (x).
n(x)
Dn
43. En déduire les deux égalités suivantes :

n(-a)
µn
ln
=
(U - U0 )
et
nN
Dn

(14)

nP
ln
nN

=-

µn
U0 .
Dn

(15)

En injectant les Éq. (6), (7) et (8) dans la seconde de ces deux égalités, on 
obtient la relation
d'Einstein, que nous admettrons pour la suite :
µn
e
=
.
Dn
kB T

(16)

44. Montrer alors que l'on a :

eU
n(-a) = nP exp
.
kB T

(17)

45. En déduire enfin l'expression de In en fonction de S, e, Dn , Ln , nP , e, 
U , kB et T .
46. On définit Dp et Lp , analogues pour les trous des grandeurs Dn et Ln 
définies pour les électrons.
Par un argument simple, justifier que l'intensité du courant total traversant 
la jonction PN, du
semi-conducteur dopé P vers celui dopé N, s'exprime

U
I = I0 exp
-1 .
(18)
VT
où VT est à exprimer en fonction de e, kB et T , et I0 en fonction de S, e, Dn 
, Dp , Ln , Lp , nP et
pN .
47. Estimer l'ordre de grandeur de V T à 25  C. Commenter et tracer l'allure de 
la caractéristique
courant-tension d'une diode à jonction PN sachant que I0  1 pA.
   Fin du sujet