Mines Physique 2 PSI 2026

A2026 ­ PHYSIQUE II PSI

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES,
ISAE-SUPAERO, ENSTA,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS - PSL,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).
CONCOURS 2026
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 10 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

.
Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines-Ponts.

Physique II, année 2026 -- filière PSI

Conversion de puissance électromécanique
Ce problème se propose d'aborder quelques aspects de la conversion de puissance 
électromécanique. On envisage successivement un moteur électrostatique à 
capacité variable (partie I)
et un moteur électromagnétique monophasé à inductance variable (parties II et 
III). On envisage ensuite une comparaison de ces deux types de convertisseurs 
ainsi que la question de la
réduction d'échelle (« downsizing ») dans le but de réaliser des micromoteurs 
électrostatiques
ou électromagnétiques (partie IV).
Les parties II et III sont principalement indépendantes de la partie I. Les 
résultats (issus des
parties I, II et III) utiles à la résolution de la partie IV sont fournis. Les 
applications numériques
sont à réaliser avec un seul chi!re significatif. On donne 0  9  1012 USI, µ0  
1  106 USI
et c  3  108 m · s1 .

I

Moteur électrostatique à capacité variable

On considère un condensateur plan constitué de deux armatures planes parallèles 
de surface S
séparées par de l'air (assimilé au vide) sur une distance d. On suppose que d  
S de sorte
que l'on peut négliger les e!ets de bord. Le condensateur est soumis à une 
tension u, supposée
constante.
 ­ 1. Faire un schéma du condensateur en faisant apparaître la tension u à ses 
bornes, les
 qui règne en
charges q et q portées par ses armatures ainsi que le champ électrique E
son sein. On supposera u > 0 et q > 0 pour les besoins de ce schéma mais u et q 
seront a
priori des grandeurs algébriques dans toute la partie I.
 ­ 2. Proposer une définition de la capacité C du condensateur. Exprimer, en 
détaillant votre
 en fonction notamment de la charge q.
raisonnement, le champ électrique E
En déduire l'expression de la capacité C du condensateur plan sans e!ets de 
bord, en
fonction notamment de S et d.
On considère maintenant le moteur électrostatique représenté sur la figure 1 et 
constitué d'un
condensateur de capacité variable C (r ).

Vue de dessus
µ_r
2

3

3

R
4

1

2

Rotor

R
1
4

µr

d

R

Stator

Stator
±

u

u

u
Vue de côté

µr = 0

0 < µr < ¼/2 Figure 1 ­ Moteur électrostatique : vue de dessus pour 2 positions du rotor (à gauche) et vue de côté à droite. Il est constitué d'un stator (fixe, par définition) conducteur plan constitué des deux électrodes (3) et (4), formant chacune un quart de disque, et d'un rotor (en rotation autour de son axe Page 1/10 Physique II, année 2026 -- filière PSI de symétrie, perpendiculaire au plan de la figure vue de dessus) conducteur plan constitué des deux électrodes (1) et (2) formant également chacune un quart de disque. La position angulaire du rotor est repérée par l'angle r . La distance entre les électrodes statoriques et rotoriques est notée d et le rayon « utile » des électrodes est noté R. On suppose d  R et R. L'ensemble est alimenté par une source de tension u grâce à un contact glissant pratiqué sur l'axe conducteur du rotor. ­ 3. Pour quelles valeurs respectives de r la capacité C (r ) du condensateur atteint-elle sa valeur maximale Cmax et sa valeur minimale Cmin ? En négligeant les e!ets de bord, exprimer Cmax en fonction notamment de R et d. ­ 4. Proposer une expression de la capacité C (r ) du condensateur sur l'intervalle [0,]. On exprimera C (r ) en fonction de Cmax , Cmin et de r . Tracer sa courbe représentative sur l'intervalle [0,2] en précisant sa période. ! Eel !! On admet que le couple subi par le rotor est donné par l'expression : ! = où Eel désigne r !u l'énergie électrostatique stockée dans le condensateur. ­ 5. Donner la relation liant le couple ! et la dérivée de C par rapport à r . Que doit vérifier le couple moyen ! si l'on veut réaliser un moteur ? Peut-on alimenter le système par une tension constante ? On envisage d'alimenter le moteur électrostatique par une tension en créneaux oscillant entre les valeurs u = 0 et u = U > 0.
 ­ 6. Préciser sur quels intervalles angulaires il convient d'appliquer la 
tension U .
Tracer la courbe des variations de ! (r ) et donner l'expression du couple 
moyen !.

 ­ 7. Le moteur fonctionnant en régime permanent de rotation à la vitesse 
angulaire " = r ,
quelle est la relation entre la pulsation  du fondamental de la tension en 
créneaux u (t)
et " ?
 ­ 8. En déduire que la puissance mécanique moyenne du moteur s'écrit sous la 
forme Pm,el  =
1
f U 2 (Cmax Cmin ) où f désigne la fréquence de la tension en créneaux u (t).
2

On suppose maintenant que le rotor et le stator sont constitués de p paires 
d'électrodes formant
des portions de disque d'angle au sommet /2p régulièrement espacés d'un angle 
/2p. Le cas
p = 2 est illustré sur la figure 2- a
.

 ­ 9. Que devient la période de la fonction C (r ) ?
Sur quels intervalles angulaires doit-on maintenant appliquer la tension U ?
Que devient le couple moyen ! ?
Quelle relation la pulsation  du fondamental de la tension en créneaux u (t) 
doit-elle
maintenant vérifier par rapport à ", toujours supposée constante ?
Que peut-on dire de la puissance moyenne P du moteur ?

On cherche maintenant à augmenter la puissance du moteur. Pour cela, on 
envisage la réalisation
conçue et fabriquée dans l'usine Philips de Tilburg (Pays-Bas) dans les années 
1960 illustrée
sur la figure 2- b
.
Le rotor est constitué de N = 14 plaques conductrices d'épaisseur 300 µm 
intercalées entre les
N + 1 = 15 plaques conductrices constituant le stator (de même épaisseur, soit 
300 µm). Sur
cet exemple, le nombre de paires d'électrodes « à chaque étage » vaut p = 3. La 
distance entre
deux étages statorique et rotorique plus proches voisins vaut d = 150 µm. Le 
rayon utile des
électrodes vaut R = 10 mm.
La figure 2- c
 est une vue de côté du schéma de principe du moteur Philips destinée à 
faciliter
la compréhension du dispositif, pour des raisons pratiques, il a été dessiné 
pour N = 7.
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Physique II, année 2026 -- filière PSI

a

b

c

µ_r

u
Figure 2 ­ a
 : Schéma d'un moteur électrostatique à 2 paires d'ailettes. b
 : Une réalisation
technologique avec 3 paires d'ailettes de la société Philips (Illustration 
tirée de Electrostatic
Motors, B. Bollée, Philips Technical Review, vol. 30, 1969, n°6/7). c
 : Schéma d'une vue de
coté du moteur électrostatique « multicouches » avec N = 7.

 ­ 10. Quelle est la relation entre la capacité CN (r ) de cette structure à N 
couches et la capacité
C (r ) de la structure à une couche considérée jusqu'à présent ? On justifiera 
la réponse.
Que devient la puissance moyenne développée par le moteur électrostatique ?
Évaluer numériquement CN ,max et la puissance moyenne P développée par le moteur
dans le cas N = 14. On supposera que le moteur est alimenté par un créneau 
positif
d'amplitude U = 100 V, de rapport cyclique 50 % et de fréquence f = 1 kHz. 
Commenter.
Un problème inhérent au moteur électrostatique étudié
est la présence d'un contact glissant au niveau de l'axe
du rotor qui provoque inévitablement de l'usure et des
pertes par frottement. Pour pallier ce problème, on envisage la solution 
suivante : le rotor est isolé (et donc il
n'est connecté à rien). Le stator est constitué de deux
demi-stators isolés entre eux. La tension u est appliquée
entre ces deux demi-stators. Le schéma de principe d'un
tel moteur est réprésenté sur la figure 3.

µr

 ­ 11. Proposer un schéma électrique équivalent au mou
teur ainsi câblé.
À quelle condition sur l'amplitude U de la tension
en créneaux u (t) la puissance moyenne développée Figure 3 ­ Principe du moteur 
élecpar cette nouvelle structure est-elle inchangée par trostatique « brushless 
»
rapport au système initial ?

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Physique II, année 2026 -- filière PSI

II

Moteur électromagnétique monophasé à inductance variable

On aborde maintenant l'étude d'un convertisseur électromécanique magnétique à 
inductance
variable. Celui-ci est constitué d'un stator cylindrique creux en fer doux 
présentant deux pôles
saillants à l'intérieur duquel tourne un rotor également en fer doux. Le stator 
est pourvu de
deux enroulements comportant chacun N spires bobinées sur les deux pôles 
saillants. Ces deux
enroulements sont associés en série et sont donc parcourus par le même courant 
i (t) : ils ne
forment donc en fait qu'un seul circuit (la machine est donc monophasée). La 
position angulaire
du rotor est repérée par l'angle r . Le schéma de principe de la machine à 
inductance variable
pour un angle r quelconque est représenté sur la partie gauche de la figure 4.

Stator
¯r

i
N
!

Entrefers
dépaisseur e

ez
r

to

Ro

i
N

i

R
Rotor
¯s

Stator

Figure 4 ­ Principe du moteur à inductance variable monophasé et définition des 
notations
utilisées

On voit sur la figure 4 que le rotor et le stator sont séparés l'un de l'autre 
par deux minces zones
d'air, nommées entrefers, d'épaisseur e. Le volume global de l'entrefer dépend 
de la position
angulaire du rotor.
La figure 5 propose les résultats de simulations obtenus avec le logiciel femm 
permettant de
 (dans les deux cas) ainsi que l'intensité
visualiser
les lignes de champ du champ magnétique
B
" "
" "
""
""
"B " du champ magnétique et l'intensité "H " de l'excitation magnétique. Les 
couleurs claires
correspondent aux zones de valeur minimales, les couleurs foncées correspondent 
aux zones de
valeurs maximales.
" "
""
 ­ 12. Laquelle des deux simulations 1 ou 2 donne-t-elle l'intensité "B
" du champ magnétique ?
On justifiera la réponse.

 ­ 13. Justifier qu'il est légitime de négliger, dans l'air, le champ 
magnétique en dehors des
minces entrefers d'épaisseur e.

 ­ 14. On suppose dorénavant la splitéabilité magnétique du rotor et du stator 
infinies. Montrer
que l'intensité du champ magnétique en un point quelconque des deux entrefers 
est donnée
par la relation Ba = µ0 N i/e
On note R le rayon de la paroi circulaire du rotor (figure 4) et  la longueur 
du rotor et du
stator, mesurée selon l'axe de rotation. On suppose   R  e. On introduit par 
ailleurs les
deux angles r et s définis sur la partie droite de la figure 4. On suppose dans 
un premier
temps que r = /2 + 2 et s = /2   avec   1 rad.

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Physique II, année 2026 -- filière PSI

Simulation 1

Simulation 2

Figure 5 ­ Représention graphique de simulations sur le logiciel femm

 ­ 15. Dessiner tout d'abord l'allure de l'entrefer pour r = k si k  N, 
déterminer l'expression
simplifiée de son volume total (minimal dans cas précis) en fonction de R, , e 
et .
Dessiner maintenant l'allure de l'entrefer pour r = (2k + 1)/2 si k  N, 
déterminer alors
l'expression simplifiée de son volume total (maximal dans cas précis) en 
fonction de e, R,
et .
 ­ 16. Proposer une définition énergétique de l'inductance du système.
Déduire des questions 14 et 15 les valeurs minimale Lmin et maximale Lmax de 
l'inductance.
Comment varie l'inductance entre ces deux valeurs extrêmes ?
En pratique, en choisissant convenablement  et en prenant compte les e!ets de 
bord, on obtient
une courbe des variations de L (r ) symétrique semblable à celle représentée 
sur la figure 6 pour
laquelle l'angle #  r de saturation est identique pour les valeurs maximales
! et minimales.
Ema !!
On rappelle que le couple subi par le rotor est donné par l'expression ! =
où Ema désigne
r !i
l'énergie magnétique stockée dans le système.

 ­ 17. Exprimer le couple ! en fonction de L et i.
Peut-on alimenter ce système par un courant constant si l'on veut réaliser un 
moteur ?

On envisage d'alimenter ce moteur par un courant en créneaux oscillant entre 
les valeurs 0 et
I > 0.
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Physique II, année 2026 -- filière PSI

45 ¡

L max

40 ¡
35 ¡

L [mH]

30 ¡
25 ¡

¢¯

20 ¡
15 ¡

¢¯

10 ¡
5 ¡

¡

¡

90

¡

¡

¡

0 ¡
0

L min

¢¯
180

270

360

µr [º]
Figure 6 ­ Courbe des variations de L (r )

 ­ 18. En reproduisant la courbe des variations de L (r ), préciser sur quels 
intervalles angulaires
il convient d'appliquer le courant I. On représentera sur ce même schéma le 
créneau de
courant ainsi que le couple ! (r ) correspondant.
Déterminer avec cette alimentation l'expression du couple moyen ! en fonction 
de Lmax ,
Lmin et I.
 ­ 19. Le moteur fonctionnant en régime permanent de rotation à la vitesse 
angulaire " = r ,
quelle relation la pulsation  du fondamental du courant en créneaux i (t) 
doit-elle vérifier
par rapport à " ?

 ­ 20. En déduire que la puissance mécanique moyenne du moteur se met sous la 
forme Pm,ma  =
1
f I 2 (Lmax Lmin ) où f désigne la fréquence du courant en créneaux i (t).
2

III

Alimentation électrique du moteur monophasé à inductance variable.

On cherche maintenant à optimiser l'alimentation électrique du moteur monophasé 
à inductance
variable étudié dans la Partie II.
On suppose que le bobinage parcouru par le courant i (t) présente une 
résistance interne notée
r. On note u (t) la tension régnant aux bornes du moteur, en convention 
récepteur. On suppose
que le courant i (t) est positif ou nul : il ne peut pas changer de signe.

 ­ 21. Montrer que l'équation di!érentielle liant la tension u (t) et le 
courant i (t) se met sous la
forme
#
$
dL
di
r+"
i (r ) + "L (r )
= u (r )
dr
dr
dans laquelle on rappelera l'expression de ".

On cherche maintenant comment imposer le plus e"cacement possible un créneau de 
courant
à partir d'une source de tension continue idéale U0 .
On envisage pour cela un premier montage, représenté sur la figure 7, mettant 
en oeuvre un
transistor T de puissance et une diode D de puissance, tous deux supposés 
idéaux.

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Physique II, année 2026 -- filière PSI

T

Moteur
i(t)
M

U0

u(t)

D

Figure 7 ­ Montage n°1

 ­ 22. Quel est l'état de la diode D lorsque le transistor T est passant ?
Que vaut alors la tension u aux bornes du moteur ?
Que peut-on dire du signe du courant i qui le traverse ?
Les règles d'interconnexion des sources de tension et de courant sont-elles 
respectées ? On
justifiera la réponse.
dL
Lmax Lmin
 ­ 23. Justifier qu'au cours de cette phase où T est passant,
=
, rapport noté .
dr
/2  #
Écrire l'équation di!érentielle régissant le courant i (r ) au cours de cette 
phase. On fera
intervenir les grandeurs r, , ", L (r ) et U0 .
On ouvre le transistor T à l'instant où L (r ) atteint Lmax .

 ­ 24. Quel est alors l'état de la diode D ?
dL
?
dr
En déduire les équations di!érentielles successives régissant le courant i%(r ) 
lorsque T est
&
ouvert en distinguant les domaines de variation de r dans l'intervalle 2  !
, + !
.
2
2
Quelles sont alors les valeurs successives prises par la dérivée

Les équations di!érentielles déterminées aux questions 23 et 24 pour le montage 
1 peuvent être
résolues numériquement. Les solutions correspondantes sont représentées 
schématiquement dans
un diagramme synchrone sur la figure 8.

Inductance
Tension
Courant

¡

90

¡

¡

0

¡

¡

Couple

180

270

360

µr [º]

Figure 8 ­ Solutions numériques pour le montage 1.

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Physique II, année 2026 -- filière PSI

 ­ 25. Interpréter qualitativement les variations plus ou moins rapides du 
courant i (r )

 ­ 26. Quel est le défaut de ce montage ? À quoi est-il dû ?
Pour remédier au défaut mis en évidence à la question 26, on propose, sur la 
figure 9, un second
montage mettant en oeuvre deux transistors de puissance idéaux T1 et T2 et deux 
diodes de
puissance idéales D1 et D2 .

T1

D2

Moteur
M

U0
D1

i(t)

T2

u(t)

Figure 9 ­ Montage n°2
Sur une période de fonctionnement, on distingue trois phases successives :
· Phase 1 : les deux transistors T1 et T2 sont passants ;
· Phase 2 : les deux transistors T1 et T2 sont ouverts ;

· Phase 3 : le transistor T2 est passant tandis que le transistor T1 est ouvert.

 ­ 27. Pour chacune des trois phases définies ci-dessus, préciser la valeur de 
la tension u aux
bornes du moteur ainsi que l'état des deux diodes D1 et D2 .
Une étude non demandée ici, permet d'écrire les équations di!érentielles issues 
du nouveau
montage. On peut alors les résoudre numériquement pour obtenir les solutions 
correspondantes
qui sont représentées schématiquement dans un diagramme synchrone sur la figure 
10.

Inductance
Tension

Courant

¡

90

¡

¡

0

¡

¡

Couple
180

270

360

µr [º]

Figure 10 ­ Solutions numériques pour le montage 2.

 ­ 28. Comparer l'évolution du courant i (r ) observée avec les deux montages.
Préciser en quoi le montage n°2 est plus performant que le montage n°1.
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Physique II, année 2026 -- filière PSI

IV

Comparaison des deux types de moteurs. Lois d'échelle
et « downsizing ».

Nous avons vu que la puissance mécanique moyenne développée par le moteur 
électrostatique à
capacité variable et par le moteur électromagnétique monophasé à inductance 
variable pouvaient
s'écrire, respectivement :

1 2

 Pm,el  = 2 f U (Cmax Cmin )

1 2

 Pm,ma  =
f I (Lmax Lmin )
2
où f est la fréquence de l'alimentation électrique, U est l'amplitude du 
créneau de tension
appliqué au moteur capacitif et I est l'amplitude du créneau de courant 
parcourant le moteur
inductif. On suppose dorénavant que Cmin  Cmax et que Lmin  Lmax

 ­ 29. Justifier que, moyennant cette approximation, on peut écrire :

0

Pm,el  
f Va,max Ea2

2

 Pm,ma  

1
f Ve,max Be2
2µ0

où Va,max et Ve,max désignent respectivement les volumes maximum de l'espace 
inter armatures du condensateur et des entrefers du moteur à inductance 
variable, et Ea et Be
désignent respectivement les normes du champ électrique régnant dans le 
condensateur
et du champ magnétique régnant dans l'entrefer du moteur à inductance variable.
 ­ 30. Sachant que le champ magnétique Be est limité par la saturation du fer, 
et que Bsat  1 T,
quel est l'ordre de grandeur du champ électrique Ea qu'il faudrait atteindre 
pour que deux
moteurs capacitif et inductif de mêmes dimensions développent la même puissance 
?
10 6
10 5

V c [V]

On donne, sur la figure 11, la courbe
de Paschen représentant de façon empirique la tension de claquage Vc , exprimée 
en volts, de l'air sec compris entre
les deux armatures d'un condensateur
en fonction du produit p d, exprimé en
bar·mm, de la pression p par la distance
d inter-armatures.
La tension de claquage est la tension
au-delà de laquelle un arc électrique apparaît entre les armatures du 
condensateur : l'air s'ionise et perd donc ses
propriétés isolantes.

10 4
10 3
10 2
10¡3

10¡2

10¡1

10 0

10 1

10 2

pd [bar.mm]
Figure 11 ­ Courbe de Paschen pour l'air sec.

 ­ 31. Déduire de la courbe de Paschen la valeur du champ disruptif Ed de l'air 
sous la pression
atmosphérique. Le champ disruptif est la valeur du champ électrique au-delà de 
laquelle
l'air s'ionise.
Évaluer le rapport  = Pm,el max / Pm,ma max sous la pression atmosphérique.
Conclure quant à la faisabilité de moteurs électrostatiques macroscopiques sous 
la pression
atmosphérique.
Sous quelle pression faudrait-il travailler pour que  soit de l'ordre de 1 ?
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Physique II, année 2026 -- filière PSI

Nous venons donc de constater que les moteurs électrostatiques macroscopiques 
étaient beaucoup moins performants que les moteurs électromagnétiques de mêmes 
dimensions, dans les
conditions ordinaires. Pour conclure, nous proposons de montrer que les moteurs 
électrostatiques peuvent néanmoins s'avérer performants à petite échelle 
(réalisation de micro-moteurs
ou de micro-actionneurs).
Pour mener à bien cette étude, il va falloir mettre en évidence des « lois 
d'échelle » que nous
présentons succinctement.
Considérons un dispositif de dimensions Lx , Ly et Lz . On cherche à quantifier 
les conséquences
d'un changement d'échelle de rapport h (sans dimension) dans toutes les 
directions. Les dimen

sions du système après changement d'échelle s'écrivent : Lx = hLx , Ly = hLy et 
Lz = hLz .
Pour indiquer qu'une longueur est multipliée par h, une surface S par h2 et un 
volume V par
h3 , on adopte les notations suivantes : Lx  h, S  h2 , et V  h3 .

 ­ 32. Quelles sont les unités usuelles des constantes fondamentales 0 et µ0 ?
En déduire qu'une capacité C et une inductance L vérifient les lois d'échelle C 
 h et
L  h.
On cherche dans un premier temps les lois d'échelle régissant le moteur 
électrostatique.

 ­ 33. Comment les charges sont-elles réparties sur les armatures ? En déduire 
que U  h.

 ­ 34. En considérant le théorème de l'énergie cinétique appliqué au rotor, 
démontrer que le
temps t vérifie la loi d'échelle t  h.

 ­ 35. En déduire la loi d'échelle régissant Pm,el  ainsi que celle régissant 
la puissance mécanique
volumique moyenne Pm,el  . Conclure.

On s'intéresse maintenant aux lois d'échelle régissant le moteur 
électromagnétique. Celui-ci
étant parcouru par un courant, il est nécessairement le siège d'un e!et Joule 
impliquant un
échau!ement.

 ­ 36. Donner sans démonstration l'expression de la résistance r d'un cable 
conducteur cylindrique en fonction de sa conductivité et de ses paramètres 
géométriques. En déduire que
r  h1 .

Supposons que l'on impose comme contrainte la constance de la température T du 
système
supposée uniforme, dans l'opération de changement d'échelle (les matériaux 
étant donnés, la
température ne doit pas excéder une certaine valeur maximale, indépendante de 
l'échelle). La
puissance thermique échangée avec l'extérieur à la température Text s'écrit : 
Pth = kS (T  Text )
où S est la surface d'échange thermique et k un coe"cient indépendant de la 
taille du système.

 ­ 37. Quelle est, en régime permanent, la relation liant Pth et la puissance 
moyenne PJoule
dissipée par e!et Joule ? En déduire que I  h3/2 .

 ­ 38. En procédant comme à la question 34, démontrer qu'ici t  h1/2 .

 ­ 39. En déduire la loi d'échelle régissant Pm,ma  ainsi que celle régissant 
la puissance mécanique volumique moyenne Pm,ma  . Conclure.

 ­ 40. Comparer les résultats obtenus pour les deux types de moteurs. Conclure.
FIN DE L'ÉPREUVE

Page 10/10