Centrale Physique et Chimie 2 PSI 2026

PSI
4 heures

Calculatrice autorisée

2026

Physique-Chimie 2

Création d'un synthétiseur analogique rudimentaire
Les synthétiseurs analogiques reposent sur un principe simple : à partir de 
quelques composants électroniques élémentaires ­ oscillateurs, filtres, 
amplificateurs ­ il est possible de générer une grande variété de sons, parfois 
d'une
complexité étonnante.
Dès 1970, le Minimoog, présenté en figure 1, a marqué une étape décisive : l'un 
des premiers synthétiseurs portables, il
intégrait un clavier numérique qui permettait d'associer directement chaque 
touche à la fréquence correspondante,
facilitant ainsi son utilisation par les musiciens. La conception de tels 
dispositifs pose néanmoins plusieurs défis
techniques : assurer une correspondance précise entre touches et fréquences, 
maintenir la stabilité des oscillateurs
malgré les variations de température et protéger les circuits contre les 
contraintes électriques et thermiques.

Figure 1 ­ Minimoog 44 touches sorti en 1970, l'un des premiers synthétiseurs 
analogiques portables équipés d'un
clavier numérique.
Dans ce sujet, on se place dans un cadre simplifié où l'on étudie la conception 
d'un synthétiseur analogique rudimentaire,
en mettant en évidence ces problématiques de génération de signal, de contrôle 
thermique et de fiabilité des circuits
imprimés.
Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part 
du candidat. Elles sont repérées par un
soulignement de leur numéro. Il est alors demandé d'expliciter clairement la 
démarche, les choix et de les illustrer, le
cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et tient 
compte du temps nécessaire à la résolution
de ces questions.
Le problème comporte 3 parties indépendantes. Dans tout le sujet, les 
amplificateurs linéaires intégrés (ALI) seront
supposés d'impédance d'entrée infinie et d'impédance de sortie nulle. En mode 
linéaire, leur gain est considéré comme
infini. Le traitement des questions ne nécessite aucune connaissance théorique 
préalable des transistors et de la théorie
musicale. Un formulaire et les données sont regroupés en fin d'énoncé.

1 / 12

Partie A ­ Création d'un synthétiseur analogique
Un synthétiseur analogique fonctionne en générant et en modulant des signaux 
électriques pour produire des sons
variés. Deux éléments centraux composent un synthétiseur : un clavier 
permettant de choisir les notes produites et
un oscillateur. Ce dernier permet de générer des signaux périodiques aux 
différentes fréquences audibles par l'humain.
Dans cette partie, on cherche à concevoir une chaîne de génération sonore 
inspirée des synthétiseurs analogiques
classiques. L'objectif est de produire un son dont la hauteur est déterminée 
par la tension générée par des touches de
clavier d'un piano numérique, afin de simuler le fonctionnement d'un véritable 
clavier musical.
Touches
du clavier

Convertisseur
"Linéaire/Exponentiel"

Transposeur
d'octave

Vin,0

Appui sur une touche

Oscillateur Commandé
en Tension (OCT)
Vin,1

Vin,0

Bouton "Tune"

Vout

Sélecteur de forme d'onde

Figure 2 ­ Extrait d'un diagramme simplifié de fonctionnement d'un synthétiseur 
analogique rudimentaire.
L'utilisateur peut modifier le fonctionnement des blocs à l'aide des boutons du 
synthétiseur.

I ­ Des touches de clavier à l'oscillateur
I.1 ­ Convertisseur "Linéaire/Exponentiel"
Un clavier est constitué de touches sur lesquelles l'utilisateur appuie pour 
produire une note. Cette note est identifiée
par sa fréquence fondamentale (par exemple, un La3 correspond à la fréquencede 
440 Hz). Deux notes successives
sont séparées d'un demi-ton, ce qui correspond à un rapport de fréquences de 12 
2. Deux notes séparées d'un octave
sont séparées de douze demi-tons. Le La4 est par exemple situé à une octave 
au-dessus du La3 .
Lors d'un appui sur une touche, une tension de contrôle Vin,0 est générée et 
est, après ajustement, appliquée à
l'Oscillateur Commandé en Tension (OCT). On prend comme base une tension de -5 
V pour la fréquence associée au
La0 . La tension générée augmente de 1 V pour le passage à l'octave supérieure. 
Par exemple, une tension de -1 V aura
pour effet de créer un La4 .
On suppose dans cette partie que le bloc "Transposeur d'octave" ne modifie pas 
le signal généré par les touches du

clavier et on considère donc que Vin,0 = Vin,0 . L'OCT quant à lui génère un 
signal périodique Vout dont la fréquence
est proportionnelle à Vin,1 .
Q1. Expliquer la nécessité d'un bloc Convertisseur "Linéaire/Exponentiel" 
présenté figure 2. Déterminer la relation
entre Vin,0 et Vin,1 sous la forme
Vin,1 = g(Vin,0 ) avec g(Vin,0 ) = Vref exp(Vin,0 ).
Évaluer numériquement la constante .
Une manière simple de reproduire analogiquement la fonction g est d'utiliser un 
transistor, comme représenté sur la
figure 3.

IC
C
B
VBE

E

Figure 3 ­ Schéma de principe d'un transistor bipolaire (BJT) de type NPN.

2 / 12

En appliquant une tension VBE entre la base B et l'émetteur E, le courant au 
niveau du collecteur (point C) s'écrit,
par la relation d'Ebers-Moll approchée, sous la forme
IC = IS (T ) · exp

VBE
v(T )

, en posant v(T ) =

kB T
q

où kB est la constante de Boltzmann, q la charge électrique élémentaire et T la 
température. L'intensité IS (T ), appelée
courant de saturation inverse du transistor, double de valeur lorsque la 
température augmente de 10 °C. Il est possible,
par un circuit non détaillé ici, d'obtenir une tension Vin,1 proportionnelle à 
IC .
Q2. Déterminer la variation de tension VBE qui permet d'augmenter d'une octave 
la fréquence émise par l'OCT
en fonction de v(T ). Calculer VBE à 20 °C.

On ajoute, en amont du transistor, deux résistances R et R . L'intensité IB au 
niveau de la base du transistor est
supposée négligeable par rapport aux autres intensités du circuit et sera prise 
nulle pour toute la suite.
OCT
IC
Vin,0

R
IB

R

C
B

VBE

Figure 4 ­ Bloc "Linéaire/Exponentiel" simplifié, avec R = 56, 0 k, et R = 1, 
00 k.
Q3. Montrer que l'ajout des résistances permet de créer un bloc Convertisseur 
"Linéaire/Exponentiel", en considérant
une température de travail de 20  C.

I.2 ­ Compensation de température
Le transistor utilisé pour la conversion linéaire/exponentielle chauffe 
lorsqu'il fonctionne, ce qui modifie ses propriétés
physiques et peut entraîner une dérive de la fréquence de l'oscillateur, 
provoquant un désaccord progressif entre les
notes du clavier. Une oreille humaine bien entraînée peut détecter une 
variation relative d'environ 0,0035 entre deux
notes successives.
Q4. Avec des composants à 30  C, analyser séparément comment les variations de 
IS (T ) et de v(T ) influencent un
La3 initialement joué à 20 °C.
Afin de résoudre ce problème, deux solutions, toutes deux utilisées en 
pratique, sont étudiées par la suite : rajouter
des ailettes de refroidissement, ce qui sera étudié dans la Partie B, ou 
modifier le circuit électronique, ce que nous
nous proposons de faire ici.
On complète le circuit électronique de la figure 4 en rajoutant un deuxième 
transistor comme représenté figure 5. Les
émetteurs des deux transistors étant reliés, le courant de saturation inverse 
IS (T ) est identique pour chacun d'eux. Le
courant IC1 est fourni par un générateur de courant d'intensité constante, 
tandis que IC2 est relié au bloc "OCT". La
tension Vin,1 est proportionnelle à IC2 .
Q5. Exprimer IC2 en fonction de IC1 , VB et v(T ).
Q6. Quelle amélioration présente ce circuit par rapport au circuit de la figure 
4 ?
Q7. En prenant pour base un fonctionnement à 20 °C, calculer la variation de 
température acceptable pour le
synthétiseur. Commenter.

3 / 12

OCT
IC2
Vin,0

R

IC1
VB

R

VE
Figure 5 ­ Bloc "Linéaire/Exponentiel" à compensation de température.
Les constructeurs de synthétiseurs analogiques apportent une deuxième 
modification en remplaçant une ou plusieurs
résistances par des thermistances CTP, des dipôles résistifs dont la résistance 
augmente avec la température. La
relation résistance-température d'une thermistance usuelle utilisée dans les 
synthétiseurs est donnée par la formule :
R(T ) = RT0 (1 + K × (T - T0 )),
avec T0 une température de référence, RT0 la résistance électrique à la 
température de référence, et K un coefficient
nommé "CTP" (Coefficient de Température Positif ) supposé indépendant de la 
température. On dispose de différents
jeux de thermistances fournis avec la datasheet suivante :
CTP (10-6 K-1 )
500
600
700
800
900
1000
1200
1500
1800
2000
2200
2400
2700
2800
3000
3300
3600
3900
4200
4500

Précision CTP

Résistance R20  C à 20  C ()

Précision sur R20  C

±20 %

500

±1 %

±15 %

500

±1 %

±10 %

500

±1 %

±10 %

500

±1 %

Q8. En considérant R  R et en prenant toujours pour base un fonctionnement à 20 
 C, proposer une modification du circuit présenté en figure 5 permettant de 
compenser au mieux possible la variation de température.
Déterminer alors la variation de température acceptable pour le synthétiseur 
avec le nouveau circuit proposé.
Conclure.

4 / 12

I.3 ­ Transposition d'octave
En réalité, les synthétiseurs analogiques usuels n'ont pas un nombre de touches 
suffisant pour jouer sur 10 octaves (le
synthétiseur Minimoog présenté figure 1 ne possède que 3 octaves et demie). 
Pour résoudre ce problème, le bouton
"Tune" du Minimoog permet de changer la tension de contrôle associée à une 
touche du clavier en tournant le sélecteur
sur cinq positions différentes (-2, -1, 0, 1 ou 2) et est relié à un circuit 
électronique présenté figure 7.

Figure 6 ­ Bouton "Tune" du synthétiseur Minimoog.

RA

RB

RB

RB

RB

RA

-10 V

+10 V

RC
RC

-

-

RB

+
VSW

+

1

2

Vin,0

RB
Vin,0

Figure 7 ­ Schéma électrique simplifié d'un transposeur d'octave "3U Octave 
Transposer - Elby Design", avec
RB = 10, 0 k et RC = 5, 00 k. La rotation du bouton « Tune » entraîne celle du 
commutateur.
Q9. Dans quel(s) régime(s) fonctionnent les deux ALI de la figure 7 ? Préciser 
dans ce cas le modèle de l'ALI idéal.
Q10. Déterminer la valeur de la résistance électrique RA telle que la tension 
VSW prenne successivement les valeurs
-2 V, -1 V, 0 V, +1 V ou +2 V selon la position du commutateur.
Q11. Quel est le rôle de l'ALI 1 situé juste après le commutateur ?
Q12. Montrer que le montage de l'ALI 2 est un sommateur et que le circuit 
permet effectivement de modifier l'octave
de la note jouée.

5 / 12

II ­ Oscillateur commandé en tension
Un OCT, ou oscillateur commandé en tension (la dénomination la plus couramment 
utilisée est VCO pour Voltage
Controlled Oscillator), est un circuit électronique capable de produire un 
signal périodique dont la fréquence dépend
directement de la tension appliquée à son entrée. Ce type d'oscillateur est 
couramment utilisé, seul ou en plusieurs
exemplaires, dans les synthétiseurs analogiques. La tension de commande est 
déterminée par la touche pressée sur le
clavier, ce qui permet à l'oscillateur d'ajuster sa fréquence afin de produire 
les différentes hauteurs correspondant aux
notes de la gamme musicale. Un exemple simplifié d'un OCT est présenté figure 8.
C1

R1

A1

R2

-

A2

-

+

3
Vout,1

Vin,1

4

+

Vout,2

R3
R4

R6

IC
R7

C
B

Tr
E

R5

Figure 8 ­ Schéma électrique d'un OCT classique. R1 et R4 sont reliées en A1 
indépendamment de R2 et R3 qui
sont reliées en A2 .
On note Vsat la tension de saturation des ALI, avec Vsat = 15 V. La tension de 
commande Vin,1 est supposée constante
et strictement positive.
Q13. En justifiant votre réponse, identifier le régime de fonctionnement de 
l'ALI 4 . Quelle(s) conséquence(s) immédiate(s) cela engendre-t-il ?
Selon la valeur de la tension VBE entre la base du transistor (point B) et la 
masse (point E), on peut distinguer deux
phases de fonctionnement du transistor Tr :
­ phase active : lorsque VBE est positive, la jonction entre C et E est 
équivalente à un fil ;
­ phase bloquante : lorsque VBE est négative, le courant IC en C est nul.
La résistance R5 sert à induire un courant suffisant à la base du transistor et 
n'intervient pas dans les calculs. On
admet ainsi que les tensions VBE et Vout,2 sont toujours de même signe.
On suppose d'abord que le transistor fonctionne initialement en phase bloquante.
Q14. Déterminer Vout,1 (t) en fonction de R1 , C1 , R2 , R3 , Vin,1 , t et 
d'une constante que l'on déterminera ultérieurement.
Q15. Déterminer, en fonction de Vsat , R6 et R7 la tension positive de 
basculement Vhaut de l'ALI 4 et sa tension
négative de basculement Vbas . Représenter graphiquement l'évolution de Vout,2 
en fonction de Vout,1 .
Q16. On suppose que Vout,1 (t = 0) = -Vbas > 0 à l'instant initial. En déduire 
l'instant t1 à partir duquel l'ALI 4
change d'état (bascule). Que se passe-t-il alors ?
Q17. Déterminer Vout,1 (t) pour t > t1 tant que l'ALI 4 reste dans le même 
état. Quelle condition sur R4 permet
d'obtenir des oscillations symétriques ? On supposera cette condition vérifiée 
par la suite.
6 / 12

Q18. On suppose que R6 = R7 . En déduire que la fréquence f de fonctionnement 
de l'OCT est donnée par
f=

1
R2
Vin,1
.
2R1 C1 R2 + R3 Vsat

Q19. Représenter schématiquement les évolutions temporelles des tensions Vout,1 
et Vout,2 .
Q20. La fiche technique des ALI utilisés indique une vitesse de balayage 
maximale de 0,3 V/µs en contre-réaction
négative. Décrire ce que cela signifie et en déduire une borne supérieure de la 
fréquence de fonctionnement de
l'OCT. Commenter.

Partie B ­ Contrôle de température au sein d'un synthétiseur analogique
Les variations de température influent sur la stabilité des composants d'un 
synthétiseur analogique. L'utilisation
d'ailettes de refroidissement sur les transistors permet de limiter ces effets. 
Ce sont de petits dissipateurs thermiques,
généralement en aluminium, posés directement sur le transistor et qui 
augmentent la surface d'échange avec l'air.
Cela permet d'évacuer plus efficacement l'énergie et de stabiliser la 
température des composants. Ces ailettes sont
souvent couplées à des ventilateurs pour renouveler l'air en contact avec 
elles. Ce contrôle thermique est essentiel pour
garantir la stabilité des fréquences associées aux notes du synthétiseur. Le 
dimensionnement correct de ces ailettes est
important pour des raisons techniques mais aussi économiques.
On modélise une de ces ailettes par un pavé droit de longueur , de largeur L et 
d'épaisseur e, avec e   et e  L.
On note  la masse volumique de l'ailette, c sa capacité thermique massique,  sa 
conductivité thermique et T (x, t) le
champ de température. La base de l'ailette en x = 0 est reliée au transistor de 
température T1 supposée constante et
on suppose que le contact thermique y est parfait. Partout ailleurs, l'ailette 
est en contact avec l'air à température Ta
uniforme, avec Ta < T1 . On suppose que le gradient transverse de température est suffisamment faible pour que, sur la section droite d'abscisse x, la température T (x, t) puisse être considérée uniforme. Figure 9 ­ Modélisation d'une ailette en contact avec un transistor. En régime permanent, la surface de l'ailette échange un transfert conducto-convectif avec l'air ambiant. Ce transfert est modélisé par la loi de Newton : la puissance thermique traversant une surface dS de l'interface s'écrit hdS(TS1 - TS2 ), où h désigne le coefficient de transfert conducto-convectif et TS1 et TS2 les températures de part et d'autre de l'interface. On considère comme système la tranche de l'ailette entre les abscisses x et x + dx, comme représenté sur la figure 9. Q21. Déterminer précisément la puissance fournie par le système à l'air au travers des échanges conducto-convectifs en fonction de h, Ta , T (x, t) et de paramètres géométriques. Q22. En effectuant un bilan énergétique en régime stationnaire, prouver que le champ de température vérifie d2 T (x) - m2 T (x) = -m2 Ta dx2 Exprimer m en fonction de h,  et e, en considérant m > 0.

7 / 12

Q23. Quelle condition limite le champ de température vérifie t-il en x = 0 ?
En ce qui concerne la condition limite en x = , plusieurs possibilités peuvent 
être envisagées :
­ Hypothèse 1 - L'ailette est supposée suffisamment longue selon l'axe u# " 
pour pouvoir considérer m  1 ;
x

­ Hypothèse 2 - Le transfert thermique par diffusion est considéré nul en x =  ;
­ Hypothèse 3 - Le transfert thermique en x =  se fait par conducto-convection.
Q24. Écrire, pour chaque hypothèse, la condition limite associée à T en x = . 
Laquelle de ces hypothèses vous semble
la plus réaliste ? Justifier.
Q25. Sous l'hypothèse 1, déterminer le champ de température T (x). Exprimer 
ensuite Te(x) =
de m et x, puis tracer Te(x).

T (x) - Ta
en fonction
T1 - Ta

On se place dans la suite sous l'hypothèse 2.
Q26. Déterminer Te(x).
Q27. Déterminer le flux thermique total  évacué par l'ailette.
Q28. On pose u le flux thermique qui serait évacué par l'ailette si sa 
température était en tout point égale à la
température de la base T1 . Sans calcul, déterminer lequel de  ou de u est le 
plus élevé.
Q29. On définit le rendement thermique de l'ailette par  = /u . Pourquoi 
peut-on assimiler cette grandeur à un
rendement ?
Q30. Montrer alors que
=

tanh(m)
,
m

avec tanh la fonction tangente hyperbolique définie en fin d'énoncé.
Les calculs sous l'hypothèse 3 sont plus complexes, mais la formule précédente 
reste applicable en remplaçant  par
c =  + e/2. Il est également possible de réaliser les mêmes calculs pour 
d'autres configurations d'ailettes. La figure 10
illustre ces différentes configurations géométriques ainsi que leur rendement 
thermique. Des contraintes techniques
imposent que les ailettes intégrées aux synthétiseurs analogiques compacts 
aient des dimensions maximales de L = 20
mm,  = 15 mm et e = 2 mm.
Ailette rectangulaire

=

tanh(mc )
mc

Ailette triangulaire

=

I1 (2m)
m I0 (2m)

Ailette parabolique

=

2
1+

p

(2m)2 + 1

Figure 10 ­ Différentes géométries d'ailettes (rectangulaire, triangulaire, 
parabolique) et expressions de leur
rendement thermique. Les fonctions I0 et I1 correspondent aux fonctions de 
Bessel modifiées de première espèce.
Q31. En vous aidant du formulaire en fin d'énoncé, déterminer la forme 
d'ailette permettant d'obtenir la dissipation
thermique la plus efficace.
Q32. En complément des ailettes, des systèmes de ventilation peuvent être 
utilisés. Quel type d'écoulement d'air
faut-il privilégier pour maximiser les échanges thermiques ? Justifier.

8 / 12

Partie C ­ Protection par couches minces de composés du silicium
Dans les synthétiseurs analogiques, les circuits imprimés constituent le coeur 
électronique de l'instrument et doivent
être protégés contre l'humidité, la poussière et l'oxydation afin de garantir 
leur stabilité et leur longévité. Pour cela,
on utilise souvent des couches de protection minces déposées à la surface, 
comme du dioxyde de silicium SiO2 ou du
nitrure de silicium Si3 N4 . On se propose d'étudier deux aspects de la chimie 
de chacun de ces composés.

I ­ Thermodynamique et cinétique de formation du nitrure de silicium
Q33. Écrire l'équation-bilan de formation du nitrure de silicium à partir de 
silicium et de diazote, en prenant un
coefficient stoechiométrique égal à 1 pour Si3 N4 . Montrer que cette réaction 
est quantitative à 298 K.
Q34. En introduisant les réactifs en proportions stoechiométriques dans un 
réacteur calorifugé sous 1 bar, déterminer
la température finale. Conclure.
Dans les conditions expérimentales réelles, le silicium n'est jamais 
parfaitement pur : les poudres industriellement
disponibles sont constituées d'un mélange de composés (voir formulaire en fin 
d'énoncé). On propose ici d'étudier la
cinétique de formation du nitrure de silicium à partir de cette poudre. On 
place un échantillon contenant une masse
W 0 = 834 g de poudre de silicium dans un réacteur isotherme. Après chauffage 
de la poudre à la température souhaitée
sous une atmosphère inerte d'argon, on fait circuler dans le four du diazote 
extrêmement pur (99,999 %). Afin de suivre
l'avancement de la réaction, on mesure la masse W de l'échantillon au cours du 
temps (mesure thermogravimétrique)
et on note W = W - W 0 la variation de masse par rapport à l'instant initial 
(on supposera que le gaz n'introduit
aucun changement significatif de masse). On définit le taux de nitruration par
=

WSi
0 ,
WSi

0
avec WSi
la masse initiale de Si dans l'échantillon, et WSi la masse de Si consommée au 
cours de la réaction.

Q35. Montrer que
=

W
,
W0

avec  un facteur numérique à identifier.
La figure 11 présente les résultats obtenus pour une gamme de température 
comprise entre 1300 et 1500  C.

Figure 11 ­ a) Taux de nitruration pour différentes températures du réacteur. 
b) Même courbe étudiée entre 0 et 30
minutes.

9 / 12

Q36. Expliquer pourquoi la nitruration du silicium cesse d'être favorisée 
au-delà d'une certaine température en citant
deux phénomènes pouvant en être responsables.
On s'intéresse à la formation de Si3 N4 au début de l'expérience. La figure 
11-b) présente l'évolution du taux de
nitruration jusqu'à t = 30 min.
Q37. On suppose que la réaction de formation de Si3 N4 aux temps courts (t  30 
minutes) suit une loi d'ordre 0.
Identifier l'expression de (t) en fonction notamment de la constante de vitesse 
k (en considérant la vitesse
molaire de réaction).
Q38. Rappeler la loi d'Arrhénius. Définir clairement les grandeurs qui y 
apparaissent et préciser leurs unités.
Q39. À partir des résultats expérimentaux de la figure 11-b), déterminer 
numériquement les paramètres introduits
dans la loi d'Arrhenius.

II ­ Formation de dioxyde de silicium sur un circuit imprimé
On s'intéresse à la croissance d'une couche de dioxyde de silicium SiO2 sur un 
substrat de silicium Si par exposition à
un oxydant (dioxygène gazeux ou vapeur d'eau) à haute température dans un four. 
On note respectivement Cg , Cs
et Ci la concentration molaire volumique d'oxydant dans le gaz, à la surface du 
dioxyde de silicium et à l'interface
avec le silicium (figure 13). Le modèle de Deal-Grove suppose que le processus 
global de formation de SiO2 peut être
décomposé en trois étapes successives :
­ Étape 1 - Transport de l'oxydant depuis le gaz ambiant jusqu'à la surface de 
SiO2 . Ce transport est modélisé
par un coefficient de transfert hg associé à un flux molaire surfacique
Jg = hg (Cg - Cs ),
­ Étape 2 - Diffusion de l'oxydant à travers la couche d'oxyde SiO2 , de flux 
molaire surfacique :
Jd =

D
(Cs - Ci )
x(t)

où D est le coefficient de diffusion de l'oxydant dans l'oxyde, et x(t) 
l'épaisseur du dioxyde de silicium.
­ Étape 3 - Réaction chimique à l'interface Si/SiO2 , de flux molaire surfacique
Jr = ki Ci
où ki est la constante de vitesse de réaction à l'interface associée à la 
formation de SiO2 .

Figure 12 ­ Évolution de la concentration molaire en oxydant à proximité de la 
couche de silicium.
On se place en régime quasi-stationnaire. Les concentrations molaires Cg , Cs 
et Ci seront toutes supposées constantes.
Initialement, une fine couche de SiO2 d'épaisseur x0 est formée à la surface du 
silicium.
Lors de la formation de SiO2 en utilisant de la vapeur d'eau, un dégagement 
gazeux est observé.
Q40. Écrire la réaction de formation de SiO2 à partir de dioxygène, puis à 
partir de H2 O. Justifier le terme d'oxydant
employé pour ces deux composés.
10 / 12

Q41. Quelle est l'unité de hg ?
On définit Nv comme le nombre de moles d'oxydant consommés par unité de volume 
de SiO2 formé.
Q42. Déterminer Nv pour le dioxygène et pour la vapeur d'eau. Calculer le 
nombre de moles d'oxydant nécessaires à
la formation de 1 cm3 de SiO2 .
Q43. Justifier que le flux molaire surfacique est uniforme dans l'ensemble de 
la structure. Démontrer alors que l'épaisseur x de la couche d'oxyde suit une 
loi de la forme
x2 (t) + A x(t) = B × (t +  ).
Identifier les constantes A, B et  en fonction de Nv , D, hg , ki , Cg et x0 .
Q44. Exprimer x(t). Identifier deux régimes de croissance de la couche de 
dioxyde en considérant le comportement
asymptotique
A2
A2
puis t +  
t+ 
4B
4B
Représenter alors de façon asymptotique l'évolution de x(t).
Q45. Comparer le temps caractéristique de diffusion issu de l'étape 2 au temps 
caractéristique de croissance de la
couche de SiO2 . Sous quelle condition peut-on se placer en régime 
quasi-stationnaire ?

11 / 12

Données et formulaire
Données numériques partie A
Constante de Boltzmann
Charge électrique élémentaire

kB = 1,38 × 10-23 J · K-1
q = 1,60 × 10-19 C

Données numériques partie B
Coefficient de transfert conducto-convectif
Propriétés de l'aluminium :
Capacité thermique massique
Conductivité thermique
Masse volumique

h = 50 W · m-2 · K-1

c = 900 J · kg-1 · K-1
 = 215 W · K-1 · m-1
 = 2, 70 × 103 kg · m-3

Données numériques partie C
Constante d'Avogadro
Masse molaire du silicium
Masse molaire de l'azote
Masse molaire de l'oxygène
Température de fusion du silicium
Température de fusion du nitrure de silicium
Masse volumique du dioxyde de silicium

NA = 6, 02 × 1023 mol-1
MSi = 28,1 g · mol-1
MN = 14,0 g · mol-1
MO = 16,0 g · mol-1
Tfus (Si) = 1414  C
Tfus (Si3 N4 ) = 1900  C
SiO2 = 2,20 kg · m-3

Composition chimique de la poudre de silicium (pourcentage en masse) Si

Fe

Cu

Al

Ti

Zr

V

Mn

O

Cl

C

Ca

P

S

N

68,56

9,52

3,39

1,25

1,05

0,131

0,127

0,114

7,90

4,29

2,60

0,636

0,144

0,054

0,039

Grandeurs thermodynamiques standard à 298 K - On note f H  l'enthalpie molaire 
standard de formation, Sm
l'entropie molaire standard et Cpm la capacité thermique molaire à pression 
constante

Espèce
Si (s)
N2 (g)
Si3 N4 (s)

f H  (kJ·mol-1 )

-828

(J·K-1 ·mol-1 )
Sm
18,8
192
113

Cpm (J·K-1 ·mol-1 )
23,9
29,1
99,5

Formulaire

ex - e-x
ex + e-x
Rapport des fonctions de Bessel modifiées de première espèce I1 (x)/I0 (x) :
tanh(x) =

Fin

12 / 12

P101 - 3 mars 2026 - 20:11:17 c b e a

Fonction tangente hyperbolique