Centrale Physique et Chimie 1 PSI 2026

2026

Physique-chimie 1
PSI
4 heures

Calculatrice autorisée

Transferts, mesures et stockage d'énergie électrique
Le problème comporte 4 parties indépendantes. Le formulaire et les données sont 
regroupés en fin d'énoncé. Un
document réponse est à rendre avec la copie.
Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part 
du candidat. Elles sont repérées par un
soulignement de leur numéro. Il est alors demandé d'expliciter clairement la 
démarche, les choix et de les illustrer, le
cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et tient 
compte du temps nécessaire à la résolution
de ces questions.
La transmission et la conversion d'énergie sont des domaines de recherche 
important, dont les applications sont
nombreuses : recharges de batteries de véhicules électriques, d'électronique 
portable, implants médicaux, etc. Nous
allons ici décrire des moyens de conversion d'énergie électrique entre deux 
systèmes et des moyens de mesure de la
puissance transférée.
On utilise la notation complexe pour les grandeurs sinusoïdales : u(t) = U0 
cos(t + ) a pour image complexe
u(t) = U exp(jt) où j 2 = -1 et U = U0 exp(j) est l'amplitude complexe ; U0 = 
|U | est le module de U et  = arg(U )
son argument.
Le complexe conjugué de U est noté U  : U  = U0 exp(-j). La valeur efficace est 
notée U0,eff telle

que U0 = 2 U0,eff .
On pourra utiliser la propriété suivante : pour x  0, a > 0 et k > -1, la 
fonction
f (x) =

x
x2 + 2kax + a2

est positive et présente un maximum en x = a.

Partie A ­ Transfert filaire
I ­ Adaptation d'impédance
Un générateur électrique de force électromotrice (f.e.m.) constante e0 et de 
résistance interne ri alimente un circuit
récepteur d'impédance d'entrée équivalente à une résistance de valeur re 
(figure 1a).

ri

Zi
re
e0

générateur

ue

ie

Ze

e(t)

récepteur

générateur

(a) Générateur continu

récepteur

(b) Générateur sinusoïdal

Figure 1 ­ Sources - Récepteurs
1 / 14

Q1. Établir l'expression de la puissance Pg fournie par le générateur au 
récepteur en fonction de e0 , ri et re . Pour
quelle valeur de re cette puissance est-elle maximale, ri et e étant fixés ? 
Donner dans ce cas l'expression de la
puissance maximale Pg,max en fonction de e0 et de ri .
On se place
 à présent en régime sinusoïdal forcé de pulsation . La f.e.m. du générateur 
sinusoïdal s'écrit
2 E0,eff cos(t) et son impédance interne est le complexe Z i = Zi exp(ji ). Le 
récepteur présente une
e(t) =
impédance d'entrée complexe Z e = Ze exp(je ) (figure 1b).
Q2. Donner les expressions de la tension complexe ue aux bornes d'entrée du 
récepteur et de l'intensité ie qui le
traverse en fonction de e, Z i et Z e .
Q3. Quelle est l'expression de la puissance moyenne Pa consommée par le 
récepteur en fonction de Ze , e et Ie,eff
puis en fonction de E0,eff , Ze , Zi , e et i ?
Q4. En admettant que i = -e , déterminer, en fonction de Zi , la valeur de Ze 
qui rend la puissance moyenne Pa
maximale. Donner l'expression de cette puissance maximale Pa,max . Pour cette 
valeur Pa,max de Pa , donner la
puissance dissipée Pdiss dans l'impédance interne du générateur. Commenter.
Dans les conditions de la question précédente, on dit qu'il y a « adaptation 
d'impédance ».
Q5. On désire alimenter de manière optimale un haut-parleur modélisé par une 
résistance re = 6  en série avec une
bobine d'inductance e = 0,5 mH, sous une fréquence f = 1 kHz. Quel serait 
l'association de dipôles formant
Z i respectant l'adaptation d'impédance ? On précisera la nature et la valeur 
associées aux dipôles.

II ­ Transfert résonnant
Un récepteur est formé d'une résistance R et d'un condensateur de capacité C 
alimenté par un générateur de f.e.m. e(t)
et d'impédance interne nulle. Le générateur et le récepteur sont reliés 
parl'intermédiaire d'une
 bobine d'inductance
L (figure 2). La f.e.m. est sinusoïdale de pulsation  et d'amplitude E0 = 2 
E0,eff : e(t) = 2 E0,eff cos(t).
L

C

e(t)

générateur

us

R

récepteur

Figure 2 ­ Récepteur RC.
Q6. Y a-t-il adaptation d'impédance entre le générateur et le récepteur du 
montage de la figure 2 ?
Q7. La tension us est la tension aux bornes de la résistance R de la figure 2. 
Établir l'expression de la fonction de
u
transfert H = s . On écrira la fonction de transfert sous la forme :
e
H=

H0

2
1+j
- 2
Q0
0

et on donnera les expressions de H0 , Q et 0 en fonction de R, L et C.
On s'intéresse au transfert de puissance entre la source de tension e(t) et le 
récepteur formé de la résistance R et de
la capacité C.

2 / 14

Q8. Quel dipôle du récepteur consomme de la puissance ? En déduire l'expression 
de la puissance moyenne Pa
consommée par le récepteur en fonction de Us,eff et d'un des paramètres du 
récepteur. Montrer que la dépendance
en fréquence de la puissance consommée est donnée par :
Pa = 

Pa,0
.
2
2

+ 2 2
1- 2
0
Q 0
2

Exprimer Pa,0 en fonction de E0,eff et d'autre(s) paramètre(s).

16

10

15

y

y

15

5

14

0

13
0,5

1

1,5

2

0,92

0,94

0,96

x

0,98
x

1

1,02

1,04

Pa
et y =
. Le
0
Pa,0
graphe de droite est un agrandissement du graphe de gauche au voisinage de 
l'abscisse x = 1.

Figure 3 ­ Puissance consommée en fonction de la pulsation, en coordonnées 
réduites x =

Q9. On a représenté figure 3, en coordonnées réduites, la puissance moyenne 
consommée par le récepteur. Pour quelle

valeur de Q est-elle tracée ? Évaluer l'écart relatif
entre la pulsation du maximum de puissance moyenne et
0
0 . Comment cet écart dépend-il de Q ? Justifier.
Q10. On se place dans les conditions de la figure 3. Quelle inductance L 
faut-il utiliser pour que le transfert de
puissance soit maximal à la fréquence f0 = 200 kHz si C = 20 pF ? Avec ces 
valeurs, on veut transférer une
puissance Pa,max = 1 kW pour E0,eff = 100 V. Quelle valeur de la résistance R 
doit-on utiliser ? Quel écart de
fréquence est acceptable si la puissance ne s'écarte pas de plus de 10% de la 
valeur maximale ? Commenter,
sachant que la capacité C est susceptible de grandes variations. Quelle 
solution proposeriez-vous ?

Partie B ­ Transfert d'énergie sans contact
I ­ Couplage capacitif
On désire recharger une batterie d'un véhicule électrique sans contact direct, 
c'est-à-dire sans fil entre le générateur et
le récepteur formé du circuit de la batterie (figure 4a). Le générateur est 
fixé dans la chaussée tandis que le récepteur est
lié au véhicule. Pour coupler les deux circuits, chacun est lié à un conducteur 
formant une armature d'un condensateur.
Soient Cm1 et Cm2 les capacités de ces condensateurs, dits de couplage. Ils 
sont formés d'armatures carrées parallèles
de cotés . On note d la distance entre les armatures (figure 4b). Le milieu 
inter-armatures est de l'air.
Sur la figure 5 sont représentées, en coupe, des équipotentielles d'un 
condensateur plan dont les armatures sont placées
respectivement à V0 = 100 V et -V0 = -100 V. Ces équipotentielles sont 
calculées par résolution numérique de
l'équation de Laplace.
 aux points A, B et
Q11. Représenter, sur le document réponse qui reproduit la figure 5, le champ 
électrique E
C. Tracer et orienter les lignes de champ passant par ces points. Évaluer 
numériquement la norme du champ
électrique en A et en C.

3 / 14

 et de
Q12. Rappeler l'expression de la densité volumique d'énergie électrique uE en 
fonction du champ électrique E
la permittivité du vide 0 . En admettant que le champ électrique est uniforme 
et localisé uniquement entre
les armatures, déduire de l'expression de l'énergie emmagasinée UE dans un 
condensateur l'expression de sa
capacité C0 en fonction de d,  et de 0 . Calculer C0 .

Circuit de
la batterie
·

Cm,1

d

·

Cm,2

sol
Générateur

(b) Armatures de la capacité de
couplage Cm1 (ou Cm2 )

(a) Circuits couplés

Figure 4 ­ Couplage capacitif sans contact

20

-80 V

y (cm)

10

-90 V

·A

·B

0

+ 90 V

-10

+ 80 V

·C

-20
-30

-20

-10

0
x (cm)

10

20

30

Figure 5 ­ Topographie des équipotentielles entre les armatures d'un 
condensateur plan pour d = 11 cm et
 = 48 cm. En trait plein les équipotentielles positives, en pointillés les 
équipotentielles négatives. Deux
équipotentielles voisines sont séparées de 10 V.
Q13. Quand les effets de bord ne sont pas négligeables, la capacité Créel du 
condensateur s'écarte de C0 . En se fondant
par exemple sur la figure 5, justifier sommairement que Créel > C0 .
On peut décrire Créel par la loi suivante :
Créel = C0

  !
d
.
1+

Le graphe de la figure 6 est tracé pour dix mesures de d et Créel . On pose x = 
ln
donc de deux listes de dix valeurs [x0 , x1 , ..., x9 ] et [y0 , y1 , ..., y9 ].

4 / 14

d
Créel - C0
et y = ln
. On dispose

C0

1

y

0

-1

-2
-3

Figure 6 ­ y = ln

-2,5

-2

-1,5
x

-1

-0,5

0

Créel - C0
d
en fonction de x = ln . On a représenté la droite de régression d'équation
C0

y = 0,927 x + 0,819.

Q14. À l'aide de ce graphe, évaluer les constantes  et . Calculer Créel pour le 
condensateur de la figure 5.
Les incertitudes-types des valeurs yi , i  {0, ..., 9} sont toutes de valeur uy 
= 0,05. Les incertitudes-types des valeurs
xi sont négligeables. On veut en déduire les incertitudes-types des paramètres  
et  par la méthode de Monte-Carlo
pour N = 10000 tirages. Le code Python partiel est donné ci-dessous.
1

import numpy as np

2

# # Mesures
x = np . array ([ -2.3 , -1.61 , -1.2 , -0.92 , -0.69 , -0.51 , -0.36 , -0.22 , 
-0.11 , 0.0])
5 y = np . array ([ -1.2 ,
-0.61 , -0.23 , 0.02 , 0.2 , 0.34 , 0.48 , 0.59 , 0.73 , 0.77])
3
4

6
7
8

# # Incertitude - type
u_y =0.05

9

10

11

# # Nombre de tirages aleatoires
N =10000

12

13

14

# # Initialisation des listes des pentes et ordonn é es à l ' origine
a , b =[] ,[]

15

# # Tirages al é atoires
for i in range ( N ) :
18
Y_i =[]
19
for j in range (...) :
20
Y_i . append (...)
21
a_i , b_i =...
22
a . append ( a_i )
23
b . append ( b_i )

16

17

24

# # Moyennes et é cart - types des r é gressions lin é aires
a_m , u_a = np . average ( a ) , np . std (a , ddof =1)
27 b_m , u_b = np . average ( b ) , np . std (b , ddof =1)

25

26

28

# # kappa et u_kappa
kappa = np . exp ( b_m )
31 u_kappa = kappa * u_b

29

30

32

# # Affichage
print ( ' kappa = ' , kappa , ' u_kappa = ' , u_kappa )
35 print ( ' beta = ' ,a_m , ' u_beta = ' , u_a )

33

34

5 / 14

Q15. Compléter les lignes 19 à 21 en utilisant les informations figurant dans 
les données, en fin de sujet. Justifier les
lignes 30 et 31 donnant la moyenne et l'écart-type du paramètre .

II ­ Couplage magnétique
Le transfert d'énergie peut être réalisé par couplage magnétique, c'est-à-dire 
par inductance mutuelle. De nombreux
dispositifs de rechargement sans fil utilisent cette technologie, que ce soit 
pour recharger des batteries d'objets mobiles
ou plus particulièrement quand il faut éviter tout contact électrique, en 
milieu humide notamment, dans le cas de
brosses à dents électriques par exemple.
Le générateur et la batterie à recharger sont couplées par deux bobines, la 
bobine primaire du coté du générateur et la
bobine secondaire du coté de la batterie. On note respectivement L1 et L2 les 
inductances propres des bobines primaire
et secondaire et M l'inductance mutuelle entre ces bobines (figure 7). On 
suppose que le coefficient de couplage est
M
. On prendra L1 = 50 µH, L2 = 30 µH
positif avec les orientations choisies. Le coefficient de couplage est  = 
L1 L2
et  = 0,7, sous une fréquence f = 120 kHz. Le générateur délivre la tension 
efficace Ue,eff = 9 V.
C1

C2

générateur

ie
ue

is

M
L1

L2

us

Circuit de
la batterie

Figure 7 ­ Couplage magnétique.
Q16. Établir deux relations entre les grandeurs ue , us , ie , is , L1 , L2 , 
C1 , C2 , M et , traduisant le couplage magnétique
entre les deux circuits. Les capacités C1 et C2 sont choisies de telle sorte 
que L1 C1  2 = L2 C2  2 = 1 (cas idéal).
En déduire une simplification des relations précédentes. Quel est le rôle des 
condensateurs ? Calculer C1 .
On considère que le circuit de la batterie est équivalent à une résistance R = 
10 .
Q17. Représenter, dans un diagramme de Fresnel où l'intensité ie forme la 
référence des phases, les quatre grandeurs
ie , ue , us et is dans le cas des relations simplifiées de la question 
précédente. Quelle est la puissance P transférée
à la batterie ?
Q18. On a pris C1 = 40 nF. Comment est modifié le diagramme de Fresnel 
précédent ? Si Ue, eff est fixée à la même
valeur que dans le cas idéal, évaluer la variation de puissance transférée.

Partie C ­ Mesures de puissances
La mesure de puissances électriques nécessite d'effectuer une opération non 
linéaire sur l'intensité i et la tension u, le
produit u×i de ces deux grandeurs. Nous allons étudier différentes méthodes 
utilisées pour réaliser cette multiplication.

I ­ Multiplicateur à effet Hall
Une plaquette constituée d'un semi-conducteur, l'arséniure d'indium InAs, a la 
forme d'un parallélépipède de dimensions a × b × c. L'arséniure d'indium est un 
conducteur électrique mais n'a pas de propriétés magnétiques particulières,
sa splitéabilité magnétique relative est µr (InAs) = 1. On donne a = 5 mm, b = 3 
mm et c = 0,5 mm.
 0 uniforme et constant orienté selon l'axe Oz (figure 8). On
La plaquette est placée dans un champ magnétique B
applique entre deux de ses faces une tension u créant une intensité I qui 
traverse la plaquette. On néglige le champ
magnétique créé par le courant circulant dans la plaquette. Le semi-conducteur 
possède des porteurs de charge libres,
 le
de deux variétés différentes, indicées par i = {1, 2}, de masse mi , de charge 
qi et de densité volumique ni . Soit E
champ électrique régnant dans la plaquette. Lorsqu'il se déplace, un porteur de 
charge subit, en plus de la force de
Lorentz, une force moyenne fi = -ivi exercée par les charges environnantes, où 
vi est la vitesse du porteur de charge
libre et i une constante.

6 / 14

D
·
UH
0
B

C
·

ez
ey

a
·

·
·

ex

b
·
c

u
I
Figure 8 ­ Plaquette de semi-conducteur
Q19. Exprimer la force de Lorentz fL,i subie par un porteur de charge libre de 
variété i. En admettant un régime de
déplacement stationnaire, exprimer la vitesse vi,s du porteur de charge sous la 
forme

 + vi,s  B0
vi,s = µi E
où µi est la mobilité du porteur. Donner la mobilité µi en fonction de qi et i .
Dans l'arséniure d'indium, les porteurs de charge principaux sont les électrons 
libres, de charge -e, de mobilité µe , de
densité volumique ne . On négligera par la suite toutes les autres variétés de 
porteurs de charge.
Q20. Montrer que l'on peut écrire

 + KH j  B
0
j =  E

et exprimer  et KH en fonction des paramètres relatifs à l'arséniure d'indium, 
parmi e, µe et ne .
 = Exex + Ey ey et j = jxex . Soit I l'intensité électrique traversant la 
plaquette selon l'axe x. La densité de
On pose E

courant j = jxex est supposée uniforme et constante dans la plaquette.
Q21. Pour l'arséniure d'indium, |KH | = 9,98 × 10-5 m3 C-1 . En déduire la 
densité de porteurs ne et la conductivité .
Comparer cette valeur à celle d'un métal usuel. Pourquoi utilise-t-on un 
semi-conducteur plutôt qu'un métal ?
Q22. Montrer que Ey = KH B0 jx . En déduire l'expression de la différence de 
potentiel UH = V (D) - V (C), dite
tension de Hall, en fonction de KH , B0 et I et de paramètres géométriques. En 
déduire la relation
UH = AH B0 u
et exprimer la constante AH en fonction de KH ,  et de constantes géométriques.
La plaquette est insérée dans l'entrefer d'épaisseur e = 2 mm d'un tore 
ferromagnétique doux, de splitéabilité
magnétique relative µr = 105 , de périmètre moyen l = 50 mm, de section 
rectangulaire h × h , telle que l  e ,
l  h et l  h . Le tore enlace un fil conducteur rectiligne parcouru par un 
courant d'intensité i (figure 9). Le champ
magnétique traversant l'entrefer et dans lequel est plongée la plaquette est 
considéré uniforme.

7 / 14

i

l
h

D
·
C
·

h

e

u

Figure 9 ­ Mesure de u × i. L'entrefer a été agrandi pour des raisons de clarté.
Q23. Montrer que la mesure de la tension UH = VD - VC permet d'obtenir une 
valeur proportionnelle au produit
u × i. Évaluer la constante de proportionnalité notée . On peut aussi accéder 
expérimentalement à cette valeur.
Décrire un protocole expérimental qui permettrait de mesurer .

II ­ Le cristal
L'arséniure d'indium cristallise dans une configuration où les ions indium In3+ 
forment un réseau cubique à faces
centrées (cfc) tandis que les ions arséniure As3 ­ occupent la moitié des sites 
tétraédriques de la structure cfc.

ion In3+

·
·
a

centre d'un site tétraédrique

Figure 10 ­ Représentation de la maille de l'arséniure d'indium.
Par souci de clarté, seuls les ions In3+ visibles sont représentés.
Q24. Donner la population de la maille représentée sur la figure 10. Justifier 
l'électro-neutralité du cristal. Quelle est
la coordinence As-In ?
Q25. Déterminer et calculer le paramètre de maille a en fonction des rayons 
ioniques rIn3+ et rAs3- . En déduire
l'expression de la masse volumique InAs et la calculer.

III ­ Multiplicateur numérique à modulation d'amplitude
Il s'agit ici d'étudier un montage dont le schéma est donné figure 11, destiné 
à calculer le produit d'une tension u(t)
et d'une intensité i(t).
Le signal u(t) est échantillonné selon une période d'échantillonnage Te , ce 
qui renvoie la suite de valeurs :
{un = u(nTe )}, n  N
On note uech (t) le signal échantillonné, c'est-à-dire le signal tel que
n  N, t  [nTe , (n + 1)Te ], uech (t) = un .
8 / 14

Q26. On considère que le spectre du signal u(t) est contenu dans l'intervalle 
de fréquence [0, F ]. Rappeler la condition
dite de Nyquist-Shannon permettant un échantillonnage satisfaisant de ce signal.
Un oscillateur OSC crée une tension périodique sr (t) en rampe, de période Te , 
variant entre les tensions -U0 et +U0
(figure 12a) telle que t, |u(t)| < U0 . Cet oscillateur synchronise les deux échantillonneurs ECHT en imposant les intervalles d'échantillonnage [nTe , (n + 1)Te ]. Le signal sr (t) est comparé au signal u(t) grâce à un comparateur simple dont le signal de sortie est noté S(t) (figure 12b). Les ALI du montage sont idéaux. Les tensions de saturation sont notées ±Vsat . + ECHT u uech S - sr R OSC i - ECHT + MOD INT vi,ech vi vi,mod vm Figure 11 ­ Montage multiplicateur numérique. (ECHT désigne un échantillonneur, MOD le modulateur, INT l'intégrateur et OSC l'oscillateur.) L'oscillateur synchronise les deux échantillonneurs mais les contacts entre ces circuits ne sont pas représentés. sr S U0 +Vsat 0 Te 0 Te 2Te 1 Te t 0 Te -U0 2Te t -Vsat (a) Signal sr (t) en rampe (b) Signal S(t) Figure 12 ­ Signaux Q27. On a représenté figure 12b le signal S(t) sur les deux premiers intervalles de temps n = 0 et n = 1. Pour chaque intervalle de temps [nTe , (n + 1)Te ], la durée pour laquelle S(t) > 0 est 
notée n Te où n est le rapport cyclique.
Exprimer n en fonction de un et U0 .
L'intensité i(t) est appliquée à la seconde entrée du montage de la figure 11.
Q28. Exprimer la tension vi (t) en fonction de i(t) et R. Quel est l'intérêt de 
ce montage ?
La tension vi (t) est elle aussi échantillonnée selon les mêmes paramètres que 
la tension u(t) ; on obtient en sortie de
l'échantillonneur la tension vi,ech (t) telle que :
n  N, t  [nTe , (n + 1)Te ], vi,ech (t) = vi,n = vi (nTe ).
Le modulateur, schématisé figure 13, reçoit en entrée vi,ech . L'interrupteur 
K, idéal, est commandé à l'ouverture et à
la fermeture par le signal S :

K

fermé si S(t) > 0,
ouvert si S(t) < 0. 9 / 14 R - R + vi,ech vi,mod K R Figure 13 ­ Modulateur Q29. Le signal de sortie du modulateur est noté vi,mod . Exprimer vi,mod en fonction de vi,ech selon la valeur du signal de commande S. La tension vi,mod (t) est ensuite intégrée sur un intervalle de longueur Te . Q30. Proposer le schéma d'un montage actif intégrant un signal d'entrée ve (t) par rapport au temps. Donner l'expression de la tension de sortie en fonction de la tension d'entrée. Soit vi,mod (t) le signal d'entrée de l'intégrateur. Celui-ci fournit en sortie la tension 1 vm (t) = - Z t vi,mod (u) du, pour t ]nTe , (n + 1)Te ]. nTe est une constante caractéristique de l'intégrateur, homogène à un temps. Q31. Exprimer vm,n = vm ((n+1)Te ) en fonction de un , in = i(nTe ) et des différentes constantes du montage. Montrer que l'on a bien obtenu le résultat voulu à une constante multiplicative près. Le signal périodique nécessaire au fonctionnement du circuit est généré par un oscillateur. On étudie ici un oscillateur dit « à réseau déphaseur », à trois cellules RC (figure 14). K R - ve C R C R C R v + vs Figure 14 ­ Oscillateur à réseau déphaseur La fonction de transfert des trois cellules RC est donnée par : H= v = ve 1 . 5 1 1 1- + 6- (RC)2 jRC (RC)2 Q32. Préciser la nature de ce filtre. vs de l'amplificateur. Quand l'interrupteur K  est fermé, montrer que la tension vs peut v être sinusoïdale si G et H vérifient une condition que l'on précisera. En déduire l'expression de la pulsation osc du signal vs ainsi que la valeur numérique de G. Q33. Exprimer le gain G = 10 / 14 On pose vs = Aosc cos(osc t + osc ). Dans le circuit présenté figure 14, aucun paramètre ne permet de contrôler l'amplitude Aosc . Pour pallier ce problème, la résistance R est remplacée par une résistance Rcom commandée en tension selon l'une des deux expressions suivantes : 1) Rcom = R0 + r Aosc 1+ V0 2) Rcom = R0 - r , Aosc 1+ V0 où R0 , r et V0 sont des constantes positives caractéristiques de la résistance commandée. Q34. Quelle est l'expression de Rcom qui permet de stabiliser les oscillations, et pourquoi ? En particulier, quelle valeur faut-il donner à r pour obtenir Aosc = 7 V ? On prendra R = 5 k, R0 = 125 k et V0 = 5 V. Partie D ­ Accumulateur lithium-air L'énergie électrique nécessaire au fonctionnement d'un dispositif embarqué ou un véhicule doit pouvoir être stockée en grande quantité et de manière réversible. Le stockage électrochimique est une technologie ancienne mais il continue à profiter de recherches importantes. Récemment, une technologie dite lithium-air a montré des avantages indéniables pour la fabrication de batteries de véhicules électriques en particulier parce qu'une des espèces électrochimiques, le dioxygène O2 , est apporté gratuitement par l'air. I ­ Stabilité du lithium On s'intéresse aux réactions entre l'eau et le lithium métallique, selon le pH. Q35. Écrire les deux demi-équations rédox relatives au couples Li+ / Li et H+ / H2 . En déduire la réaction bilan d'oxydation du lithium métallique par les ions H+ . L'équation sera ajustée avec deux atomes de lithium. Exprimer l'enthalpie libre standard de réaction r Go de la réaction précédente en fonction des potentiels standards des deux couples. Q36. En déduire l'expression et la valeur à 298 K de la constante d'équilibre K o . S'il n'y a pas de blocage cinétique de cette réaction, quelles pourraient en être les conséquences ? On étudie la possibilité de la réaction précédente en fonction du pH. On suppose que la seule forme oxydée du lithium, à tout pH, est l'ion Li+ . Q37. Pourquoi peut-on s'attendre à ce qu'une augmentation du pH défavorise thermodynamiquement l'équation bilan de la question Q35 ? Q38. Exprimer les potentiels des couples mis en jeu à la question Q35 en fonction du pH, pour p(H2 ) = 1 bar. On notera E1 le potentiel du couple du lithium et E2 celui du couple de l'eau. En déduire l'expression de l'enthalpie libre r G de la réaction bilan en fonction de r Go et du pH. Calculer r G pour pH = 14 et -1 [Li+ à T = 298 K. La réaction est-elle évitée en milieu basique ? (aq) ] = 1,0 mol · L II ­ Fonctionnement de l'accumulateur On peut utiliser un électrolyte aqueux à condition de protéger le lithium métallique par un revêtement splitéable aux ions Li+ mais étanche à l'eau et à ses ions (figure 15a). Dans cet accumulateur lithium-air, les couples rédox mis en jeu sont les couples Li+ (aq) / Li et O2 / H2 O. Le dioxygène est sous forme dissoute dans l'électrolyte basique. Q39. Écrire l'équation de demi-réaction ayant lieu sur l'électrode de nickel, en milieu basique. Exprimer et calculer le potentiel EO2 de cette électrode pour une pression de dioxygène gazeux p(O2 ) = 0,2 bar et à pH = 14. Exprimer -1 et calculer le potentiel ELi de l'électrode eau lithium pour une concentration [Li+ . En déduire (aq) ] = 0,1 mol · L la fem e de l'accumulateur dans ces conditions. 11 / 14 K circuit extérieur 2 · · 1· R O2 Li+ (aq) Li Li+ (aq) revêtement splitéable aux ions Li+ HO ­ H2 O électrolyte O2 air Li électrode de nickel HO ­ H2 O Li+ (aq) électrode de lithium O2 air électrode de carbone poreux (b) Schéma simplifié de l'accumulateur (le revêtement protecteur du lithium n'est pas représenté) (a) Schéma de l'accumulateur à double électrode à O2 Figure 15 ­ Schémas de l'accumulateur Li-air Q40. Le schéma simplifié (figure 15b) de l'accumulateur est reproduit sur le document réponse. Compléter le document réponse en indiquant, lorsque l'accumulateur est en décharge : -- les polarités des électrodes (±) ; -- le sens de déplacement des électrons ; -- le sens du courant dans le circuit ; -- la nature des électrodes (anode, cathode) ; -- les réactions ayant lieu sur chacune d'entre elles ; -- le déplacement des ions dans l'électrolyte. La présence d'ions Li+ dans la solution basique permet la formation d'un précipité d'hydroxyde de lithium (ou lithine) LiOH. Q41. Préciser en quel endroit de l'accumulateur (schéma de la figure 15a) le précipité va se former et dans quelle condition (charge ou décharge de l'accumulateur). Quel problème cela peut-il poser ? On suppose par la suite que le problème précédent est résolu et que le précipité éventuellement formé se dépose au fond de l'accumulateur. Le précipité apparaît quand la concentration en ions Li+ atteint la valeur cmax = 5,25 mol · L-1 . Q42. Une batterie formé d'une association série de cellules élémentaires Li-air, identiques à l'accumulateur étudié précédemment, équipe un véhicule électrique. À partir des données du tableau 1, estimer la masse maximale de lithine LiOH qui peut se déposer dans la batterie. Consommation pour 100 km Tension aux bornes de la batterie F.e.m. d'une cellule élémentaire Li-air Densité volumique maximale d'énergie stockée Autonomie maximale du véhicule 15 kW · h 400 V 3V Wmax = 2,2 kW · h · L-1 600 km Tableau 1 ­ Caractéristiques d'un véhicule électrique et de sa batterie Le fonctionnement cyclique de l'accumulateur nécessite une double électrode à O2 , l'une en carbone poreux à travers laquelle diffuse le dioxygène et l'autre en nickel, qui permet une réaction plus rapide. La commutation entre les deux électrodes est réalisée par l'interrupteur K (figure 15a). Q43. Est-ce à la charge ou à la décharge de l'accumulateur que l'on a besoin d'une réaction rapide ? Justifier l'intérêt de l'une ou de l'autre électrode selon le fonctionnement de l'accumulateur en charge ou en décharge. Q44. Proposer, sur un schéma simple, une réalisation de l'interrupteur K, de telle sorte que la commutation entre les deux électrodes soit spontanée. 12 / 14 Données et formulaire Données numériques partie B Permittivité du vide Perméabilité du vide Kilowattheure 0 = 8,85 × 10-12 F · m-1 . µ0 = 1,26 × 10-6 H · m-1 1 kW · h = 3,6 × 106 J. Données numériques partie C Charge élémentaire Mobilité de l'électron dans AsIn Rayons ioniques Masse molaires Nombre d'Avogadro e = 1,602 × 10-19 C µe = -3,3 U.S.I. rIn3+ = 80 pm rAs3- = 160 pm. MIn = 114,8 g · mol-1 MAs = 74,9 g · mol-1 NA = 6,02 × 1023 mol-1 Données numériques partie D Potentiels standard Produit ionique de l'eau à 298 K Constante de Nernst à 298 K Constante de Faraday Constante des gaz parfaits Masse molaire du lithium Masse molaire de l'oxygène Masse molaire de l'hydrogène E o (H+ / H2 ) = 0 V E o (O2 / H2 O) = 1,23 V E o (Li+ (aq) / Li) = -3,045 V Ke = [H+ ][HO- ] = 10-14 RT ln 10 = 0,059 V F F = 9,6485 × 104 C · mol-1 . R = 8,314 J · K-1 · mol-1 MLi = 6,9 g · mol-1 . MO = 16 g · mol-1 . MH = 1 g · mol-1 . Spécifications Python np.polyfit(x,y,1) : renvoie le couple (a, b) (flottants) où a est la pente et b l'ordonnée à l'origine de la droite de régression des points dont les abscisses sont données dans la liste x et les ordonnées dans la liste y. np.average(L) : renvoie la moyenne (flottante) des valeurs de la liste (ou du tableau) L. np.std(L) : renvoie l'écart-type (flottant) des valeurs de la liste (ou du tableau) L. Fin 13 / 14 P104 - 26 février 2026 - 10:07:08 c b e a np.random.uniform(a,b) : renvoie une valeur aléatoire (flottante) comprise dans l'intervalle [a, b] selon une loi de probabilité uniforme. Numéro de place Numéro dinscription Signature Nom Prénom Épreuve : Physique-chimie 1 PSI Ne rien porter sur cette feuille avant d'avoir complètement rempli l'entête Feuille Document réponse Les candidats doivent rendre ce document réponse avec leur copie, même s'ils ne l'ont pas utilisé / dans la partie barrée Ne rien écrire P104-DR - 23 mars 2026 - 10 :26 Q11. Q40. R 20 électrolyte Li Li+ (aq) -80 V HO ­ H2 O O2 air 10 y (cm) -90 V ·A ·B 0 électrode de lithium électrode de carbone poreux Figure 15 ­ Schéma simplifié de l'accumulateur (le revêtement protecteur du lithium n'est pas représenté) + 90 V -10 ·C + 80 V -20 -30 -20 -10 0 x (cm) 10 20 30 Figure 5 ­ Topographie des équipotentielles entre les armatures d'un condensateur plan pour d = 11 cm et = 48 cm. En trait plein les équipotentielles positives, en pointillés les équipotentielles négatives. Deux équipotentielles voisines sont séparées de 10 V. dans la partie barrée Ne rien écrire P104-DR - 23 mars 2026 - 10 :26 Q11. Q40. R 20 électrolyte Li Li+ (aq) -80 V HO ­ H2 O O2 air 10 y (cm) -90 V ·A ·B 0 électrode de lithium électrode de carbone poreux Figure 15 ­ Schéma simplifié de l'accumulateur (le revêtement protecteur du lithium n'est pas représenté) + 90 V -10 ·C + 80 V -20 -30 -20 -10 0 x (cm) 10 20 30 Figure 5 ­ Topographie des équipotentielles entre les armatures d'un condensateur plan pour d = 11 cm et = 48 cm. En trait plein les équipotentielles positives, en pointillés les équipotentielles négatives. Deux équipotentielles voisines sont séparées de 10 V.