Centrale Physique PSI 2002

Thme de l'preuve Dynamique des fluides
Principaux outils utiliss analyse dimensionnelle, frottements, systmes ouverts, ondes de choc, bilans
Mots clefs bilan eulrien, nombre de Mach, nombre de Froude, viscosit cinmatique, coulement supersonique, turboracteur

Corrig

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nonc obtenu par reconnaissance optique des caractres


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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres


 Centrale Physique PSI -- Corrig Ce corrig est propos par Christophe Lepage (doctorant en mcanique des fluides) ; il a t relu par Marc Legendre (ESPCI) et Stphane Ravier (ENS Lyon). Le sujet est compos de trois parties indpendantes, traitant toutes de mcanique des fluides. La troisime ncessite de plus quelques notions de thermodynamique des systmes ouverts.  La premire partie tudie les grandeurs sans dimension dfinies dans un coulement quelconque. Elle explicite ensuite leur utilisation dans la thorie des similitudes, c'est--dire la possibilit de transposer les rsultats obtenus sur des modles rduits  la ralit. Cette partie comporte beaucoup de questions de cours.  La deuxime s'intresse au fonctionnement global d'un turboracteur et  la rsultante des forces sur celui-ci.  Enfin, les ondes de choc sont tudies dans la troisime partie.  partir des principaux bilans de mcanique et de thermodynamique, on tablit un rsultat connu concernant la formation des ondes de choc. Cette partie est la plus difficile et la plus calculatoire du sujet. Indications Partie I I.4.a Dcomposer la dimension des grandeurs dans le systme international. - I.B.1.b tablir une relation entre V et - r , puis introduire les variables rduites dans cette expression et identifier tr . I.B.4.e Remplacer p par p0 pr dans l'quation de Navier-Stokes et prendre p0 tel que -- le terme gradr pr ait pour coefficient 1. Partie II II.A.1 Quelle est la direction des forces de viscosit ? II.A.2 Faire un bilan en systme ouvert en considrant le systme ferm concident. II.A.3 Appliquer le rsultat tabli dans la question prcdente  la surface S. II.C.3 La force de pousse est la somme de celle rsultant du flux extrieur et de celle du flux intrieur. Chacune peut tre traite avec son dbit massique propre comme  la question prcdente. Partie III III.A Les bilans utiliss sont le bilan de masse et le bilan de quantit de mouvement. Pour ce dernier, on pourra utiliser le rsultat tabli  la question II.A.2. p III.B Pour l'expression finale, utiliser la relation h = . -1 III.C Il faut utiliser les diffrentes relations tablies aux questions III.A et III.B. III.D La relation de base est celle liant ds, dp et dV. Intgrer ensuite sur une transformation  p constante, puis  V constante. III.E Vrifier que s2 - s1 est croissante et qu'elle vaut 0 pour x = 1. Dynamique des fluides I. Caractrisation d'un coulement I.A Ordres de grandeur I.A.1 est la viscosit cinmatique. C'est le coefficient de diffusion de quantit de mouvement. Comme tout coefficient de diffusion, sa dimension est [] = L2 T-1 donc son unit dans le systme international est le m2 .s-1 . Voici quelques ordres de grandeur typiques de la viscosit cinmatique Glycrine 10-3 Air 10-5 Eau 10-6  titre d'information, voici les valeurs exactes de la viscosit cinmatique de quelques fluides : m2 .s-1 Glycrine 6, 8.10-4 Air 1, 5.10-5 Alcool 2, 2.10-6 Eau 1, 0.10-6 Mercure 1, 2.10-7 - Fv est une force volumique de frottement due  la viscosit du fluide. tudions sa dimension : [] = M L-3 [] = L2 T-1 [] = L-2 L T-1 On en dduit [Fv ] = M L-2 T-2 = M L T-2 L-3 M correspond  une masse, LT-2  une acclration et L3  un volume ; par consquent, Fv est homogne  une force volumique. I.A.2 R est appel le nombre de Reynolds de l'coulement. C'est une grandeur sans dimension et donc sans unit. Il caractrise le rapport des forces d'inertie et des forces de viscosit. Si le nombre de Reynolds est faible, l'coulement est laminaire. S'il est lev, l'coulement a tendance  tre turbulent. Ce n'est cependant nullement une rgle universelle : il existe des configurations pour lesquelles l'coulement laminaire peut exister mme  des nombres de Reynolds trs levs. Signalons cependant que, dans une conduite rectiligne  usuelle  (c'est--dire qui n'a pas subi de traitement particulier au niveau des parois notamment), la transition laminaire-turbulent s'observe pour un nombre Reynolds de l'ordre de 2 000. I.A.3 est homogne  l'inverse d'une pression, donc son unit dans le SI est le Pa-1 . Dans le cas des liquides, la compressibilit est trs faible. Ainsi, dans le cas de l'eau, on a = 5.10-10 Pa-1. Dans le cas des gaz, l'expression de la compressibilit isentropique s'crit 1 V S = - V p S Pour une transformation isentropique rversible, on a P V = Cte La drive logarithmique de cette expression s'crit dp dV + =0 p V d'o V p S =- Pour un gaz parfait monoatomique, on a = S = V p 5 , donc 3 3 5p Pour une pression gale  105 Pa, on trouve S = 6.10-6 Pa-1 ce qui est plus de mille fois suprieur  la compressibilit d'un liquide. M est le nombre de Mach. Comme 1/ S est la clrit du son dans le milieu tudi, il est le rapport de la vitesse du fluide par rapport  la vitesse du son dans celui-ci. Il n'a donc pas d'unit car il s'agit d'une grandeur sans dimension, comme le nombre de Reynolds R. I.A.4.a Si f =  U D est un nombre sans dimension, on peut crire l'quation suivante L2 T-1 M L-3 L T-1 (L) M-1 L T2 = 1 On regroupe les termes pour obtenir L2 - 3 + + + M - T- - + 2 = 1