Centrale Physique PSI 2001

Thme de l'preuve tude d'un tlmtre ondes ultrasonores
Principaux outils utiliss ondes sonores, milieux dilectriques, thermodynamique, fonctions de transfert, lectronique

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres


 Centrale Physique PSI 2001 -- Corrig Ce corrig est propos par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) et Yannick Almras (professeur en CPGE) ; il a t relu par Arnaud Gossart (professeur en CPGE) et Matthieu Denoual (ENS Cachan). Ce sujet tudie le fonctionnement d'un tlmtre qui permet de mesurer trs prcisment des distances par mission-rception d'ondes ultrasonores (comme les chauves-souris !). La premire partie rappelle les bases de l'acoustique et calcule la vitesse de l'onde grce  la mesure de sa longueur d'onde. La seconde partie tudie l'effet pizolectrique  l'origine de la production de l'onde ultrasonore. La troisime partie value plus prcisment la rponse vibrationnelle du quartz soumis  une tension (metteur) et, inversement, la rponse en tension du quartz soumis  une vibration (rcepteur). Enfin, la quatrime et dernire partie s'intresse au montage lectronique permettant d'exciter correctement le quartz de l'metteur. Ce sujet, trs complet, permet de revoir les approximations acoustiques, un peu d'lectromagntisme dans la matire, les quations diffrentielles et leurs homologues complexes, le filtrage passe-bande ainsi que l'lectrocintique des amplificateurs oprationnels saturs. Indications Partie I I.D Utiliser la diffrentielle logarithmique de la loi de Laplace. Partie II - - - II.A.1 On rappelle que D 1 = P 1 + 0 E 1 . II.A.2 Penser  utiliser une relation de passage. II.B.1 Mme indication que pour la question II.A.2 mais il n'y a pas de charge surfacique. II.C.4 L'expression diffrentielle est unique pour une fonction d'tat. II.D.2 Utiliser la question II.D.1. Partie III III.A.2 Penser  driver. Partie IV IV.A.1.a tude classique d'un filtre passe-bande. IV.B.1.b Le condensateur est quivalent  un interrupteur ouvert en rgime tabli. IV.B.1.c.i Raisonner par l'absurde. IV.B.2.a L'intensit en entre est nulle en rgime tabli et le condensateur a une tension continue  ses bornes. IV.B.3.b La valeur de T3 dans l'nonc n'est pas bonne,  moins de l'adapter en choisissant l'unit adquate. Partie prliminaire  La longueur L entre le tlmtre et l'obstacle est simplement donne par L= c (t2 - t1 ) 2  On mesure sur l'enregistrement t1 = 2 ms et t2 = 14, 8 ms. Avec la clrit c = 345 m.s-1 , il vient L = 2, 21 m I. Mesure de la clrit d'une onde ultrasonore I.A L'approximation acoustique correspond  l'approximation linaire des quations dcrivant la propagation des ondes sonores. On effectue cette approximation en considrant que l'onde perturbe peu le milieu, c'est--dire en faisant les calculs  l'ordre 1 par rapport aux termes |p| || |v| 1 P0 0 c I.B.1 En ngligeant la pesanteur, l'quation d'Euler s'crit -- - v 1 -- + - v . grad - v = - grad P t En la projetant suivant - ux , on trouve v 1 P (x, t) + v(x, t) v(x, t) = - (x, t) t x (x, t) x soit v v 1 [P0 + p(x, t)] (x, t) + v(x, t) (x, t) = - x 0 + (x, t) x |t {z } | {z } ordre 1 ordre 2 On se place alors dans le cadre de l'approximation acoustique ; on ne garde que les termes d'ordre 1 et on obtient ainsi l'quation d'Euler linarise : v 1 p =- t 0 x Or, l'nonc donne Donc h x i v(x, t) = v0 cos 2 f0 t - c h p x i (x, t) = 2 f0 0 v0 sin 2 f0 t - x c d'o, en intgrant, p(x, t) = -0 c v(x, t) (1) La constante d'intgration est nulle, puisqu' l'quilibre, la tranche d'air est immobile et que la surpression est nulle. I.B.2 L'quation de conservation de la masse s'crit + div - v =0 t h i [0 + (x, t)] + div (0 + (x, t)) v(x, t) - ux = 0 t soit Dans l'approximation acoustique, on ne garde que les termes du premier ordre. On en dduit h i (x, t) + 0 div v(x, t) - ux = 0 t (x, t) v + 0 (x, t) = 0 t x donc  + 0 t d'o -2 f0 c h x i v0 sin 2 f0 t - =0 c On intgre par rapport au temps, ce qui permet de conclure : (x, t) = - 0 v(x, t) c (2) La constante d'intgration est encore une fois nulle, puisqu' l'quilibre, la tranche d'air est immobile et que la masse volumique est 0 . I.B.3 La diffrentielle logarithmique de la masse volumique = m/V de la tranche, de masse constante, donne d dV =- V Par consquent, le coefficient de compressibilit isentropique s'exprime par la relation 1 s = P S La masse volumique varie isentropiquement de  lorsque la pression varie de p. On a donc au premier ordre s = Par consquent, 1  0 p (x, t) = 0 s p(x, t) (3)