CCINP Modélisation et Ingénierie numérique PSI 2026

SESSION 2026

PSI3MO

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI
____________________

MODÉLISATION ET INGÉNIERIE NUMÉRIQUE
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
·

·
·

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction 
de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

________________________________________________________________________________

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux parties indépendantes.

1/14

Modélisation de l'entretien automatisé d'une piscine privée
Présentation générale
Les piscines privées connaissent un essor considérable en France. Cela est en 
partie dû à la
simplification de leur entretien grâce à son automatisation. Une eau de 
baignade de qualité
est une eau saine, sans micro-organismes (algues, bactéries ...) et de pH 
compris entre 7,0
et 7,4 pour le confort des baigneurs. La figure 1 présente une partie du 
système permettant
le traitement automatique de l'eau. Le circuit de base se déroule de la façon 
suivante : une
pompe à vitesse variable assure la circulation de l'eau dans les différents 
équipements du
circuit à un certain débit. L'eau aspirée par la pompe à travers la tuyauterie 
passe dans un
filtre qui permet d'éliminer les impuretés. Un système de régulation composé de 
capteurs
mesure les paramètres physico-chimiques de l'eau (chlore, pH) et régule 
automatiquement
leur valeur. Une pompe à chaleur permet d'assurer le maintien de l'eau à la 
température
souhaitée. L'eau filtrée, traitée et chauffée est refoulée dans le bassin de la 
piscine. Pour
finir, afin d'assurer la sécurité du bassin, un système de volet roulant 
immergé recouvre la
piscine.
Système de régulation des paramètres physico-chimiques de l'eau

pompe
à chaleur

pompe
à vitesse
variable

filtre
volet roulant
piscine

Figure 1 - Principe de l'automatisation de l'entretien d'une piscine (source 
CARRE BLEU)
L'objectif de ce sujet est de modéliser les différents moyens mis en oeuvre 
pour assurer
l'automatisation de l'entretien d'une piscine.
La partie I s'intéresse à la modélisation de la régulation du débit de la pompe 
de circulation.
La partie II propose une modélisation du maintien des paramètres 
physico-chimiques de
l'eau (concentration en chlore actif, pH) à des valeurs de consigne.

2/14

Partie I - Régulation du débit de la pompe de circulation
L'objectif de cette partie est de modéliser la commande de la pompe de 
circulation afin d'obtenir le débit souhaité.
La pompe étudiée permet de générer un débit d'eau en circuit fermé pour des 
piscines dont
le volume d'eau peut varier entre Vmin = 30 m3 et Vmax = 120 m3 . Au cours de 
sa circulation,
l'eau est filtrée, traitée et réchauffée. Ainsi, le cahier des charges impose 
que la puissance
de la pompe assure le passage du volume total de l'eau de la piscine en 8 
heures de fonctionnement journalier. La vitesse de l'eau dans les canalisations 
est de 1,5 m · s-1 pour éviter
des pertes de charges trop importantes dans la tuyauterie.
Q1. Calculer le débit minimal qmin et le débit maximal qmax de la pompe en L · 
s-1 pour respecter l'exigence imposée par le cahier des charges. En déduire le 
diamètre minimal
dmin et maximal dmax de la tuyauterie en mm.
I.1 - Modélisation mécanique du système d'aspiration de la pompe
La figure 2 présente le schéma cinématique d'une partie de la pompe. Le système 
est constitué de quatre éléments principaux : trois pièces mobiles et une pièce 
fixe.
y1

y0

x1

A
O

y2

(1)
x0

(2)

(3)
B

(0)

x2

Figure 2 - Schéma cinématique d'une partie de la pompe
Paramétrage :

- le repère R0 (O,-
x0 ,-
y0 ,-
z0 ) est lié au bâti (0), ce repère sera considéré comme galiléen 

-

-

-
- le repère R1 (O, x1 ,y1 ,z0 ) est lié à la manivelle (1). La liaison entre 
(1) et (0) est considérée

comme une liaison pivot parfaite d'axe (O,-
z0 ) 

-

-

-
- le repère R2 (A, x2 ,y2 ,z2 ) est lié à la bielle (2). La liaison entre (2) 
et (1) est considérée

comme une liaison pivot parfaite d'axe (A,-
z0 ) 
- la liaison entre le piston (3) et la bielle (2) est considérée comme une 
liaison pivot

parfaite d'axe (B,-
z0 ) 
- la liaison entre le piston (3) et le bâti (0) est considérée comme une 
liaison glissière

parfaite de direction -
x0 et sa position est paramétrée par la distance variable x3 , telle
--

-
que OB = x3 x0 

-  1 = (-
x0 , -
x1 ) = (-
y0 , -
y1 ) et 2 = (-
x0 , -
x2 ) = (-
y0 , -
y2 ) 
--
--

-

-
- OA = R x1 et AB = L x2 
- R et L sont des constantes avec R < L - le diamètre du piston est noté d p - l'origine des temps t = 0 est telle que 1 = 0. 3/14 Grâce à un moteur, la manivelle (1) est animée d'un mouvement de rotation de vitesse angulaire m = 1 constante. Q2. Exprimer la relation entrée-sortie entre x3 et 1 sous la forme x3 = f (1 , R, L). Justifier que la relation entrée-sortie donnée ci-dessous est la seule solution possible. x3 = R cos 1 + L2 - (R sin 1 )2 . x3 x3 Q3. Donner l'expression de en fonction de 1 . Tracer l'allure de en fonction de 1 sur L L R 1 x3 [0, 4] pour un ratio = . Préciser les valeurs de pour 1 = 0 et 1 = . L 2 L Q4. Exprimer littéralement la cylindrée C de la pompe (volume balayé par le piston (3) pour un tour de la manivelle (1)) en fonction de R et de d p . Q5. Exprimer la vitesse v3 du piston par rapport au bâti en fonction de 1 , m , R et de L. Le débit instantané q de l'eau refoulée par la pompe est nul pour 1  [0, ] et il se produit pour 1  [, 2]. Q6. En déduire les expressions du débit instantané q de l'eau refoulée pour 1 [0, ] et pour 1  [, 2] en fonction de v3 et de d p . Q7. À partir du résultat obtenu à la question Q6, déterminer l'expression du débit moyen refoulé qmoy par tour de manivelle en m3 · s-1 en fonction de R, d p et de m . Le débit est mesuré pour une pompe où d p = 0,03 m, R = 0,04 m et L = 0,08 m. La vitesse de rotation du moteur est constante et égale à m = 2 500 tours · min-1 . Les résultats obtenus sont donnés sur la figure 3. Figure 3 - Relevés de mesure du débit de la pompe Q8. Définir la fonction Python moyenne(q). Cette fonction prend comme argument la liste des débits relevés q en m3 · s-1 et renvoie le débit moyen qmoy en m3 · s-1 . 4/14 Q9. Le code Python donne un débit moyen qmoy = 2, 4·10-3 m3 ·s-1 . Calculer le débit moyen obtenu par la modélisation à partir de l'expression trouvée à la question Q7. Comparer le résultat obtenu par modélisation et par expérimentation. Conclure quant à la validité du modèle proposé précédemment. I.2 - Modélisation de la régulation sous la forme d'un schéma-bloc Le débit moyen de la pompe est asservi. L'étude porte sur le dimensionnement du correcteur qui permet d'assurer les exigences du cahier des charges données dans la table 1 pour un échelon de position. Exigences Précision Rapidité Stabilité Critères Écart de position Écart de position pour la perturbation Temps de réponse à 5 % Marge de gain Marge de phase Amortissement Niveaux s = 0 pert = 0 tr5% < 1 s MG > 10 dB
MP > 45°
pas de dépassement

Table 1 - Cahier des charges de l'asservissement

Le système de régulation est composé :
- d'un adaptateur de gain Ka 
- d'un capteur de débit de gain Kq avec Kq = 1 V · s · m-3 
- d'un correcteur de fonction de transfert C(p) = 1 dans un premier temps 
- d'un variateur de gain Kv = 10 
Km
- d'un moteur à courant continu de fonction de transfert H(p) =
1 + m p
-1
-1
avec Km = 10 rad · s · V et m =1 s 
- d'une pompe de gain K pom = 9 · 10-6 m3 · rad-1 
- d'un ensemble de conduites pouvant engendrer des pertes de charges et une 
diminution du débit Q pc .

Le schéma-bloc du système asservi est donné sur la figure 4.

Figure 4 - Schéma-bloc de l'asservissement du débit
5/14

Q10. Déterminer l'expression du gain Ka de l'adaptateur pour que l'écart  soit 
nul en régime
permanent.

Q11. Déterminer la relation de transfert Q s (p) = H1 (p) · Qc (p) + H2 (p) · Q 
pc (p). Préciser les
expressions de H1 (p) et de H2 (p) sous forme canonique.

Q12. Le système, non asservi, respecte-t-il les exigences de précision ? 
Justifier.

I.3 - Mise en place d'un correcteur

Dans un second temps, le correcteur choisi est un correcteur de type 
proportionnel intégral
dont la fonction de transfert est :
)
(
1 + Ti · p
.
C(p) = K p ·
Ti · p

Q13. Justifier que la mise en place de ce correcteur permet de respecter 
l'exigence de
précision donnée dans la table 1.

On se place désormais dans le cas où Q pc (p) = 0.

Q14. Régler le paramètre T i du correcteur afin de compenser le pôle dominant 
de la fonction de transfert en boucle ouverte. Donner, dans cette 
configuration, l'expression de
la fonction de transfert en boucle ouverte HBO (p) du système corrigé. Préciser 
l'expression du gain en boucle ouverte notée KBO .

Q15. Rappeler les expressions de marge de gain MG et de marge de phase MP. À 
partir
de l'expression de HBO (p) trouvée précédemment, justifier le respect des 
critères de
marge de gain et de marge de phase donnés dans la table 1.

Q16. Déterminer, sous forme canonique, l'expression de la fonction de transfert 
en boucle
fermée HBF (p) du système corrigé, en prenant en compte la compensation de pôle
dominant. Justifier que cette correction permet de respecter le critère 
d'amortissement
du cahier des charges donné dans la table 1.

Q17. En prenant KBO = 9·10-4 ·K p , calculer la valeur minimale de K p 
permettant de respecter
le critère de rapidité du cahier des charges donné dans la table 1.

6/14

Partie II - Régulation des paramètres physico-chimiques de l'eau

Pour assainir l'eau de la piscine, on utilise du "chlore actif", qui est en 
réalité de l'acide
hypochloreux HClO. L'acide hypochloreux et sa base conjuguée, l'ion 
hypochlorite ClO- , (la
somme des concentrations de ces deux espèces est appelée chlore libre) étant 
dégradés
par les rayonnements UV, un asservissement de leur concentration est 
nécessaire. Dans
un système automatisé, la production d'acide hypochloreux et d'ion hypochlorite 
ClO- est
réalisée par électrolyse des ions chlorure Cl- , introduits sous la forme de 
chlorure de sodium
dans la piscine, en dichlore Cl2 .

Données :

- masse molaire du sodium M(Na) = 23,0 g · mol-1 

- masse molaire du chlore M(Cl) = 35,5 g · mol-1 

- masse molaire de l'oxygène M(O) = 16,0 g · mol-1 

- masse molaire de l'hydrogène M(H) = 1,00 g · mol-1 

- constante de Faraday F = 96,5 · 103 C · mol-1 

- potentiel standard du couple HClO/, Cl- E  = 1,49 V 

- profondeur du bassin L = 1,5 m 

- surface de l'eau S e = 28 m2 

- constante de Planck h = 6,63 · 10-34 J · s 

- constante d'Avogadro NA = 6,02 · 1023 mol-1 .

Q18. La concentration massique en chlorure de sodium NaCl(s) est cm = 5,0 g · 
L-1 . En
déduire la concentration molaire c0 en ion chlorure dans l'eau.

Q19. L'eau de la piscine a un léger goût d'eau de mer. Pourquoi ?

Q20. Après avoir écrit l'équation-bilan associée, déterminer la vitesse de 
production de dichlore lorsque l'électrolyseur fonctionne. On donne la densité 
surfacique de courant
d'électrolyse ainsi que la surface d'une électrode j = 4,0 kA · m-2  S = 20 cm2 
.

Q21. Le diagramme E-pH du chlore est donné figure 5. Associer, en le 
justifiant, les différentes espèces chlorées (dichlore, ion chlorure, acide 
hypochloreux et ion hypochlorite) aux domaines indiqués.

Q22. Donner par lecture graphique le pKa du couple HClO/ClO- .

Q23. Justifier que l'acide hypochloreux et l'ion hypochlorite ne sont pas 
stables dans l'eau.
Les réactions de ces espèces avec l'eau ne seront pas prises en compte. Proposer
une explication.

7/14

iagramme
du chlore
est représenté
ci-après
pour
concentration
tra
Q24.­1Le pHpotentiel-pH
de l'eau de piscine
est maintenu
à 7,2. Le
dichlore
est-ilune
stable
dans l'eau ?de
Jusmol.L tifier
. On pourquoi
s'intéressedeicil'acide
aux degrés
d'oxydation
+I, 0 etet­Idonner
du chlore
à savoir les espèces
ClO
hypochloreux
est formé
l'équation-bilan
associée.
E (V)

1,6

II
1,4

A

I
IV

1,2
III
1

0,8

pH
0

4

8

12

diquer les domaines de prédominance
des différentes
espèces du
Figure 5 - Diagramme
de Pourbaix
du chlore
chlorenumérotés de I à IV.

ue se passe-t-il au-delà du pH du point A ?
Q25. La concentration molaire en élément chlore sous forme HClO doit être 
comprise entre
-1
'eau de
Javel
est-elle· Lstable
d'un
point de
thermodynamique
? l'eau.
Justifier.
Conclusion
sur l'e
10 et
40 µmol
pour
assurer
unevue
bonne
désinfection de
Pour
une concen-1
ci.
tration molaire ct en chlore libre égale à 60 µmol · L , l'eau de la piscine 
est-elle bien
désinfectée ? On donne 10-0,3 = 0,5.
ue se passe-t-il si l'on mélange de l'eau de Javel avec un détergent acide ? 
Conclusion pratique.
Q26. Pour mesurer la concentration molaire en acide hypochloreux, on utilise 
une sonde
redox constituée d'une électrode de platine et d'une électrode au chlorure 
d'argent
saturée comme référence (le potentiel d'une électrode d'argent est Ere f = 
0,199 V à
25 °C). En utilisant la formule de Nernst relative au couple HClO/Cl- , 
exprimer littéralement la différence de potentiel mesurée.

Numériquement, on obtient 633 mV < U < 669 mV. Q27. Quelle est l'influence de la production de dichlore sur le pH de l'eau ? Quelle en est la conséquence ? Page 5/6 Tournez la pag La différence de potentiel entre les deux électrodes du pH-mètre est amplifiée, puis convertie numériquement par un Convertisseur Analogique Numérique (CAN), afin d'être affichée sur le boîtier de contrôle de l'eau. La valeur obtenue permet d'asservir la quantité de correcteur 8/14 à injecter par la pompe péristaltique. La précision souhaitée est de 0,1 valeur de pH. La chaîne de mesure du pH est représentée sur la figure 6. Figure 6 - Chaîne de mesure du pH La tension de sortie du capteur U varie entre 0 et 10 V pour des valeurs de pH pouvant varier de 0 à 14. Le CAN permet d'obtenir en sortie un nombre N codé sur 12 bits. Q28. Préciser la nature des grandeurs physiques en entrée et en sortie du capteur. Justifier l'emploi du CAN. Déterminer le gain Kcap du capteur et le gain KCAN du CAN. Q29. Déterminer la plus petite variation de pH mesurable par la chaîne de mesure. Comparer cette variation avec la précision requise dans le cahier des charges. Conclure sur la pertinence de la chaîne de mesure du pH. La diminution de la concentration en chlore libre est principalement due à la dégradation des espèces chlorées par les UV. On se propose maintenant d'estimer la cinétique de ces réactions activées par l'absorption d'un photon par les espèces chlorées. On supposera un rendement photochimique de 1, c'est-à-dire que chaque photon UV absorbé provoque une réaction chimique. Q30. Rappeler la loi de Beer-Lambert en rappelant l'unité des différentes grandeurs introduites. Q31. La figure 7 donne le coefficient d'extinction molaire de HClO et ClO- en fonction de la longueur d'onde. En se plaçant à 290 nm, pour simplifier, donner les coefficients d'absorption molaire des ions hypochlorite ClO- et de l'acide hypochloreux HClO à cette longueur d'onde. 9/14 Coefficient d'extinction molaire e (en L.mol-1.cm-1) Longueur d'onde (en nm) Figure 7 - Courbe d'extinction molaire des espèces chlorées considérées Q32. On supposera qu'à part l'eau, aucune autre espèce n'absorbe à cette longueur d'onde. Réécrire la loi de Beer-Lambert en y faisant apparaître uniquement la concentration molaire [HClO] comme concentration. La mettre sous la forme A = t [HClO]z où z désigne la profondeur d'eau traversée, on exprimera t en fonction de ClO- , HClO , Ka et de [H+ ] . Numériquement t = 2,3 · 104 L · mol-1 · m-1 . On note I(z) l'intensité lumineuse à la profondeur z dans l'eau. Q33. La figure 8 donne e , le coefficient d'absorption ( ) par mètre d'eau traversé en fonction I(0) . Peut-on négliger l'absorption des UV de la longueur d'onde, tel que e z = log I(z) due à l'eau à 290 nm ? 10/14 Coefficient d'absorption linéique en m-1 Longueur d'onde Figure 8 - Coefficient d'absorption de l'eau en fonction de la longueur d'onde Q34. En déduire l'expression de l'intensité I(z) du rayonnement UV à la profondeur z. On notera I0 = I(0) l'intensité lumineuse à la surface du bassin. Q35. Rappeler la relation de Planck-Einstein. Q36. En interprétant e et t [HClO] comme des probabilités linéiques d'absorption d'un photon, en déduire l'expression de la proportion  de photons absorbés par le chlore libre. Q37. Établir l'expression de la vitesse de disparition (en mol · s-1 ) vd = Kd · (I(0) - I(L)) du chlore libre sous l'effet des rayonnements UV, où Kd est une constante dont on donnera l'expression. L'eau de la piscine de volume V est supposée uniforme (concentration en espèces chimiques, température...). Une pompe assure la circulation de l'eau dans le système de filtration couplé aux divers dispositifs permettant le contrôle des paramètres physico-chimiques de l'eau. On se propose de modéliser la régulation de la concentration molaire c(t) = [HClO](t) en chlore actif dans la bassin afin d'obtenir la durée journalière de fonctionnement de l'électrolyseur. Q38. Exprimer la vitesse de production v p en acide hypochloreux uniquement due à l'apport de l'électrolyseur. Q39. En réalisant un bilan de quantité de matière, déterminer l'équation différentielle vérifiée par c (que vous noterez équation (1)). 11/14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Q40. Un programme Python, dont un extrait est donné figure 10, permet de résoudre l'équation (1) dans le cas d'une intensité variable de rayonnement UV. Justifier l'allure de la courbe de la figure 9 sur une journée. Quel phénomène n'est pas pris en compte ? Figure 9 - Intensité lumineuse dans l'UV au cours d'une journée d'été Q41. Compléter la dernière ligne (ligne 16) du programme python (figure 10) permettant de résoudre l'équation (1) par la méthode d'Euler. On pourra appeler les fonctions electrolyseur(t) (voir figure 12) et phi(t) = I0 (t) l'intensité lumineuse au cours du temps à la surface du bassin. I = 8 F = 96500 c_0 = 3.3 * 10 ** -5 S_eau = 7 * 4 L = 1.5 V = 1 . 5 * S_eau v_p = I / ( 2 * F ) * 3600 a l p h a _ t = 2.3 * 10 ** 4 alpha_e = 0 . 1 c = [ c_0 ] dt = T[1] - T [ 0 ] K_d = S_eau * 300 * 10 ** -9/(6.63 * 10 ** -34 * 3 * 10 ** 8 * 6.02 * 10 ** 23) * 3600 f o r k i n range ( 0 , len ( T ) -1) : c += Figure 10 - Extrait du programme Python 12/14 Q42. Les valeurs prises par le potentiel de l'eau de la piscine (figure 11) au cours du temps sont-elles conformes aux valeurs numériques obtenues à la question Q26 ? Figure 11 - Potentiel d'oxydoréduction de l'eau de la piscine (ordonnée en mV). Comparaison entre les relevés expérimentaux (points) et la solution numérique (en trait plein) Q43. Justifier que, dans le cadre de ce modèle, la concentration en ions chlorure ne varie pas au cours du temps. En réalité, il est recommandé de vérifier leur concentration au moins une fois par saison. Proposer une explication. Q44. Déterminer la durée de fonctionnement de l'électrolyseur sur une journée à l'aide de la figure 12. Figure 12 - Fonctionnement de l'électrolyseur (1 s'il est allumé et 0 s'il est éteint) 13/14 Q45. Déterminer, à l'aide de la figure 13, laaux tension d'électrolyse U. OnCes néglige la sont résistance constituée de membranes cationiques (splitéables cations) très peu conductrices. membranes des ® ) ou perfluorocarboxyliques (Flemion polymères perfluorosulfoniques ( Nafion de la cellule d'électrolyse et on rappelle que j = 4,0 kA · m-2®).et S = 20 cm2 . En déduire la puissance électrique consommée sur une journée en kWh. On obtient les courbes densité de courant-potentiel suivantes : ­ j (kA.m 2 ) ­ OH ­ Cl 5 Na + Na 0 ­1 H2 1 O2 Cl2 E (V) H2 O 8- QuelleFigure est la réaction qui a effectivement lieu dans ce sur procédé une valeur densité de courant 13 - Courbes intensité-potentiel unepour électrode de de tungstène n'excédant pas les limites du tracé des courbes ? 9- A l'aide des courbes densité de courant-potentiel, donner un nom à chacune des cases numérotées de 1 à 8 du schéma principe. Q46. On de recommande de fermer le volet roulant de la piscine en pleine journée lorsque l'on ne s'y baigne pas. Quel en est l'intérêt ? La densité de courant j utilisée dans ce procédé est égale à 4 kA.m­2 . 10- Pourquoi préfère-t-on utiliser la densité de courant plutôt que l'intensité ? Quelle est la valeur de la tension appliquée aux bornes de l'électrolyseur pour ce procédé ? FIN Le dichlore produit sort des cellules à 90 °C. Il est saturé en vapeur d'eau. Il est donc refroidi (condensation de la majeure partie de la vapeur d'eau) puis séché avec de l'acide sulfurique concentré dans des tours à garnissage. Le dichlore est transporté liquéfié, comprimé à 3,5 bar. C­ Procédé à cellules à cathodes de mercure Chaque cellule fait 25 à 30 m2 de surface sur 30 cm de hauteur. Elle contient environ 250 anodes DSA. Leur durée de vie est de 5 à 8 ans. La cathode est constituée d'un lit de mercure (3 à 4 t/cellule) situé sur un plan incliné au fond de la cellule. Les anodes sont disposées parallèlement à la surface du mercure à une distance de l'ordre de 1 cm. La vitesse d'écoulement du mercure est d'environ 1 m/s et la consommation du mercure est de Page 3/6 14/14 Tournez la page S.V.P.