X/ENS Maths PSI 2026

ECOLES NORMALES SUPERIEURES
ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2026

LUNDI 13 AVRIL 2026
08h00 - 12h00
FILIERE PSI - Epreuve n 1

MATHEMATIQUES (XUSR)

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Notations
Dans tout le texte, on adopte les notations suivantes :
-- Pour tout n  N , on note In la matrice identité de Mn (R).

-- Pour tout (n, m)  N × N et toute matrice A  Mn,m (R) on note Ker(A) et Im(A)
les ensembles :
Ker(A) = {X  Mm,1 (R) | AX = 0}
Im(A) = {Y  Mn,1 (R) | X  Mm,1 (R) tel que Y = AX} .
La transposée d'une matrice A est notée t A. Lorsque A = [a]  M1 (R), où a  R, 
on
identifie A au réel a.
-- Pour n  N , on note h., .i le produit scalaire canonique de Mn,1 (R) défini 
par

x1
y1
n
X

X =  ...   Mn,1 (R), Y =  ...   Mn,1 (R), hX, Y i = t XY =
xi yi
xn

i=1

yn

On note k.k la norme euclidienne associée définie par
X  Mn,1 (R), kXk =

p
hX, Xi = t XX

L'espace M1,n (R) des vecteurs lignes à n composantes réelles sera identifié à 
Rn .
On notera également h., .i le produit scalaire canonique de Rn et par k.k la 
norme
euclidienne associée, définis de la même manière que dans Mn,1 (R).
Pour tout x = (x1 , · · · , xn )  Rn on note X (lettre majuscule) le vecteur 
colonne
appartenant à Mn,1 (R) défini par X = t (x1 , · · · , xn ).

Si f est une fonction de Rn dans R de classe C 1 et x  Rn , on note f (x) son 
gradient
en x défini par
f (x) =

f
f
(x), · · · ,
(x)  Rn
x1
xn

Dans toute la suite, n désigne un entier naturel non nul. Pour toute fonction f 
de Rn dans
R de classe C 1 on pose
S(f ) = {x  Rn | f (x) = 0}

On note E l'ensemble de toutes les fonctions f de Rn dans R de la forme
1t
XM X - t BX
(F)
2
où M  Mn (R) est une matrice symétrique et B  Mn,1 (R) un vecteur colonne. On 
dit
dans ce cas que le couple (M, B)  Mn (R) × Mn,1 (R) caractérise la fonction f . 
On pose
x  Rn ,

f (x) =

E0 = {f  E | f minorée }.

Si f  E on définit la fonction T f de Rn clans R par :
x  Rn ,

(T f )(x) =

1
1
kf (x)k2 - kf (0)k2
2
2

L'un des objectifs principaux de cet énoncé et de démontrer dans des cas 
particuliers le
thóorème suivant (Boulmezaoud-Cieutat-Daniilidis) : si f et g sont deux 
fonctions de Rn
dans R de classe C 2 , minorées et convexes (voir Partie I pour la définition) 
telles que

alors f - g est constante.

x  Rn , kf (x)k = kg(x)k,

Partie I : généralités sur les fonctions convexes et les fonctions
minorées
Dans toute la suite, on dit qu'une fonction f : Rn  R est convexe si
x  Rn , y  Rn ,   [0, 1], f ((1 - )x + y)  (1 - )f (x) + f (y)

1. Soit f : Rn  R une fonction convexe de classe C 1 sur Rn ;

(a) Soient x = (x1 , · · · , xn )  Rn et y = (y1 , · · · , yn )  Rn fixés et h 
: R  R
définie par
t  R, h(t) = f (x + t(y - x))

Exprimer h (0) en fonction de x, y et du gradient de f .
(b) En déduire l'inégalité
x  Rn , y  Rn , f (y) - f (x)  hf (x), y - xi.
(c) En déduire que
x  Rn , y  Rn , hf (y) - f (x), y - xi  0.
(d) Soit x0  S(f ). Montrer que f (x0 ) est le minimum global de f sur Rn et que
x  S(f ), f (x) = f (x0 ) .
(e) Montrer que S(f ) est une partie convexe fermée de Rn .
2. On suppose dans cette question que f est minorée et de classe C 1 sur Rn (f 
n'est
plus supposée convexe). Pour tout réel  > 0, on définit la fonction f par
q
x = (x1 , · · · , xn )  Rn , f (x) = f (x) +  x21 + · · · + x2n + 1.
(a) Soit  ]0, + [ . Montrer qu'il existe x  Rn tel que
x  Rn , f (x)  f (x ) .
Indication : on peut considérer l'ensemble {x  Rn | f (x)  f (0)}.
(b) En déduire que pour tout  > 0, il existe x  Rn tel que
kf (x )k  .
(c) En déduire

inf {kf (x)k | x  Rn } = 0.

Partie II : le cas monodimensionnel
3. On considère deux fonctions f1 et f2 de R dans R, de classe C 1 , convexes, 
minorées
et vérifiant la propricté suivante : il existe une constante c  R telle que
x  R, f1 (x)2 - f2 (x)2 = c
(autrement dit, la fonction (f1 )2 - (f2 )2 est constante). On rappelle que 
pour i 
{1, 2} :
S (fi ) = {x  R | fi (x) = 0} .
(a) Montrer que c = 0 et que S (f1 ) = S (f2 ).
(b) Soit i  {1, 2}. Montrer que fi est croissante sur R.
(c) Montrer que S (f1 ) est un intervalle de R.
(d) Montrer que f1 = f2 sur R.
Indication : on peut distinguer les cas S (f1 ) =  et S (f1 ) 6= .
(e) Conclure.

4. On considère maintenant une fonction g de R dans R, de classe C 2 et minorée.
On définit la fonction R : R  R par
x  R, R(x) = g  (x)2 .
On suppose que R est convexe. On voudrait démontrer que g l'est aussi.
(a) Montrer que
S(R) = S(g).
(b) On suppose dans cette question que S(g) = . Montrer que g  est croissante.
(c) On suppose dans cette question que S(g) 6= . Montrer que g  est croissante.
(d) Montrer que g est convexe.
Indication : on peut fixer x, y  R avec x < y et considérer la fonction (t) = g((1 - t)x + ty) - (1 - t)g(x) - tg(y) pour t  [0, 1]. 5. On considère deux fonctions g1 et g2 de R dans R, de classe C 2 minorées et vérifiant les propriétés suivantes : -- la fonction x  R 7 g1 (x)2  R est convexe, -- il existe une constante c1  R telle que x  R, g1 (x)2 - g2 (x)2 = c1 Montrer que g1 - g2 est une fonction constante. Partie III : cas des fonctions quadratiques 6. Soit f  E et (M, B)  Mn (R) × Mn,1 (R) un couple qui la caractérise (on rappelle que M est symétrique). (a) Montrer que t (f (x)) = M X - B. (b) En déduire que T f  E0 . (c) Montrer quc Ker(M ) = Im(M ) et en déduire que Im(M )  Ker(M ) = Mn,1 (R) (d) En déduire que l'application X  Im(M ) 7 M X  Im(M ) est un automorphisme de Im(M ). (e) Montrer que les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes (i) f  E0 . (ii) B  Ker(M ) et X  Mn,1 (R), t XM X  0. (iii) f est convexe et S(f ) 6= . (f) En déduire que si f  E0 alors il existe une constante réelle  > 0 telle que
X  Im(M ), t XM X  kXk2 .
7. Montrer que l'application T : f  E0 7 T f  E0 est surjective.

8. Soient M1 et M2 deux matrices symétriques positives telles que M12 = M22 . 
Montrer
que M1 = M2 .
9. Montrer que l'application T : f  E0 7 T f  E0 est aussi injective.

10. Conclure.

Partie IV : un cas un peu plus général
Dans cette partie on considère deux fonctions f , g de Rn dans R de classe C 1 
vérifiant les
quatre propriétés suivantes
-- f et g sont convexes minorées,
-- La fonction x  Rn 7 kf (x)k2 - kg(x)k2 est constante,
-- f +g  E,
-- S(f ) 6= .

On pose dans la suite
et

h = f + g,  = f - g
inf h = inf {h(x) | x  Rn } .

Ainsi, h  E . On note (M, B)  Mn (R) × Mn,1 (R) le couple matrice-vecteur 
colonne
caractérisant h.
11. Montrer que h  E0 .

12. Montrer que nécessairement
x  Rn ,

kf (x)k = kg(x)k.

13. Montrer que
S(h) = S(f ) = S(g).

14. Soient y1 , · · · , yn des fonctions de classe C 1 de R+ dans R. On note y 
= (y1 , · · · , yn )
l'application de R+ dans Rn définie par
t  R+ , y(t) = (y1 (t), · · · , yn (t))
et on suppose que l'intégrale

Z +
0

2

ky  (t)k dt

converge (où pour tout t  R+ , y (t) = (y1 (t), · · · , yn (t))).

(a) On définit la fonction z de R+ dans Rn par
( 1
(y(t) - y(0))
z(t) =
t
y (0)

si t > 0,
si t = 0.

Montrer que z est continue sur R+ et que pour tout réel A  0 on a
Z A
0

kz(t)k2 dt  2

(b) En déduire que l'intégrale

Z +
0

converge et qu'on a
Z +
0

Z A
0

hz(t), y  (t)i dt.

kz(t)k2 dt

kz(t)k2 dt  4

Z +
0

2

ky  (t)k dt.

(c) Montrer que l'intégrale généralisée
Z +
0

converge et que
Z +
0

ky(t)k2
dt  8
t2 + 1

ky(t)k2
dt
t2 + 1

Z +
0

2

ky  (t)k dt + ky(0)k2 .

15. Dans toute la suite, Y : t  [0, + [7 t (y1 (t), · · · , yn (t))  Mn,1 (R) 
désigne une
solution de classe C 1 du système différentiel
Y  (t) = -M Y (t) + B
On pose y : t  [0, + [7 (y1 (t), · · · , yn (t))  Rn .

(E1)

(a) Soit v  S(h). On définit les fonctions F et D sur [0, +[ par
t  |0, +|, F (t) = h(y(t)) et D(t) = kY (t) - V k2
(on rappelle que V = t v). Montrer que F et D sont décroissantes.
Indication : on peut observer que t h(x) = M X - B (voir question (6a)).
(b) Soient U  Im(M ), Y0  Ker(M ) et Y1  Im(M ) tels que
M U = B et Y (0) = Y0 + Y1 .
On définit la fonction Z : [0, +[ Mn,1 (R) par
t  [0, +[,

Z(t) = Y (t) - U - Y0 .

Justifier l'existence des vecteurs U , Y0 et Y1 puis montrer que pour tout
t  0, Z  (t) = -M Z(t),

et en déduire que pour tout t  0, Z(t)  Im(M ).
(c) Soit  la fonction définie sur [0, +[ par (t) = kZ(t)k2 pour t  0. Montrer
qu'il existe un réel  > 0 tel que
t  0,   (t) + (t)  0.
(d) En déduire que

t  0, (t)  (0)e-t .

(e) En déduire qu'il existe Y  S(h) tel
lim Y (t) = Y .

t+

(f) Montrer que les intégrales
Z +
0

convergent et que
Z +

Z0 +
0

16. Montrer que

2

ky  (t)k dt et

2

Z +
0

ky(t)k2
dt
t2 + 1

ky  (t)k dt

=

h(y(0)) - inf h,

ky(t)k
dt
t2 + 1

8(h(y(0)) - inf h) + ky(0)k2 .

2

x  Rn , h(x), h(x)i = 0.

et en déduire que la fonction t  R+ 7 (y(t)) est constante.

17. Montrer que la fonction  est constante puis conclure.

FIN