Mines Maths 2 PSI 2026

A2026 ­ MATH II PSI

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES,
ISAE-SUPAERO, ENSTA,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS - PSL,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).
CONCOURS 2026
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

.
Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines-Ponts.

Probabilité qu'un entier choisi au hasard et uniformément dans !1; n" soit
sans facteur à la puissance k
La partie 1 permet d'obtenir un développement en série utilisé dans la partie 2.
La partie 2 n'utilise que le développement en série obtenu à la dernière 
question de la
partie 1 et en est donc indépendante exceptée cette question. Cette partie 2 
permet un
calcul e!ectif de proche en proche des valeurs de la fonction zêta en un entier 
pair non
nul à partir des nombres de Bernoulli.
La partie 3 est indépendante des parties 1 et 2. La partie 4 utilise les 
valeurs obtenues à
la dernière question de la partie 2 et est donc indépendante des parties 1 et 2 
exceptée
cette question.
Dans les parties 3 et 4, on se donne un entier naturel non nul n et un entier 
naturel k
vérifiant k  2. On s'intéresse au tirage uniforme d'un entier dans !1; n" et on 
détermine
la probabilité qn (k) que cet entier soit sans facteur à la puissance k.
On montre enfin que à k fixé, la suite (qn (k))nN est convergente et on 
détermine sa
limite.

1
2
2
n=1 n + x
+
!

Partie 1 : Calcul de la somme

1  Soit   R\2Z. Montrer que pour tout entier naturel n non nul :
n
!
eik

k=1

k

=

" 1
0

i 1  (e

e

i

t)n
dt.
1  ei t

2  En déduire que pour   R\2Z, la série numérique

! eik

k1

k

converge, et que :

+
!

eik " 1 ei
=
dt.
0 1  ei t
k=1 k
3  En déduire que pour  ]0; [ , la série numérique

! sin(k)

k1

k

converge et que :

+
!

sin(k)

=
.
k
2
k=1
Indication : Pour  ]0; [, on pourra introduire la fonction u : [0; 1]  R définie
par
#
$
t sin()
u (t) = Arctan
,
1  t cos()
1

et vérifier que

+
!

sin(k) " 1 
=
u (t)dt.
k
0
k=1
+
!

cos(nt)
.
n2
n=1
Justifier que S est bien définie sur R. Montrer que S est également continue 
sur R.

4  Soit S la fonction numérique définie pour tout t réel par S(t) =

5  En déduire que pour tout   [0; [, on a :

2 
S() =

+ S(0).
4
2

6  Pour tout x réel, on introduit la fonction numérique gx bien définie sur R 
par :
gx (t) =

+
!

n=1

cos(nt)

n2 (n2 + x2 )

.

Justifier que pour tout x réel, la fonction t  gx (t) est de classe C 2 sur R et
vérifie :
t  R, gx (t)  x2 gx (t) = S(t).
7  Pour un réel x non nul fixé, déterminer une solution polynomiale t  P (t) de
degré 2 de l'équation di!érentielle :
(Ex ) : t  R,

y  (t)  x2 y(t) = 

t2 t
+
 S(0).
4
2

8  Pour tout réel x, calculer gx (0) et gx (). Pour x réel non nul, montrer que 
:
gx (0) = 

1 + e2x
1

+ 2.
2x
2x 1  e
2x

9  En déduire que pour tout réel x non nul :

+
! 2x2
2x
=
1

x
+
.
2
2
e2x  1
n=1 n + x

Partie 2 : Développement en série entière de x 
et applications

On introduit la fonction h, définie sur R, par :

x

si x = 0
x
h : x 
.
e 1

1
si x = 0
2

x
ex  1

On rappelle également que la fonction zêta de Riemann est définie sur ]1; +[ 
par :
 : s 

+
!

1
.
s
n=1 n

10  Soient x ]  1; 1[ et deux entiers naturels N et n avec n  N . Montrer que :
1

x2 + n 2

N
1 !

= 2
n k=0

#

x
n2

2

$k 

 + RN,n (x),

1
x2N +2
où RN,n (x) = (1)N +1 2

, et justifier que
x + n2 n2N +2
+
!

n=1

|RN,n (x)|  (2N + 2)|x|2N +2 .

11  Après avoir justifié que lims+ (s) = 1, en déduire que pour x ]  1; 1[ :
+
!

+
!
x2
=
(1)k+1 (2k)x2k .
2 + n2
x
n=1
k=1

12  En déduire que la fonction h est développable en série entière, et que pour 
tout
x ]  2; 2[ :
+
!
1
(2k)
h(x) = 1  x +
(1)k+1 2k1 2k x2k .
2
2

k=1
Pour tout k entier naturel, on pose : bk = h(k) (0).
Déterminer alors b0 et b1 . De plus, si k est un entier naturel non nul, 
déterminer
b2k ainsi que b2k+1 .
n
!

bk
= 0.
k=0 k!(n + 1  k)!
x
ex  1
Indication : On pourra remarquer que pour x réel non nul : x

= 1.
e 1
x

13  Justifier que pour tout entier naturel n non nul :

14  À l'aide des valeurs de b0 et b1 calculées précédemment et de la question 
13 ,
calculer b2 et b4 .
En utilisant la question 12 , déterminer les valeurs (2) et (4).

3

Partie 3 : Probabilité qu'un entier naturel choisi au
hasard et uniformément dans !1; n" soit sans facteur à la
puissance k

* On note P l'ensemble des nombres premiers. On ordonne P par ordre croissant, 
et
on note pn le n-ième nombre premier. Ainsi, par exemple, p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5
et p7 = 17.
* Soit k un entier naturel non nul tel que k  2.
On dit qu'un entier naturel n non nul est sans facteur à la puissance k si :
{p  P, pk |n} = .
Lorsque n = 1, cela revient à dire que si n s'écrit n =

r
,
i

qi avec des facteurs

k=1

premiers qi tous distincts, alors pour tout i  !1; r", on a i  k  1.

15  Soit r  N . Montrer que pour tout r-uplet de réels (x1 , x2 , ..., xr ) :
r
,

(1 + xi ) = 1 +

m=1

i=1

où la notation

!

1i1 <... n.
On se donne également un entier k tel que k  2.
On s'intéresse au tirage d'un entier au hasard dans !1; n" selon la loi 
uniforme.
On munit !1; n" de la probabilité uniforme Pn et on note :
Sn (k) = {m  !1; n" : j  !1; r", pkj  m}.

On pose qn (k) = Pn (Sn (k)) qui représente donc la probabilité que l'entier 
choisi soit
sans facteur à la puissance k.
Pour d  N , on pose An (d) = {j  !1; n" : d | j}.
18  Justifier que : qn (k) = 1  Pn
qn (k) = 1 +

r
!

# r
-

$

An pki

/

!

(1)m Pn An pki1 pki2 ...pkim

i=1

.

m=1 1i1  1 et on pose pour i  N :
ui =

µ(i)
,
is

vi =

1
.
is

De plus, pour N  N , on pose EN = !1; N "2 et FN = {(i, j)  EN , ij  N } et on
définit
wN =

!
d|N

|ud |v N
d

et SN =

N
!

wm .

m=1

21  Pour N  N , justifier que FN  EN  FN 2 , et montrer que la suite (SN )N N
converge.
En déduire que :
+
!

m=1

où

!

#+
$ + 
!
! |µ(i)|
! 1

,
|ud |v m  =
d

i=1

d|m

is

j=1 j

s

désigne la somme sur tous les entiers naturels divisant m.

d|m

22  Pour N  N , justifier que :

#

$ N
 !

N
!
!
!
!
 N

m
ui
vj 
ud v d  

 i=1

m=1 d|m
j=1
(i,j)E

N

6

|ui |vj 

!

(i,j)FN

|ui |vj .

En déduire que :

+
!

#

µ(d) =

1

$

+
+
!
1 !
µ(i) !
1
=
µ(d)
.
s
s
s
m=1 m
i=1 i
j=1 j
d|m

23  Pour m  N , montrer que

!
d|m

si m = 1
.
0 sinon

24  En utilisant les questions 22  et 23 , en déduire que pour s > 1, on a :
+
!

µ(i)
1
=
.
s
(s)
i=1 i

1
.
n+
(k)
En particulier, préciser les valeurs de lim qn (2) et lim qn (4).

25  Montrer que lim qn (k) =

n+

Fin du problème

7

n+