Mines Maths 1 PSI 2026

A2026 ­ MATH I PSI

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES,
ISAE-SUPAERO, ENSTA,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS - PSL,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2026

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

.
Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines-Ponts.

Sommes d'endomorphismes de carré nul

Préambule
Ce problème est consacré aux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension 
finie qui sont décomposables en la somme d'endomorphismes de carré nul.
Dans tout le problème, on considère uniquement des espaces vectoriels sur le
corps C des nombres complexes et de dimension finie. Pour un tel espace 
vectoriel
E, on note
C(E) = {u  L(E) : u2 = 0}
l'ensemble des endomorphismes de E de carré nul ; pour tout p  1, on note
p C(E) = {u1 + · · · + up | (u1 , . . . , up )  C(E)p }
l'ensemble des endomorphismes de E qui se décomposent comme la somme de p
endomorphismes de carré nul. On note enfin
[

 C(E) =

p C(E)

pN

l'ensemble des endomorphismes de E qui se décomposent comme la somme (d'un
nombre arbitrairement grand) d'endomorphismes de carré nul.
Diverses caractérisations ont été données pour l'appartenance d'un 
endomorphisme de E à 2 C(E), autrement dit pour sa décomposabilité en la somme 
de
deux endomorphismes de carré nul. Un des objectifs de ce problème est d'étudier
la situation pour d'autres tailles de décomposition, notamment les cas p = 3 et
p = 4.
Les cinq parties du sujet sont largement indépendantes les unes des autres,
à l'exception de la partie E qui utilise pleinement les résultats de la partie 
D.
Dans la partie A, on étudie la réduction des endomorphismes de carré nul. Dans
la partie B, on caractérise l'appartenance à  C(E) de manière simple. Dans la
partie C, on exhibe un endomorphisme qui est somme d'endomorphismes de carré
nul mais n'est pas somme de trois endomorphismes de carré nul. Dans la partie D,
on définit les matrices de Hessenberg et quelques propriétés. Dans la partie E, 
on
établit enfin que tout endomorphisme qui est somme d'endomorphismes de carré
nul est somme de quatre endomorphismes de carré nul.
Dans le sujet, on note 0n la matrice nulle de Mn (C) et In sa matrice identité.

1

A

Réduction des endomorphismes de carré nul

On fixe ici un espace vectoriel E de dimension finie n > 0. On se donne un
endomorphisme u  L(E) tel que u2 = 0 et u = 0. On note r le rang de u.
1. Déterminer les valeurs propres possibles pour u et en déduire que tr(u) = 0.
2. En comparant noyau et image de u pour l'inclusion, montrer que r 

n
·
2

3. Justifier qu'il existe une famille libre (e1 , . . . , er ) de vecteurs de E 
telle que
Ker(u)Vect(e1 , . . . , er ) = E ; démontrer alors que (u(e1 ), . . . , u(er )) 
est une
famille libre.
4. En déduire qu'il existe une base de E dans laquelle u est représenté par la
matrice par blocs

0r 0r
(0)

0r
(0) 
 Ir
.
(0) (0) 0n-2r
5. Montrer qu'il existe un unique entier m > 0 tel que u soit représenté dans
une base par la matrice par blocs

0m 0m
(0)

(0) 
 Im 0m
.
(0) (0) 0n-2m

B

Somme d'un nombre arbitraire d'endomorphismes
de carré nul

On fixe ici un espace vectoriel E de dimension finie n  2. On se propose de
démontrer que  C(E) est égal à l'ensemble
H(E) = {u  L(E) : tr(u) = 0}.
Pour i, j dans [[1, n]], on rappelle que Ei,j désigne la matrice de Mn (C) 
possédant
exactement un coefficient non nul, valant 1 et situé sur la i-ème ligne et la 
j-ème
colonne. Pour i, j distincts dans [[1, n]], on pose
Fi,j = Ei,i - Ej,j + Ei,j - Ej,i .
6. Parmi les matrices de la forme Ei,j , lesquelles sont de carré nul ? Calculer
(Fi,j )2 pour tous i, j distincts dans [[1, n]].
7. On pose Hn = {A  Mn (C) : tr(A) = 0}. Montrer que tout élément de Hn
est une combinaison linéaire de matrices ayant l'une des formes suivantes :
2

· Ei,j avec i, j distincts dans [[1, n]] ;
· Fi,n avec i  [[1, n - 1]].
8. Conclure que  C(E) = H(E).
Le résultat que l'on vient d'établir sera considérablement raffiné dans la 
partie E.

C

Somme de trois endomorphismes de carré nul

On fixe dans cette partie un espace vectoriel E de dimension finie n  5. On a
démontré dans la partie précédente que tout endomorphisme de E de trace nulle
est une somme d'endomorphismes de carré nul. L'objectif est ici de mettre en
évidence un endomorphisme de E qui est de trace nulle mais n'est pas la somme
de trois endomorphismes de carré nul.
On admet dans cette partie (et seulement dans cette partie !) le résultat 
suivant :
Théorème de Wang et Wu. Soit u un endomorphisme de E. Pour que u appartienne à 
2 C(E), il faut et il suffit qu'il existe   GL(E) tel que -u =   u  -1 .
On se donne un endomorphisme u de E de trace nulle. On suppose que 1
est valeur propre de u et que le sous-espace propre associé Ker(u - idE ) est de
3n
·
dimension d >
4

9. Démontrer qu'il existe effectivement un endomorphisme de E vérifiant les
contraintes imposées à u.

On va établir que u ne peut pas se décomposer comme la somme de trois
éléments de C(E). Pour cela, on pose w = u - idE . Soit v  C(E).

10. En développant (w - v)2 , établir que rg (w - v)2 < n · 2 11. En remarquant que Ker (w - v)2 est stable par w - v, démontrer que 1 est valeur propre de u - v, de multiplicité au moins n - rg (w - v)2 . 12. En déduire que s'il existe   GL(E) tel que -(u-v) = (u-v)-1 , alors 1 3 et -1 sont valeurs propres de u - v de multiplicité strictement supérieure n à · 2 13. Conclure que u  3 C(E). D Intermède : matrices de Hessenberg On fixe ici un entier n  2. Une matrice A = (ai,j )1i,jn  Mn (C) est dite de Hessenberg lorsque (i, j)  [[1, n]]2 , i > j + 1  ai,j = 0,
et on dit alors qu'une telle matrice est régulière lorsque
i  [[1, n - 1]], ai+1,i = 0.
Pour un vecteur C  Cn-1 , on introduit la matrice par blocs
0
C
EC = n-1
(0) 0

!

 Mn (C).

Pour une matrice B  Mn (C) et un couple (k, l)  [[1, n]]2 , on note Be (k,l) la 
sousmatrice de B obtenue en lui retirant sa k-ième ligne et sa l-ième colonne. 
On note
enfin

0
(0)

0
 1

  Mn (C),
Jn = (i,j+1 )1i,jn = 
.. ..

.
.

(0)

1

0

une matrice dont les seuls coefficients non nuls, tous égaux à 1, sont situés 
immédiatement sous la diagonale. C'est bien entendu un cas particulier de 
matrice de
Hessenberg régulière.

14. Soit A  Mn (C) une matrice de Hessenberg régulière. Montrer que pour tout
k  [[1, n]], il existe un unique polynôme Pk  C[X] de degré k - 1 tel que
(k,n)

x  C, det (xI^
n - A)

!

= Pk (x).

(k,n)

Présiser en outre le coefficient dominant de Pk . On pourra représenter (xI^
n - A)
par blocs.
4

15. Soit A  Mn (C) une matrice de Hessenberg régulière et P  C[X] un polynôme 
unitaire de degré n et dont le coefficient sur X n-1 est -tr(A). Déduire
de la question précédente qu'il existe un unique vecteur C  Cn-1 tel que
A + EC ait P pour polynôme caractéristique.
16. Expliciter l'unique vecteur C  Cn-1 tel que Jn + EC ait X n pour polynôme
caractéristique.
17. Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension n. On suppose 
qu'il existe une base (e1 , . . . , en ) de E dans laquelle la matrice de u est
une matrice de Hessenberg régulière, et l'on fixe une telle base. Montrer que
(uk (e1 ))0kn-1 est une base de E.
On pourra examiner la matrice de cette famille de vecteurs dans (e1 , . . . , 
en ).
18. Soit A  Mn (C) une matrice de Hessenberg régulière dont le polynôme 
caractéristique est X n . Montrer que A est semblable à Jn .

E

Somme de quatre endomorphismes de carré
nul

On conserve ici les notations de la partie précédente. On fixe un entier n  2.
Une matrice A = (ai,j )1i,jn  Mn (C) est dite presque triangulaire supérieure
lorsque ai,j = 0 pour tout couple (i, j)  [[1, n]]2 tel que i > j, sauf pour le 
couple
(n, n - 1), pour lequel an,n-1 = 0.
On considère la matrice
V = (i,j+1 1i=n )1i,jn  Mn (C),
autrement dit la matrice ayant les mêmes lignes que Jn , à l'exception de la 
dernière
ligne, qui est nulle.

19. Soit A  Mn (C) une matrice presque triangulaire supérieure. On suppose
que tr(A) = 0. Justifier qu'il existe C0  Cn-1 tel que A + V + EC0 soit
semblable à Jn .
20. Montrer que Jn est la somme de deux matrices de carré nul. On pourra
chercher les termes B1 et B2 d'une décomposition en imposant la contrainte
qu'en toute position (i, j) on ait (B1 )i,j = 0 ou (B2 )i,j = 0.
21. Soit C  Cn-1 quelconque. Construire deux matrices B1 et B2 de Mn (C),
5

telles que V + EC = B1 + B2 et (B1 )2 = 0 = (B2 )2 .

22. Soit v  L(Cn ) qui n'est pas une homothétie. Montrer qu'il existe un plan
vectoriel de Cn stable par v et contenant au moins un vecteur non nul qui
n'est pas vecteur propre de v. On pourra s'aider d'une base de trigonalisation.

23. En déduire que toute matrice de Mn (C)  Vect(In ) est semblable à une
matrice de la forme
!
B (?)
(0) C
où B = (bi,j )1i,j2  M2 (C) vérifie b2,1 = 0 et où la matrice C  Mn-2 (C)
est triangulaire supérieure.

24. Montrer que toute matrice de Mn (C)  Vect(In ) est semblable à une matrice
presque triangulaire supérieure.

25. On se donne un espace vectoriel E de dimension finie ainsi qu'un 
endomorphisme u de E, supposé de trace nulle. En combinant plusieurs résultats
antérieurs, démontrer que u  4 C(E).

Fin du problème

6