e3a Mathématiques PSI 2026

SESSION 2026

PSI8M

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI
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MATHÉMATIQUES
Durée : 4 heures
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N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
·

·
·

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction 
de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

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Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

1/5

EXERCICE 1
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Questions préliminaires
1. Soit f une fonction de classe C 2 sur Rn .
Écrire pour la fonction f , sans la redémontrer, la formule de Taylor-Young à 
l'ordre 2 en un point a
de Rn .
2. Soient J  Mn (R) la matrice dont tous les éléments sont égaux à 1 et In la 
matrice identité de
Mn (R).
2.1. Déterminer le rang de J.

2.2. Justifier que 0 est valeur propre de J. Quel est son ordre de multiplicité 
?

2.3. Démontrer alors que la matrice In + J est symétrique réelle définie 
positive.
*****

On considère la fonction f définie sur Rn par :
 m = (x1 , ..., xn )  R ,
n

c'est-à-dire :

2
n
n
2
f (m) =  xk + ( xk ) -  xk ,
k=1
k=1
k=1
n

f (m) = (x12 + x22 +  + xn2 ) + (x1 + x2 +  + xn ) - (x1 + x2 +  + xn ).
2

3. Justifier que f est de classe C 2 sur Rn .

4. Soit m = (x1 , ..., xn )  Rn .
f
4.1. Calculer
(m).
x1
2 f
2 f
(m) et
(m).
4.2. Calculer
x2 x1
x1 x2
2 f
4.3. Calculer 2 (m).
x1
5. Déterminer le vecteur gradient  f (m) de f au point m = (x1 , ..., xn ).
6. Déterminer le seul point critique a = (a1 , ..., an ) de f dans Rn .

7. Soit m = (x1 , ..., xn )  Rn .

7.1. Déterminer la matrice Hessienne H f (m) de f .

7.2. Déterminer le spectre de H f (m).

8. Montrer que f admet un extremum local en a et préciser sa nature et sa 
valeur.

2/5

EXERCICE 2
On définit, lorsque cela est possible, la suite réelle (vn )nN par :

1. Étude de la suite (vn )nN

v0  [-1, 1]

 et

1

 n  N, vn+1 = ln (1 - vn )

2

1
x).
2
En particulier, on déterminera les deux réels a et b tels que f ([-1, 1]) = [a, 
b].

1.1. Dresser le tableau de variations sur [-1, 1] de la fonction f  x  ln (1 -
1.2. Justifier que [a, b] ] - 1, 1[.

1.3. Montrer que, pour tout n  N , vn est bien défini et que vn  [a, b].

1.4. Démontrer qu'il existe k ]0, 1[ tel que, pour tout x  [a, b],  f  (x)  k.

1.5. Prouver alors que pour tout entier n  2, vn   k × vn-1 .

1.6. Démontrer que la suite (vn )nN converge et déterminer sa limite.

2. Étude d'une série de fonctions
On définit la suite de fonctions (un )nN sur [-1, 1] par :

u0 (x) = x

 et

1

 n  N, un+1 (x) = ln (1 - un (x))

2

Prouver que la série de fonctions  un converge uniformément sur [-1, 1].
n1

EXERCICE 3
Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 3, et En = Rn [X].
Dans tout l'exercice, on confondra un polynôme et sa fonction polynomiale 
associée.
Pour tout k  0, n, on pose Pk (X) = X k et on rappelle que B = (P0 , P1 , . . . 
, Pn ) est une base de En .

On note  l'application qui à tout polynôme P de En associe :

(P) = ((X 2 - 1)P) = (X 2 - 1)P + 4XP + 2P.

1. Vérifier que  est un endomorphisme de En .

2. Soit k  0, n. Calculer (Pk ).

3. Déterminer la matrice M de  dans la base B.
On explicitera soigneusement les trois premières colonnes et, en fonction de j, 
une j-ième colonne
de la matrice M, avec j  3, n + 1.
3/5

4. Montrer que  admet n + 1 valeurs propres deux à deux distinctes notées : 0 < 1 <  < n . 5. L'endomorphisme  de En est-il un automorphisme de En ? 6. Vérifier que  est diagonalisable et déterminer la dimension de ses sous-espaces propres. 7. Soient k  0, n et T un vecteur propre de  associé à la valeur propre k . 7.1. Montrer que le degré de T est égal à k. 7.2. Montrer que le polynôme Q défini par : Q(X) = T (-X) est un vecteur propre de  associé à la valeur propre k . 8. Montrer qu'il existe une unique base U = (Q0 , Q1 , . . . , Qn ) de En constituée de vecteurs propres de , telle que, pour tout k  0, n, Qk est un polynôme unitaire de degré k et vérifie : Qk (-X) = (-1)k Qk (X). 9. Que peut-on en déduire sur la parité des polynômes Qk ? 10. Soit k  0, n. Justifier que (Q0 , Q1 , . . . , Qk ) est une base de Rk [X]. 11. Calculer Qk pour k  0, 3. 12. Montrer que l'application (P, Q)  (PQ) =  (1 - t2 ) P(t) Q(t) dt définit un produit scalaire -1 sur En . 1 13. On munit alors En de ce produit scalaire. 13.1. Montrer que  est un endomorphisme symétrique de (En , (  )). On pourra intégrer par parties. 13.2. Montrer que la base U est orthogonale pour le produit scalaire (  ). On pourra calculer pour (i, j)  0, n2 , i  j, le produit scalaire ((Qi )Q j ). 14. Soit j  1, n. Montrer que :  S  R j-1 [X], (S Q j ) = 0. EXERCICE 4 Dans tout l'exercice, on confondra un polynôme et sa fonction polynomiale associée. Questions préliminaires 1. Montrer qu'un polynôme de R[X] de degré impair possède au moins une racine réelle. 2. Déterminer les racines complexes du polynôme X 11 - 1. 10 3. En déduire les racines complexes du polynôme 1 + X + X 2 +  + X 10 =  X k . Justifier qu'aucune k=0 n'est réelle. ***** 4/5 Soient U et V les variables aléatoires de l'espace probabilisé (, A , P) correspondant chacune au lancer d'un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6, pas forcément équilibré, les lancers étant indépendants. On suppose que chaque face de chaque dé possède une probabilité non nulle d'apparition. Enfin, on note S = U + V. 4. Déterminer les valeurs prises par les variables aléatoires U, V et S . On suppose que S suit une loi uniforme. 5. Démontrer que la fonction génératrice GS de S est une fonction polynomiale que l'on déterminera. 6. Déterminer les racines de GS dans C. 7. Soient GU et GV les fonctions génératrices des variables aléatoires U et V. Déterminer un polynôme Q (respectivement R) dont les coefficients dépendent de la loi de la variable aléatoire U (respectivement de la variable aléatoire V), vérifiant : t  R, GU (t) = t Q(t) et GV (t) = t R(t). 8. Démontrer que les polynômes Q et R possèdent chacun au moins une racine réelle. On pourra utiliser une des questions préliminaires. 9. Montrer que  t  R, GS (t) = t2 Q(t) R(t). 10. Établir une contradiction qui démontre que la supposition encadrée est fausse. On pourra utiliser une des questions préliminaires. 11. Est-il possible de truquer deux dés à six faces de façon à ce que la somme des résultats obtenus au cours de lancers suive une loi uniforme ? FIN 5/5