Centrale Maths 2 PSI 2026

PSI
4 heures

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2026

Mathématiques 2

Polynômes de Jacobi
L'objectif de ce problème est de définir les polynômes de Jacobi et d'étudier 
quelques-unes des propriétés de ces polynômes.
La première partie de ce sujet est consacrée à la définition d'un produit 
scalaire sur l'ensemble R[X] des polynômes à
coefficients réels. Dans une deuxième partie, on se propose de démontrer la 
célèbre formule de Vandermonde sur les
coefficients binomiaux et d'introduire la notion de coefficient binomial 
généralisé. Les troisième et quatrième parties
proposent la définition des polynômes de Jacobi ainsi que certaines de leurs 
propriétés les plus classiques. Enfin, la
cinquième partie permet de présenter les polynômes de Legendre, en tant que cas 
particulier des polynômes de Jacobi.

Partie A ­ Un produit scalaire
Soit   R.
Z 1
Q1. Rappeler sans démonstration la condition de convergence de
0

1
dt et donner sa valeur lorsqu'elle converge.
t

Q2. Z
Soit a  R. Déduire de la question précédente une condition nécessaire et 
suffisante sur  pour que l'intégrale
a
1
dt converge.

0 (a - t)
Dans toute la suite de ce problème, sauf mention contraire,  et  désignent deux 
réels strictement supérieurs à -1.
Z 1
Q3. Démontrer que, pour toute fonction f continue sur le segment [-1, 1], 
l'intégrale
(1 - t) (1 + t) f (t)dt est
-1

convergente.
Z 1

2

Q4. Pour tout (P, Q)  (R[X]) , on pose P, Q =

(1 - t) (1 + t) P (t)Q(t)dt. Démontrer que l'on définit ainsi

-1

un produit scalaire sur R[X].
On note . la norme euclidienne associée à ce produit scalaire. On a donc :
p
P  R[X] , P  = P, P 

I ­ Un premier exemple
On suppose, dans cet exemple uniquement, que  =  = - 12 . Le produit scalaire 
est donc ici défini par :
Z 1

2

(P, Q)  (R[X]) , P, Q =

Q5. Calculer le produit scalaire 1, X.
Q6. Calculer les normes 1 et X.

1/6

P (t)Q(t)

dt
1 - t2
-1

II ­ Un second exemple
On suppose, dans cet exemple uniquement, que  =  = 0. Le produit scalaire est 
donc ici défini par :
Z 1
2
(P, Q)  (R[X]) , P, Q =
P (t)Q(t)dt
-1

Q7. Calculer, pour tout (i, j)  N2 , i = j, le produit scalaire X i , X j .
Q8. Calculer, pour tout i  N, la norme X i .

Partie B ­ Autour des coefficients binomiaux
Dans cette partie, complètement indépendante de la précédente, on se propose 
tout d'abord de démontrer la formule
de Vandermonde :

k
X  m  p
m+p
3
(k, m, p)  N , k  m + p ,
=
k
k-j
j
j=0

Q9. Démontrer cette formule. On pourra pour cela considérer (m, p)  N2 , k  J0, 
m + pK, F un ensemble constitué
de m + p éléments et on pourra partitionner judicieusement F.
On introduit, dans toute la suite du problème, une nouvelle notation. Pour tout 
  R et pour tout   N, on pose :

 ( - 1) . . . ( -  + 1)
si  > 0

B =
!
1
si  = 0
1
2

Par exemple : B3 =

1
2 ×

1
2 -1

3!

×

1
2 -2

=

1
.
16

n
Q10. Lorsque k et n sont deux entiers naturels tels que k  n, comparer les deux 
nombres
et Bkn .
k
On admettra que la formule de Vandermonde précédemment démontrée se généralise 
aux coefficients B sous la forme :
k  N , (s, t)  R2 , k  s + t , Bks+t =

k
X

s
Bk-j
Bjt

j=0

Partie C ­ Une famille de polynômes
Soit n  N . On se place dans E = Rn [X] et on note encore ., . la restriction à 
E du produit scalaire défini dans la
question Q4.
L'algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt permet de construire une base 
orthonormale B = (P0 , P1 , . . . , Pn )
de E relativement à ce produit scalaire et vérifiant les deux conditions 
suivantes :
(i)
(ii)

k  J0, nK , Vect(P0 , P1 , . . . , Pk ) = Vect(1, X, . . . , X k )
k  J0, nK , Pk , X k  > 0

I ­ Premières propriétés des Pk
Q11. Démontrer que pour tout k  J0, nK, le polynôme Pk est de degré k.
Q12. Démontrer que pour tout k  J1, nK, le polynôme Pk appartient à Vect 1, X, 
. . . , X k-1
Q13. Soit k  J1, nK. On considère Q  Vect 1, X, . . . , X k-1
Démontrer que : k  R tel que Q = k Pk .

2/6

tel que deg(Q) = k.

.

II ­ Une relation entre Pk-1 , Pk et Pk+1
Soit k  J1, n - 1K.
Q14. Démontrer qu'il existe ak  R tel que Pk+1 - ak XPk soit de degré inférieur 
ou égal à k.
Q15. Démontrer qu'il existe (bk , ck )  R2 tel que Pk+1 = (ak X + bk )Pk + ck 
Pk-1 .

III ­ Racines des polynômes Pk
On considère k  J1, nK et on s'intéresse aux racines de Pk . On note m le 
nombre de racines réelles de Pk qui se situent
dans l'intervalle ] - 1, 1[, comptées autant de fois que leur ordre de 
multiplicité. On désigne par R = {x1 , . . . , xm }
l'ensemble, éventuellement vide, constitué par ces racines.
Q16. Quelle inégalité relie k et m ?
Q17. On considère le polynôme S = (X - x1 )(X - x2 ) . . . (X - xm ) si m  1 et 
S = 1 si R = .
Que peut-on dire du signe de la fonction polynomiale x 7 Pk (x)S(x) sur ] - 1, 
1[ ?
Q18. En déduire que Pk , S = 0.
Q19. Que peut-on conclure sur m ?

Partie D ­ Polynômes de Jacobi
Dans cette partie, on se place à nouveau dans E = Rn [X] et on continue de 
noter ., . la restriction à E du produit
scalaire défini dans la question Q4.

I ­ Définition
On pose, pour tout k  J0, nK et pour tout x ] - 1, 1[ :
gk (x) = (1 - x)+k (1 + x)+k

Jk (x) =

et

(-1)k
(k)
g (x)
2k k!(1 - x) (1 + x) k

Q20. Donner l'expression de g0 et g1 . En déduire l'expression de J0 et J1 .
Q21. Soient p  N et j un nombre réel, pas nécessairement entier. Déterminer 
l'expression de la dérivée p-ième de la
fonction x 7 (1 - x)j sur ] - 1, 1[ en utilisant la notation Bpj .
(k)

Q22. En déduire une expression de gk (x) pour tout x ] - 1, 1[.
Q23. Démontrer alors que, pour k  2 :
k

x ] - 1, 1[ , Jk (x) =

1 X k+ k+
B
B
(x - 1)i (x + 1)k-i
2k i=0 k-i i

Q24. Démontrer que la fonction Jk est polynomiale de degré k et proposer une 
expression simple de son coefficient
dominant à l'aide de la formule de Vandermonde.
Les polynômes Jk associés aux fonctions polynomiales x 7 Jk (x) sont appelés 
polynômes de Jacobi. Nous allons en
étudier une propriété fondamentale

II ­ Orthogonalité des polynômes de Jacobi
Soient k  J1, nK et i  J0, k - 1K.
Z 1
Q25. Démontrer la convergence des deux intégrales
-1

Z 1
-1

(k)
xi gk (x)dx et

(k)

xi gk (x)dx = -i
3/6

Z 1
-1

Z 1
-1

(k-1)

xi-1 gk

(k-1)

xi-1 gk

(x)dx

(x)dx puis prouver que :

Q26. En déduire que Jk , X i  = 0.
Q27. Démontrer que la famille (J0 , J1 , . . . , Jn ) est une base orthogonale 
de E.
Q28. Expliquer, sans faire les calculs, comment il serait possible d'en déduire 
une base orthonormale de E.

Partie E ­ Le cas particulier (, ) = (0, 0)
Soit n  N . Dans cette partie, on se place, comme dans l'exemple des questions 
7 et 8, dans le cas où  =  = 0. On
rappelle que le produit scalaire est alors donné par :
Z 1
2
P (t)Q(t)dt
(P, Q)  (Rn [X]) , P, Q =
-1

Nous admettrons alors que la base orthonormale obtenue dans la question 28 
vérifie toutes les hypothèses de la famille
de polynômes étudiée dans la partie C. Ces polynômes sont appelés Polynômes de 
Legendre, et à ce titre notés Lk .
Ils sont donc donnés par la formule suivante :
k  J0, nK , Lk =

(k)
1  2
(X - 1)k
2k k!

I ­ Premières propriétés des polynômes Lk
Q29. Calculer Lk pour tout k  J0, 3K.
Q30. Calculer les racines des polynômes Lk pour tout k  J1, 3K et vérifier, 
dans ces cas particuliers, la conclusion de
la question 19.
Q31. Pour tout k  J0, nK, retrouver le degré de Lk sans utiliser les résultats 
de la partie C, puis calculer le coefficient
dominant de Lk .
Q32. Pour tout k  J0, nK, déterminer la parité des polynômes Lk .
Q33. Pour tout k  J0, nK, calculer Lk (1) et Lk (-1).

II ­ Une équation différentielle vérifiée par les Lk
Soit k  J0, nK. On reprend la définition de la fonction gk qui est ici donnée 
par :
x ] - 1, 1[ , gk (x) = (1 - x2 )k

Q34. Exprimer, pour tout x ] - 1, 1[, la quantité (1 - x2 )gk (x) à l'aide de 
gk (x).
Q35. En déduire, à l'aide de la formule de Leibniz, que le polynôme Lk est 
solution sur ] - 1, 1[ de l'équation
différentielle :

(1 - x2 )y - 2xy + k(k + 1)y = 0

III ­ Une majoration des Lk sur [-1, 1]
Soit k  J0, nK.
Q36. Étudier la monotonie sur [0, 1] de la fonction fk définie par :
2

x  [0, 1] , fk (x) = (Lk (x)) +
Q37. En déduire la majoration : x  [-1, 1] , |Lk (x)|  1.

4/6

2
1 - x2  
Lk (x)
k(k + 1)

IV ­ Relation entre Lk-1 , Lk et Lk+1
Soit k  J1, n - 1K. L'objectif de sous-partie est de préciser le résultat des 
questions 14 et 15 dans le cas des polynômes
de Legendre.
Q38. En reprenant les notations de la question 14, déterminer l'expression de 
ak .
Q39. Démontrer que : Lk+1 =

2k + 1
k
XLk -
Lk-1 .
k+1
k+1

V ­ Un developpement en série entière faisant intervenir les Lk
Les polynômes Lk ont été définis pour tout k  J0, nK. On pourrait démontrer 
qu'il est possible d'étendre leur définition
afin de disposer de Lk pour tout k  N. On suppose que toutes les propriétés 
précédemment démontrées, notamment
l'égalité de la question 39, restent valables.
Considérons un réel x  [-1, 1] et intéressons-nous à la série entière

X

Lk (x)tk .

k0

Q40. Démontrer que le rayon de convergence de cette série entière est supérieur 
ou égal à 1. On pose, pour tout
t ] - 1, 1[ :
+
X
S(t) =
Lk (x)tk
k=0

Q41. Établir, grâce à la question 39, que :

Q42. En déduire que :
t ] - 1, 1[ ,

+
X

Lk (x)tk = 

k=0

Fin

5/6

1
1 - 2tx + t2

M096 - 19 février 2026 - 15:04:55 c b e a

t ] - 1, 1[ , (1 - 2tx + t2 )S (t) + (t - x)S(t) = 0