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| Thème de l'épreuve | Perspective cavalière |
| Principaux outils utilisés | algèbre linéaire, espaces euclidiens, coniques |
| Mots clefs | perspective cavalière, ellipse, projection d'une sphère sur un plan |
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Centrale Maths 2 PSI 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean Starynkévitch (Professeur en CPGE) ; il a été
relu
par Walter Appel (Professeur en CPGE) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE).
Le problème traite de la modélisation mathématique de la perspective cavalière.
Une perspective est un moyen de représenter un objet de l'espace par un dessin
sur
un plan ; sur le plan mathématique, elle est décrite par la donnée d'une
application p
de R3 dans R2 .
Les deux types de perspectives les plus utilisées sont la perspective cavalière
et la
perspective classique. La perspective cavalière est la plus commode pour faire
des calculs précis (c'est notamment celle utilisée par les ingénieurs) ; pour
cette perspective,
l'application p est linéaire. La perspective classique est utilisée depuis la
Renaissance
pour représenter notre impression visuelle.
Cube en perspective cavalière
Cube en perspective classique
L'esprit du sujet est assez classique. Pour les candidats peu à l'aise avec les
problèmes de géométrie, sa principale difficulté est de savoir transposer une
propriété
géométrique en propriété analytique sur des coordonnées.
· La première partie traite de généralités concernant une modélisation de la
perspective cavalière.
· La deuxième partie étudie l'image d'une sphère dans une telle perspective.
On montre qu'il s'agit d'une ellipse.
· La troisième partie étudie un balayage de l'ellipse en question par des
cercles
via un recouvrement de la sphère par d'autres cercles.
Les différentes parties, de difficulté progressive, sont raisonnablement
indépendantes entre elles. Inversement, à l'intérieur d'une partie, les
questions sont fortement
dépendantes les unes des autres et doivent être traitées dans l'ordre. Enfin,
les notations introduites dans une partie sont parfois évoquées dans une partie
ultérieure.
On retiendra qu'il s'agit d'un problème tout à fait classique de géométrie pour
le
concours Centrale-Supélec.
Indications
I.A.1
I.B
I.C.1
I.C.4
I.D.2.a
I.E.2
I.E.3
I.E.4
Partie I
On trouve notamment Ker p = Vect (-
).
La réponse est non : élever au carré l'inégalité, et développer, en étudiant
l'inégalité comme un trinôme de la variable z (les variables x et y considérées
comme paramètres).
Raisonner par double inclusion.
Adapter ce qui a été fait à la question I.C.3.
Raisonner par équivalence, ou bien par analyse-synthèse.
Raisonner par analyse-synthèse, en cherchant u par sa matrice (dont les
coefficients seront pris comme inconnues) dans la base canonique.
Utiliser le fait que, dans un trinôme de la forme 2 + B + C, le terme C
correspond au produit des racines du trinôme.
Distinguer le cas (a, b) = (0, 0) des autres cas.
Partie II
II.A.1 Montrer (en raisonnant par équivalence) que, pour Y donné dans R3 , on a
Y p-1 {} Y D . Pour la dernière sous-question, utiliser l'équation
paramétrée de D et l'équation cartésienne de S.
II.A.2 Utiliser la condition portant sur le signe du discriminant d'un trinôme
pour
connaître le nombre de ses racines réelles.
II.A.3.c Si vous ne savez pas répondre aux premières questions, il est temps de
réviser
votre cours sur les coniques. Pour vérifier que F et F sont bien les foyers,
utiliser la caractérisation focale de l'ellipse.
x cos + y sin
II.B.1 On trouve t0 = -
2
II.B.3 Pour bien mener le calcul de p(X) , garder le plus longtemps possible
l'expression z, pour ne la remplacer qu'au dernier moment par sa valeur en
fonction de (x, y), à partir de l'équation de P0 .
Partie III
III.B.1 Raisonner par équivalence, comme à la question II.A.1.
III.B.2 Utiliser l'équation paramétrée du cercle C et une équation cartésienne
du
plan P0 = {-
} .
R sin cos
III.B.4 On trouve =
et R = R cos . Pour montrer que l'ensemble
R sin sin
des p(C ) recouvre p(S), utiliser l'expression en coordonnées polaires d'un
point générique de S.
III.B.5 Exprimer par une inégalité portant sur la distance entre les centres
d'une
part, et les rayons d'autre part, une condition d'intersection (ou non) de
deux cercles.
III.D Considérer une famille de cercles (C ) , intersections de S et d'un plan
parallèle au plan 2 appartenant au cône isotrope de q introduit à la question
I.D.1.
I. Généralités
I.A.1
· Montrons que p est une application linéaire. Soient X1 = t (x1 y1 z1 )
t
et X2 = (x2 y2 z2 ) deux vecteurs de R3 , et µ un scalaire. On a
x1 + µx2
p(X1 + µX2 ) = p y1 + µy2
z1 + µz2
(x1 + µx2 ) - (z1 + µz2 )
=
(y1 + µy2 ) - (z1 + µz2 )
=
(x1 - z1 ) + µ(x2 - z2 )
(y1 - z1 ) + µ(y2 - z2 )
p(X1 + µX2 ) = p(X1 ) + µ p(X2 )
Donc p est bien une application linéaire de R3 dans R2 . En écrivant en colonne
l'image des vecteurs de la base canonique de R3 , on trouve que la matrice de p
dans la base canonique est
1 0 -
P = Mat -
(p)
=
M2,3 (R)
-
0 1 -
(
i ,-
, k )
t
· Déterminons le noyau de p. Soit X = (x y z) R3 . Nous avons les équivalences
suivantes
X Ker p
X Ker p
Ainsi
Ker p = Vect
p(X) = 0
x - z = 0 et y - z = 0
x = z et y = z
t
X = z ( 1)
X Vect t ( 1)
t
( 1) = Vect (-
)
· Déterminons l'image de p. Plus précisément, montrons que p est surjective.
Première méthode (explicite) :
t
Soit U = (x y) R2 . Posons
t
X = (x y 0) R3
On a alors p(X) = U, c'est-à-dire que U est dans l'image de p. On a donc
montré que R2 Im p et, l'inclusion réciproque étant évidente, il vient
Im p = R2
Deuxième méthode (détermination du rang de p) :
Le théorème du rang qui, appliqué à p, donne
dim Ker p + dim Im p = dim R3
montre que Im p est un sous-espace de R2 de dimension 2 (ce qui peut
également être montré en constatant que la matrice de p dans la base
canonique est de rang 2), et donc est égal à R2 .
La première question est très classique et sans difficultés, mais il s'agit de
la
première question du problème que lira le correcteur. Il est donc important
de rédiger bien et rapidement, pour donner une bonne impression.
I.A.2 Ci-dessous, une représentation dans le plan des vecteurs images par p de
la
base canonique de R3 . Par le calcul, on trouve :
· p -
i = (1, 0)
· p -
= (0, 1)
-
-
p
· p k = (-, -)
-
-
p i
-
-
p k
t
I.B Calculons p p. Pour X = ( x y z) R3 , on a :
x - z
x - z
p p(X) = p y - z = y - z = p(X)
0
0
de sorte que
pp=p
L'endomorphisme p est donc un projecteur. Son noyau est Vect -
et son image
- ) parallèlement à
est Vect -
i ,-
). En résumé, p est la projection sur Vect -
i ,
-
-
-
2
Vect . Identifions maintenant le plan Vect i , ) à R via l'application
linéaire
(
R3 - R3
:
(x, y, z) 7- (x, y)
- sur R2 . On a alors clairement
qui réalise une bijection de Vect -
i ,
p=p
Ainsi
p peut s'interpréter comme une projection de R3 sur R2 .
t
Pour X = (x y z) R3 , nous avons les équivalences suivantes :
kp(X)k 6 kXk
kp(X)k 6 kXk
kp(X)k2 6 kXk2
(x - z) + (y - z)2 6 x2 + y 2 + z 2
z 2 (1 - 2 - 2 ) - 2z(x + y) 6 0
Puisque et sont deux réels strictement positifs, on peut fixer x et y tels que
x + y soit non nul. Sous cette condition, le trinôme en z
z 2 (1 - 2 - 2 ) - 2z(x + y) = z z(1 - 2 - 2 ) - 2(x + y)
a deux racines réelles distinctes, et n'est donc pas de signe constant.
Finalement,
Il existe au moins un X R3 tel que kp(X)k > kXk .