Centrale Maths 2 PSI 2007

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 Centrale Maths 2 PSI 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean Starynkévitch (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Walter Appel (Professeur en CPGE) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE). Le problème traite de la modélisation mathématique de la perspective cavalière. Une perspective est un moyen de représenter un objet de l'espace par un dessin sur un plan ; sur le plan mathématique, elle est décrite par la donnée d'une application p de R3 dans R2 . Les deux types de perspectives les plus utilisées sont la perspective cavalière et la perspective classique. La perspective cavalière est la plus commode pour faire des calculs précis (c'est notamment celle utilisée par les ingénieurs) ; pour cette perspective, l'application p est linéaire. La perspective classique est utilisée depuis la Renaissance pour représenter notre impression visuelle. Cube en perspective cavalière Cube en perspective classique L'esprit du sujet est assez classique. Pour les candidats peu à l'aise avec les problèmes de géométrie, sa principale difficulté est de savoir transposer une propriété géométrique en propriété analytique sur des coordonnées. · La première partie traite de généralités concernant une modélisation de la perspective cavalière. · La deuxième partie étudie l'image d'une sphère dans une telle perspective. On montre qu'il s'agit d'une ellipse. · La troisième partie étudie un balayage de l'ellipse en question par des cercles via un recouvrement de la sphère par d'autres cercles. Les différentes parties, de difficulté progressive, sont raisonnablement indépendantes entre elles. Inversement, à l'intérieur d'une partie, les questions sont fortement dépendantes les unes des autres et doivent être traitées dans l'ordre. Enfin, les notations introduites dans une partie sont parfois évoquées dans une partie ultérieure. On retiendra qu'il s'agit d'un problème tout à fait classique de géométrie pour le concours Centrale-Supélec. Indications I.A.1 I.B I.C.1 I.C.4 I.D.2.a I.E.2 I.E.3 I.E.4 Partie I On trouve notamment Ker p = Vect (- ). La réponse est non : élever au carré l'inégalité, et développer, en étudiant l'inégalité comme un trinôme de la variable z (les variables x et y considérées comme paramètres). Raisonner par double inclusion. Adapter ce qui a été fait à la question I.C.3. Raisonner par équivalence, ou bien par analyse-synthèse. Raisonner par analyse-synthèse, en cherchant u par sa matrice (dont les coefficients seront pris comme inconnues) dans la base canonique. Utiliser le fait que, dans un trinôme de la forme 2 + B + C, le terme C correspond au produit des racines du trinôme. Distinguer le cas (a, b) = (0, 0) des autres cas. Partie II II.A.1 Montrer (en raisonnant par équivalence) que, pour Y donné dans R3 , on a Y p-1 {} Y D . Pour la dernière sous-question, utiliser l'équation paramétrée de D et l'équation cartésienne de S. II.A.2 Utiliser la condition portant sur le signe du discriminant d'un trinôme pour connaître le nombre de ses racines réelles. II.A.3.c Si vous ne savez pas répondre aux premières questions, il est temps de réviser votre cours sur les coniques. Pour vérifier que F et F sont bien les foyers, utiliser la caractérisation focale de l'ellipse. x cos + y sin II.B.1 On trouve t0 = - 2 II.B.3 Pour bien mener le calcul de p(X) , garder le plus longtemps possible l'expression z, pour ne la remplacer qu'au dernier moment par sa valeur en fonction de (x, y), à partir de l'équation de P0 . Partie III III.B.1 Raisonner par équivalence, comme à la question II.A.1. III.B.2 Utiliser l'équation paramétrée du cercle C et une équation cartésienne du plan P0 = {- } . R sin cos III.B.4 On trouve = et R = R cos . Pour montrer que l'ensemble R sin sin des p(C ) recouvre p(S), utiliser l'expression en coordonnées polaires d'un point générique de S. III.B.5 Exprimer par une inégalité portant sur la distance entre les centres d'une part, et les rayons d'autre part, une condition d'intersection (ou non) de deux cercles. III.D Considérer une famille de cercles (C ) , intersections de S et d'un plan parallèle au plan 2 appartenant au cône isotrope de q introduit à la question I.D.1. I. Généralités I.A.1 · Montrons que p est une application linéaire. Soient X1 = t (x1 y1 z1 ) t et X2 = (x2 y2 z2 ) deux vecteurs de R3 , et µ un scalaire. On a x1 + µx2 p(X1 + µX2 ) = p y1 + µy2 z1 + µz2 (x1 + µx2 ) - (z1 + µz2 ) = (y1 + µy2 ) - (z1 + µz2 ) = (x1 - z1 ) + µ(x2 - z2 ) (y1 - z1 ) + µ(y2 - z2 ) p(X1 + µX2 ) = p(X1 ) + µ p(X2 ) Donc p est bien une application linéaire de R3 dans R2 . En écrivant en colonne l'image des vecteurs de la base canonique de R3 , on trouve que la matrice de p dans la base canonique est 1 0 - P = Mat - (p) = M2,3 (R) - 0 1 - ( i ,- , k ) t · Déterminons le noyau de p. Soit X = (x y z) R3 . Nous avons les équivalences suivantes X Ker p X Ker p Ainsi Ker p = Vect p(X) = 0 x - z = 0 et y - z = 0 x = z et y = z t X = z ( 1) X Vect t ( 1) t ( 1) = Vect (- ) · Déterminons l'image de p. Plus précisément, montrons que p est surjective. ­ Première méthode (explicite) : t Soit U = (x y) R2 . Posons t X = (x y 0) R3 On a alors p(X) = U, c'est-à-dire que U est dans l'image de p. On a donc montré que R2 Im p et, l'inclusion réciproque étant évidente, il vient Im p = R2 ­ Deuxième méthode (détermination du rang de p) : Le théorème du rang qui, appliqué à p, donne dim Ker p + dim Im p = dim R3 montre que Im p est un sous-espace de R2 de dimension 2 (ce qui peut également être montré en constatant que la matrice de p dans la base canonique est de rang 2), et donc est égal à R2 . La première question est très classique et sans difficultés, mais il s'agit de la première question du problème que lira le correcteur. Il est donc important de rédiger bien et rapidement, pour donner une bonne impression. I.A.2 Ci-dessous, une représentation dans le plan des vecteurs images par p de la base canonique de R3 . Par le calcul, on trouve : · p - i = (1, 0) · p - = (0, 1) - - p · p k = (-, -) - - p i - - p k t I.B Calculons p p. Pour X = ( x y z) R3 , on a : x - z x - z p p(X) = p y - z = y - z = p(X) 0 0 de sorte que pp=p L'endomorphisme p est donc un projecteur. Son noyau est Vect - et son image - ) parallèlement à est Vect - i ,- ). En résumé, p est la projection sur Vect - i , - - - 2 Vect . Identifions maintenant le plan Vect i , ) à R via l'application linéaire ( R3 - R3 : (x, y, z) 7- (x, y) - sur R2 . On a alors clairement qui réalise une bijection de Vect - i , p=p Ainsi p peut s'interpréter comme une projection de R3 sur R2 . t Pour X = (x y z) R3 , nous avons les équivalences suivantes : kp(X)k 6 kXk kp(X)k 6 kXk kp(X)k2 6 kXk2 (x - z) + (y - z)2 6 x2 + y 2 + z 2 z 2 (1 - 2 - 2 ) - 2z(x + y) 6 0 Puisque et sont deux réels strictement positifs, on peut fixer x et y tels que x + y soit non nul. Sous cette condition, le trinôme en z z 2 (1 - 2 - 2 ) - 2z(x + y) = z z(1 - 2 - 2 ) - 2(x + y) a deux racines réelles distinctes, et n'est donc pas de signe constant. Finalement, Il existe au moins un X R3 tel que kp(X)k > kXk .