Centrale Maths 1 PSI 2026

PSI
4 heures

Calculatrice autorisée

2026

Mathématiques 1

Obtention de piles successifs lors de lancers d'une pièce.
Dans ce sujet, nous étudions la probabilité d'apparition de n côtés pile 
successifs lors du lancer d'une pièce. Ce type
de problème a notamment servi de modèle pour des études effectuées dans les 
années 2010 visant à améliorer la
performance des transmissions d'informations dans certains types de réseaux 
informatiques sans fil appelé OLSR [1].
Ces derniers ont des applications dans l'utilisation des mini-drones de 
reconnaissance, ou bien lors de communications
d'unités de secours pour la prévention des catastrophes naturelles.
Dans les trois premières parties, nous étudions la probabilité d'apparition 
pour la première fois de n côtés pile successifs
lors de lancers d'une pièce. La première partie s'intéresse aux cas où n = 1 et 
n = 2 ; la deuxième au cas où n = 3. Puis
le cas général est étudié dans la troisième partie. La dernière partie, quant à 
elle, traite du problème de l'apparition
d'une succession d'au moins n côtés pile consécutifs lorsqu'une pièce est 
lancée k fois.

Notations et définition
On dispose d'une pièce non nécessairement équilibrée. On note p ]0,1[ la 
probabilité que le résultat d'un lancer donne
le côté pile et q ]0,1[ celle qu'il soit face. Pour tout n  N , on définit la 
variable aléatoire Xn de sorte que pour
tout entier k  N , Xn prend la valeur k lorsque l'on obtient pour la première 
fois n côtés piles consécutifs à la suite
de k lancers d'une pièce et Xn = + si cet événement ne se produit jamais. On 
admet dans tout le sujet l'existence
d'un espace probabilisé (, P ) sur lequel est définie Xn . On note f la 
fonction définie par, pour tout t  [0, 1],
n
X
f (t) = tn - q
pi-1 tn-i et Re(z) la partie réelle de tout nombre complexe z.
i=1

A ­ Les cas où n = 1 et n = 2
I ­ Le cas où n = 1
Q1. Donner explicitement la loi de X1 .
Q2. Donner directement la fonction génératrice de X1 , son espérance et sa 
variance.
Q3. Démontrer les résultats donnés dans la question 2.

II ­ Le cas où n = 2
Q4. Déterminer P (X2 = 1) et P (X2 = 2).
Q5. Soit k  N, k > 2. On suppose que X2 prend la valeur k. Déterminer 
l'ensemble des résultats possibles pour les
deux premiers lancers.
Q6. En déduire que pour tout k  N, k > 2, P (X2 = k) = qP (X2 = k - 1) + pqP 
(X2 = k - 2).
Q7. Montrer que le trinôme X 2 - qX - pq admet deux racines r1 et r2 dans ] - 
1,1[ vérifiant r2 < r1 et |r2 | < |r1 |. Q8. Déterminer le rayon de convergence, noté R, de la série entière + X k=2 Q9. Exprimer P (X2 = k) pour tout k  N, k > 2.

1/4

(r1k-1 - r2k-1 )z k .

Q10. Déterminer l'événement (X2 = +) en fonction des événements (X2  k), où k  
N . En déduire que
P (X2 = +) = 0.
Q11. Montrer que la fonction génératrice de X2 , notée GX2 , est telle que, 
pour tout z  C tel que |z| < R, p2 z 2 GX2 (z) = . 1 - qz - pqz 2 . Q12. Montrer que X2 admet une espérance et une variance. Q13. Calculer l'espérance de X2 puis montrer que sa variance vaut 2 2 1 1 + 3- 2- . p4 p p p B ­ Le cas où n = 3 On s'intéresse dans cette partie au cas où n = 3. I ­ Étude générale à l'aide de l'algèbre linéaire Q14. Donner pour tout k  {1,2,3}, P (X3 = k). Q15. Montrer à l'aide d'un système complet d'événements adéquat que pour tout k > 3,
P (X3 = k) = qP (X3 = k - 1) + pqP (X3 = k - 2) + qp2 P (X3 = k - 3).

P (X3 = k + 2)
Q16. Soit k  N . On pose la matrice colonne Uk =  P (X3 = k + 1)  . Déterminer 
une matrice M  M3 (R) telle
P (X3 = k)
que Uk+1 = M Uk .
Q17. Déterminer le polynôme caractéristique noté M de M .
Q18. Montrer que M admet une unique racine dans ]0,1[.
Q19. Vérifier que (X - p)M (X) = X 4 - X 3 + qp3 puis montrer que M admet une 
seule racine réelle.
Q20. Justifier que M est diagonalisable dans C.
Q21. On note Q  GL3 (C) et D  M3 (C) une matrice diagonale d'ordre 3 telles que 
M = QDQ-1 . Sans calculer Q,
montrer qu'il existe (A,B,C)  C3 , 1 ]0,1[ et 2  C tels que, pour tout k  1,
P (X3 = k) = Ak-1
+ Bk-1
+ C2
1
2

k-1

.

Q22. Déterminer uniquement la valeur de A en fonction de 1 et 2 .
Q23. On note  un argument de 2 et r son module. Montrer qu'il existe (a,b,c)  
R3 tel que pour tout k  N ,
P (X3 = k) = ak-1
+ brk-1 cos((k - 1)) + crk-1 sin((k - 1))
1
Q24. Montrer que : q < 1 , Re(2 ) < 0, |2 - 1| > 1 puis que |2 | < 1 . Q25. En déduire l'existence d'un réel m > 0, que l'on calculera en fonction de 
1 et 2 , tel que P (X3 = k)

II ­ Un cas particulier
Dans cette partie B.II, on suppose que p = 3/4.
Q26. Déterminer dans N une racine du polynôme M ( X
4 ).
Q27. En déduire toutes les racines de M .
Q28. Déterminer un équivalent de P (X3 = k).

2/4

k+

mk1 .

C ­ L'étude générale par le calcul de la fonction génératrice
On s'intéresse au cas où apparaît pour la première fois une succession de n 
côtés pile lors du lancer d'une pièce, où
n  N .
Q29. Quelles sont les valeurs de P (Xn = k), où k  {1, · · · ,n} ?
Q30. Montrer que pour tout k  N, k > n,
P (Xn = k) = qP (Xn = k - 1) + qpP (Xn = k - 2) + · · · + qpn-1 P (Xn = k - n).
Q31. On rappelle que la fonction f a été définie dans l'introduction du sujet. 
Calculer f (1) puis montrer qu'il existe
t ]p,1[ tel que f (t)  0. On considère dans la suite de cette partie C un tel 
réel t.
Q32. Montrer par récurrence que pour tout k  N , P (Xn = k)  tk .
Q33. Montrer que la fonction génératrice de Xn , notée GXn , est définie pour 
tout z  C tel que |z| < GXn (z) = pn z n (1 - pz) . qpn z n+1 - z + 1 1 et que t Q34. Montrer que Xn admet une espérance et calculer E(Xn ). Q35. On admet qu'il existe a  C, 1 , · · · , n n nombres complexes de module strictement supérieur à 1 et deux à n X 1 ai deux distincts et (a1 ,a2 , · · · ,an )  Cn tels que pour tout z tel que |z| < , GXn (z) = a + . Déterminer t z - i i=1 pour tout k  N , P (Xn = k) en fonction des nombres ai et i . D ­ Obtenir une succession de pile à la suite de lancers d'une pièce Dans cette partie, on effectue des lancers successifs de la même pièce, on rappelle que la probabilité d'obtenir le côté pile est p ]0,1[. Au bout de k  N lancers, on s'intéresse à l'apparition d'une succession d'au moins n côtés pile consécutifs. Par exemple, on lance 100 fois la pièce et on regarde si la série de cinq côtés pile : "pile,pile,pile,pile,pile" est apparue dans ces 100 lancers, mais il n'est pas interdit d'avoir une série de plus de cinq piles côte à côte. On note An,k l'événement : " avoir une succession d'au moins n côtés pile au bout de k lancers de la pièce". On admettra que pour tout (b1 , b2 , · · · , bn )  Cn , il existe une unique suite (uk )kN telle que : i  {1, · · · ,n}, ui = bi et k > n, uk = quk-1 + qpuk-2 + · · · + qpn-1 uk-n

().

Soit n  N .
Q36. Quelles sont les valeurs de P (An,k ), où k  {1, · · · ,n} ?
Q37. Montrer que pour tout k  N, k > n,
P (An,k ) = pn + qP (An,k-1 ) + qpP (An,k-2 ) + · · · + qpn-1 P (An,k-n ).
Q38. Écrire une fonction Python ayant comme variables d'entrée p, k et n et qui 
donne en sortie la liste des P (An,l )
pour l  {1, · · · ,k}.
Q39. Déterminer une suite constante (vk )kN vérifiant :
k  N , k > n, vk = pn + qvk-1 + qpvk-2 + · · · + qpn-1 vk-n .
Q40. Déterminer (b1 , · · · , bn )  Cn telle que la suite (uk ) vérifiant la 
condition () est telle que, pour tout k  N ,
P (An,k ) = 1 - uk .
Q41. Montrer que pour tout k  N , k  n, 0 < uk < 1 et (uk )kN est décroissante. ui+1 Q42. On pose M = max ; i  {n, · · · ,2n - 1} . En utilisant la fonction f définie en introduction puis en ui raisonnant par récurrence d'ordre n à partir du rang n + 1, montrer qu'il existe   [M,1[ telle que pour tout k  N , k  n + 1, uk  k-n . 3/4 Q43. Déterminer P + [ ! An,k puis justifier l'affirmation : lorsque l'on effectue une succession de lancers d'une pièce, k=1 presque sûrement on obtiendra à un moment une série d'au moins 10000 côtés pile consécutifs. Q44. On suppose dans cette question n = 5 et p = 1/2. On admet que l'on peut prendre  = 0,9827 et que l'on a 0,982795  0.193. Justifier l'affirmation suivante : on lance 100 fois une pièce équilibrée, la probabilité d'obtenir au moins cinq cotés pile consécutifs est au moins de 0,8. Q45. En s'inspirant de la méthode de la partie B, proposer une démarche expliquée en quelques étapes et sans faire les calculs et qui permettrait de montrer l'existence de (µ1 , µ2 , · · · , µn )  Cn avec pour tout i  {1, · · · ,n}, n X |µi | < 1 et de (c1 , · · · ,cn )  Cn tel que pour tout k  N , P (An,k ) = 1 - ci µki . Références [1] Evgeny Khorov et al. « Analytical study of neighborhood discovery and link management in OLSR ». In : 2012 IFIP Wireless Days. 2012, p. 1-6. doi : 10.1109/WD.2012.6402849. Fin 4/4 M103 - 6 janvier 2026 - 16:57:48 c b e a i=1