CCINP Maths PSI 2026

SESSION 2026

PSI1M

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI
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MATHÉMATIQUES
Durée : 4 heures
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N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
·

·
·

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction 
de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

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Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème indépendants.

1/8

EXERCICE 1
Un jeu de pile ou face

Préliminaires

Q1. On considère la fonction

f : x 

1
.
1-x

Montrer que pour tout k  N, f est de classe C k sur ] - 1, 1[, et que pour tout 
x ] - 1, 1[,
f (k) (x) =

Q2. Établir que :

k  N, x ] - 1, 1[,

k!
.
(1 - x)k+1

+

n!
k!
xn-k =
.
(n - k)!
(1 - x)k+1
n=k

Étude d'un jeu de Pile ou Face

Soit p ]0, 1[. Deux joueurs effectuent des lancers indépendants d'une même 
pièce. À chaque
lancer, la probabilité d'obtenir Pile est p. Le jeu se déroule de la manière 
suivante.
- Le joueur 1 effectue une succession de lancers et s'arrête lorsqu'il obtient 
Pile pour la
première fois.
On admettra qu'avec une probabilité de 1, le joueur obtient Pile après un 
nombre fini
de lancers.
- Le joueur 2 effectue ensuite le même nombre de lancers que le joueur 1 et 
compte le
nombre de fois où il a obtenu Pile.

On admet que l'expérience est modélisée par un espace probabilisé (, A, P).

- On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de lancers effectués 
par le
joueur 1.
- On note Y la variable aléatoire correspondant au nombre de Pile obtenus par 
le joueur 2.

Q3. Préciser la loi de X.

Q4. Pour tout entier n  N et tout entier k  N, calculer la probabilité de 
l'événement {Y = k}
sachant {X = n}, notée par la suite P(Y = k | X = n).

Q5. Pour tout entier k  N, exprimer P(Y = k) en fonction des réels P(Y = k | X 
= n) et
P(X = n), pour n  N .
1- p
Q6. Établir que : P(Y = 0) =
.
2- p

Q7. Établir que pour tout k  N :

P(Y = k) =

2/8

(1 - p)k-1
.
(2 - p)k+1

EXERCICE 2
Une caractérisation de la fonction Gamma

L'objet de cet exercice est l'étude d'une caractérisation de la fonction Gamma 
connue sous
le nom de théorème de Bohr-Mollerup.

On pourra utiliser sans démonstration le résultat suivant.

Lemme 1. Si g est une fonction convexe sur un intervalle I  R et a  I, alors 
pour tous x, y
éléments de I \ {a} tels que x  y,
g(x) - g(a)
g(y) - g(a)

.
x-a
y-a

Dans cet exercice, nous cherchons à montrer que la seule fonction f : R+  R+ 
qui vérifie :

x  R+ , f (x + 1) = x f (x)

f (1) = 1

 ln  f est une fonction convexe

(S )

est la fonction , définie par :

x  R+ ,

(x) =

 +
0

t x-1 e-t dt.

Existence : la fonction  vérifie (S )

Q8. Montrer que la fonction  est bien définie sur R+ et que (x) > 0 pour tout x 
 R+ .

Q9. Montrer que (x + 1) = x (x) pour tout x  R+ .

Dans les questions Q10 à Q12, a et b désignent des réels vérifiant 0 < a < 1 < b et  désigne la fonction définie sur R+ par : (t) = Q10. Établir que : ta-1 tb-1 e-t si t  ]0, 1] . si t  ]1, +[ (x, t)  [a, b] × R+ , t x-1 e-t  (t). Q11. Pour k  {0, 1, 2}, on définit la fonction k sur R+ par : t  R+ , k (t) = | ln t|k (t). Montrer que les fonctions k (k  {0, 1, 2}) sont intégrables sur R+ . Q12. Déduire des deux questions précédentes que la fonction  est de classe C 2 sur R+ . Donner l'expression des deux fonctions   et   sous une forme intégrale. 3/8 Q13. Soient ,   R+ vérifiant  < . Pour tout couple (u, v) de fonctions continues sur [, ], on pose : u, v = u(t)v(t) dt. Montrer que ·, · définit un produit scalaire sur C 0 ([, ]). Q14. En utilisant la question Q13 et en ayant recours à l'inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que : x  R+ , (  (x))2  (x)   (x). En déduire que la fonction ln  est convexe et conclure que  vérifie bien (S ). Unicité On suppose que f est une fonction de R+ dans R+ qui vérifie (S ). On introduit par ailleurs la fonction g définie sur R+ par : x  R+ , g(x) = ln( f (x)). Q15. Montrer que si x  R+ et n  N, on a : f (x + n) = x(x + 1) . . . (x + n - 1) f (x). En déduire les valeurs de f (n + 1) et de g(n + 1). Q16. Montrer que : x  R+ , n  N, g(x + n + 1) = g(x) + ln x(x + 1) . . . (x + n) . Q17. À l'aide du Lemme 1, justifier que : x ]0, 1], n  N , g(n + 1) - g(n) g(x + n + 1) - g(n + 1) g(n + 2) - g(n + 1). x Q18. À l'aide des questions Q16 et Q17, établir que : n x n! x ]0, 1], f (x) = lim . n+ x(x + 1) . . . (x + n) Q19. Déduire des questions Q14 et Q18 que pour tout x ]0, 1], f (x) = (x). Q20. En utilisant la question Q15, conclure que f = . 4/8 (1) PROBLÈME Étude d'une classe d'endomorphismes Notations Dans tout le problème, K désigne indifféremment R ou C et E est un K-espace vectoriel de dimension n  1. On note L (E) l'ensemble des endomorphismes de E. Pour tout u  L (E), par convention u0 = IdE et pour tout k  N on note : uk = u  u  ...  u. k fois Soient k  N et F1 , . . . , Fk des sous-espaces vectoriels de E. Lorsque la somme F1 + . . . + Fk k est directe, on la note Fi . Par convention, si k = 0 (cas d'une somme vide), la somme vaut {0}. i=1 Pour tout p  N , on note M p (K) le K-espace vectoriel des matrices de taille p× p à coefficients dans K et K p [X] le K-espace vectoriel des polynômes à coefficients dans K de degré inférieur ou égal à p. Soit u  L (E). On admet que les assertions suivantes sont équivalentes : (i) il existe (p, q)  N2 tels que p+2q = n et des sous-espaces vectoriels D1 , . . . , D p , P1 , . . . , Pq de E stables par u, les Di étant de dimension 1 et les P j de dimension 2, tels que : E= p i=1 Di q P j. j=1 (ii) il existe (p, q)  N2 tels que p + 2q = n et une base B de E dans laquelle la matrice de u est diagonale par blocs avec des blocs de taille 1 ou 2. Autrement dit, 1 . .. (0) p p q (1 , . . . ,  p )  K ,  (M1 , . . . , Mq )  M2 (K) : MatB u = . M 1 . . . (0) Mq Dans tout le problème, on note D l'ensemble des endomorphismes de E qui vérifient (i) ou (ii). 5/8 Objectif du problème L'objet de ce problème est d'étudier quelques propriétés de l'ensemble D. Après avoir étudié deux exemples dans la partie I, on étudie dans la partie II les endomorphismes nilpotents de D. Dans la partie III, on démontre un critère d'appartenance à D faisant intervenir des polynômes annulateurs. Partie I - Deux exemples Dans cette partie, on note E = K2 [X]. On définit u, v  L (E) par : et u : E - E 2 P - X P + P v : E - E . P - P Étude de u Q21. Écrire la matrice de u dans la base canonique de K2 [X]. Est-elle diagonalisable ? Q22. Déterminer Ker u2 et justifier que Ker u2 est un sous-espace vectoriel stable par u. Q23. Donner une base B de E dans laquelle : et conclure que u  D. 2 0 0 MatB (u) = 0 0 1 0 0 0 Étude de v Q24. Donner la matrice de v dans la base canonique de K2 [X]. Q25. Déterminer tous les sous-espaces vectoriels de E de dimension 1 stables par v. Q26. Montrer que K1 [X] est le seul sous-espace vectoriel de E de dimension 2 stable par v. Q27. En déduire que v  D. Q28. D est-il un sous-espace vectoriel de L (E) ? Partie II - Le cas des endomorphismes nilpotents Un endomorphisme u  L (E) est dit nilpotent s'il existe k  N tel que uk = 0. Dans ce cas, le plus petit entier naturel k vérifiant uk = 0 est appelé indice de nilpotence de u. Dans la suite, on note N l'ensemble des endomorphismes de E nilpotents et on pose : N2 = {u  L (E) : u2 = 0}. Dans toute cette partie, u  N est un endomorphisme nilpotent d'indice k  N et de rang r  N. 0 1 M2 (K). On note J = 0 0 6/8 Cas n = 1 Q29. Que dire de u si dim E = 1 ? Cas n = 2 On suppose dans ce cas que dim E = 2 et que u est non nul. Q30. Soit x  E tel que uk-1 (x)  0. Justifier que (uk-1 (x), uk-2 (x), . . . , u(x), x) est une famille libre. Q31. En déduire que k = 2, puis que u  N2 . Cas général E désigne maintenant un espace vectoriel de dimension n  1. Q32. Montrer que D  N  N2 . Soit u  N2 . Q33. Justifier que Im u  Ker u et que r  n - r. Q34. Notons (e1 , . . . , er ) une base de Im u que l'on complète en une base (e1 , . . . , en-r ) de Ker u. Soient f1 , . . . , fr  E tels que pour tout i  1, r, u( fi ) = ei . Montrer que la famille (e1 , . . . , en-r , f1 , . . . , fr ) est une base de E. Q35. Montrer qu'il existe une base B de E dans laquelle la matrice de u est de la forme diagonale par blocs : 0n-2r J (0) , . (0) . . J où 0n-2r désigne la matrice nulle de Mn-2r (K) et où les autres blocs diagonaux égaux à J sont en nombre r. Q36. En déduire que N2 = D  N. Partie III - Un critère d'appartenance à D Dans toute cette partie, u  L (E) est un endomorphisme quelconque. On souhaite montrer que s'il existe un polynôme annulateur de u scindé à racines simples ou doubles, alors u  D. Q37. Soient a, b  K, distincts. On définit : : K1 [X]2 - K3 [X] . (A, B) - (X - a)2 A + (X - b)2 B Montrer que  est un isomorphisme. En déduire l'existence d'un couple (A, B)  K1 [X]2 tel que : (X - a)2 A + (X - b)2 B = 1. 7/8 Q38. Justifier que pour tous a, b  K distincts, Ker(u - a IdE )2  Ker(u - b IdE )2 = {0}. Soient (p, q)  N2 \ {(0, 0)} et (1 , . . . ,  p )  K p et (1 , . . . , q )  Kq deux familles de scalaires telles que les 1 , . . . ,  p , 1 , . . . , q sont distincts. On notera que l'une des deux familles (1 , . . . ,  p ) et (1 , . . . , q ) peut éventuellement être vide. Q39. Justifier que la somme : p i=1 est directe. Q40. Montrer que la somme : p i=1 Ker(u - i IdE ) Ker(u - i IdE ) q j=1 Ker(u -  j IdE )2 est directe. On pourra procéder par récurrence sur q  N. Q41. Soit : P= q p (X - i ) (X -  j )2  K[X]. i=1 (2) j=1 Pour i  1, p et j  1, q, on note Pi , Q j et R j les polynômes tels que : P = (X - i )Pi , P = (X -  j )Q j , P = (X -  j )2 R j . Montrer que la famille B = (P1 , . . . , P p , Q1 , . . . , Qq , R1 , . . . , Rq ) est libre. En déduire que B est une base de K p+2q-1 [X]. On suppose à partir de maintenant que le polynôme P défini en (2) est annulateur de u. Q42. En décomposant le polynôme constant égal à 1 sur la base B, justifier que : i=1 Ker(u - i IdE ) q j=1 Q43. Conclure que u  D. On pourra utiliser le résultat de la question Q36. FIN 8/8 Ker(u -  j IdE )2 . I M P R I M E R I E N A T I O N A L E ­ 26 1015 ­ D'après documents fournis E= p