X/ENS Physique B PC 2026

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI
ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2026

MERCREDI 15 AVRIL 2026
08h00 - 12h00
FILIERE PC

-

Epreuve n° 5

PHYSIQUE B

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

De la topologie dans les ondes :
de la matière condensée à El Niño

Illustration de l'équivalence topologique entre une tasse à café et un tore,
reliés par une déformation continue (Modèle de K. Crane et H. Segerman).

En 2016, le prix Nobel de physique a été décerné à trois chercheurs pour leurs 
travaux sur les
phases topologiques de la matière [1]. L'intérêt pour ce domaine s'est renforcé 
avec la découverte,
en 2005, des isolants topologiques : des matériaux isolants dans le volume mais 
conducteurs aux
frontières, dont le comportement peut être compris à l'aide d'invariants 
topologiques.
Ce problème propose d'explorer la notion de topologie en physique des ondes à 
travers des chaînes
masse-ressort, systèmes mécaniques discrets, puis d'établir le lien avec les 
ondes équatoriales dans
l'océan, à l'origine du phénomène El Niño [2]. Dans une large mesure, les 2 
parties étudient des
problèmes indépendants.

[1] Prix Nobel de Physique 2016 décerné à D.J. Thouless, F.D. Haldane et J.M. 
Kosterlitz.
[2] P. Delplace, J.B. Marston, A. Venaille, Topological origin of equatorial 
waves, Science, 358,
1075-1077 (2017).

1

Partie I  Chaînes masse-ressort

1. Chaîne monoatomique

On considère une chaîne innie de masses m reliées par des ressorts de raideur  
, séparées par une

distance a. On note un le déplacement de la n-ième masse par rapport à sa 
position d'équilibre

comme représenté sur la gure suivante :

1. Écrire l'équation du mouvement pour la n-ième masse.

i(kna-t) et en déduire la

2. Chercher une solution en notation complexe sous la forme un = U0 e

relation de dispersion (k) des ondes se propageant dans cette chaîne.

On rappelle la formule de trigonométrie : cos 2 = 1 - 2 sin

2

.

3. Cette relation de dispersion montre une périodicité en k . On appelle 
première zone de Brillouin,

la période de

k centrée sur l'origine. Quel intervalle de k correspond à la première zone de

Brillouin ?

4. Représenter la relation de dispersion (k) dans la première zone de Brillouin.

5. Discuter la signication physique de la pente en k = 0.

6. Que vaut la vitesse de groupe pour k = ±

a ? Qu'est ce que cela signie concernant la propa-

gation des ondes ?

7. On place une source d'excitation sur la masse d'indice 0 qui impose le 
déplacement en notation

-it . On choisit une pulsation d'excitation  = 
complexe u0 = U0 e

q

m avec  > 2.

7.1. En reprenant la forme de la solution de la question 2, montrer que l'on 
est obligé d'introduire

un nombre d'onde complexe k = k

 + ik".

7.2. Trouver la valeur de k dans la première zone de Brillouin, sachant la 
formule trigonomé-

trique : sin(x + iy) = sin x ch y + i cos x sh y .

7.3. En déduire les 2 valeurs possibles de k", et justier qualitativement la 
solution que l'on

gardera pour n > 0 et n < 0. 7.4. Tracer la solution obtenue. 7.5. Pourquoi parle-t-on d'onde évanescente au lieu d'onde propagative ? Déterminer les gammes de pulsations correspondant à des ondes propagatives et à des ondes évanescentes ? 2. Chaîne dimérisée : le modèle SSH mécanique On se propose maintenant d'étudier le modèle dit SSH, proposé par Su, Schrieer et Heeger en 1979 pour décrire la conduction électronique dans la molécule d'acétylène : H H C H C H C H C H C H C H C H H C C H C H 2 C H C H C H C H C C H H Pour cela, on considère l'analogue mécanique qui consiste en une chaîne de masses identiques m, reliées par des ressorts alternant entre 1 et 2 comme représenté sur la gure suivante : 8. Établir les équations du mouvement des masses paires (2n) et impaires (2n + 1). 9. On cherche des solutions adaptées à la nouvelle maille de ce réseau en notation complexe sous la forme : u2n (t) u2n+1 (t) = U0 i(2kna-t) e . U1 Montrer que les équations du mouvement peuvent s'écrire sous la forme d'un problème aux valeurs propres : U0 U0 = D(k) , U1 U1 2 et déterminer explicitement la matrice dynamique D(k). Pour alléger les notations on introduira les pulsations caractéristiques 1 = q 1 m et 2 = q 2 m. 10. En cherchant les solutions non-nulles du problème précédent, montrer que la relation de dispersion (k) des ondes se propageant dans cette chaîne dimérisée s'écrit : 2 = 12 + 22 ± q 14 + 24 + 212 22 cos (2ka). 11. Commenter sur la diérence entre les cas 1 /2 = 2/3 et 1 /2 = 3/2. 12. Étant donné la périodicité de cette relation de dispersion, comparer la première zone de Brillouin de cette chaine à celle de la partie précédente ? Commenter. 13. An de représenter la relation de dispersion sur la première zone de Brillouin on se propose de déterminer quelques propriétés caractéristiques de celle-ci. 13.1. Quelles sont les solutions pour  en k = 0 ? 13.2. Quelles sont les solutions en bord de zone de Brillouin (aux bornes de l'intervalle de k considéré) ? 2 13.3. Évaluer le développement limité en k = 0 de  , puis en déduire la vitesse des ondes à basse fréquence. 13.4. Que vaut la pente de la relation de dispersion pour les solutions trouvées en 13.1 et 13.2 ? 14. À la lumière de tous ces calculs, tracer la relation de dispersion, en précisant les tangentes et points remarquables de la question précédente, sur la première zone de Brillouin pour les 2 cas : 1 /2 = 2/3 1 /2 = 1. 15. Cette question fait écho à la question 7 dans le cas de la chaine monoatomique. Ici, on choisit 21 et 22 . Comme on n'a pas de solution possible avec k  R, on introduit une solution de la forme k = k  + ik". 15.1. Sachant que cos(2ka) doit être réel, trouver les 2 valeurs possibles de k dans la première zone de Brillouin (on rappelle la formule trigonométrique : cos(x + iy) = cos xchy - i sin xshy ). une pulsation dans l'intervalle entre 3 15.2. Montrer que pour satisfaire la condition sur la fréquence (supposée en début de question) une seule de ces solutions est possible. 15.3. Tracer la forme spatiale des déplacements pour n > 0 en supposant u0 = U0 
.

On a représenté sur la gure ci-dessous les domaines de fréquences pour lesquels 
l'équation
de dispersion admet des solutions propagatives ou des solutions évanescentes 
dans le cas où

1 = 0 +  et 2 = 0 -  pour diérentes valeurs de  .

Diagramme de bandes de la chaîne masses-ressorts dimérisée en fonction du 
rapport

1
2 .

16. Identier sur ce diagramme les bandes de propagation et les bandes 
correspondant à des

ondes évanescentes, dites bandes interdites. Que se passe-t-il en

1
= 1?
2

3. Interprétation topologique

0 -i
0 1
.
et y =
On introduit la matrice identité I ainsi que les matrices de Pauli x =
i 0
1 0
17. Écrire en explicitant d0 , dx (k) et dy (k) la matrice dynamique D(k) sous 
la forme :

D(k) = d0 I + dx (k) x + dy (k) y .

18. Lorsque k parcourt l'intervalle -
2a , 2a , tracer la trajectoire du vecteur d(k) =

dx (k)
dy (k)

dans le plan (Oxy). Distinguer les 2 cas 1 > 2 et 1 < 2 . Sur chacune des trajectoires, ajouter un point sur la courbe de manière à représenter le vecteur d(k) ainsi que l'angle (k) formé entre d(k) et l'axe (Ox). 19. En parcourant la trajectoire du vecteur d(k) lorsque k - 2a , 2a , évaluer graphiquement l'intégrale de l'invariant topologique  déni par : = 1 2 Z /(2a) d(k). -/(2a) Donner la valeur de  , appelé invariant topologique, dans les 2 cas : 1 > 2 et 
1 < 2 . Indication : n'est rien d'autre que le nombre de tours eectués par le vecteur d(k) autour de l'origine lorsque l'on parcourt la trajectoire sur l'intervalle considéré. 4 Le but de cet invariant topologique est de faire des prédictions sur l'existence de modes, seulement en évaluant celui-ci. Pour illustrer cette propriété, nous considérons une interface entre deux chaînes SSH mécaniques : d d À droite (n  0) une chaîne nie de Nd masses avec 1 /2 > 1.

g

g

g

g

 À gauche (n < 0) une chaîne nie de Ng masses dont on va faire varier la valeur de 1 /2 . Un graphique correspondant aux fréquences propres (points) pour diérentes valeurs de 1 /2 est fourni ci-dessous : g g Fréquences propres (points) pour diérentes valeurs de 1 /2 pour Nd = Ng = 20. Curieusement, ce diagramme montre une asymétrie dans la répartition des solutions vis-à-vis du g g ratio 1 /2 . Notamment, on remarque des solutions dans la zone blanche (par opposition à grisée) 1g du graphique seulement pour les valeurs de < 1. C'est justement l'invariant topologique qui 2g va permettre de le prouver. 20. Calculer les invariants topologiques à gauche (g ) et à droite (d ) dans les diérentes parties de ce graphique. Vérier que le nombre de solutions dans la zone blanche est directement prédit par la valeur |g - d |. 21. En vous aidant du résultat de la question 15, représenter qualitativement le prol spatial g g de la solution obtenue dans la zone blanche pour 1 /2 = 0,7. Pourquoi parle-t-on de mode de bord ? 5 Partie II  Ondes équatoriales : états de bord topologiques Dans cette partie, nous allons montrer que les ondes équatoriales en géophysique obéissent à une logique strictement analogue à la chaîne SSH, et peuvent être interprétées comme des modes topologiques piégés à une interface. 1. Mise en équation du problème On se place dans le système de coordonnées (ex , e y , ez ) comme représenté sur la gure ci-dessous : Système de coordonnées à la surface de la Terre. On considère les océans recouvrant la Terre à l'altitude z = 0 comme étant caractérisés par le champ de vitesse u(x, y, t) et la hauteur de uide h(x, y, t). La mise en équation de ce problème donne le système suivant : h + div(h u) = 0 t u + u.grad h + Fc u = -g grad t (1) g correspond à l'accélération de la pesanteur à la surface de la Terre et Fc correspond à l'eet de la force de Coriolis exercée sur le uide. 22. Reconnaître et nommer les 2 équations en jeu. On fait de plus l'hypothèse de mouvements horizontaux de la couche de uide. Ainsi le terme dû c = -f ez  u, où l'on a introduit le paramètre à la force de Coriolis se simplie sous la forme : F de Coriolis f = 2 .ez (avec le vecteur de rotation de la Terre). 23. On note  l'angle dénissant la latitude, c'est-à-dire l'angle entre le plan équatorial et le point considéré sur la surface de la Terre. Que vaut f en fonction de l'angle ? Que se passe-t-il à l'équateur ? 24. En notant u et v les 2 composantes du champ de vitesse respectivement suivant e x et ey , c dans le système de coordonnées (ex , ey , ez ) en fonction de u, v et f . écrire les 3 composantes de F 6 25. On fait l'hypothèse d'oscillations de faible amplitude à la surface de la terre : h(x, y, t) = H + (x, y, t) avec (x, y, t)  H , ainsi que u et v sont de faibles amplitudes. Écrire le système d'équations linéarisé au premier ordre vérié par  , u et v (remarque : tous les termes dus au repère mobile sont négligeables dans ces hypothèses). 2. Hypothèse de Lord Kelvin On commence par choisir une latitude donnée par l'angle  et on considère l'océan comme étant localement plan dans le système de coordonnées (ex , e y ). On ajoute l'hypothèse introduite par Lord Kelvin de considérer le paramètre de Coriolis comme localement constant : f () = f0 . u et on cherche des solutions en notation complexe sous la forme On introduit le vecteur  = v 0 i(k x+ky y-t) avec  = d'ondes planes : (x, y, t) = 0 e x u0 0 v0 26. Montrer que l'on obtient un problème aux valeurs propres de la forme : M 0 =  0 (2) Expliciter la matrice M en fonction de kx , ky et des paramètres H , g et f0 . 27. Donner la relation de dispersion de ces ondes. 28. Quelle est la vitesse de propagation (que l'on notera c) des ondes à haute fréquence ? 29. Tracer les 3 branches de ces relations de dispersion pour ky = 0 en s'autorisant des fréquences négatives dans le plan (kx , ) pour les cas f0 = 1, f0 = 0 et f0 = -1 (où on a pris une valeur arbitraire de f0 = 1 pour la latitude considérée). 30. Quelles gammes de pulsations correspondent à des bandes interdites ? Pour les bandes non-constantes (notées bandes négative (-) et positive (+)) on parle de modes de Poincaré, alors que la bande plate (notée (0)) est appelée mode géostrophique. Pour chacune des bandes on peut évaluer un invariant topologique C et on peut montrer qu'ils prennent les valeurs : n o C (-) , C (0) , C (+) = {2, 0, -2} × signe(f0 ). 3. Le cas équatorial On s'intéresse désormais au cas des ondes équatoriales (  0) et on fait un développement limité du paramètre de Coriolis proche de l'équateur, soit f (y) = y . 31. Expliquer en quoi l'équateur peut être vu comme une interface entre deux milieux homo- gènes de topologies diérentes. Quelle est la conséquence étant donné les valeurs des invariants topologiques ? 32. Le problème reste invariant par translation selon la direction x mais le terme f = y brise l'invariance selon y . On cherche donc désormais des solutions sous la forme : (x, y, t) = (y) ei(kx x-t) . Réécrire l'opérateur matriciel M(y) dans ces conditions. 7 En découplant les équations, Matsuno a montré en 1966 que les valeurs propres de ce problème satisfont l'équation : 2 kx - kx2 - = (2n + 1) 2 c c avec n  N, ainsi qu'une solution supplémentaire correspondant à l'onde de Kelvin :  = kx c. L'ensemble des solutions (pour n  4) est représenté sur la gure suivante : Poincaré Rossby Yanai Kelvin 33. En utilisant les acquis de la chaîne SSH (questions 19 à 21), compter le nombre de modes transitant dans chaque bande interdite des modes vues dans l'hypothèse de Kelvin où f était constant et vérier que ce nombre est compatible avec la diérence des valeurs de l'invariant topologique C . Quelles ondes correspondent aux modes topologiques recherchés ? 34. Les ondes de Rossby correspondent approximativement aux solutions du problème : = -kx 2 kx + c (2n + 1) avec n  N . Évaluer la vitesse de phase de ces ondes et montrer qu'elle est toujours dirigée vers l'Ouest. 35. De même, évaluer la vitesse de groupe de ces ondes et montrer qu'elle change de signe pour une valeur caractéristique de kx dénissant une longueur d'onde critique c que l'on évaluera. En déduire la direction de propagation d'un paquet d'onde de Rossby en fonction de sa longueur d'onde. 36. L'onde de Kelvin joue un rôle prépondérant dans le phénomène El Niño. Pourquoi est-elle responsable d'une accumulation d'eaux au large des côtes du Pérou ? 8