Centrale Physique 2 PC 2002

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Centrale Physique 2 PC 2002 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Marc Legendre (ESPCI) ; il a été relu par Christophe
Lepage (doctorant en mécanique des fluides) et Nathanaël Schaeffer (ENS Lyon).

Le sujet porte principalement sur l'étude de quelques problèmes de mécanique
des fluides. D'autres domaines de la physique sont abordés : physique 
ondulatoire,
optique, mécanique du point et électrocinétique. Une bonne connaissance du 
programme dans son ensemble est donc nécessaire pour traiter complètement le 
sujet.
Ce problème est cependant peu difficile et, en outre, très intéressant.
· La première partie traite du modèle assez peu connu de Saint-Venant.
Elle suppose une bonne maîtrise des différents types de bilans que l'on est
amené à faire en mécanique des fluides, notamment les bilans lagrangien et
eulérien. C'est la partie la plus calculatoire du problème.
· La partie II traite de la crue d'une rivière et ne présente qu'une seule 
question
délicate (la question II.A.2).
· La partie III étudie une instabilité d'interface de manière théorique puis 
expérimentale. Certaines questions permettent d'exercer son sens physique.
· La dernière partie est consacrée à l'étude du phénomène des marées dans un
canal. C'est la partie la plus facile à traiter, preuve qu'il est toujours 
utile de
lire le sujet jusqu'au bout avant de le traiter.

Indications
Partie I
I.A.1 Ne pas considérer les variations spatiales de v et h entre x et x + dx 
(se demander pourquoi. . .).
I.A.4 Utiliser les trois questions précédentes.
I.B.2 Dériver la pression obtenue à la question précédente par rapport à x.
I.D.2 Quelle est la dimension de la viscosité cinématique ?
Partie II
II.A.1 Dériver l'équation (4) par rapport à x.
II.A.2 Déterminer la dérivée particulaire de  dans un écoulement de vitesse v0 .
II.B.1 Remplacer les variables de temps et d'espace par des échelles 
caractéristiques dans l'équation (6).
Partie III
III.B.3 Regarder la déviation d'un rayon lumineux selon la concavité de la 
courbe
définie par l'interface huile/air.
Partie IV
IV.B.1.b Regarder le dénominateur de M .
IV.B.1.d Dans cette expérience, une extrémité de la corde vibrante est fixé, 
l'autre
est soumis à des oscillations verticales.
IV.B.2.b Justifier que l'on peut négliger la composante transitoire de U.

I. Modèle de Saint-Venant
I.A.1 L'eau de masse  2 mx qui entre algébriquement dans (S) entre les instants 
t
et t + dt par le plan d'abscisse x est située entre les plans d'abscisse x et x 
- v dt.
On a donc
 2 mx = µ L h(x, t) v(x, t) dt
z

(S)

v dt

x

x+

dx

On ne considère pas les variations spatiales de v et h entre x et x + dx parce
que l'on multiplie ces grandeurs par des termes infiniment petits et que l'on
se limite à l'ordre 1 en dx.
I.A.2 Cette fois, le sens de l'écoulement implique que de l'eau sort de (S) à 
l'abscisse
x + dx (d'où un signe négatif dans l'expression algébrique de la masse 
entrante).
L'eau sortant de (S) entre t et t + dt est située entre les plans x + dx et x + 
dx - v dt.
On a alors
 2 mx+dx = -µ L h(x + dx, t) v(x + dx, t) dt
z

(S)
v dt

x

x+

dx

I.A.3 La masse  2 m entrant algébriquement dans (S) entre t et t + dt est donc
 2 m =  2 mx +  2 mx+dx
= µ L (h(x, t) v(x, t) - h(x + dx, t) v(x + dx, t)) dt
Finalement

 2 m = -µ L

(h v)
dx dt
x

I.A.4 Calculons la variation de la masse d'eau entre t et t + dt dans le 
système (S)
d2 m = µ L dx h(x, t + dt) - µ L dx h(x, t)
h
= µL
dx dt
t
Ce renouvellement temporel d'eau est dû, en l'absence de puits et de source 
dans (S)
à l'apport d'eau venant de la non uniformité de l'écoulement. On a donc
 2 m = d2 m
h (h v)
+
=0
t
x

soit, en simplifiant,

(1)

I.B.1 L'équation d'Euler s'écrit
!

-- -
--
-
v

-

µ
+ ( v · grad ) v = - grad p + µ-
g
t
En projetant sur la coordonnée z, les termes du membre de gauche sont annulés 
car

-
v = v(x, t) -
u
x et il vient
p
= -µ g
z
En intégrant cette équation entre h(x, t) et z, on obtient
p(z, x, t) = p0 + µ g (h(x, t) - z)
I.B.2 La force volumique de pression et de gravité projetée selon x est, en 
tenant
compte de sin  = ,
p
fx = -
+ µ g
x
En dérivant l'équation obtenue à la question I.B.1, il vient
p
h
= µg
x
x

h
On a alors
fx = µ g  -
x
La force dFx s'appliquant au système (S) de volume infinitésimal dV est donc
dFx = fx dV
On obtient finalement

h
dFx = µ g  -
h(x, t) L dx
x

I.C.1 Le système (S ) peut se décomposer en deux sous-systèmes : le système (S)
de masse m(t) et celui constitué par la masse  2 mx qui entre dans (S) entre t 
et
t + dt. Rappelons que la quantité de mouvement est une grandeur extensive d'où
P (t) = m(t) v(x, t) +  2 mx v(x, t)
En utilisant la question I.A.1, on trouve
 2 mx = µ L h(x, t) v(x, t) dt
Il vient

P (t) = µ L h(x, t) v(x, t) (dx + v(x, t) dt)