Centrale Physique 2 PC 2002

Thme de l'preuve tude d'une interface eau/air
Principaux outils utiliss mcanique des fluides, physique des ondes
Mots clefs bilan lagrangien, bilan eulrien, diffusion, instabilit, quation d'onde, mare, rsonance

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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nonc obtenu par reconnaissance optique des caractres


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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres


 Centrale Physique 2 PC 2002 -- Corrig Ce corrig est propos par Marc Legendre (ESPCI) ; il a t relu par Christophe Lepage (doctorant en mcanique des fluides) et Nathanal Schaeffer (ENS Lyon). Le sujet porte principalement sur l'tude de quelques problmes de mcanique des fluides. D'autres domaines de la physique sont abords : physique ondulatoire, optique, mcanique du point et lectrocintique. Une bonne connaissance du programme dans son ensemble est donc ncessaire pour traiter compltement le sujet. Ce problme est cependant peu difficile et, en outre, trs intressant.  La premire partie traite du modle assez peu connu de Saint-Venant. Elle suppose une bonne matrise des diffrents types de bilans que l'on est amen  faire en mcanique des fluides, notamment les bilans lagrangien et eulrien. C'est la partie la plus calculatoire du problme.  La partie II traite de la crue d'une rivire et ne prsente qu'une seule question dlicate (la question II.A.2).  La partie III tudie une instabilit d'interface de manire thorique puis exprimentale. Certaines questions permettent d'exercer son sens physique.  La dernire partie est consacre  l'tude du phnomne des mares dans un canal. C'est la partie la plus facile  traiter, preuve qu'il est toujours utile de lire le sujet jusqu'au bout avant de le traiter. Indications Partie I I.A.1 Ne pas considrer les variations spatiales de v et h entre x et x + dx (se demander pourquoi. . .). I.A.4 Utiliser les trois questions prcdentes. I.B.2 Driver la pression obtenue  la question prcdente par rapport  x. I.D.2 Quelle est la dimension de la viscosit cinmatique ? Partie II II.A.1 Driver l'quation (4) par rapport  x. II.A.2 Dterminer la drive particulaire de dans un coulement de vitesse v0 . II.B.1 Remplacer les variables de temps et d'espace par des chelles caractristiques dans l'quation (6). Partie III III.B.3 Regarder la dviation d'un rayon lumineux selon la concavit de la courbe dfinie par l'interface huile/air. Partie IV IV.B.1.b Regarder le dnominateur de M . IV.B.1.d Dans cette exprience, une extrmit de la corde vibrante est fix, l'autre est soumis  des oscillations verticales. IV.B.2.b Justifier que l'on peut ngliger la composante transitoire de U. I. Modle de Saint-Venant I.A.1 L'eau de masse 2 mx qui entre algbriquement dans (S) entre les instants t et t + dt par le plan d'abscisse x est situe entre les plans d'abscisse x et x - v dt. On a donc 2 mx =  L h(x, t) v(x, t) dt z (S) v dt x x+ dx On ne considre pas les variations spatiales de v et h entre x et x + dx parce que l'on multiplie ces grandeurs par des termes infiniment petits et que l'on se limite  l'ordre 1 en dx. I.A.2 Cette fois, le sens de l'coulement implique que de l'eau sort de (S)  l'abscisse x + dx (d'o un signe ngatif dans l'expression algbrique de la masse entrante). L'eau sortant de (S) entre t et t + dt est situe entre les plans x + dx et x + dx - v dt. On a alors 2 mx+dx = - L h(x + dx, t) v(x + dx, t) dt z (S) v dt x x+ dx I.A.3 La masse 2 m entrant algbriquement dans (S) entre t et t + dt est donc 2 m = 2 mx + 2 mx+dx =  L (h(x, t) v(x, t) - h(x + dx, t) v(x + dx, t)) dt Finalement 2 m = - L (h v) dx dt x I.A.4 Calculons la variation de la masse d'eau entre t et t + dt dans le systme (S) d2 m =  L dx h(x, t + dt) -  L dx h(x, t) h = L dx dt t Ce renouvellement temporel d'eau est d, en l'absence de puits et de source dans (S)  l'apport d'eau venant de la non uniformit de l'coulement. On a donc 2 m = d2 m h (h v) + =0 t x soit, en simplifiant, (1) I.B.1 L'quation d'Euler s'crit ! -- - -- - v -  + ( v  grad ) v = - grad p + - g t En projetant sur la coordonne z, les termes du membre de gauche sont annuls car - v = v(x, t) - u x et il vient p = - g z En intgrant cette quation entre h(x, t) et z, on obtient p(z, x, t) = p0 +  g (h(x, t) - z) I.B.2 La force volumique de pression et de gravit projete selon x est, en tenant compte de sin = , p fx = - +  g x En drivant l'quation obtenue  la question I.B.1, il vient p h = g x x h On a alors fx =  g - x La force dFx s'appliquant au systme (S) de volume infinitsimal dV est donc dFx = fx dV On obtient finalement h dFx =  g - h(x, t) L dx x I.C.1 Le systme (S ) peut se dcomposer en deux sous-systmes : le systme (S) de masse m(t) et celui constitu par la masse 2 mx qui entre dans (S) entre t et t + dt. Rappelons que la quantit de mouvement est une grandeur extensive d'o P (t) = m(t) v(x, t) + 2 mx v(x, t) En utilisant la question I.A.1, on trouve 2 mx =  L h(x, t) v(x, t) dt Il vient P (t) =  L h(x, t) v(x, t) (dx + v(x, t) dt)