| Thème de l'épreuve | Étude d'une interface eau/air |
| Principaux outils utilisés | mécanique des fluides, physique des ondes |
| Mots clefs | bilan lagrangien, bilan eulérien, diffusion, instabilité, équation d'onde, marée, résonance |
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Centrale Physique 2 PC 2002 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Marc Legendre (ESPCI) ; il a été relu par Christophe Lepage (doctorant en mécanique des fluides) et Nathanaël Schaeffer (ENS Lyon). Le sujet porte principalement sur l'étude de quelques problèmes de mécanique des fluides. D'autres domaines de la physique sont abordés : physique ondulatoire, optique, mécanique du point et électrocinétique. Une bonne connaissance du programme dans son ensemble est donc nécessaire pour traiter complètement le sujet. Ce problème est cependant peu difficile et, en outre, très intéressant. · La première partie traite du modèle assez peu connu de Saint-Venant. Elle suppose une bonne maîtrise des différents types de bilans que l'on est amené à faire en mécanique des fluides, notamment les bilans lagrangien et eulérien. C'est la partie la plus calculatoire du problème. · La partie II traite de la crue d'une rivière et ne présente qu'une seule question délicate (la question II.A.2). · La partie III étudie une instabilité d'interface de manière théorique puis expérimentale. Certaines questions permettent d'exercer son sens physique. · La dernière partie est consacrée à l'étude du phénomène des marées dans un canal. C'est la partie la plus facile à traiter, preuve qu'il est toujours utile de lire le sujet jusqu'au bout avant de le traiter. Indications Partie I I.A.1 Ne pas considérer les variations spatiales de v et h entre x et x + dx (se demander pourquoi. . .). I.A.4 Utiliser les trois questions précédentes. I.B.2 Dériver la pression obtenue à la question précédente par rapport à x. I.D.2 Quelle est la dimension de la viscosité cinématique ? Partie II II.A.1 Dériver l'équation (4) par rapport à x. II.A.2 Déterminer la dérivée particulaire de dans un écoulement de vitesse v0 . II.B.1 Remplacer les variables de temps et d'espace par des échelles caractéristiques dans l'équation (6). Partie III III.B.3 Regarder la déviation d'un rayon lumineux selon la concavité de la courbe définie par l'interface huile/air. Partie IV IV.B.1.b Regarder le dénominateur de M . IV.B.1.d Dans cette expérience, une extrémité de la corde vibrante est fixé, l'autre est soumis à des oscillations verticales. IV.B.2.b Justifier que l'on peut négliger la composante transitoire de U. I. Modèle de Saint-Venant I.A.1 L'eau de masse 2 mx qui entre algébriquement dans (S) entre les instants t et t + dt par le plan d'abscisse x est située entre les plans d'abscisse x et x - v dt. On a donc 2 mx = µ L h(x, t) v(x, t) dt z (S) v dt x x+ dx On ne considère pas les variations spatiales de v et h entre x et x + dx parce que l'on multiplie ces grandeurs par des termes infiniment petits et que l'on se limite à l'ordre 1 en dx. I.A.2 Cette fois, le sens de l'écoulement implique que de l'eau sort de (S) à l'abscisse x + dx (d'où un signe négatif dans l'expression algébrique de la masse entrante). L'eau sortant de (S) entre t et t + dt est située entre les plans x + dx et x + dx - v dt. On a alors 2 mx+dx = -µ L h(x + dx, t) v(x + dx, t) dt z (S) v dt x x+ dx I.A.3 La masse 2 m entrant algébriquement dans (S) entre t et t + dt est donc 2 m = 2 mx + 2 mx+dx = µ L (h(x, t) v(x, t) - h(x + dx, t) v(x + dx, t)) dt Finalement 2 m = -µ L (h v) dx dt x I.A.4 Calculons la variation de la masse d'eau entre t et t + dt dans le système (S) d2 m = µ L dx h(x, t + dt) - µ L dx h(x, t) h = µL dx dt t Ce renouvellement temporel d'eau est dû, en l'absence de puits et de source dans (S) à l'apport d'eau venant de la non uniformité de l'écoulement. On a donc 2 m = d2 m h (h v) + =0 t x soit, en simplifiant, (1) I.B.1 L'équation d'Euler s'écrit ! -- - -- - v - µ + ( v · grad ) v = - grad p + µ- g t En projetant sur la coordonnée z, les termes du membre de gauche sont annulés car - v = v(x, t) - u x et il vient p = -µ g z En intégrant cette équation entre h(x, t) et z, on obtient p(z, x, t) = p0 + µ g (h(x, t) - z) I.B.2 La force volumique de pression et de gravité projetée selon x est, en tenant compte de sin = , p fx = - + µ g x En dérivant l'équation obtenue à la question I.B.1, il vient p h = µg x x h On a alors fx = µ g - x La force dFx s'appliquant au système (S) de volume infinitésimal dV est donc dFx = fx dV On obtient finalement h dFx = µ g - h(x, t) L dx x I.C.1 Le système (S ) peut se décomposer en deux sous-systèmes : le système (S) de masse m(t) et celui constitué par la masse 2 mx qui entre dans (S) entre t et t + dt. Rappelons que la quantité de mouvement est une grandeur extensive d'où P (t) = m(t) v(x, t) + 2 mx v(x, t) En utilisant la question I.A.1, on trouve 2 mx = µ L h(x, t) v(x, t) dt Il vient P (t) = µ L h(x, t) v(x, t) (dx + v(x, t) dt)
