Centrale Physique 2 PC 2001

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Centrale Physique 2 PC 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Fourmond (ENS Ulm) ; il a été relu par Arnaud
Spinelli-Audouin (ESPCI), Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (ENS
Lyon).

Le sujet porte sur les télécommunications par les ondes hertziennes : la 
propagation de ces ondes dans l'ionosphère, leur émission et leur réception.
On étudie dans la première partie du problème la propagation de ces ondes dans
l'ionosphère et, notamment, dans quelles conditions elles sont réfléchies ou 
transmises
par celle-ci. On étudie ensuite l'émission d'un dipôle simple et on combine 
plusieurs
dipôles entre eux pour former une antenne, puis on associe ces antennes pour 
former
des dispositifs plus directifs. Enfin, dans la dernière partie, on étudie les 
antennes
paraboliques, ainsi que l'émission de rayonnement depuis un satellite.
Ce problème constitue une excellente vue d'ensemble de l'optique ­ que ce soient
les équations de Maxwell, la diffraction, le dipôle rayonnant. . . Il constitue 
par ailleurs
un bon exercice d'intégration sur des surfaces.

Indications

Première partie
I.A.1 Estimer de combien varie la distance interatomique quand on passe du
métal au plasma. Utiliser les valeurs numériques données en annexe.
I.A.2 Utiliser la question I.A.1 et les résultats de la question d.

.
I.B.1 Chercher -
v sous la forme -
v (x, t) = f (x, t) -
u
y

I.B.3 Revenir aux notations réelles pour le calcul de la puissance.
- .
I.C.1 Ne pas oublier 

-
I.C.2.b Utiliser le préambule pour calculer B .
I.C.3 Il y a une erreur dans l'énoncé. Traiter le cas  > p .
I.C.3.e Différentier la relation de dispersion.
I.D Faire le bilan de la partie I.C.
Deuxième partie
 -

 -- -
-

II.A.3 Utiliser div a A = a div A + grad a . A .

II.A.5 Ne pas oublier sin  dans l'élément
de surface en sphérique. Remarquer

que sin3  = sin  1 - cos2  .
II.B.1 Que devient le courant aux bords de l'antenne ?

II.B.2 Montrer que le morceau d'antenne est équivalent à un petit dipôle, puis
se servir des questions II.A.
II.C.1 et 2 Écrire le champ total comme une somme de champs issus de chaque 
antenne et développer le terme de phase dans les exponentielles, en négligeant 
la variation d'amplitude.
Troisième partie
III.A.2 Se servir des dimensions données à la question III.A.3.
III.A.3.g Quel est le faisceau le plus directif possible ?
III.C.1 Considérer dans le triangle {Centre de la Terre ­ Satellite ­ France} la
-

-
 -
distance kSFk = k SC + CFk.
III.C.2 Remarquer que la France est située à l'infini, et utiliser la figure 3.
III.C.4 Considérer, puisque L est grand devant les autres dimensions et que 
l'ouverture angulaire de la tache principale de diffraction est petite, que le
morceau de sphère correspondant à cette tache est assimilable à un plan,
et intégrer en coordonnées polaires.

Préambule
a Les équations de Maxwell dans le vide sont

-
div E = 0

-
div B = 0

(1)
(2)

-

-
B
- 
rot E = -
t

(3)

-
-
E
- 
rot B = µ0 0
t

(4)

-

-
Pour obtenir les équations de propagation pour E (resp. B ), on prend le 
rotationnel
de (3) (resp. (4))

-

- - -
-  B
rot rot E = - rot
t

et

-

- - -
-  E
rot rot B = µ0 0 rot
t

Puis on utilise la formule donnée dans le formulaire
 --
-

-
- - -
rot rot A = grad div A -  A
--
en remarquant que d'après (1) et (2), les termes en grad div sont nuls.
Ceci donne

-
 -  B
-
 E = rot
t

-
-

-  E
et  B = -µ0 0 rot
t

Enfin, d'après le théorème de Schwarz (commutation des dérivées partielles), on 
a

-

-
- -
 rot B
2 E
-  B
rot
=
= µ0  0 2
t
t
t

-

-
- -
2
 rot E
 B
-  E
rot
=
=- 2
t
t
t

Ceci donne finalement

d'après (4)
d'après (3)

-

-
2 E
 E = µ0  0
t2

-

-
2 B
 B = µ0  0
t2

-

-
b Il s'agit d'une onde plane (car E ne dépend que de x et de t : E est constant 
à
un instant donné dans tous les plans perpendiculaires à l'axe Ox), progressive 
(car

-

-
E = f (x - vt)) et monochromatique ­ ou harmonique (de pulsation bien définie ).
.
Sa polarisation est rectiligne de direction -
u
y

-
c En introduisant l'expression de E dans l'équation de propagation de la 
question
a, on obtient la relation de dispersion
  2
k

= c2

def 
Le vide n'est pas un milieu dispersif car la vitesse de phase v =
est indépendante
k
de . La vitesse de phase est la vitesse à laquelle se déplacent des points de 
phase
 
-
constante. On la calcule en disant que k . -
r - t est une constante dans le temps.

d L'équation (3) donne

-
-

-
k
B =
 E

-

k

B = E0 ej(t-kx) -
u
z

Donc

(5)

-
Cette relation est valable que k soit réel ou complexe, ce qui nous servira
par la suite.
e L'onde plane possède une énergie par unité de volume :
2
-
2
-
0 E
B
E=
+
2
2µ0
0 E 0 2
>0
2
On rappelle que la moyenne temporelle est définie comme suit :
Z T
1
hf i = lim
f (t) dt
T 2T -T
En moyenne

hEi =

Cette énergie moyenne est indépendante du point où on la calcule et non nulle, 
donc,
en l'intégrant sur tout l'espace pour avoir l'énergie totale de l'onde, on 
trouve qu'elle
est infinie, ce qui n'est physiquement pas acceptable. Une onde plane ne peut 
donc
pas exister.
On l'utilise tout de même pour deux raisons :
· avec la transformée de Fourier, si le système est linéaire, ce qui est
généralement le cas en électromagnétisme, on peut se ramener à une
superposition d'ondes planes progressives monochromatiques ;
· généralement, les ondes électromagnétiques ont une structure locale
d'ondes planes (quand on peut négliger la variation spatiale de l'amplitude du 
champ) ­ voir question III.A.3.b.