Centrale Physique 1 PC 2026

PC
4 heures

Calculatrice autorisée

2026

Physique 1

Autour des gouttes et des bulles
Le problème propose d'analyser trois phénomènes physiques autour des gouttes et 
des bulles. La première partie
concerne le mécanisme d'évaporation d'une goutte d'eau. La deuxième partie 
traite de la technique d'enduction centrifuge qui permet de réaliser des films 
minces d'épaisseur contrôlée sur des substrats. Enfin, la troisième partie
propose d'analyser une technique optique de suivi temporel de l'épaisseur d'une 
bulle. Ces 3 parties sont totalement
indépendantes.
Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part 
du candidat. Elles sont repérées par un
soulignement de leur numéro. Il est alors demandé d'expliciter clairement la 
démarche, les choix et de les illustrer, le
cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et tient 
compte du temps nécessaire à la résolution
de ces questions.
Un formulaire, des données numériques ainsi que les définitions de quelques 
fonctions Python sont regroupés en fin
d'énoncé.

Partie A ­ Évaporation d'une goutte d'eau
On envisage une goutte d'eau de masse volumique µeau , placée dans une 
atmosphère humide. La pesanteur n'est
ici pas prise en compte donc la goutte est sphérique, de rayon initial rg0 = 1 
mm. L'eau de la goutte s'évapore
progressivement ce qui fait varier dans le temps le rayon rg (t) de la goutte. 
On suppose que les molécules d'eau dans
l'air sont transportées loin de la goutte par un mécanisme de diffusion, et on 
note D le coefficient de diffusion de l'eau
dans l'air. L'air, de masse molaire Mair , et la vapeur d'eau, de masse molaire 
Meau , suivent la loi des gaz parfaits et
on note R la constante des gaz parfaits.
À la surface de la goutte, l'eau liquide de la goutte est à l'équilibre avec la 
vapeur d'eau qui l'entoure. Loin de la
goutte, la température de l'air ambiant vaut T = 20  C et la pression partielle 
en eau est égale à p (T ). On définit
l'humidité relative RH par le rapport de la pression partielle en eau p (T ) 
sur la pression de vapeur saturante
psat (T ) loin de la goutte, à la température T :
RH =

p (T )
1
psat (T )

(1)

I ­ Évolution du rayon d'une goutte sphérique
On suppose dans cette partie que la transformation de la goutte se fait de 
façon isotherme : la température Tg de la
goutte reste égale à la température T de l'air ambiant, homogène : Tg = T = T = 
293,15 K.
rg (t)
O
eau

c(r, t)
·

r

Tg

Air humide
p , T

Figure 1 ­ Évaporation d'une goutte d'eau sphérique.
Q1. Rappeler la définition de la pression de vapeur saturante. Préciser sa 
variation avec la température.
Q2. Justifier que le flux diffusif des molécules d'eau est à symétrie sphérique 
et que la concentration en masse de
vapeur d'eau dans l'air c( #"
r , t) ne dépend que du rayon r et du temps t.
1 / 12

Q3. Énoncer la loi de Fick reliant la concentration en masse de vapeur d'eau 
c(r, t) et le vecteur densité de courant
#"
diffusif de masse j m . Citer les unités de chaque grandeur.
Q4. Établir une relation entre la concentration c(r, t) et la pression 
partielle en vapeur d'eau p(r, t). Préciser alors
les conditions aux limites vérifiées par c(r, t) en fonction notamment des 
pressions psat et p .
On se place dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires, c'est-à-dire 
que la source du phénomène diffusif
évolue de façon beaucoup plus lente que la durée d'établissement d'un régime 
stationnaire de la grandeur qui diffuse.
#"
On admet que, dans cette approximation, j m est à flux conservatif en l'absence 
de création ou de disparition de
molécules d'eau.
Q5. Donner un critère quantitatif qui permettrait de confirmer la validité de 
cette approximation. Nous vérifierons
le respect de ce critère à la question Q9.
Q6. Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-stationnaires, montrer 
que le flux de masse d'eau m sortant
de la goutte a pour expression :
Meau Dpsat (T )
(1 - RH )
(2)
m = 4rg
RT
Q7. Exprimer de deux manières la variation de masse de la goutte d'eau entre 
les instants t et t + dt. En déduire
l'équation d'évolution du rayon rg (t) de la goutte :
rg (t)

Meau Dpsat (T )
drg (t)
=-
(1 - RH )
dt
µeau RT

(3)

Q8. Déterminer la loi d'évolution du rayon de la goutte rg (t). Faire 
apparaitre le temps t0 d'évaporation de la goutte.
Q9. Application numérique : La goutte a initialement un rayon rg0 = 1 mm. 
Calculer sa durée de vie t0 dans le cas
d'une atmosphère sèche (RH = 0). Discuter alors de la validité de 
l'approximation des régimes quasi-stationnaires
utilisée dans cette partie.

II ­ Température de la goutte
II.1 ­ Mise en équation
L'évaporation de la goutte d'eau est un changement d'état liquide-gaz, ce qui 
conduit à une modification de la
température Tg de la goutte par rapport à la température T de l'air loin de la 
goutte. On suppose que les transferts
thermiques entre l'air ambiant et la goutte sont purement diffusifs et suivent 
la loi de Fourier, avec air la conductivité
thermique de l'air. On se place toujours en régime quasi-stationnaire.
Q10. Montrer qu'on peut supposer la température dans la goutte uniforme.
Q11. L'évaporation est-elle une transformation exothermique ou endothermique ? 
La température de la goutte est-elle
plus grande ou plus petite que T ?
Q12. Montrer que le flux thermique reçu par la goutte s'écrit th,d = (T -Tg 
)/Rth,d . On exprimera Rth,d en fonction
de la conductivité thermique air de l'atmosphère et du rayon rg de la goutte. 
Préciser l'unité dans le Système
International de Rth,d .
Q13. Dans la situation où la température de la goutte est différente de la 
température ambiante T , l'expression du
flux de masse (2) établi à la question Q6 est légèrement modifiée :

Meau D psat (Tg ) p (T )
-
(4)
m = 4rg
R
Tg
T
À partir d'un bilan d'énergie appliqué à la goutte, démontrer la relation 
suivante :

hvap Meau Dpsat (T ) psat (Tg ) T
T - Tg =
- RH
air RT
Tg psat (T )

(5)

où hvap est l'enthalpie massique de vaporisation de l'eau, Meau la masse 
molaire de l'eau, D le coefficient
de diffusion moléculaire de l'eau dans l'air, air la conductivité thermique de 
l'air, RH = p (T )/psat (T )
l'humidité relative et R la constante des gaz parfaits.

2 / 12

II.2 ­ Résolution numérique
Pour déterminer la température de la goutte, il faut pouvoir résoudre 
l'équation (5), ce qui nécessite de connaitre
le lien explicite entre la pression de vapeur saturante de l'eau et la 
température. La relation de Clausius-Clapeyron
fournit, en supposant l'enthalpie massique de vaporisation hvap indépendante de 
la température, une relation entre
les pressions de vapeur saturante à deux températures différentes :

hvap Meau
1
1
psat (Tg )
= exp
-
(6)
psat (T )
R
T
Tg
Afin de résoudre l'équation (5) et obtenir la température Tg de la goutte, on 
écrit le programme Python présenté en
figure 2. Celui-ci utilise la fonction bisect de la bibliothèque scipy.optimize.
1
2

import numpy as np
from scipy . optimize import bisect

3

# Constantes :
R = 8.314 # constante des gaz parfaits ( en J / K / mol )
6 D =
2.4 e -5 # coefficient de diffusion mol é culaire ( en m **2/ s )
7 Lambda
= 2.6 e -2 # coefficient de diffusion thermique ( en W / m / K )
8 Dhv
= 2.4 e6 # enthalpie massique de vaporisation ( en J / K / kg )
9 M =
18 e -3 # masse molaire de l ' eau ( en kg / mol )
10 Ps
= 2.34 e3 # pression de vapeur saturante loin de la goutte ( en Pa )
11 Tinf
= 273+20 # temp é rature loin de la goutte ( en K )
12 RH
= 0.0 # taux d ' humidit é ( compris entre 0 et 1)
13 #
Deux constantes interm é diaires :
14 C1
= Dhv * D * M * Ps /( Lambda * R * Tinf )
15 C2
= Dhv * M / R
4
5

16

# à compl é ter :
def f ( x ) :
19
return

17

18

20

21

22

a = # borne inf é rieure à compl é ter
b = # borne sup é rieure à compl é ter

23

tolerance = 1e -2
racine = bisect (f , a , b , xtol = tolerance )
26 print ( " Tg
= " , racine , " K " )

24

25

Figure 2 ­ Programme.
Q14. Compléter la fonction f(x) et proposer des valeurs pour les bornes de 
l'intervalle dans lequel on recherche la
racine de f(x).
Le programme fournit : Tg = 277.74403381347656 K, ce qui donne un écart de 
température de 15  C entre la goutte
et l'air ambiant loin de la goutte.

II.3 ­ Résolution approchée
Une résolution analytique peut être menée en modélisant de façon affine la 
relation entre la concentration en masse
de vapeur saturante et la température :
où  est une constante.

csat (T ) = csat (T ) [1 - (T - T )]

(7)

Q15. Déterminer l'expression de  en fonction de psat (T ), psat (Tfus ), T et 
Tfus la température de fusion de l'eau à
la pression atmosphérique. Faire l'application numérique.
Q16. Montrer alors que l'écart de température de la goutte par rapport à 
l'atmosphère loin de la goutte est égal à :
T - Tg =

K
(1 - RH )
1 + K

avec K une constante à déterminer en fonction des données de l'énoncé.
3 / 12

(8)

Q17. En déduire une valeur numérique de l'écart T - Tg pour une atmosphère 
sèche (RH = 0). Commenter.

Q18. En prenant en compte la différence de température de la goutte avec l'air 
au loin, déterminer la nouvelle valeur
du temps d'évaporation t0 de la goutte et comparer à la valeur de t0 trouvée à 
la question Q9.

III ­ Effets radiatifs
Nous avons jusqu'ici négligé les transferts thermiques par rayonnement mais la 
différence de température entre la
goutte et l'atmosphère
entraîne un flux thermique radiatif reçu par la goutte donné par la loi de 
Stefan : th,rad =

4
 T
- Tg4 Sgoutte où  est la constante de Stefan,  = 0,96 est l'émissivité de l'eau 
et Sgoutte est la surface de la
goutte.
Q19. Sachant que |T - Tg |/T  1, montrer qu'on peut écrire le flux thermique 
radiatif sous la forme : th,rad =
(T - Tg )/Rrad où Rrad est la résistance radiative qui s'exprime en fonction de 
, , T et rg le rayon de la
goutte.
Q20. Établir une condition sur le rayon de la goutte pour que le flux thermique 
diffusif th,d , calculé à la question
Q12, soit prédominant par rapport au flux thermique radiatif th,rad .

IV ­ Application : mesure du taux d'humidité
La mesure et le contrôle de l'humidité de l'air présentent un enjeu important 
en météorologie, en santé publique ou
dans la conservation des oeuvres d'art. Le psychromètre (psuchron signifiant 
froid en grec) est un appareil développé
à la fin du 18è siècle pour mesurer le taux d'humidité à partir de la 
différence de température issue de la vaporisation
d'une goutte.
Deux thermomètres sont placés côte à côte et plongés dans un courant d'air 
contrôlé de vitesse U . Le premier thermomètre, dit thermomètre humide, a son 
capteur recouvert de coton humide et mesure la température Thum de l'eau
qui s'évapore. Le second thermomètre, dit thermomètre sec, sert simplement à 
mesurer la température ambiante Tsec .

thermometre sec

#"
U

thermometre humide

Tsec

Thum

Figure 3 ­ Psychromètre.
L'équation psychrométrique relie la différence des pressions partielles en 
vapeur d'eau dans l'air p = p (T )-psat (Tg )
et la différence des températures T = T - Tg :
p = -A patm T

(9)

avec A le coefficient psychrométrique et patm la pression atmosphérique.

Q21. Exprimer l'humidité relative RH = p (T )/psat (T ) en fonction de psat (Tg 
), psat (T ), A, patm et T .
On peut alors déterminer l'humidité relative à partir de la mesure de la 
température des deux thermomètres à condition
de connaître le coefficient psychrométrique A, les pressions de vapeur 
saturante étant déterminées par une loi empirique
analogue à celle de Clausius-Clapeyron (6).
Pour prendre en compte la ventilation, le flux massique d'évaporation vent 
s'écrit :
vent = fev m

(10)

où m est le flux massique purement diffusif (équation (2)) et fev > 1 est le 
coefficient de ventilation (ou nombre de
Sherwood), croissant avec la vitesse U de l'écoulement de l'air autour de la 
goutte.
De manière analogue, le flux thermique convectif th,conv reçu par la goutte 
s'écrit
th,conv = fh th,d
avec th,d le flux thermique purement diffusif (question Q12) et fh > 1 le 
coefficient thermique de ventilation.
Dans la suite, on considérera que les deux coefficients de ventilation sont 
égaux : fev = fh .
4 / 12

(11)

Q22. À l'aide des résultats précédents, établir une expression du coefficient 
psychrométrique A. On introduira la
température moyenne T .

Partie B ­ Spin coating
Pour déposer des films minces sur un substrat solide, la technique d'enduction 
centrifuge (spin coating en anglais) est
souvent employée car elle permet de contrôler précisément l'épaisseur du film 
et d'obtenir des couches minces allant
d'une dizaine de nanomètres à plusieurs micromètres d'épaisseur.
Le fonctionnement de la machine de spin coating est illustré sur la figure 4. 
La solution à étaler est déposée sur le
substrat, une plaque de silicium par exemple, elle-même maintenue sur un 
support via un effet ventouse créé par une
pompe à vide (étape 1). Le support est fixé à une tournette qui est mise en 
rotation autour d'un axe vertical suivant
une séquence pré-réglée : accélération angulaire du substrat (étape 2) pour 
atteindre une vitesse angulaire de consigne
, provoquant l'étalement rapide de la goutte et son amincissement (étape 3). La 
tournette décélère ensuite après
une durée de régime stationnaire choisie, et s'arrête. Le solvant de la 
solution s'évapore finalement, ce qui amincit
davantage le film déposé sur le substrat (étape 4).
z

solution

z
 6= 0

substrat

 = Cte

support
vide
(1)

(2)

(3)

(4)

Figure 4 ­ Étapes de la procédure d'enduction centrifuge.
On cherche dans cette partie à décrire le processus d'étalement de la goutte 
liquide sur le substrat pendant la phase
de rotation stationnaire, et à déterminer une loi d'évolution de la hauteur de 
la couche liquide ainsi que celle du rayon
de la goutte.
Pour toutes les applications numériques de cette partie, on s'appuiera sur les 
données d'une expérience de microphotolithographie dans le domaine des 
semi-conducteurs. La goutte est composée d'un liquide organique de masse
volumique µ = 1,06 g·cm-3 et de viscosité dynamique  = 3,6 × 10-2 Pa·s. Le 
support tourne, en régime stationnaire,
à la vitesse angulaire  = 2 000 tours par minute pendant une durée T = 30 s.

I ­ Équation de Stokes
Initialement, la goutte liquide est déposée au centre du substrat, de rayon 
Rmax = 10 cm. La goutte possède une
symétrie de révolution autour de l'axe de rotation du plateau (Oz). Sa hauteur 
initiale au centre est notée h(r = 0, t =
0) = h0 = 0,5 mm et son rayon initial est R0 = 5 mm. On suppose la goutte 
initialement très aplatie : h0  R0 et on
admet que l'interface entre la goutte et l'air reste de pente très faible. À la 
date t = 0, le plateau est mis en rotation
uniforme autour de l'axe (Oz) à une vitesse angulaire .
z

z

#"
g

h0
O

h(r, t)
R0

#"
g

x

O

r

#"
v
x

Figure 5 ­ Goutte liquide sur le substrat.
L'écoulement de la goutte est étudié dans le référentiel lié au plateau 
tournant. On paramètre le problème en coordonnées cylindriques en définissant 
le champ des vitesses dans la goutte sous la forme #"
v ( #"
r , t) = vr (r, , z, t) #"
er +
#"
#"
v (r, , z, t) e  + vz (r, , z, t) e z .

5 / 12

Q23. Interpréter chacun des termes présents dans l'équation de Navier-Stokes, 
rappelée en annexe à la fin de l'énoncé.
#"
On précisera les différentes forces volumiques f vol à considérer dans le 
référentiel lié au plateau tournant.
Q24. Montrer par une analyse en ordre de grandeur et une application numérique 
que le terme centrifuge est prépondérant par rapport au terme de Coriolis.
Q25. Justifier alors que la vitesse ne possède pas de composante orthoradiale : 
v = 0 et que la norme de la vitesse
ne dépend pas de .
Q26. En exploitant l'incompressibilité de l'écoulement, montrer que celui-ci 
est principalement radial : #"
v ( #"
r , t) 
#"
vr (r, z, t) e r .
Q27. Comparer par ordre de grandeur chacun des termes diffusifs présents dans ( 
#"
v ) · #"
e r . Montrer que l'un d'entre
eux est dominant.
Q28. Rappeler la définition du nombre de Reynolds. L'évaluer numériquement et 
en déduire une simplification dans
l'équation de Navier-Stokes.
Q29. Justifier que l'écoulement est quasi-stationnaire.
Étant donné la petitesse de la goutte, on pourra supposer que la pression y est 
uniforme. De plus, les effets de la
pesanteur seront négligés dans la suite de cette Partie B.
Q30. En déduire l'équation différentielle suivante vérifiée par vr :
µ 2 r
 2 vr
=
-
z 2

(12)

Q31. Préciser la condition à la limite en z = 0. Justifier que la condition en 
z = h(r, t) est

vr
z

= 0.
z=h

Q32. Exprimer le champ de vitesse vr .
Q33. En déduire le débit volumique Q(r, t) sortant d'un cylindre de rayon r et 
de hauteur h(r, t) :
Q(r, t) =

2µ 2 r2
h(r, t)3
3

(13)

II ­ Bilan de masse
On définit un système ouvert représenté sur la figure 6, composé du liquide 
compris entre la surface du cylindre de
rayon r et de hauteur h(r, t) et la surface du cylindre de rayon r + dr et de 
hauteur h(r + dr, t).

z

dr

r
Oz

h(r, t)
O

h(r + dr, t)
r

r + dr

Figure 6 ­ Bilan de masse. Vue de dessus et vue de profil.
Q34. Exprimer la variation d2 m(r, t) de la masse du système ouvert entre les 
instants t et t + dt.
Q35. Exprimer la quantité de masse me (r, t) entrant dans le système ouvert par 
la surface en r ainsi que la quantité
de masse me (r + dr, t) entrant par la surface en r + dr entre les instants t 
et t + dt. En déduire la quantité de
masse  2 me qui entre dans le système ouvert entre les instants t et t + dt. On 
exprimera les résultats en fonction
de µ, dr, dt et du débit volumique Q(r, t).
Q36. Démontrer l'équation-bilan vérifiée par h(r, t) :

µ 2 2 3
h
2 h
=-
h + rh
t

3
r

6 / 12

(14)

III ­ Loi d'évolution de h(t) et r(t)
On adopte un modèle simplifié pour la forme de la goutte : elle possède 
initialement une forme cylindrique, avec une
hauteur h0 et un rayon R0 . Au cours de son étalement, elle conserve sa forme 
cylindrique de sorte que la hauteur h(t)
est uniforme et le rayon vaut r(t), comme représenté sur la figure 7.
z

r(t)
h(t)

O
Figure 7 ­ Modèle d'une goutte cylindrique.
Q37. En déduire la loi d'évolution de la hauteur h(t) de la goutte au cours du 
temps. On introduira un temps
caractéristique  .
Q38. Déterminer le rayon de la goutte r(t).
Q39. Application numérique : Calculer  . Quelle est l'épaisseur du film au bout 
de T = 30 secondes ?

Partie C ­ Mesure de l'épaisseur d'une bulle par interférométrie
Lorsqu'on injecte à l'aide d'une seringue de l'air sous la surface d'un bain 
d'huile de silicone très visqueuse ( = 2 300
Pa·s), on parvient à former une bulle quasiment hémisphérique, comme le montre 
la figure 8. La gravité provoque un
drainage du liquide présent dans le film de la bulle, ce qui tend à l'amincir à 
son sommet et à l'élargir à sa base. La
durée de vie de la bulle étant de quelques minutes, il est possible d'étudier 
par une méthode optique l'épaisseur de la
bulle en fonction du temps et de la position angulaire  sur la bulle.

Figure 8 ­ Photographie de la bulle d'huile de silicone, éclairée par une lampe 
à vapeur de sodium à l'arrière. La
photographie a été prise 306 secondes après la formation de la bulle [1].
Des chercheurs de l'université de Boston ont réalisé une expérience de mesure 
interférométrique de l'épaisseur du film
d'une bulle [1]. Elle est éclairée avec un faisceau de lumière parallèle issu 
d'une lampe à vapeur de sodium, de longueur
d'onde dans le vide  = 589,3 nm. La lumière traverse alors l'avant et l'arrière 
de la bulle avant d'atteindre une caméra
placée dans l'alignement de la source et de la bulle.
lumiere
bulle
air

camera

Figure 9 ­ Schéma de l'expérience, vue de profil et vue en coupe sur le dessus.
Sur la figure 8, on observe la présence de franges d'interférences très fines 
et contrastées sur le pourtour de la bulle.
Dans la mesure où le rayon de la bulle r0 = 12 mm est très grand devant 
l'épaisseur de la bulle h(, t) (voir figure
7 / 12

12a), on peut modéliser localement le film comme une lame liquide à faces 
parallèles où les deux interfaces air-huile
se comportent comme des miroirs réfléchissants. Une onde incidente subit alors 
de multiples divisions d'amplitude et
les ondes transmises par le film interfèrent alors (voir figure 10).
Air

I0

r0

s1
s2

sk

Air
h

Liquide
Figure 10 ­ Lame liquide à faces parallèles.
L'indice de l'huile est n = 1,4 et on assimile l'air entourant la bulle au vide 
: nair = 1. On note respectivement r et t
les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude du champ 
électrique (supposés réels, positifs et inférieurs
à 1). La conservation de l'énergie impose la relation r2 + t2 = 1.
On ne peut pas mesurer l'épaisseur du film directement avec les rayons rasants 
arrivant avec un angle d'incidence
 = 90 sur la bulle car la lumière ne passe pas à travers le film. On mesure 
alors l'intensité lumineuse le long d'un arc
de cercle de rayon 99,5 % × r0 . Pour tous les points sur cet arc, l'angle 
d'incidence des rayons incidents vaut  = 84,2 .
On éclaire alors une lame liquide à faces parallèles avec une onde plane 
monochromatique sous une unique incidence
. L'angle de réfraction dans la lame liquide est noté . L'onde se propage dans 
la lame liquide et produit à chaque
aller-retour un rayon émergent. Les rayons émergents sont tous parallèles entre 
eux et la caméra enregistre l'intensité
lumineuse due à l'interférence de ces rayons à l'infini.

I ­ Intensité transmise par la bulle
Q40. Proposer un montage expérimental permettant de réaliser un faisceau de 
lumière parallèle à partir d'une source
spectrale étendue, d'un diaphragme et de lentilles.
Q41. Évaluer numériquement l'angle de réfraction  de la lumière dans le film de 
la bulle. La lumière pénètre-t-elle
toujours dans la goutte ? En déduire l'angle d'émergence des rayons après leur 
transmission.
r , t) = Sk exp [i(t - k ( #"
r ))] = S k ( #"
r ) exp(it) où S k ( #"
r) =
Chaque onde émergente s'écrit en notation complexe sk ( #"
#"
Sk exp(-ik ( r )) est l'amplitude complexe de l'onde émergente ayant subi 2(k - 
1) réflexions dans la lame liquide à
r ) = s0 .
faces parallèles (voir figure 10). On prendra comme référence le rayon incident 
d'intensité I0 : S 0 ( #"
Q42. Exprimer le déphasage à l'infini  entre deux rayons émergents successifs  
= k+1 - k en fonction de n, h, 
et .
Q43. Exprimer l'amplitude complexe sk ( #"
r , t) du rayon k en un point M à l'infini, en fonction de l'amplitude s1
du rayon 1 transmis, du déphasage  et du facteur de réflexion en amplitude r. 
En déduire l'expression de
l'amplitude complexe de l'onde transmise :
s=

X

sk =

k=1

s1
1 - r2 exp(-i)

(15)

Q44. On considère qu'il existe une infinité de rayons émergents. Montrer que 
l'intensité lumineuse transmise I = s×s ,
où s est le complexe conjugué de s, s'exprime ainsi :
I=

I0
1 + m sin2 (/2)

avec I0 l'intensité lumineuse incidente et m le facteur de finesse qu'on 
exprimera en fonction de r2 .

8 / 12

(16)

II ­ Analyse des images
On représente sur la figure 11 la courbe représentative de l'intensité 
transmise en fonction du déphasage .
I/Imax
1

0

0

Figure 11 ­ Fonction de transmission du film. Le tracé est réalisé avec m = 11.
Q45. Déterminer les valeurs de  pour lesquelles l'intensité transmise maximale. 
On notera Imax ce maximum. Commenter.
Q46. En déduire l'expression des épaisseurs h du film de la bulle pour 
lesquelles on observe des franges brillantes,
ainsi que la valeur numérique de l'écart d'épaisseur h de la lame entre deux 
franges brillantes.
Q47. Définir et exprimer le contraste C des franges d'interférences en fonction 
du coefficient de réflexion r.
Q48. Au voisinage de  = 0, déterminer les valeurs de  telles que I() = Imax /2. 
En déduire la largeur à mi-hauteur
1/2 du pic de transmission en fonction du facteur de finesse m qu'on supposera 
grand devant 1.
À partir de la forme hémisphérique de la bulle, la dynamique du drainage peut 
être analysée en utilisant les coordonnées
sphériques (r0 , , ) représentées sur la figure 12a.
z

s

r0

h(s, t)

O

y

x

Figure 12 ­ Drainage de la bulle à la surface d'un bain d'huile. Ici, le rayon 
de la bulle est r0 = 12 mm et sa
viscosité est  = 2 300 Pa·s [1].
Quand on forme la bulle à la surface de l'huile, celle-ci piège un film très 
fin de liquide d'épaisseur h(s, t) qui varie
avec la longueur de l'arc s = r0  et avec le temps t. Sur la figure 12b, on 
observe l'apparition de franges brillantes et
sombres lorsque la bulle est éclairée avec une lumière monochromatique. À t = 0 
s (figure 12c), on repère une frange
brillante apparaissant au sommet de la bulle ; elle est marquée par la ligne 
blanche tiretée. À t = 220 s (figure 12d),
cette frange a glissé vers la base de la bulle tandis que la dernière frange 
brillante observable dans cette expérience
apparait au sommet avec une épaisseur minimale ; elle est repérée par la ligne 
blanche pointillée. À t = 370 s (figure
12e), les deux franges marquées sont descendues et un film noir apparait au 
sommet, là où l'épaisseur du film est quasi
nulle : la bulle est sur le point d'éclater.
La figure 13 présente le graphique du coefficient de réflexion de l'intensité 
lumineuse, noté R = r2 , en fonction de
l'angle d'incidence , pour une lumière non polarisée.
9 / 12

1

R
n = 1,4

0,8

0,6

0,4

0,2

0

0

15

30

45

60

75

 ( )

90

Figure 13 ­ Coefficient de réflexion en intensité R = r2 en fonction de l'angle 
d'incidence , pour une lumière non
polarisée.
Q49. En vous appuyant sur vos réponses précédentes et les figures 12 et 13, 
expliquer précisément les observations
faites lors de cette expérience : position, aspect des franges. Proposer un 
protocole permettant de déterminer
l'épaisseur du film au cours du temps, pour tous les angles de colatitude .
Q50. Le tableau 1 présente la position angulaire des franges brillantes sur le 
pourtour de la bulle, à la date t = 220 s
(voir la figure 12d). Au sommet, on observe la dernière frange brillante 
apparaitre.
Montrer que la relation entre l'épaisseur h du film et l'angle  peut être 
modélisée par la loi :
h() = h0 cos- ()

(17)

avec le nombre  > 0 à déterminer.
Numéro de la frange brillante
1
2
3
4
5
6
7
8
9

 ( )
0
28,4
35,2
39,3
42,0
44,1
45,8
47,2
48,3

Tableau 1 ­ Position angulaire des franges brillantes à la date t = 220 s [1]. 
À cette date, on voit apparaitre au
sommet la dernière frange brillante avant l'éclatement de la bulle.

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Données et formulaire

Données numériques (Partie A)
Coefficient de diffusion de l'eau dans l'air
Conductivité thermique de l'air
Conductivité thermique de l'eau liquide
Capacité thermique massique de l'eau liquide
Enthalpie massique de vaporisation de l'eau (p = patm )
Masse molaire de l'eau
Masse molaire de l'air
Constante des gaz parfaits
Pression de vapeur saturante de l'eau
­ à Tfus = 273,15 K :
­ à T = 293,15 K :
Masse volumique de l'eau
Masse volumique de l'air
Constante de Stefan
Pression atmosphérique

D = 2,4 × 10-5 m2 ·s-1
air = 2,6 × 10-2 W·m-1 ·K-1
eau = 0,61 W·m-1 ·K-1
ceau = 4,2 × 103 J·K-1 ·kg-1
hvap = 2,4 × 106 J·K-1 ·kg-1
Meau = 18 g·mol-1
Mair = 29 g·mol-1
R = 8,314 J·K-1 ·mol-1
psat = 6,1 × 102 Pa
psat = 2,3 × 103 Pa
µeau = 1,0 × 103 kg·m-3
µair = 1,2 kg·m-3
 = 5,67 × 10-8 W·m-2 ·K-4
patm = 1,013 bar

Formulaire
­ Gradient en coordonnées sphériques (r, , ) :
1 f #"
1 f #"
f #"
# "
er +
e +
e
grad f =
r
r 
r sin  
­ Équation de Navier-Stokes pour un fluide newtonien en écoulement 
incompressible :
 #"

v
#"
# " #"
# "
#"
µ
+ ( v · grad) v = f vol - grad p +   #"
v
t
­ Divergence en coordonnées cylindriques :
Az
#" 1 (rAr ) 1 A
div A =
+
+
r r
r 
z
#"
­ Laplacien d'un champ de vecteurs A en coordonnées cylindriques, projeté selon 
#"
er :

1
Ar
Ar
1  2 Ar
2 A
 2 Ar
#"
( A) · #"
er =
r
- 2 + 2
-
+
r r
r
r
r 2
r2 
z 2
­ Laplacien d'une fonction scalaire f (r, t) en coordonnées cylindriques :

1
f
f (r, t) =
r
r r
r
­ Linéarisation de x 7 sin2

x
2

:
sin2

x
2

=

1 - cos(x)
2

Fonctions Python (Partie A)
­ np.exp(a) crée un tableau de même forme que a dont les éléments sont les 
exponentielles des éléments de a.
­ bisect(f,a,b,xtol=tolerance) détermine la racine de la fonction f(x) dans un 
intervalle compris entre x=a
et x=b, avec une tolérance xtol pour la précision de la racine.

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[1]

Casey Bartlett et al. « Universal non-monotonic drainage in large bare viscous 
bubbles ». In : Nature Communications 14.1 (2023), p. 877.

[2]

Marie Corpart. « Évaporation de gouttes sur des fibres ». Thèse de doctorat. 
Université Paris-Saclay, déc. 2022.
url : https://theses.hal.science/tel-04124399.

Fin

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P092 - 9 février 2026 - 10:43:11 c b e a

Références