Centrale Physique 1 PC 2002

Thme de l'preuve Propagation d'ondes lectromagntiques dans un dilectrique. Effet Faraday.
Principaux outils utiliss ondes lectromagntiques dans les milieux, modle de l'lectron lastiquement li, polarisation des ondes
Mots clefs dilectrique, susceptibilit

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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nonc obtenu par reconnaissance optique des caractres


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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres


 Centrale Physique 1 PC 2002 -- Corrig Ce corrig est propos par David Chapot (ENS Lyon) ; il a t relu par Arnaud Gossart (Professeur en CPGE) et Stphane Ravier (Professeur en CPGE). Le sujet porte sur l'tude de la propagation des ondes lectromagntiques et sur l'effet Faraday dans un milieu dilectrique. Il est compos de deux parties dont la deuxime dpend assez largement de la premire.  Dans la premire partie du problme, on s'intresse  la propagation des ondes lectromagntiques dans un milieu dilectrique isotrope. On rappelle d'abord la forme des quations de Maxwell dans un tel milieu et on introduit sa susceptibilit dilectrique e dont on analyse l'origine du caractre complexe et de la dpendance par rapport  la frquence. Puis on considre le modle de l'lectron lastiquement li qui fournit une expression analytique simple de e .  La deuxime partie est consacre  l'tude de l'effet Faraday dans un milieu dilectrique. La prsence d'un champ magntique selon la direction de propagation de l'onde introduit une anisotropie dans le dilectrique que l'on traite par la matrice susceptibilit, gnralisation de la susceptibilit (scalaire) introduite dans la premire partie. L'effet Faraday se traduit par l'apparition d'une diffrence de vitesse de propagation entre deux ondes polarises circulaires gauche et droite, ce qui a pour effet la rotation du plan de polarisation d'une onde polarise rectilignement. Enfin, on tudie une application de l'effet Faraday  la mesure de courants lectriques de grande intensit. Ce problme est de difficult et de longueur trs raisonnables. La premire partie n'est ni plus ni moins qu'une question de cours et dans la deuxime partie, le candidat peut se laisser guider par l'nonc trs dtaill jusqu' la question II.B.3  partir de laquelle il doit davantage faire preuve d'initiative. La partie II.C est la plus dlicate de cette preuve car elle ncessite une analyse des longues explications prliminaires et une rflexion physique approfondies. Les notions requises concernent la propagation des ondes lectromagntiques dans les milieux dilectriques et le modle de l'lectron lastiquement li. Indications Partie I I.A.2.c crire que la charge totale est gale  la charge libre plus la charge de polarisation. De mme, crire que le courant total est gal au courant libre auquel on ajoute le courant de polarisation et le courant d'aimantation. - - - dP + P = e0 E pour I.A.4.b Introduire de faon ad hoc un modle du type dt traduire la non instantanit de la rponse du milieu  son excitation par un champ lectrique. Constater que le caractre complexe non rel de e est d  la non-nullit de . I.A.4.d Dire qu'un milieu usuel est absorbant et en dduire, selon le sens de propagation de l'onde, le signe de k2 . D E - I.A.4.e crire que l'nergie volumique dissipe par le milieu vaut - E . P I.B.1.b Pour justifier le fait que la force magntique due  l'onde est ngligeable devant la force lectrique pour les lectrons non relativistes, se rappeler que - - kEk k B k est de l'ordre de . c I.B.3 Reconnatre une fonction analogue  celle tudie pour la rsonance en intensit d'un filtre R-L-C. Partie II II.A.3.a Rsoudre le systme en P x , P y et P z en fonction de Ex , Ey et Ez . commutent. t II.A.4.d La solution du systme d'quations est non triviale si et seulement si le dterminant du systme est nul. Les vecteurs propres (Ex , Ey ) sont les polarisations qui se propagent sans dformation dans le milieu. II.A.4.c crire que les oprateurs [e ] et II.B.3.a crire que les polarisations circulaires gauche et droite se propagent  des c c vitesses de propagation et diffrentes. ng nd - nd + ng z II.B.3.b Symtriser l'expression de E en factorisant par exp j - jt . 2 c Reconnatre alors l'expression d'une onde polarise rectilignement dont le nd - ng z plan de polarisation a tourn d'un angle (z) = . 2 c II.B.3.e Faire attention au sens de la dviation suivant le sens de propagation de l'onde ! II.C.1 Les deux ondes n'interfrent qu'en prsence de l'analyseur car, dans le cas (M)  - (M) = 0. Pour calculer l'effet de l'intgrateur sur les contraire, - u u 1 2 deux ondes, noter que 1 , 2 1 bien que |1 - 2 | 1. - II.C.4.b L'onde 1, polarise circulaire gauche, se dplace dans le sens oppos  Ba  la vitesse de propagation c/nd et non c/ng . Exprimer ensuite la diffrence nd - ng en fonction de la constante de Verdet et conclure. I. Ondes lectromagntiques dans un milieu dilectrique I.A Propagation dans un milieu dilectrique I.A.1 Dans le vide, les quations de Maxwell s'crivent : - T div E = 0 - div B = 0 - B - - rot E = - t - - E - rot B = 0 - T + 0 0 t o T et - T sont les densits volumiques de charges et de courants totaux au point et  l'instant de l'tude. Dans le vide, les densits volumiques de charges et de courants totaux sont gaux aux densits volumiques de charges et de courants libres et - car il n'y a ni charges de polarisation ni courants de polarisation ou d'aimantation : - - T = et T = - - I.A.2.a P (M, t) et M(M, t) reprsentent les moments dipolaires lectrique et magntique du matriau par unit de volume au point M  l'instant t. Un moment dipolaire lectrique s'exprime en C.m (conformment  la relation - - - p = q d o q est une charge et d une distance). Par consquent, l'unit de P (M, t) -2 est le C.m . De mme, un moment dipolaire magntique s'exprime en A.m2 d'aprs la dfini - tion - m = I S du moment dipolaire magntique d'une boucle de courant de surface - - S parcourue par un courant I. Par consquent, l'unit de M(M, t) est l'A.m-1 . I.A.2.b D'aprs les rsultats du cours, - P (M, t) = - div P (M, t) - P - (M, t) P (M, t) = t - - - a (M, t) = rot M(M, t) Le programme des classes de PC exige que les candidats sachent montrer que - P (M, t) = - div P (M, t) du point de vue de l'expression du champ lectrique cr par un dilectrique en dehors de lui-mme (dmonstration fonde sur l'approximation dipolaire). Cette expression est aussi valable du point de vue du champ lectrique cr  l'intrieur du matriau (o l'approximation dipolaire n'est plus valable) mais cette dmonstration est hors programme et le rsultat admis. I.A.2.c La densit de charges totale est gale  la densit de charges libres plus la densit de charges de polarisation. De mme, le courant total est gal au courant libre auquel on ajoute le courant de polarisation - P et le courant d'aimantation - a . Par consquent, les quations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampre s'crivent - + P div E = 0 - ! - - P E - - - - rot B = 0 + t + rot M + 0 t - I.A.2.d On dfinit les vecteurs dplacement lectrique D (M, t) et excitation ma - gntique H (M, t) par - - - D (M, t) = 0 E (M, t) + P (M, t) - - - B H (M, t) = (M, t) - M(M, t) 0 I.A.2.e Des questions I.A.2.c et I.A.2.d, on dduit les quations de Maxwell vrifies - - - - par E (M, t), D (M, t), H (M, t) et B (M, t) : - div D = - div B = 0 - B - - rot E = - t - - D - rot H = - + t - I.A.3.a Le caractre isolant du milieu signifie que - = 0 . Dans un milieu non charg, = 0 (mais P peut tre non nul !). Enfin, un milieu dont les proprits - - magntiques sont ngligeables est caractris par M = 0 ou, de faon quivalente, - - par H = B /0 . En dfinitive, - = 0 =0 - - M= 0 I.A.3.b Dans un milieu isolant, non charg, aux proprits magntiques ngligeables, les quations de Maxwell se rduisent  - div D = 0 - div B = 0 - B - - rot E = - t - D - - rot H = t