Centrale Physique 1 PC 2001

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Centrale Physique 1 PC 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Arnaud Spinelli-Audouin (École Supérieure de 
Physique et Chimie Industrielles de Paris) et Yannick Alméras (professeur en 
CPGE) ; il
a été relu par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (ENS Lyon).

Ce sujet porte sur le thème, pour le moins intéressant, de la physique de deux
jouets, chacun d'eux faisant l'objet d'un problème indépendant.
· L'oiseau buveur est le jouet étudié dans le premier problème. Le principe de
fonctionnement de ce dispositif repose essentiellement sur des notions de 
thermodynamique qu'il permet de revoir tout en « s'amusant » : changement 
d'état,
premier et second principes, potentiels thermodynamiques et machine thermique. 
Les lois de Coulomb du frottement solide s'avèrent utiles au passage,
même si l'étude mécanique de l'oiseau n'est pas le thème central de ce problème.
· Le second problème porte sur l'étude mécanique d'un jouet simulant la marche
à pied. La connaissance de l'ensemble du cours de mécanique du solide est
requise pour le mener à bien. Il ne comporte pas de lourds calculs et permet de
tester la rigueur des candidats, ainsi que leur sens physique.
Ce sujet est dans son ensemble intéressant et permet de sélectionner les 
candidats
ne se contentant pas de mener quelques calculs mais mettant en avant des 
commentaires pertinents.

Indications

Partie I
I.A.2.a Utiliser la relation fondamentale de la statique des fluides.
Penser que  est très faible devant T0 .
I.B.1 Ne pas oublier que l'enthalpie varie pour l'eau mais aussi pour le 
dichlorométhane.
I.B.3 Seul un ordre de grandeur est demandé. Faites simple !
I.C.3 Le sens d'évolution du système hors équilibre est donné par la diminution
de G(x).
I.D.2.a Utiliser les lois de Coulomb relatives au frottement de glissement.
I.D.2.c Attention, la liaison n'est pas parfaite.
Il est préférable de passer par le point O pour parvenir à relier le travail
W à l'aire du cycle de la question I.D.2.b.

Partie II
II.A.1.a Faire un dessin et utiliser le champ de vitesse du solide (1).
II.A.2.a Utiliser le théorème du moment cinétique.
II.A.2.b Attention à la forme des solutions choisies pour éviter les calculs 
longs et
inappropriés.
II.A.3 Attention aux maxima des courbes.

-
II.A.4.a Il faut bien décomposer le jouet en ses diverses parties pour exprimer 
P
correctement.
Penser à utiliser la question II.A.2.b.
II.A.4.b Commencer par déterminer T2 et N2 par un argument simple.
II.A.4.c Utiliser le graphe de la question II.A.3, ainsi que la question 
II.A.4.b.
II.A.5.a Calculer le travail des forces intérieures au jouet en passant par le 
théorème
de l'énergie cinétique.
II.B.1.a,b Quel est le centre instantané de rotation de (S) ?
II.B.2.a Attention, l'angle entre le rayon Pk C et la verticale descendante 
vaut +.

I.

Étude thermodynamique d'un jouet : l'oiseau buveur

Il ne faut pas s'affoler en lisant la description et les observations de début
de problème. Il faut lire celui-ci en entier, comme toujours d'ailleurs, pour
s'apercevoir que les questions sont relativement classiques et que le mécanisme 
n'est pas compliqué.

I.A

Pourquoi le dichlorométhane monte-t-il dans le tube ?

I.A.1.a Puisque lv est une enthalpie massique de vaporisation, vV et vL 
représentent
respectivement les volumes massiques des phases gaz et liquide du 
dichlorométhane.
L'approximation vL  vV n'est valable que si l'on est loin du point critique. En
effet, plus on se rapproche de ce point, plus il est difficile de dissocier les 
phases gaz
et liquide : on a alors des volumes massiques voisins. Par ailleurs, 
l'hypothèse du gaz
parfait n'est plus valable au voisinage du point critique.
I.A.1.b On a vL  vV donc

lv  T vV

dpvs
dT

De plus, la vapeur est traitée comme un gaz parfait. Dans ce cas,
vV =

V
V
RT
=
=
m
nM
pvs M

En regroupant les deux résultats précédents, on en déduit, au voisinage de T0 ,

M
dpvs
= pvs (T0 ) lv (T0 )
dT T0
RT0 2

A.N.

dpvs
dT

= 1, 98.103 Pa.K-1

T0

I.A.2.a La relation fondamentale de la statique des fluides appliquée au liquide
donne
--

grad p = µ-
g

La masse volumique µ est uniforme. De plus, comme -
g a mêmes direction et sens
-

que -u , on en déduit que la pression p ne dépend que de z suivant la loi de la
z

statique
p(z) = -µ g z + Cte
Il était possible de donner directement ce résultat connu de la statique des
fluides incompressibles. Cependant, il fallait faire attention au signe « - »
dont la présence est prévisible : la pression augmente quand on descend dans
un fluide.

On considère le liquide une fois à l'équilibre après sa montée dans le tube. 
Comme on néglige les phénomènes de
tension superficielle, la pression est continue aux interfaces liquide-gaz 
d'altitudes z1 et z2 , soit
pvs1 = pvs (z1 ) = -µ g z1 + Cte
pvs2 = pvs (z2 ) = -µ g z2 + Cte
En passant par la soustraction de ces deux relations, et
compte tenu de la hauteur de liquide héq = z2 - z1 , on en
déduit
pvs1 - pvs2
héq =
µg

z

z2
héq
z1

Une autre méthode consistait à appliquer la relation de Bernoulli entre deux
points de chaque interface. Il fallait encore une fois faire attention aux 
signes.
Il reste à obtenir la différence des pressions de vapeur saturante. En 
utilisant la
condition   T0 ,

dpvs
dpvs
pvs2 = pvs (T0 - )  pvs (T0 ) - 
= pvs1 - 
dT T0
dT T0
Finalement,

héq =

µg

dpvs
dT

T0

I.A.2.b D'après la question précédente,
=

µg
 héq
dpvs
dT T0

On souhaite que la hauteur héq soit supérieure à L. Par conséquent,  doit être
supérieure à une valeur min definie par
min = 
A.N.

µg
 L
dpvs
dT T0

min = 0, 2 K

Avec  = 0, 4 K, on est bien au-dessus de min , ce qui nous donne de la marge
pour le bon fonctionnement du jouet.
Il est intéressant de répondre à la question posée par le titre des questions 
I.A :
« Pourquoi le dichlorométhane monte-t-il dans le tube ? ». Au vu des réponses
précédentes, la montée est provoquée par la différence de pression entre les
deux réservoirs contenant du gaz. Cette différence de pression n'existe et
n'est suffisante que si le récipient supérieur est assez froid, d'où l'intérêt 
des
questions suivantes. . .