CCINP Modélisation de systèmes physiques ou chimiques PC 2026

SESSION 2026

PC7MO

ÉPREUVE MUTUALISÉE AVEC E3A-POLYTECH
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC
____________________

MODÉLISATION DE SYSTÈMES PHYSIQUES OU CHIMIQUES
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
·

·
·

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction 
de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

________________________________________________________________________________

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux parties indépendantes et d'une annexe.

Sujet : page 2 à page 13
Annexe : page 14 à page 16

1 / 16

Étude d'un spectrophotomètre infrarouge
La
spectroscopie
infrarouge
est
une
spectroscopie moléculaire d'absorption dans
laquelle la substance étudiée est exposée à un
rayonnement
électromagnétique.
Certaines
radiations sont absorbées par la molécule et leur
examen permet d'en déduire des informations
sur la structure de la molécule.
La première partie de ce sujet aborde
l'absorption vibrationnelle sous divers modèles.
Le principe d'un spectrophotomètre (figure 1) est
étudié dans la seconde partie.

Figure 1 - Spectrophotomètre infrarouge

Partie I - Absorption vibrationnelle
I.1 - Modèle classique de la vibration d'une molécule diatomique
Dans le modèle classique d'une molécule diatomique, on assimile les deux atomes 
 et  unis par
une liaison covalente à deux masses ponctuelles  et  . On suppose que la 
molécule est isolée
et que les noyaux vibrent selon l'axe . L'énergie potentielle de ce système est 
notée  (), où 
est la distance internucléaire  ( =  -  , où  et  sont les positions de  et de  
dans un
référentiel d'étude supposé galiléen) (figure 2).

Figure 2 - Molécule diatomique 

Dans cette sous-partie, le mouvement des atomes sera traité dans le cadre de la 
mécanique
newtonienne.

I.1.1 - Potentiel de Morse
L'énergie potentielle d'interaction peut être modélisée par le potentiel de 
Morse (figure 3) :
2
 () = (1 -  -(- ) )
où ,  et  sont des constantes positives appelées constantes de Morse.
Q1. Préciser les unités de ,  et de  dans le Système International. Justifier.

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Q2. En utilisant la courbe de la figure 3, indiquer si le système possède une 
position d'équilibre. Si
oui, laquelle ? Indiquer si cet équilibre est stable. Justifier votre résultat 
à l'aide d'une phrase, sans
calcul.

 Figure 3 - Énergie potentielle d'une
molécule diatomique en fonction de
la distance entre les noyaux

Q3. Dessiner la courbe  () sur la copie et y indiquer la constante  en 
justifiant la réponse.
Préciser si le système se trouve dans un état lié ou un état libre lorsque son 
énergie mécanique
 est supérieure à , puis lorsqu'elle est inférieure à .

I.1.2 - Modèle élastique

On se place dans l'approximation harmonique, c'est-à-dire que l'on ne considère 
que des petites
variations de  autour de  .

Q4. Dans cette approximation, en effectuant un développement limité à l'ordre 
deux (rappelé en
annexe) de  () autour de  , donner une expression approchée de  ().
Q5. En déduire que, dans cette approximation, l'énergie potentielle prend la 
forme d'une énergie
potentielle élastique  () =

1
2

( -  )² où  est appelée constante de force dont on donnera

l'expression en fonction des constantes de Morse. Quel est le signe de  ?

À proximité de leur position d'équilibre, le modèle précédent montre que l'on 
peut considérer que
les noyaux sont liés entre eux par un ressort qui aurait une raideur .

Q6. On considère comme système l'atome  repéré par l'abscisse  . En appliquant 
la deuxième
loi de Newton, établir la relation entre   ,  , ,  et  (relation 1).

Q7. On considère comme système l'atome  repéré par l'abscisse  . En appliquant 
la deuxième
loi de Newton, établir la relation entre  ,  , ,  et  (relation 2).
Q8. En combinant les relations (1) et (2), montrer que la variable  vérifie 
l'équation différentielle :
 +  =  où  est la masse réduite du système .
Exprimer  en fonction de  et de  .
Q9. Exprimer la fréquence 0 des petites oscillations de la molécule  en 
fonction de  et de .

Lorsque cette molécule est soumise à l'action d'une onde électromagnétique de 
fréquence  = 0,
on observe que la molécule entre en résonance et absorbe l'onde.
Q10. En spectroscopie, on préfère introduire le nombre d'onde 0 =

1

0

où 0 est la longueur

d'onde dans le vide d'une onde électromagnétique de fréquence 0. Exprimer 0 en 
fonction de 0
et de , la célérité de la lumière dans le vide, puis en fonction de ,  et de  
(loi de Hooke).
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I.1.3 - Validité de la loi de Hooke sur la multiplicité de la liaison
La loi de Hooke associe une liaison simple entre deux atomes à un ressort de 
raideur  et de
longueur à vide  .
Une liaison double entre deux atomes est alors modélisée par deux ressorts 
identiques, de même
raideur  et de longueur à vide  , placés en parallèle (figure 4).
Une liaison triple entre deux atomes est modélisée par trois ressorts 
identiques, de même raideur
 et de longueur à vide  , placés en parallèle.
 Figure 4 - Masse reliée à deux
ressorts identiques, placés en
parallèle et fixés à l'autre
extrémité

Q11. Considérons un solide assimilé à un point matériel de masse  et relié à un 
support fixe par
deux ressorts identiques de constante de raideur  et de longueur à vide  , 
placés en parallèle et
dont l'autre extrémité est fixe (figure 4).
Établir, en fonction de , l'expression de la constante de raideur  du ressort 
unique équivalent.

Q12. Sans démonstration, exprimer alors, en fonction de la constante , la 
constante de raideur du
ressort unique équivalent à trois ressorts en parallèle.
Q13. En déduire, dans le cadre de ce modèle, le nombre d'onde 0 de l'onde en 
fonction de ,  et
de  lorsque l'onde est :
a) absorbée par une double liaison,
b) absorbée par une triple liaison.
Conclure.

Q14. En s'aidant des résultats de la question Q13 et en justifiant la réponse, 
attribuer les trois
valeurs de nombre d'onde suivantes 1 650 cm-1, 1 300 cm-1 et 2 200 cm-1 aux 
trois liaisons
suivantes :

I.2 - Le modèle quantique

Même s'il permet d'expliquer approximativement les valeurs des fréquences 
d'absorption, le
modèle classique ne permet pas de décrire le comportement discret de la 
vibration d'une liaison
soumise à une onde électromagnétique, c'est pourquoi une étude quantique plus 
pertinente est
présentée.
D'après la mécanique quantique, l'énergie vibrationnelle  est discrète et est 
donnée par la
1

relation  = 0 ( + 2) où  est un nombre entier positif ou nul appelé nombre 
quantique
vibrationnel,  =

2

la constante de Planck réduite et 0 la pulsation d'absorption.

On considère un problème unidimensionnel dans lequel une particule de masse  
est placée dans
un potentiel :
1
1
() =  2 = 0 ² 2 .
2
2
4 / 16

On rappelle l'équation de Schrödinger :

(, )
2  2 (, )
=-
+ ()(, ).

2  2

On s'intéresse à des états stationnaires de la forme :

(, ) = () -   .

Q15. Montrer que la fonction d'onde spatiale () vérifie l'équation 
différentielle :
2 () 
+ 2 (2 - 0 ² 2 )() = 0.

²

Résolution numérique de l'équation

On cherche à résoudre numériquement l'équation de la question Q15.
On définit une valeur  déterminée par l'intersection du potentiel  avec le 
niveau d'énergie
correspondant à  = 5 (figure 5).
()

5

 Figure 5 - Représentation
graphique de  déterminée par
l'intersection de () avec 5

4

3

2
-

1

On discrétise l'intervalle [-, ] représentant les valeurs de  accessibles à la 
particule en
 = 10 000 points régulièrement espacés d'un pas spatial . On souhaite 
déterminer () en
chacun de ces points.
Q16. À l'aide d'un développement limité à l'ordre deux (rappelé en annexe), 
exprimer
( + ) d'une part et ( - ) d'autre part au second ordre par rapport à .
Q17. En déduire une expression de

 2 ()
 2

en fonction de , (), ( - ) et de ( + ).

On note  ,   [0, [, les abscisses des points discrétisés.

On pose  et  les valeurs de la fonction d'onde spatiale  et du potentiel  à 
l'abscisse  .
Q18. En reformulant le résultat de la question Q17, écrire une relation entre 
+1 , -1 ,  ,
et .

5 / 16

 2 ()
²

Q19. À partir des questions Q15 et Q18, montrer que :
+1 = (2 +

1
20 2 1
2

-

(
+
)))  - -1 .
(
0

2
2
2

Le programme 1 permet de déterminer les valeurs de la fonction d'onde spatiale 
aux points de
discrétisation pour des nombres quantiques de vibration .
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#données du problème
hbar=1.05e-34
mu=1e-28
omega0=1e14
N=10000
#discrétisation de l'axe x
[instruction 1.1]
[instruction 1.2]
[instruction 1.3]

Programme 1 - Résolution
numérique de l'équation de
Schrödinger

def fonction_onde():
#calcul de la fonction d'onde pour chaque valeur de x
[instructions 2]
#normalisation de la fonction d'onde
[instruction 3.1]
[instruction 3.2]
return phi
#tracé des courbes
[instructions 4]

Dans les questions suivantes, on cherchera à compléter les instructions 
manquantes.
Q20. Donner l'instruction 1.1 qui permet de calculer .

Q21. Écrire l'instruction 1.2 qui crée un tableau unidimensionnel (ou vecteur) 
appelé 
contenant les  positions discrètes accessibles à la particule dans l'intervalle 
[-, ].
Q22. Écrire l'instruction 1.3 qui calcule le pas d'espace  à partir du vecteur  
défini en Q21.

On définit une fonction appelée fonction_onde qui prend pour argument d'entrée 
la valeur du
nombre quantique  et retourne un tableau unidimensionnel phi contenant les 
valeurs de la
fonction d'onde spatiale normalisée pour chaque valeur du tableau .

On choisit comme condition aux limites ( = 0 ) = 0 . Comme la valeur de  en  = 
1 est
inconnue, on fait le choix arbitraire de prendre ( = 1 ) = 1.

Q23. Compléter les instructions 2 qui créent le tableau phi, le remplissent à 
0, puis le
remplissent par les valeurs de la fonction d'onde spatiale pour chaque valeur 
de .

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La fonction d'onde spatiale doit être normalisée pour exprimer que la 
probabilité de trouver une
particule dans l'espace qui lui est accessible est égale à 1. Pour normaliser 
la fonction d'onde, on

calcule l'intégrale - ()2 , puis on divise chaque élément du tableau phi par la 
racine carrée
de cette intégrale.
Rappel sur la méthode des rectangles à gauche (figure 6) :

On cherche à calculer de manière approchée l'intégrale  =  () d'une fonction
  [ ; ]   continue.

La méthode des rectangles à gauche consiste à découper l'intervalle [ ; ] en 
intervalles
élémentaires [ ; +1 ], puis sur chacun de ces intervalles, on remplace () sur 
le segment

[ ; +1 ] par ( ). L'intégrale  +1 () est alors approchée par (+1 -  )( ).

()

 Figure 6 - Méthode des
rectangles à gauche

( )
()

 +1

Q24. Compléter l'instruction 3.1 qui calcule - ()² par la méthode des 
rectangles à gauche
et l'appelle norm. On pourra le faire en une seule ligne (en utilisant 
l'annexe) ou en plusieurs lignes
de code.
Q25. Compléter l'instruction 3.2 qui divise chaque élément du tableau phi par 
la racine carrée
de cette intégrale.
Q26. Compléter les instructions 4 qui permettent d'afficher les courbes 
d'évolution de la fonction
d'onde spatiale normalisée selon la variable  pour   {0; 1; 2} sur un seul 
graphique comme
représenté sur la figure 7.

 Figure 7 - Évolution de la fonction
d'onde spatiale normalisée pour
 = 0, 1 et 2

7 / 16

I.3 - Le modèle ondulatoire : absorption d'une onde électromagnétique par une
solution chimique
Une source de lumière émet une lumière incidente monochromatique de longueur 
d'onde  qui
traverse une cuve de longueur  contenant la solution chimique. On étudie 
l'interaction entre la
lumière et ce milieu.
Ce milieu occupe la région de l'espace 0    . L'espace est rapporté à une base 
orthonormée
 , 
 , 
 ).
directe (
On note 0 la splitéabilité magnétique du vide.

Une onde plane, progressive, harmonique, de pulsation  et de longueur d'onde  = 
6 000 nm se
propage dans l'air (assimilé au vide) dans la direction des  croissants.

Cette onde arrive sous incidence normale en  = 0 sur une cuve d'épaisseur  
contenant une
solution chimique. L'influence des parois de la cuve et les réflexions aux 
différentes interfaces
seront négligées.
On admet que les équations de Maxwell dans la solution chimique s'écrivent en 
notation complexe :

 ) = 0  avec  =  -  et  > 0,

rot( ) = -
div  = 0
rot(
div  = 0

 étant la permittivité diélectrique complexe du milieu et  le nombre imaginaire 
tel que  2 = -1.
On cherche des solutions complexes des équations de Maxwell de la forme :
 = 0 e(-) 
 ,  a priori complexe.

Q27. Déterminer l'équation de propagation vérifiée par le champ électrique  .

Q28. Établir la relation de dispersion de ce milieu. On exprimera pour cela  2 
en fonction de , 0 ,
 et de  .

On suppose 0 <    . Q29. En déduire une expression approchée de . On mettra  sous la forme  =   - " (avec et " réels et " > 0). Exprimer   et " en fonction de , 0 ,  et de  .

Q30. Écrire le champ électrique sous forme réelle  (, ). Pour simplifier 
l'expression, on écrira
 (, ) en fonction de   et de " et non pas en fonction de , 0 ,  et de  . Le 
milieu est-il
absorbant ? Justifier.
Q31. Exprimer la vitesse de phase  . Le milieu est-il dispersif ? Justifier.

 (, ) de l'onde dans
Q32. Déterminer, en notation complexe, l'expression du champ magnétique 
 (, ) en fonction de   et de " pour simplifier son expression.
le milieu. On écrira 
 (, ), 
 (, ) étant le vecteur de
Q33. On définit l'intensité lumineuse  de l'onde comme  = 
Poynting dont la valeur moyenne est donnée en annexe. Montrer que  se met sous 
la forme :

 = 0 exp (- ).

Exprimer 0 en fonction de   , , 0 et de 0 et  en fonction de ".
1

où  est une constante et 0 la concentration de la substance absorbante.
0
Que vaut l'intensité lumineuse  juste en sortie de la cuve ?
Q34. On pose  =

8 / 16

Q35. Exprimer l'absorbance définie par  = log
de , 0 et de .

0

et la transmittance définie par  =

0

en fonction

Q36. On pose  = ln (10) où  est le coefficient d'extinction molaire. En déduire 
l'expression
de l'absorbance en fonction de  , 0 et de . Quel est le nom de la relation 
vérifiée par
l'absorbance ?

Partie II - Principe de fonctionnement d'un spectrophotomètre
infrarouge
Une source infrarouge émet un faisceau polychromatique.
Ce faisceau est ensuite dirigé vers un monochromateur à réseau qui sélectionne 
une bande étroite
de longueur d'onde afin d'en mesurer l'intensité lumineuse.

II.1 - Étude de la source infrarouge
La source infrarouge est une tige composée d'un alliage nickel-chrome. 
Traversée par un courant
électrique, cette tige s'échauffe par effet Joule et émet un rayonnement 
infrarouge.

II.1.1 - Étude cristalline de la source infrarouge
Q37. Le numéro atomique de l'élément nickel vaut  = 28. Donner sa configuration 
électronique et
indiquer la place de cet élément chimique dans la classification périodique 
(numéro de la ligne et
de la colonne).
Dans un alliage nickel-chrome, les atomes cristallisent dans une structure 
cubique à faces
centrées. Dans chaque maille, les atomes de nickel occupent tous les sommets et 
le centre de
quatre faces tandis que les atomes de chrome occupent le centre des deux autres 
faces opposées.
Q38. Combien y a-t-il d'atomes de chrome et de nickel par maille ?
Q39. Exprimer littéralement le paramètre de maille  de l'alliage en fonction de 
la masse
volumique de l'alliage nickel-chrome µ(NiCr) et des masses molaires du nickel 
(Ni) et du chrome
(Cr). Le calcul conduit à la valeur numérique  = 350 pm.

Q40. En déduire la valeur numérique de la distance moyenne  entre deux atomes 
voisins de
l'alliage, dans un modèle où il serait formé d'atomes identiques. On pourra 
utiliser l'aide aux
calculs donnée en annexe.

II.1.2 - Évaluation de la température ambiante autour de la source infrarouge
La source infrarouge est une tige cylindrique, de longueur  , de rayon  et de 
conductivité
électrique .
Cette tige traversée par un courant électrique d'intensité  s'échauffe par 
effet Joule jusqu'à ce que
sa température de surface  atteigne 1 000 K.

Elle échange de la chaleur par rayonnement thermique et par conducto-convection 
avec le gaz
environnant dont on cherche à déterminer la température  lorsque l'équilibre 
thermique est
atteint.
 .
La résistance électrique de la tige vaut  =
²
9 / 16

Rappelons les deux lois suivantes :
Loi de Stefan : la puissance surfacique  rayonnée par un corps noir dont la 
température de
surface est  s'écrit  =  4 où  est la constante de Stefan qui vaut 5,67·10-8 
W·K-4·m-2.
Loi de Newton : la puissance thermique échangée entre un solide de surface , à 
la température 
et un fluide à la température  s'écrit |( -  )| où  est une constante appelée 
constante de
conducto-convection.

On donne  = 1 W·m-2·K-1.
On se place en régime permanent.

Q41. Écrire l'expression de la puissance électrique é reçue par la tige en 
fonction de , ,  et
de .
La tige et le gaz environnant sont considérés comme des corps noirs.

Q42. Exprimer la puissance thermique  échangée par rayonnement thermique entre 
la tige et
le gaz environnant en fonction de la constante de Stefan , , ,  et de  .

Q43. Exprimer la puissance thermique  échangée par conducto-convection entre la 
tige et le
gaz environnant en fonction de la constante de conducto-convection , , ,  et de 
 .
Q44. Effectuer un bilan énergétique de la tige et montrer que  vérifie 
l'équation suivante :
4 +  = 4 +  -

 2
.
2 2 3

II.1.3 - Détermination de la température  par dichotomie
Principe de la méthode (figure 8) :

Soient deux valeurs  et  et une fonction  :   () strictement monotone et 
continue sur
l'intervalle [, ].

On suppose que () et () sont de signes opposés. Dans ces conditions, l'équation 
() = 0
admet une solution unique.
L'objectif est de déterminer la solution de l'équation () = 0 avec une 
précision .
Pour trouver la solution, on divise l'intervalle en deux parties égales avec 
comme milieu  =

+ .
2

Si () et () sont de même signe, la solution se trouve alors dans l'intervalle 
[, ], sinon elle se
trouve dans l'intervalle [, ].

On réitère alors la recherche dans l'intervalle où la fonction change de signe 
jusqu'à obtenir la
précision voulue.
f(x)

f(c)

b
f(m)

f(b)

 Figure 8 - Méthode de
dichotomie

m
c

x

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Le programme 2 permet de déterminer la valeur de  par dichotomie.
#données du problème
H=1
sigma=5.67e-8
Ts=1000
i=25
a=1e-3
gamma=1e7

Programme 2 Recherche par
dichotomie de la
température du gaz
environnant la tige
métallique

#définition de la fonction considérée
def f(x):
[instruction 4]
#recherche de la valeur de Ta par dichotomie
[instructions 5]
#résultat
print(f "La température Ta vaut : {Dichotomie(f,298,1000,1):.0f} K ")

Q45. Compléter l'instruction 4 qui définit la fonction  considérée.

Q46. Compléter les instructions 5 qui définissent une fonction appelée 
dichotomie comprenant
les arguments , ,  et  et qui permet de déterminer la solution de l'équation () 
= 0 avec une
précision .
Q47. L'instruction finale :
print(f "La température Ta vaut : {Dichotomie(f,298,1000,1):.0f} K ")
renvoie le résultat : La température Ta vaut : 986 K. Commenter cette valeur.

II.2 - Monochromateur à réseau
Un spectromètre contient un réseau qui joue le rôle
de monochromateur. Un monochromateur est un
dispositif optique qui permet d'obtenir une onde
lumineuse quasi monochromatique à partir d'une
source polychromatique.
Le réseau à transmission considéré a  = 50 traits
par millimètre et  = 1 000 traits au total.
Il est éclairé sous incidence nulle par un faisceau
parallèle de lumière polychromatique.

réseau

lentille

écran

'

Figure 9 - Schéma d'un monochromateur

Une lentille convergente mince, de distance focale ' = 20 cm, a son axe optique 
perpendiculaire
au réseau et est placée à la distance focale de l'écran (figure 9).
Q48. Établir l'expression de la différence de marche  en un point  de l'écran 
d'ordonnée  entre
deux rayons de même longueur d'onde 0 et diffractés parallèlement sous un angle 
 par deux
1
fentes consécutives séparées d'une distance  = . En déduire que le déphasage  
entre ces

2 .
deux rayons, dans les conditions de Gauss, s'écrit  =
0 

.

11 / 16

Le déphasage entre deux rayons consécutifs et de même longueur d'onde étant 
égal à , les
amplitudes complexes des vibrations lumineuses diffractées successives ont pour 
expressions (du
trait 1 au trait ) en un point  de l'écran :
0 ; 0 exp (-) ; 0 exp (-2) ; ... ; 0 exp(-( - 1)).

L'amplitude complexe totale diffractée au point  est la somme de chaque 
amplitude complexe :
 = 0 (1 + exp(-) + exp(-2) +  + exp(-( - 1))).

L'intensité lumineuse résultant de la superposition de ces  vibrations 
lumineuses au point  est
obtenue en multipliant l'amplitude complexe  par son complexe conjugué  :
 =  ·  .
On désigne par 0 = 20 l'intensité lumineuse émise par chacune des fentes.

.
Le tracé de la variation de =
pour une longueur d'onde fixée en fonction de l'abscisse 
0
0 0
est donné sur les figures 10 et 11. Ces tracés montrent que l'intensité 
lumineuse est concentrée
principalement sur certaines valeurs de  et est nulle partout ailleurs.

1000000
800000

600000

I/I

0
400000
200000
0

Figure 10 - Répartition de l'intensité pour
des interférences à  = 1 000 ondes en
fonction de 

Figure 11 - Répartition de l'intensité
lumineuse en fonction de  sur l'écran

L'écran présente une fente fine centrée en 0 et de largeur  (figure 12). La 
source
polychromatique émet un rayonnement infrarouge dont les longueurs d'onde sont 
comprises entre
2·10-6 m et 6·10-6 m. Cette fente ne laisse passer qu'une bande étroite des 
longueurs d'onde
émises par la source.

0

_
0

12 / 16

 Figure 12 - Filtrage spectral
à l'aide d'une fente

Le programme 3 détermine la résolution du monochromateur, c'est-à-dire 
l'ensemble des
longueurs d'onde transmises par la fente.
n=50_000
f=0.2
N=1000

# nombre de traits par mètre
# distance focale de la seconde lentille
# nombre total de traits

# Définition de la fonction phi
instruction 6
# Définition de la fonction intensite
def intensite(x,lamda) :
instructions 7

Programme 3 Recherche de la
résolution du
monochromateur

def resolution(x0,b):
instructions 8.1
instructions 8.2
instruction 8.3
instructions 8.4
instruction 8.5

Q49. Compléter l'instruction 6 qui définit une fonction appelée phi qui utilise 
deux paramètres 
et  notés x et lamda et qui retourne le déphasage  exprimé à la question Q48.

Q50. Compléter les instructions 7 qui définissent une fonction appelée 
intensite qui utilise les
mêmes paramètres précédents x et lamda, qui font appel à la fonction phi 
définie à la Q49 et
retournent l'expression de l'intensité lumineuse . Pour cela, on utilisera les 
commandes qui sont
données en annexe.
La fonction resolution utilisant deux arguments 0 l'abscisse centrale de la 
fente nommée x0 et
 sa largeur nommée b, permet d'obtenir l'ensemble des longueurs d'onde 
transmises par la fente.

Q51. Compléter les instructions 8.1 qui déterminent les valeurs limites  et  de
l'abscisse  fixées par l'ouverture de la fente, valeurs limites que l'on notera 
x_min et x_max.

Q52. Compléter les instructions 8.2 qui définissent deux listes contenant 1 000 
éléments
chacune. La première liste nommée X_list contient les valeurs de x comprises 
entre x_min et
x_max. La seconde liste nommée Lambda_list contient les longueurs émises par la 
source
comprises entre 2·10-6 m et 6·10-6 m.
On considère qu'une vibration lumineuse est transmise par la fente si son 
intensité est supérieure
à une intensité seuil égale à 0,1 fois l'intensité maximale et si son abscisse 
est comprise entre
 et  .
Q53. Compléter l'instruction 8.3 qui définit l'intensité seuil appelée I_seuil.

Q54. Compléter les instructions 8.4 qui initialisent une liste vide nommée 
longueur_onde, puis
qui, pour chaque élément lamda de la liste Lambda_list et pour chaque élément x 
de la liste
X_list, compare son intensité à I_seuil et finalement remplissent la liste 
longueur_onde de
l'élément lamda si l'intensité est supérieure à I_seuil.
Q55. Compléter l'instruction 8.5 qui retourne , l'écart entre la plus grande 
longueur d'onde
transmise par la fente et la plus petite.
Q56. Pour 0 = 3 cm et  = 0,1 mm, on obtient  = 1,2·10-8 m. Commenter.
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ANNEXE
Quelques commandes utiles en langage Python
A - Bibliothèque NUMPY de Python (gestion des tableaux, matrices, vecteurs)
B - Bibliothèque MATPLOTLIB.PYPLOT de Python (gestion des graphes)

A - Bibliothèque NUMPY de Python (gestion des tableaux,
matrices, vecteurs)
np.sqrt(x)
Description : renvoie la racine carrée non négative d'un tableau, élément par 
élément.
Argument d'entrée : un tableau dont on cherche la racine carrée de chaque 
élément.
Argument de sortie : un tableau de même forme que x contenant la racine carrée 
de chaque
élément de x.
Exemple :

Commande
np.sqrt([1,4,9])
np.sqrt(2)

Résultat
[ 1. 2. 3.]
1.4142135623730951

np.linspace(start,stop,N_points)
Description : renvoie des nombres uniformément espacés sur un intervalle 
spécifié.
Arguments d'entrée : start : la valeur de départ de la séquence.
stop : la valeur de fin de la séquence.
N_points : Nombre d'échantillons à générer.
Argument de sortie : un tableau unidimensionnel de N_points éléments 
régulièrement
espacés entre start et stop.
Exemple :

Commande

Résultat

np.linspace(1,5,5)

[1. 2. 3. 4. 5.]

np.zeros(n)
Description : fonction créant un tableau unidimensionnel de longueur n dont 
tous les
éléments sont nuls.
Argument d'entrée : un entier correspondant à la longueur du tableau 
unidimensionnel à
créer.
Argument de sortie : un tableau unidimensionnel d'éléments de type flottant et 
égaux à 0.
Exemple :

Commande

Résultat

np.zeros(4)

[0.
14 / 16

0.

0.

0.]

np.sum(a)
Description : somme de tous les éléments de a.
Argument d'entrée : a, une liste de valeurs numériques.
Argument de sortie : somme des valeurs numériques de la liste a.
Exemple

a=[1,2,3]
Commande

Résultat

np.sum(a)

6

a.conjugate()
Description : renvoie le conjugué complexe de a, élément par élément.
Argument d'entrée : a, un tableau de type array.
Argument de sortie : un tableau dont les éléments sont les conjugués complexes 
de a.

Exemple

a=np.array([ 1j,

2+3j])

Commande

Résultat

a.conjugate()

[ -1.j,

2.-3.j]

max(), min()
Description : renvoie la plus grande (la plus petite) valeur d'un ensemble de 
données.
Argument d'entrée : a, une liste.
Argument de sortie : la plus grande (la plus petite) valeur de a.

Exemple

a=[1, 9.2, 6, 3.3]
Commande

Résultat

max(a)

9.2

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B - Bibliothèque MATPLOTLIB.PYPLOT de Python (gestion des
graphes)
Cette bibliothèque permet de tracer des graphiques. Dans les exemples 
ci-dessous, la
bibliothèque matplotlib.pyplot a préalablement été importée à l'aide de la 
commande :
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(x,y)
Description : fonction permettant de tracer un graphique de n points dont les 
abscisses sont
contenues dans le tableau unidimensionnel x et les ordonnées dans le tableau
unidimensionnel y. Cette fonction doit être suivie de la fonction plt.show() 
pour que le
graphique soit affiché.
Argument d'entrée : un tableau unidimensionnel de n éléments d'abscisses x et 
un tableau
unidimensionnel de n éléments d'ordonnées y.
Argument de sortie : un graphique.

Formules utiles
 ( ).

 ( )) = 
grad (div( )) - 
rot (rot

 (, ) =

1
2

 est le conjugué de  et  ( ) représente la partie réelle du
 (  ) où 

produit vectoriel

log() =

0

0

.

ln()
.
ln(10)

0

1
()  () + ( - )  () + ( - )²  ().
2

Aide aux calculs

350  1,4 = 490
350 / 1,4 = 250
350  1,7 = 595
350 / 1,7  206

1

(2)3  1,3
1
 0,6
3

FIN

16 / 16

2  1,4
3  1,7
5  2,2

I M P R I M E R I E N A T I O N A L E ­ 26 1011 ­ D'après documents fournis

Développement limité à l'ordre 2 de () autour de  :