CCINP Physique PC 2026

SESSION 2026

PC2P

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC
____________________

PHYSIQUE
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
·

·
·

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction 
de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

________________________________________________________________________________

Les calculatrices sont interdites.

Le problème est constitué de trois parties pouvant être traitées 
indépendamment. Il est toutefois
recommandé de les traiter dans l'ordre pour bien s'approprier la logique du 
problème qui forme un
tout cohérent. Un formulaire est fourni page 3.
Lorsqu'une application numérique est demandée, on attend, sauf mention 
contraire, un résultat
utilisant une écriture scientifique avec un seul chiffre significatif dans la 
mantisse. Par exemple, une
écriture correcte de la célérité de la lumière dans le vide est  = 3  108    -1 
, mais les écritures
 = 108    -1 ,  = 108,5    -1 ou  = 1/3  109    -1 ne le sont pas.

1/15

Nanorhéologie par appareil à force dynamique de surface
Source : Restagno, Frédéric. Interactions entre contacts solides et cinétique 
de la condensation capillaire.
Aspects macroscopiques et aspects microscopiques. Thèse de doctorat ­ ENS LYON, 
2000

Présentation générale
La nanorhéologie est l'étude de l'écoulement des liquides entre des parois 
séparées d'une distance
inférieure au micromètre. Ce domaine est d'un intérêt majeur pour comprendre 
les mécanismes des
frottements fluides, aussi bien dans le domaine industriel (lubrification des 
moteurs), naturel
(écoulement dans les milieux poreux) que biologique (liquide synovial entre les 
articulations).
Une manière d'accéder à des mesures de nanorhéologie est d'utiliser un appareil 
à force dynamique
de surface (abrégé dans cet énoncé par l'acronyme anglais dSFA, pour dynamic 
Surface Force
Apparatus), qui est un dispositif permettant de mesurer la force qu'exerce le 
fluide sur une des parois
qui le contient lors de son écoulement. Ce sujet s'intéresse à quelques aspects 
d'un dSFA développé
à l'Université Claude Bernard Lyon 1.

Figure 1 - Schéma de principe de l'appareil à force dynamique de surface (la 
partie optique du
dispositif n'est pas entièrement représentée)
Le schéma de principe du dSFA est représenté sur la figure 1. Une goutte de 
fluide est insérée
entre une sphère et un plan séparés d'une distance allant de quelques 
nanomètres à quelques
centaines de nanomètres, formant ainsi un mince filet fluide. La sphère et le 
plan sont fixés à des
structures, respectivement nommées porte-sphère et porte-plan, attachées à des 
cantilevers
(bilames déformables) L1 et L2, qui permettent une translation horizontale de 
ces structures et donc
un mouvement de la sphère par rapport au plan. Pour aboutir à la configuration 
d'étude, on
rapproche d'abord la sphère du plan à une distance d'environ un micromètre à 
l'aide d'une vis
micrométrique. Ensuite, une première céramique piézoélectrique poursuit le 
rapprochement jusqu'à
la distance sphère/plan souhaitée. Une seconde céramique piézoélectrique 
imprime alors une
oscillation sinusoïdale à la sphère, à la pulsation . Cette oscillation met en 
mouvement le fluide
entre la sphère et le plan, ce qui provoque une force  normale au plan, de même 
pulsation . C'est
la raison pour laquelle on évoque un appareil à force dynamique de surface.
2/15

La force  est mesurée à l'aide d'un capteur de force dont le principe est 
étudié dans la partie I.
Cette force provoque un déplacement du porte-plan qui est détecté par une 
méthode
interférométrique (sous-partie I.1) dont la mesure permet de remonter à la 
force  (sous-partie
I.2). La mesure des déplacements relatifs entre la sphère et le plan utilise un 
condensateur qui fait
l'objet de la partie II. Après avoir décrit le principe de la mesure 
(sous-partie II.1), on verra que
l'écoulement de l'air entre les armatures produit une force susceptible de 
perturber le capteur de
force (sous-partie II.2). Enfin, dans la partie III, on s'intéressera à 
quelques mesures de
nanorhéologie utilisant ce dSFA.

Formulaire
Pour tout champ scalaire  et tout champ vectoriel  :

grad 
div () =  div  +   

Opérateurs vectoriels en coordonnées cylindriques (, , ) pour un champ scalaire 
 ou un champ
vectoriel  ( ,  ,  ) :

 Gradient :

| 
1 

grad  =
|  

 Divergence :
div  =
 Rotationnel :

1 ( ) 1  
+
+

 Laplacien scalaire :

1  
-

|  

-
rot  =

| 1 ( ) 

-
(
)

 Laplacien vectoriel :

1 

1    
 =
( ) + 2 2 + 2

2

2 
 2 
|

2 

 =
|  - 2 + 2 

 -

3/15

 2

-

2

Partie I - Mesure de la force s'exerçant sur le plan
I.1 - Mesure interférométrique du déplacement du plan par rapport au bâti fixe
La force  qui s'exerce sur le plan se reporte sur le porte-plan et déforme le 
cantilever L2 (figure 1)
provoquant un déplacement de l'ensemble plan/porte-plan. Deux miroirs 
parallèles, l'un posé sur le
bâti fixe, l'autre posé sur le porte-plan, permettent par une méthode 
interférométrique de déterminer
ce déplacement par rapport au bâti. La configuration étudiée dans ce sujet se 
ramène à celle d'un
interféromètre de Michelson, bien que le véritable dispositif soit plus 
complexe.
Le schéma de l'interféromètre est représenté sur la figure 2. Un laser He-Ne, 
de longueur d'onde
dans le vide  = 633 nm, produit un faisceau de lumière rendu divergent par un 
condenseur (lentille
convergente de très courte focale). Ce faisceau est divisé en deux par une lame 
séparatrice. Le
premier faisceau, après avoir été dévié par un miroir à 45°, se réfléchit sur 
le miroir 1 solidaire du
bâti fixe tandis que le second faisceau se réfléchit sur le miroir 2 solidaire 
du porte-plan mobile.
Les faisceaux interfèrent à l'infini après avoir rejoint la lame séparatrice. 
Une lentille convergente ()
permet de projeter la figure d'interférences sur un écran placé dans son plan 
focal image. La
propagation de la lumière se fait dans l'air d'indice optique  = 1. On ne 
tiendra pas compte des
déphasages liés aux réflexions sur les miroirs et sur la lame séparatrice.

iroir
solidaire
du bâti fixe
Lame
séparatrice
LAS R

iroir
solidaire
du porte plan mobile

Condenseur
Lentille

cran
Figure 2 - Représentation schématique de l'interféromètre (seul le rayon 
central du faisceau laser
est dessiné)
Q1. La configuration présentée sur la figure 2 est équivalente à un 
interféromètre de Michelson
réglé en lame d'air. Faire le schéma équivalent de la lame d'air, d'épaisseur , 
puis tracer le
cheminement d'un rayon arrivant sur la lame avec un angle d'incidence  par 
rapport à la
normale aux miroirs. Établir l'expression de la différence de marche à l'infini 
en fonction de 
et de .

Q2. Dans le plan focal image de la lentille de projection, on observe des 
franges en forme
d'anneaux, appelées franges d'égale inclinaison. Justifier ce terme. 
Qu'obtiendrait-on sur
l'écran en l'absence du condenseur placé en sortie du laser ?
4/15

Q3. Le miroir 1 peut être translaté. Pour atteindre le contact optique, doit-on 
augmenter ou
diminuer le rayon des anneaux visibles sur l'écran ? Justifier.

La distance 2 est la distance entre la séparatrice et le miroir 2 lorsque le 
plan n'est soumis à
aucune force. Lorsqu'une force s'exerce sur le plan, le miroir se déplace de la 
distance , comptée
positivement vers la gauche sur le schéma de la figure 2, si bien que la 
distance entre la séparatrice
et le miroir 2 est 2 - .

Q4. Le contact optique est atteint en l'absence de force sur le plan  = 0). 
Donner la relation entre
, 1 et 2 dans cette situation.

Une fois le contact optique réalisé, on incline légèrement le miroir 1 d'un 
petit angle  afin de se
placer dans une configuration coin d'air (figure 3). À la sortie du laser, on 
remplace le condenseur
par un élargisseur de faisceau afin d'avoir une incidence quasi-normale sur les 
miroirs. Les
interférences sont désormais localisées sur les miroirs, et on repère par  la 
position sur les miroirs
depuis le point  d'intersection des miroirs. La différence de marche entre le 
rayon se réfléchissant
sur 1 et celui se réfléchissant sur 2 est 20 (), où 0 () désigne l'écart 
(algébrique) entre les
deux miroirs à la position .
0(

2

1

Figure 3 - Schéma équivalent de l'interféromètre de

)

( )

ichelson réglé en coin d'air

Q5. On remplace la lentille () par une autre lentille convergente () de plus 
courte focale .
Sachant que la distance entre le miroir 2 et la lentille est  > 0, à quelle 
distance  de la
lentille doit-on placer l'écran pour y observer les interférences ?

Q6. Quelle est la forme des franges d'interférences ? Comment les appelle-t-on 
? Déterminer
l'expression de l'interfrange  sur l'écran en fonction de , ,  et de .
Q7. On note 0 la différence de marche en un point donné des miroirs lorsque  = 
0. Déterminer,
en fonction de 0 et de , la différence de marche () en ce même point lorsque le 
miroir 2
se décale de .

Q8. Les rayons interférant en un point de l'écran ont la même amplitude 
lumineuse et on note 0
l'éclairement sur l'écran dû à un seul rayon. Établir la formule de Fresnel 
donnant
l'éclairement  résultant de l'interférence de ces deux rayons en fonction de 0 
, () et de .
En déduire que :
=

4

(1 + cos (
+ )) ,
2

où  est l'éclairement pour une frange brillante à exprimer en fonction de 0 et 
où  est à
exprimer en fonction de 0 et de .
5/15

La mesure de l'éclairement doit permettre de remonter à . Pour optimiser la 
précision, il faut que
les variations de l'éclairement soient maximales lorsque  varie autour de  = 0.

Q9. Donner l'expression de la sensibilité  = | |, puis déterminer les valeurs 
de  qui maximisent
cette sensibilité au voisinage de  = 0.

Pour mesurer l'éclairement, on place deux photodiodes en deux points de l'écran 
correspondant à
deux valeurs successives de  maximisant la sensibilité.
Q10. Montrer que pour   , les éclairements des photodiodes sont :

4
(1 -
)
2

.
{

4
(1 +
)
2 =
2

1 =

Une photodiode convertit l'éclairement  reçu en une intensité électrique 
proportionnelle. En effet,
lorsque la photodiode est en court-circuit (tension nulle à ses bornes), elle 
produit une intensité
électrique  = , avec  une constante, identique pour les deux photodiodes. 
Chaque photodiode
est insérée dans un montage à amplificateur linéaire intégré (ALI) représenté 
sur la figure 4, appelé
convertisseur courant/tension. L'ALI est supposé idéal.

Figure 4 - Convertisseur courant/tension
Q11. À partir du schéma de la figure 4, justifier que l'ALI fonctionne en 
régime linéaire. n déduire
que la photodiode est bien en court-circuit.
Q12. Déterminer la tension  en sortie de ce montage en fonction de , 1 et de .

On note 1 (respectivement 2 ) la tension de sortie du montage contenant la 
photodiode recevant
l'éclairement 1 (respectivement 2 ). Par des opérations analogiques sur ces 
tensions, on obtient la
tension finale  = 

2 -1
1 +2

, avec  = 10 V.

Q13. Exprimer  en fonction de ,  et de . La tension minimale que peut détecter 
la carte
d'acquisition utilisée est  = 2·10-4 V ; quel déplacement minimal du miroir 2 
peut-on
espérer détecter avec ce capteur interférométrique ?
6/15

I.2 - Réponse mécanique du cantilever
La détermination de  par interférométrie a pour objectif de mesurer la force  
qui s'exerce sur le
plan (figure 1). En effet, sous l'action de cette force, le plan et le 
porte-plan rattachés au cantilever L2
se déplacent par rapport au bâti fixe, pris comme référentiel d'étude galiléen. 
On assimile le plan et
le porte-plan à un solide de masse  en translation selon 
 ;  est ici l'écart à la position d'équilibre

du solide (lorsque  = 0), et  est sa vitesse. On modélise les interactions du 
solide avec le

 = - 
,
cantilever L2 par une force de rappel de constante de raideur , de la forme 
 et par une
 = - (figure 5).
force de dissipation visqueuse de coefficient , de la forme 
Le mouvement du fluide entre la sphère et le plan, à l'origine de la force  , 
est provoqué par le
.
mouvement sinusoïdal de la sphère à la pulsation , selon 
 En régime permanent, toutes les
grandeurs mécaniques sont donc sinusoïdales et de même pulsation. En 
particulier, la force  est
de la forme  () = () 
 = 1 cos( + ) 
 et le mouvement du plan est () = 1 cos ( + ).

Position du solide lorsque

Bâti fixe

sphère

Cantilever L

Figure 5 - Modélisation du mouvement du système plan/porte-plan
Q14. Quelle est l'origine physique des forces 
 et 
 introduites dans ce modèle ?

Q15. On note  le complexe tel que  2 = -1. Écrire les signaux complexes () et 
() associés à
() et (). On introduira les amplitudes complexes 1 et 1 , dont on précisera les 
expressions
en fonction de 1 , 1 ,  et de .
Q16. Montrer que la fonction de transfert mécanique de ce système a pour 
expression :
 =

1
1

=

1
,

 2
1 +  - 2
0
0

où la pulsation propre 0 et le facteur de qualité  seront exprimés en fonction 
de ,  et de .
Préciser la signification physique de 0 et de .

Q17. Déterminer le module de la fonction de transfert | | en fonction de  = /0.

Q18. Montrer que pour une condition sur  que l'on précisera, | | présente une 
résonance à une
pulsation  dépendant de 0 et de . À quelle condition sur  peut-on considérer que
  0 ?
7/15

Pour déterminer 0 et , on réalise une étude en fréquence. Pour ce faire, la 
force excitatrice est
cette fois-ci produite par une bobine située au voisinage d'un aimant attaché 
au porte-plan (figure 1)
afin de produire une force d'amplitude constante à toute fréquence. Le module 
de la fonction de
transfert | | est représenté sur le graphe de la figure 6.

Figure 6 -

odule de la fonction de transfert mécanique en fonction de la fréquence 
d'excitation

Q19. Déterminer les valeurs numériques de 0 et de  à partir du graphe de la 
figure 6.

Pour déduire la force  de la fonction de transfert  , il faut mesurer la 
constante de raideur  du

système, puisque 1 =

1

. Pour ce faire, on met en oeuvre la méthode de Cleveland, qui consiste

à lester le porte-plan avec des masses  croissantes. La masse du système est 
alors  +  , ce
qui modifie la pulsation propre 0 . Par le même protocole que précédemment, on 
détermine 0 pour
plusieurs valeurs de  . Les résultats sont rassemblés sur le graphe de la 
figure 7.

Figure 7 - Détermination de la constante de raideur
8/15

Q20. Déterminer la valeur de la constante de raideur  à partir du graphe de la 
figure 7. Quelle
autre grandeur pourrait être déduite de ce graphe ?

Q21. Lorsque le capteur interférométrique mesure une vibration d'amplitude 1 = 
2 nm à une
fréquence d'excitation de 40 Hz, le capteur de force en déduit une force 
d'amplitude 1 = 2 N
sur le plan. En déduire la valeur de  implémentée dans l'appareil. Commenter.

Partie II - Mesure du déplacement relatif entre la sphère et le plan
Comme on le verra dans la partie III, la connaissance du déplacement relatif 
entre la sphère et le
plan est essentielle dans les expériences de nanorhéologie. Pour cela, un 
capteur capacitif est mis
en place : il s'agit d'un condensateur plan tel que la distance entre les deux 
armatures varie de la
même façon que la distance entre la sphère et le plan, du fait de la rigidité 
du porte-plan et du portesphère (figure 1).
Les armatures du condensateur sont constituées de deux disques parallèles de 
rayon  = 3 cm
(figure 8). La distance  entre les deux armatures varie, mais reste très proche 
de 50 m. L'armature
de centre  est solidaire de la sphère tandis que l'armature de centre  est 
solidaire du plan. On
supposera que le référentiel de l'armature de centre  est galiléen, même si 
c'est inexact en toute
rigueur du fait du mouvement de la sphère. On se place dans un système de 
coordonnées
cylindriques (, , ), l'axe () étant l'axe de symétrie de révolution des deux 
armatures. n un
point  hors de l'axe (), on introduit la base locale (
,
,
).

Figure 8 - Schéma du condensateur

II.1 - Fonctionnement du capteur capacitif
L'armature de centre  (respectivement ), porte une charge + (respectivement -) 
uniformément
répartie, et son potentiel électrostatique est  (respectivement  ). La tension 
du condensateur est
 =  -  . Même si les charges sur les armatures sont amenées à varier au cours 
du temps, on
admettra qu'on peut raisonner dans le cadre de l'électrostatique.
On cherche tout d'abord à déterminer le champ électrique  à l'intérieur du 
condensateur afin d'en
déduire l'expression de sa capacité.
9/15

Q22. Justifier qu'on peut supposer ici les armatures infinies pour rechercher 
le champ électrique  .
Sous cette hypothèse, déterminer la direction de  entre les deux armatures et 
montrer par
une analyse des invariances qu'il ne dépend a priori que d'une seule des trois 
coordonnées
cylindriques.
Q23.

n utilisant une équation de
du condensateur.

axwell, montrer que le champ électrique est uniforme à l'intérieur

Q24. En utilisant une autre équation de Maxwell, énoncer, en la justifiant, la 
relation entre le potentiel
électrostatique  et le champ électrique  . n déduire l'expression de  en 
fonction de ,  et
d'un vecteur unitaire.
  2

Q25. On rappelle que l'expression de la densité volumique d'énergie 
électrostatique est  = 0 ,
2
avec 0 la permittivité diélectrique du vide. n déduire l'énergie 
électrostatique  stockée à
l'intérieur du condensateur en fonction de 0 , ,  et de .

Q26. Donner sans démonstration l'expression de l'énergie électrostatique 
stockée dans un
condensateur en fonction de sa capacité  et de sa tension . n déduire 
l'expression de 
en fonction de 0 ,  et de .

Le condensateur est connecté en parallèle avec une bobine d'inductance propre , 
formant ainsi un
circuit  oscillant (figure 9).

Q27.

Figure 9 - Circuit  oscillant

tablir l'équation différentielle vérifiée par la tension  du condensateur dans 
ce circuit. En
déduire l'expression de la fréquence  des oscillations.

Q28. La fréquence d'oscillation  de ce circuit est mesurée.
 par la relation :

 = 4 3 0 2  2 .

ontrer que cela permet d'en déduire

Q29. Pour une variation élémentaire  de la distance entre les armatures, la 
fréquence  varie
de . Exprimer  en fonction de . Sachant que la fréquence  est de l'ordre de 10 
Hz,
que l'inductance propre est de H, que 0 = 9·10-12 F·m-1 et que la méthode de 
mesure
permet de détecter des variations de fréquence de 0,2 Hz, calculer le 
déplacement relatif
minimal entre le plan et la sphère que ce capteur capacitif est capable de 
détecter.

10/15

II.2 - Perturbation liée à l'écoulement de l'air entre les armatures
Le mouvement des armatures déplace l'air qui se situe entre celles-ci. Dans 
cette sous-partie, on va
montrer que le déplacement de l'air donne naissance à une force sur les 
armatures orientée selon

,
 qui s'ajoute au bilan des forces effectué dans la sous-partie I.2 et qui est 
donc susceptible de
perturber la mesure du capteur de forces.
Q30.

tablir l'équation locale de conservation de la masse dans une géométrie 
unidimensionnelle
cartésienne, pour un fluide de masse volumique  et de champ de vitesse  . On 
admettra sa
généralisation en géométrie quelconque sous la forme :

+ div ( ) = 0.

Q31. Rappeler l'expression de la dérivée particulaire de la masse volumique. 
Après avoir fait
apparaître cette dérivée particulaire dans l'équation locale de conservation de 
la masse, établir
la condition sur le champ de vitesse qui traduit un écoulement incompressible.
Q32. En déduire que le débit volumique  à travers toute surface fermée fixe au 
sein d'un
écoulement incompressible est nul.
L'air entre les armatures est assimilé à un fluide newtonien en écoulement 
incompressible, de masse
volumique  = 1 kg·m-3 et de viscosité dynamique  = 2·10-5 Pa·s. On se place 
dans le référentiel
de l'armature de centre  (figure 8). L'armature de centre  présente un 
mouvement sinusoïdal de
pulsation  :
() = 0 + 1 cos() ,

avec 1 de l'ordre de quelques nanomètres, 0 de l'ordre de 50 m. Sachant que le 
rayon des
armatures est  = 3 cm, on pourra considérer que 1  0  .
On suppose que le champ de vitesse de l'air entre les armatures du condensateur 
est de la forme :
 =  (, , ) 
 +  (, , ) 
 .

Q33. Exprimer  (,  = 0, ) et  (,  = , ).

Q34. On note (, ) la vitesse moyenne de  (, , ) sur la surface latérale d'un 
cylindre de rayon
 et de hauteur . En utilisant le résultat de la question Q32 sur la surface 
fermée qui entoure
ce cylindre, montrer que :
(, )  -

()
.
20

Sachant que les fréquences d'oscillation sont de l'ordre de quelques dizaines 
de Hz, estimer
un ordre de grandeur sous forme d'une puissance de 10) de ().

.
Comme 0  , on fera l'approximation que la vitesse est essentiellement radiale : 
 =  (, , ) 

L'écoulement est décrit par l'équation de Navier-Stokes (en négligeant les 
effets de la pesanteur) :
 (

  +   ,
+ (  
grad)  ) = -grad

où (, , ) est le champ de pression.

11/15

Q35. Estimer un ordre de grandeur sous forme d'une puissance de 10 du nombre de 
Reynolds
pour l'écoulement radial de l'air entre les armatures, en prenant 0 pour 
échelle spatiale
caractéristique. Quel terme de l'équation de Navier-Stokes peut être négligé ?

Q36. En introduisant des échelles caractéristiques, comparer 
et  , puis montrer que l'un

de ces deux termes peut être négligé dans l'équation de Navier-Stokes.
Q37. Projeter l'équation de Navier-Stokes selon 
 et 
.
 Montrer que le champ de pression ne
dépend pas de . En raisonnant à nouveau en échelles caractéristiques et en 
négligeant les
termes appropriés, montrer que :

 2  
=
 2

Q38. Justifier que l'équation précédente permet de trouver un profil 
parabolique pour le champ de
vitesse selon la coordonnée  :
 (, , ) = (, )  2 + (, )  + (, )

où ,  et  sont trois fonctions qu'on ne cherchera pas à déterminer à ce stade.

Q39. Donner la définition de la vitesse moyenne (, ) à partir de  (, , ). n 
faisant l'hypothèse
de non glissement de l'air sur les parois, montrer que :
 (, , ) =

6(, )
 (1 - ).
0
0

Q40. On suppose que la pression à l'extérieur des armatures du condensateur est 
uniforme et égale
à 0 . Montrer que :
(, ) = 0 -

3 ()
0 3

( 2 -  2 ).

 , résultante des forces de pression sur l'armature de centre .
Q41. Déterminer l'expression de 

 estimée à partir de l'expression précédente est de plusieurs dizaines
L'amplitude de la force 
de N, ce qui est susceptible de perturber le capteur de force étudié dans la 
partie I, mesurant des
forces du même ordre de grandeur sur le plan.
Q42. Les armatures du condensateur ont été percées, comme cela peut être 
observé sur la
photographie de la figure 10. Pour quelle raison ?

Figure 10 - Photographie des armatures du condensateur
12/15

Partie III - Application à la nanorhéologie
Dans cette partie, on s'intéresse à l'écoulement du fluide entre le plan et la 
sphère, et à la force 
qui s'exerce sur le plan du fait de cet écoulement.

( )

0

plan

1( )

0

sphère

fluide

Figure 11 - Force générée par l'écoulement du fluide sur le plan
La sphère, de rayon 0 , est située à une distance moyenne 0 du plan, et oscille 
de façon sinusoïdale
avec une amplitude 1 (figure 11) :
() = 0 - 1 () = 0 - 1 cos().

Une goutte de liquide, de viscosité dynamique , est déposée entre le plan et la 
sphère. La taille
caractéristique de cette goutte est suffisamment grande pour qu'on puisse 
supposer que le liquide
baigne complètement la sphère et le plan, ce qui permet notamment de négliger 
les effets de tension
superficielle à l'interface liquide/air. La force s'exerçant sur le plan est 
également sinusoïdale :
 = () 
 = 1 cos( + ) 
.

En passant 1 () et 1 () en signaux complexes, on définit l'impédance 
hydrodynamique comme le
rapport des amplitudes complexes :
 =

1

1

=   +   .

Par une modélisation analogue à celle effectuée dans la sous-partie II.2, on 
montre que la force
s'exerçant sur le plan, appelée force de Reynolds, a pour expression :

 = -

60 2
 
.

0

Q43. Déterminer l'expression de l'impédance hydrodynamique en utilisant le 
modèle de la force de
Reynolds. Identifier   et .

13/15

On réalise la mesure de l'impédance hydrodynamique en utilisant comme fluide le 
glycérol, les
surfaces du plan et de la sphère étant en Pyrex. La fréquence d'excitation de 
la sphère est de 39 Hz,
le rayon de la sphère est de 1,3 mm.  et  sont représentées sur la figure 12 en 
fonction de la
distance 0 , tandis que sur la figure 13, on représente 1/ ainsi que la force 
statique (mesure de
1 sans oscillation de la sphère).

Figure 12 - Représentation de  (points gris) et de  (points noirs) en fonction 
de 0 pour le
système glycérol/Pyrex

Figure 13 - Représentation de 1/ (points noirs) et de la force statique (points 
gris) en fonction
de 0 pour le système glycérol/Pyrex
14/15

Q44. Dans quel domaine le modèle de la force de Reynolds est-il validé sur le 
système
glycérol/Pyrex ? Dans le domaine où il est mis en défaut, proposer une 
interprétation physique
de l'écart constaté.
Des expériences ont été réalisées avec de l'eau pour tester l'influence de la 
nature mouillante ou
non mouillante de la surface du plan. La partie imaginaire de l'impédance 
hydrodynamique a été
mesurée avec un plan en Pyrex (surface mouillante) et un plan en Pyrex silanisé 
(surface non
mouillante). Les résultats sont présentés sur la figure 14.

Figure 14 - Représentation de 1/ pour de l'eau au contact d'un plan en Pyrex 
points noirs et
un plan en Pyrex silanisé (points gris)
L'écart entre les deux courbes a été interprété en faisant l'hypothèse qu'au 
contact du plan, l'eau
possède en fait une vitesse de glissement non nulle. Tout se passe comme si la 
surface où l'eau
avait une vitesse de glissement nulle était reportée à l'intérieur du plan. La 
distance entre la surface
réelle et cette surface de non glissement fictive est appelée longueur de 
glissement  (figure 15).

Fluide en
écoulement
Plan
Figure 15 - Illustration de la longueur de glissement
Q45. Déterminer la longueur de glissement de l'eau sur la surface de Pyrex 
silanisée. Pourquoi cette
longueur de glissement joue-t-elle un rôle important en nanorhéologie, alors 
qu'on peut
généralement la négliger pour des écoulements macroscopiques ?

FIN
15/15