X/ENS Maths PC 2026

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI
ECOLES NORMALES SUPERIEURES
CONCOURS D'ADMISSION 2026

LUNDI 13 AVRIL 2026
08h00 - 12h00
FILIERE PC

-

Epreuve n° 1

MATHEMATIQUES

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Le sujet explore certains modèles simplifiés de matériaux ferromagnétiques. 
L'idée générale
est de représenter le matériau comme une collection de petits aimants qui 
peuvent prendre les
valeurs +1 ou -1, et dont les interactions sont décrites par une fonction 
d'énergie. Le système
occupe une configuration donnée avec une probabilité proportionnelle à 
l'exponentielle de
cette fonction d'énergie. Certains paramètres du problème peuvent être reliés à 
la température
par exemple, et on étudie les propriétés du système en fonction de ces 
paramètres.
Le sujet se décompose en trois parties. Même si ce n'est pas toujours 
mentionné, il est bien
sûr tout à fait acceptable, pour répondre à une question, d'utiliser les 
résultats de questions
précédentes.
On note R l'ensemble des nombres réels et N l'ensemble des entiers strictement 
positifs. On
fixe, pour toutes les parties du sujet, un espace probabilisé (, A , P ) sur 
lequel seront définies
les différentes variables aléatoires. On note P [A] la probabilité d'un 
événement A  A , et
E[X] l'espérance d'une variable aléatoire X sur (, A , P ) à valeurs dans un 
sous-ensemble
fini de R.
Si x = (x1 , . . . , xd ) et y = (y1 , . . . , yd ) sont des éléments de Rd , 
on note
x·y =

d
X

xi yi

i=1

leur produit scalaire. On dit qu'une fonction f : Rd  R est convexe si pour 
tout   [0, 1]
et tous x, y  Rd , on a
f (x + (1 - )y)  f (x) + (1 - )f (y).
Pour tout x  R, on définit
ch(x) =

ex + e-x
,
2

sh(x) =

ex - e-x
,
2

th(x) =

sh(x)
.
ch(x)

On rappelle que lorsque n  N tend vers l'infini, on a l'équivalence asymptotique
 n n

n!  2n
.
e

Première partie

On fixe X une variable aléatoire à valeurs dans un sous-ensemble fini de Rd . 
On note
X1 , X2 . . . , Xd les coordonnées de X. On définit l'application
 d
R  R
:
 7 ln E[e·X ].

Plus explicitement, en notant (1 , 2 , . . . , d ) les coordonnées de , on a 
donc
"
!#
d
X
() = ln E exp
i Xi
.
i=1

1

1. Soit g : R  R une fonction convexe, que l'on suppose dérivable en un point x 
 R.
Montrer que pour tout h > 0, on a
g(x) - g(x - h)
g(x + h) - g(x)
 g 0 (x) 
.
h
h
2. On se donne une suite (fn )nN de fonctions de R dans R, que l'on suppose 
convexes et
dérivables. On suppose également que la suite (fn )nN converge simplement vers 
une fonction
f : R  R. Montrer que la fonction f est convexe.
3. Donner un contre-exemple où la fonction f n'est pas dérivable sur R.
4. On suppose que f est dérivable en un point x  R. Montrer qu'on a alors
lim f 0 (x) = f 0 (x).
n n
5. Soit g : Rd  R une fonction convexe et de classe C 2 . Montrer qu'en tout 
point x  R,
la matrice hessienne de g en x est une matrice symétrique positive.
Indication : Étant donné u  Rd , on pourra considérer la fonction de R dans R 
qui à t associe
g(x + tu).
6. Soit g : Rd  R une fonction de classe C 2 et telle qu'en tout point x  Rd , 
la matrice
hessienne de g en x est symétrique positive. Montrer que la fonction g est 
convexe.
7. Montrer que l'application  (qui apparaît dans la section de notations) est 
de classe C 2 ,
et que pour tous i, j  {1, . . . , d} et   Rd , on a

E[Xi e·X ]
,
() =
i
E[e·X ]

et

E[Xi Xj e·X ] E[Xi e·X ] E[Xj e·X ]
2
-
.
() =
i j
E[e·X ]
E[e·X ] E[e·X ]

8. Montrer que la fonction  est convexe.
Deuxième partie
On se donne (i )iN des variables aléatoires mutuellement indépendantes et 
telles que, pour
tout i  N ,
1
P [i = 1] = P [i = -1] = .
2
Pour tout N  N , on note X (N ) = (1 , 2 , . . . , N ) ; il s'agit d'une 
variable aléatoire à
valeurs dans RN dont la première coordonnée est 1 , la deuxième coordonnée est 
2 , et ainsi
de suite.
Pour tous , h  R et a = (a1 , a2 , . . . , aN )  RN , on définit
!
N
-1
N
X
X
HN (, h, a) = 
ai ai+1 + aN a1 + h
ai ,
i=1

i=1

ainsi que
h

i
ZN (, h) = E exp HN (, h, X (N ) ) ,
2

et

FN (, h) =

1
ln ZN (, h).
N

9. Pour tous h  R et N  N , montrer que ZN +1 (0, h) = ch(h)ZN (0, h), puis 
calculer
FN (0, h).
10. Montrer que la fonction FN : R2  R est convexe.
Pour les quatre questions suivantes, on fixe   0 et h  R.
11. On pose

e-h e-+h
.
e--h e+h

A=

Montrer que la matrice A admet deux valeurs propres réelles distinctes, et que 
la plus grande
valeur propre, que l'on note (, h), est donnée par la formule
q
(, h) = e ch(h) + e2 ch2 (h) - 2 sh(2).
12. Pour tous s, t  R, on note Bs,t = exp(st + hs). Montrer que, pour tout a  
RN , on a
exp(HN (, h, a)) =

N
-1
Y

!
Bai ,ai+1

BaN ,a1 .

i=1

13. En déduire que
ZN (, h) = 2-N tr(AN ).
14. Montrer que

lim FN (, h) = ln (, h) - ln(2).

N +

15. Montrer que la fonction  : [0, +[ × R  R est de classe C  .
16. Pour tous   0 et h  R, on définit
"
!
#
N
1
1 X
(N )
mN (, h) =
E
i exp(HN (, h, X )) .
ZN (, h)
N
i=1

Montrer que
lim mN (, h) =

N +

ln (, h) .
h

(Le terme de droite désigne la dérivée de la fonction h 7 ln((, h)), calculée 
en h. Pour
répondre à cette question, on pourra penser à utiliser les résultats de 
questions précédentes,
y compris de la première partie.)
17. Pour tout   0, on définit la fonction

R  R

g :
h 7 ln (, h) - .

Montrer que la suite de fonctions (g )N converge simplement vers la fonction h 
7 |h|.

3

18. Identifier la limite simple de la suite (g0 )N . La convergence est-elle 
uniforme ?
Troisième partie

Comme dans la deuxième partie, on se donne (i )iN des variables aléatoires 
mutuellement
indépendantes et telles que, pour tout i  N ,
1
P [i = 1] = P [i = -1] = .
2
Pour tout N  N , on définit la variable aléatoire
N

SN =

1 X
i ,
N
i=1

ainsi que l'ensemble
MN =

2
4
2
-1, -1 + , -1 + , . . . , 1 - , 1 .
N
N
N

Pour tous N  N ,   0 et h  R, on définit

2
YN (, h) = E exp N SN
+ hN SN ,

et

GN (, h) =

1
ln YN (, h).
N

Enfin, on définit la fonction I : ]-1, 1[  R par

1+x
1-x
1-x
1+x
ln
+
ln
.
I(x) =
2
2
2
2
19. Montrer que la fonction I peut se prolonger par continuité en -1 et en 1.
20. Pour chaque x  R, calculer la probabilité de l'événement {SN = x}.

21. Soit (uN )N N une suite telle que pour tout N  N, on a uN  MN , et telle que
limN  uN = x  ]-1, 1[. Montrer que
lim -

N +

1
ln P [SN = uN ] = I(x).
N

22. Montrer que pour tous   0, h  R, et x  MN , on a
GN (, h)  x2 + hx +

1
ln P [SN = x].
N

On admet que pour tous   0 et h  R, la quantité GN (, h) converge, quand N tend 
vers
l'infini, vers

g(, h) = sup x2 + hx - I(x) .
x[-1,1]

Pour les trois questions suivantes, on note, pour tous   0 et h  R,

[-1, 1]  R
,h :
x 7 x2 + hx - I(x).
4

00 (x)  0. (On
23. Pour tous   0 et h  R, déterminer les valeurs de x pour lesquelles ,h
 1
pourra distinguer le cas   0, 2 du cas  > 12 ).

24. Pour tous   0 et h > 0, montrer que la fonction ,h atteint son maximum en un
unique point x (, h), et que x (, h)  ]0, 1[. Qu'en est-il pour h < 0 ? 25. Pour   0, 21 , montrer que la fonction ,0 atteint son maximum en zéro et uniquement en ce point ; on pose x (, 0) = 0 dans ce cas. Pour  > 12 , montrer 
qu'il existe
x (, 0)  ]0, 1[ tel que ,0 atteint son maximum exactement en les points x (, 0) 
et
-x (, 0).

26. On fixe   0 et h > 0, et on se donne une suite (vn )nN telle que limn vn = 
h. On
suppose de plus que la limite
lim x (, vn )
n

existe. Montrer que cette limite est x (, h).
À partir de maintenant, on admet que pour tout   0, l'application

[0, +[  R
h 7 x (, h)
est continue.
27. Montrer que pour tous   0, et h, h0  0, on a
(h0 - h)x (, h)  g(, h0 ) - g(, h)  (h0 - h)x (, h0 ).

28. En déduire que pour tous   0 et h > 0, la fonction h0 7 g(, h0 ) est 
dérivable en h,
et que
g
(, h) = x (, h).
h

29. Déterminer quelles sont les valeurs de   0 pour lesquelles la fonction h 7 
g(, h) est
dérivable sur R.
30. Pour tous   0 et h > 0, identifier la limite quand N tend vers l'infini de

!
N
N
N
N
X
X
X
X
1
1

E
i exp 
i j + h
i  .
YN (, h)
N
N
i=1

i=1 j=1

i=1

(On pourra penser à utiliser les résultats de questions précédentes, y compris 
de la première
partie.)

31. Pour tous   0 et h > 0, montrer que x (, h) satisfait l'équation
x (, h) = th(h + 2x (, h)).

5

32. Montrer que

x 12 , h
= 1.
lim
h0 (3h)1/3
h>0

La quantité x (, h) peut-être interprétée comme la magnétisation d'un matériau 
à température 1 soumis à un champ magnétique h. En particulier, le changement 
de comportement
en  = 12 met en évidence une transition de phase : une magnétisation spontanée 
apparaît
à basse température, mais disparaît soudainement quand la température dépasse 
un certain
seuil.

6