Mines Maths 2 PC 2026

A2026 ­ MATH II PC

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES,
ISAE-SUPAERO, ENSTA,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS - PSL,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).
CONCOURS 2026
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

.
Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines-Ponts.

Solutions périodiques d'équations di!érentielles

Notations et définitions.
On note R le corps des nombres réels, N l'ensemble des entiers naturels.
On désigne par B(R, R) l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles 
bornées sur
R et par C 2 (R, R) celui des fonctions deux fois continûment dérivables sur R.
Dans tout le problème, (E) désigne l'équation di!érentielle :
y  + b(x)y = c(x)

(E)

où b, c sont deux fonctions continues et 2 périodiques sur R.
On note (EH) l'équation homogène associée :
y  + b(x)y = 0

(EH)

On appellera solutions de (E) ou de (EH) les fonctions satisfaisant ces 
équations différentielles et qui sont définies sur R tout entier.
On note S(E) l'ensemble des solutions de (E), autrement dit :
S(E) = {f  C 2 (R, R), x  R, f  (x) + b(x)f (x) = c(x)}
De même on note S(H) l'espace vectoriel des solutions de (EH).
Le problème se propose d'étudier l'existence de solutions bornées ou de 
solutions périodiques à l'équation (E).
On admettra que toute fonction continue et périodique sur R est bornée.
Pour toute fonction f  B(R, R), la norme infinie de f est :
f  = sup |f (t)|
tR

On rappelle qu'on définit ainsi une norme sur l'espace vectoriel B(R, R).
Enfin, on note B(E) l'ensemble des solutions bornées de (E) et B(H) l'ensemble 
des
solution bornées de (EH).

1

Partie 1. Résultats généraux.
1  Démontrer que B(H) est un sous-espace vectoriel de S(H).
2  Lorsque l'équation (E) possède une solution bornée f0 , vérifier que les 
éléments de
B(E) sont les fonctions de la forme f0 + g où g est un élément de B(H).
Soit f  C 2 (R, R) . On note T (f ) la fonction définie par :
x  R, T (f )(x) = f (x + 2)

3  Démontrer que si f est une solution de (E) alors T (f ) est aussi solution 
de (E)
4  On suppose que f est une solution de (E) qui vérifie les deux conditions :
f (0) = f (2) et f  (0) = f  (2)
Démontrer que la fonction f est 2 périodique.
Indication : considérer la fonction h définie par x  R, h(x) = T (f )(x)  f (x)

Partie 2 : Un exemple d'équation à coe!cients
constants.
Dans cette partie ,  est un réel strictement positif et di!érent de 1.
On fait les hypothèses : x  R, b(x) =  2 et c(x) = cos x.
L'équation (E) s'écrit donc :
y  +  2 y = cos x

5  Déterminer un nombre réel d tel que la fonction définie par :
x  R, f0 (x) = d cos x

soit solution de (E) et déterminer les solutions u et v de (EH) satisfaisant les
conditions

u(0) = 1

u (0) = 0

2

v(0) = 0
v  (0) = 1

6  Expliciter les ensembles S(E) et B(E).

Dans les trois questions qui suivent, on suppose que f est une solution 
périodique
de (E). On note T une période de f .

7  Montrer qu'il existe un entier k  N tel que T = 2k
8  Soient A, B les deux réels tels que f = f0 + Au + Bv.
Démontrer que A, B sont solutions du système linéaire :

sin(2k)
B=0

 sin(2k)A + (cos(2k)  1)B = 0
(cos(2k)  1)A +

9  En calculant le déterminant de la matrice
M=

%

sin(2k)
cos(2k)  1

 sin(2k) cos(2k)  1

&

démontrer que si  n'est pas un nombre rationnel, la seule solution périodique de
(E) est f0 .
10  Déterminer une période commune à toutes les solutions lorsque  s'écrit sous 
la
forme  = pq pour p, q  N .

Partie 3 : Unicité lorsque la fonction b est négative.
Dans cette partie on suppose que x  R, b(x) = (1 + cos x) et c est une fonction
continue 2 périodique quelconque. L'équation (EH) s'écrit donc :
y   (1 + cos x)y = 0
11  Soit g une solution de (EH). Établir que g 2 est une fonction convexe.
12  En déduire que la fonction nulle est la seule solution bornée de (EH)
On pourra admettre qu'une fonction convexe non constante n'est pas majorée sur R
13  Démontrer que l'équation (E) possède au plus une solution bornée.

3

14  Prouver que si (E) possède une solution bornée, alors elle possède une 
solution 2
périodique.

Partie 4 : Existence d'une solution périodique.
Dans cette partie on suppose toujours que x  R, b(x) = (1 + cos x).
L'équation (E) est donc :
y   (1 + cos x)y = c(x)

On se propose d'établir l'existence d'une solution périodique à l'équation (E) 
pour
une grande classe de fonctions c continues et 2 périodiques.
On admet qu'il existe une suite réelle bornée (an )nN vérifiant les conditions :

n  N \ {0, 1}, (n2 + 1)a
4a1 + a2 = 2

1
n + 2 (an+1 + an1 ) = 0

Soit M un nombre réel tel que pour tout n  N on ait : |an |  M .
15  Démontrer que les séries
On pose pour tout x réel

'

an et

' 2
na

g(x) =

n sont absolument convergentes.

(

an sin nx

n=1

16  Démontrer que g est une solution de l'équation di!érentielle
y   (1 + cos x)y = sin x
Pour n  N , on note sn la fonction x  sin nx. Pour tout N  N , on note PN
le sous espace vectoriel de C 2 (R, R) engendré par les fonctions s1 , . . . , 
sN . C'est
l'ensemble des fonctions de la forme
p(x) =

N
(

k sin kx

k=1

avec 1 , . . . , N réels.

On note P la réunion des espaces vectoriels PN pour N  N . P est donc l'espace
vectoriel engendré par la famille (sn )nN

4

17  Démontrer que pour tout entier N  N , la famille (s1 , . . . , sN ) est une 
base de PN .

Une méthode
possible, mais non imposée, consiste à calculer pour n, m  N , n = m,
) 2
l'intégrale 0 sn (t)sm (t)dt
On note L l'application linéaire définie sur P par
x  R, p  P, L(p)(x) = p (x)  (1 + cos x)p(x)

18  Pour tout entier n  1, exprimer L(sn ) en fonction de sn , sn+1 et sn1 (par 
convention s0 = 0).
19  Démontrer que L est un endomorphisme injectif de P et que la fonction s1 
n'est
pas dans l'image de L.
20  Déduire des questions précédentes que l'on a pour tout N  1 l'égalité :
L(PN )  P1 = PN +1
21  On suppose que la fonction c, second membre de l'équation (E), est un 
élément
de P.
Démontrer que (E) possède une solution périodique.

Partie 5 : Un théorème général.
Dans cette partie on revient au cas général où les fonctions b et c sont deux 
fonctions
2 périodiques continues sur R. On fait l'hypothèse que la fonction c n'est pas 
identiquement nulle. On se propose de démontrer le théorème suivant :
Théorème : Si l'équation (E) possède une solution f0 telle que les deux 
fonctions f0
et f0 soient bornées sur R, alors elle possède une solution périodique.
On fait donc l'hypothèse que (E) possède une telle solution f0 .
On pose M0 = f0  et M1 = f0 
On rappelle que B(E) désigne l'ensemble de toutes les solutions bornées de (E). 
On
définit l'ensemble A suivant :
A = {f  B(E), f   M0 }
5

22  Préciser un sous-espace vectoriel H de B(R, R) de dimension finie contenant 
A.
Démontrer que A est une partie fermée bornée non vide de H.
23  On note  la borne inférieure du sous-ensemble I de R défini par
I = {|f (2)  f (0)| + |f  (2)  f  (0)|, f  A}
Démontrer que  est bien défini et qu'il existe f1  A tel que
 = |f1 (2)  f1 (0)| + |f1 (2)  f1 (0)|
24  Démontrer que l'on a pour tout n  N l'inégalité  

2(M0 + M1 )
n+1

Indication : on utilisera la fonction gn définie pour tout x réel par
gn (x) =

n
1
1 (
(f0 (x) + f0 (x + 2) + . . . + f0 (x + 2n)) =
T k (f0 )(x)
n+1
n + 1 k=0

25  En utilisant les résultats précédents, démontrer que (E) possède une 
solution périodique.

Fin du problème

6