e3a Mathématiques PC 2026

SESSION 2026

PC8M

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC
____________________

MATHÉMATIQUES
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
·

·
·

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction 
de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

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Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

1/4

EXERCICE 1
On rappelle que si A est une matrice, alors A désigne sa transposée.
Questions préliminaires
Soit g un endomorphisme d'un espace vectoriel réel H.

1. Soit µ une valeur propre de g. Montrer que µ2 est valeur propre de g2 = g  g.

2. Montrer que si x est vecteur propre de g2 associé à une valeur propre non 
nulle, alors g(x) est un
vecteur propre de g2 .
3. Démontrer que deux sous-espaces propres de g associés à des valeurs propres 
distinctes sont en
somme directe.
4. Soit A une matrice carrée d'ordre n  2 à coefficients réels.
Exprimer, sans démonstration, det(-A) et det(A ) en fonction de det(A).
*****

On note E = R5 muni du produit scalaire usuel noté (x  y) = X  Y, où X et Y 
sont les matrices
colonnes des coordonnées des vecteurs x et y dans la base canonique B = (e j ) 
j1,5 , orthonormale
pour ce produit scalaire.
Soit f l'endomorphisme de E défini par sa matrice M dans la base B :
0 -1 0 0 0 
1 0 -1 0 0 

M=
0 1 0 -1 0  .
0 0 1 0 -1

0 0 0 1 0 

5. Premières propriétés de l'endomorphisme f
5.1. Déterminer la matrice M + M  .

5.2. Montrer que f n'est pas un automorphisme de E.

5.3. Déterminer le rang de la matrice M.

5.4. Prouver que f 2 est un endomorphisme symétrique de E.

5.5. Justifier alors que la matrice M 2 est diagonalisable dans M5 (R).

5.6. Montrer que f vérifie la propriété :  (x, y)  E 2 , ( f (x)y) = -(x f (y)).

6. Étude des éléments propres de l'endomorphisme f
6.1. Montrer que 0 est la seule valeur propre de f .
On pourra utiliser la question précédente.

6.2. En déduire que l'endomorphisme f n'est pas diagonalisable.
6.3. Démontrer que les valeurs propres non nulles de f 2 sont strictement 
négatives.
On admet dans la suite que les valeurs propres distinctes de f 2 sont 0, -1 et 
-3.

7. Prouver que : E = Ker( f )  Im( f ).

8. Soient  une valeur propre non nulle de f 2 et x un vecteur propre associé.
8.1. Montrer que les vecteurs x et f (x) forment une famille libre.
2/4

8.2. Justifier que (x, f (x)) engendre un plan vectoriel de Im( f ).

9. Soient u un vecteur propre de f 2 associé à la valeur propre -1 et v un 
vecteur propre de f 2 associé
à la valeur propre -3.
Montrer que (u, f (u), v, f (v)) est une base de Im( f ).
On pourra utiliser des questions préliminaires.

10. Déterminer des réels , ,  et  tels que la matrice M soit semblable à la 
matrice :
0
0

T =
0
0

0

0
0

0
0

0

0
0
0

0
0
0
0

0
0

0
.

0

EXERCICE 2
Questions préliminaires
1. Écrire le développement limité à l'ordre 2 de la fonction t  et en 0.

2. Soient h une fonction continue sur R+ à valeurs dans R et a  R+ .
Justifier que la fonction H  x  

x

a

h(t) dt est de classe C 1 sur R+ et déterminer sa dérivée.

3. En déduire que la fonction G  x  

x+1

x

h(t) dt est de classe C 1 sur R+ et calculer sa dérivée.
*****

4. Soit f une fonction continue sur [0, 1] à valeurs dans R.
1 f (t)
Justifier que la fonction F  x  
dt est définie sur R+ .
0 x+t
Soit l'application T qui à toute fonction f , continue sur [0, 1], associe la 
fonction F :
T ( f ) = F.

5. Un premier exemple
On pose pour tout entier naturel n, fn  t  [0, 1]  tn et Fn = T ( fn ).
Soit x  R+ .
5.1. Calculer F0 (x).

5.2. Calculer, pour tout k  N , Fk (x) + xFk-1 (x).

5.3. Soit k  N . Démontrer que :

Fk (x) Fk-1 (x) (-1)k 1 k
-
=
( ) .
(-x)k (-x)k-1
k
x

5.4. En déduire que, pour tout entier naturel n, il existe un polynôme Pn , que 
l'on déterminera, tel
que :
1
1
Fn (x) = (-x)n (ln (1 + ) - Pn ( )) .
x
x
3/4

6. Un deuxième exemple
Soient g  t  [0, 1]  et et G = T (g), c'est-à-dire :
Gx

1

0

et
dt.
x+t

6.1. En effectuant le changement de variable u = x + t, prouver que G est de 
classe C 1 sur R+ .
6.2. On pose, lorsque cela existe :
J(x) = 

0

x et -1

t

dt et K(x) = 

0

x

et
dt.
1+t

6.2.1. Montrer que J et K sont de classe C 1 sur R+ .
6.2.2. Montrer que la fonction L  x  G(x) e x -e K(x) + J(x) + ln(x) est 
constante sur R+ .
6.2.3. En déduire enfin la limite de lim+ G(x) et un équivalent de G(x) lorsque 
x tend vers 0+ .
x0

EXERCICE 3
Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (, A , P) à 
valeurs dans {1, 2, 3}.
On pose, pour tout k  1, 3, pk = P(X = k)  [0, 1] et on se propose de 
déterminer pour quelles
valeurs des (pk )k1,3 , la variance V(X) est maximale, puis minimale.
1. Déterminer les valeurs possibles pour la variable aléatoire X 2 .
2. Calculer E(X 2 ), l'espérance de la variable aléatoire X 2 .
3. Exprimer la variance V(X) de la variable aléatoire X à l'aide des seuls 
paramètres p1 et p2 .
4. On considère la fonction f de R2 dans R définie par :
 (x, y)  R2 , f (x, y) = 4x + y - 4x2 - y2 - 4xy.

4.1. Représenter graphiquement T dans le plan muni d'un repère orthonormé.
4.2. Justifier que f est de classe C 2 dans R2 .
4.3. Montrer que f possède des extrema dans T .
4.4. Soit m = (x, y) un point de R2 . Déterminer le vecteur gradient  f (m), de 
f , en m.
4.5. Prouver que f ne possède pas de point critique dans l'intérieur de T .
4.6. On note g la fonction réelle de la variable réelle qui à tout x réel 
associe g(x) = x(1-x). Dresser
le tableau des variations de la fonction g sur l'intervalle [0, 1] et en donner 
une représentation
graphique dans le plan muni d'un repère orthonormé.
4.7. Déterminer alors les extrema de f dans T .
5. Résoudre alors le problème posé au début de l'exercice.
6. Que peut-on dire de la variable aléatoire X lorsque sa variance est minimale 
?

FIN
4/4

I M P R I M E R I E N A T I O N A L E ­ 26 1013 ­ D'après documents fournis

On note T l'ensemble fermé et borné défini par : T = {(x, y)  [0, 1]2 , x + y  
1}.