Centrale Maths 2 PC 2026

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2026

Mathématiques 2

Notations et rappels
­ Les lettres N, Z et R désignent respectivement les ensembles des entiers 
naturels, des entiers relatifs et celui des
nombres réels.
­ Si f : R  R est une fonction bornée, on note f  = sup |f (x)|.
xR

­ On note C (R) le R-espace vectoriel des fonctions de classe C  (R) de R dans 
R et on note D(R) le sous-espace
vectoriel de C  (R) constitué des fonctions f pour lesquelles il existe A > 0 
tel que f (x) = 0 si |x| > A :
D(R) = {f  C  (R) | A > 0, x 
/ [-A, A], f (x) = 0}.
On ne demande pas de vérifier que D(R) est un sous-epace vectoriel de C  (R).
Le but de ce sujet est d'introduire les distributions. Après avoir construit 
une fonction test (partie A), on introduit
les distributions (partie B). Les propriétés de dérivation et de convergence 
sont introduites dans les parties C et D. La
partie E donne une application classique de la théorie des distributions et 
utilise les résultats des parties précédentes.

Partie A ­ Construction d'une fonction test
(
Soit  la fonction de R dans R telle que, pour tout x  R, (x) =

e-1/x
0

si x > 0
.
si x  0

Q1. Justifier que  est de classe C  sur R .
Q2. Montrer que, pour tout n  N, il existe un polynôme Pn  R[X] tel que
 
1
e-1/x .
x  R+ , (n) (x) = Pn
x
Q3. En déduire que   C  (R).
Q4. Soient a < b deux réels. Construire une fonction a,b  C  (R), telle que a,b (x) > 0 pour tout x  ]a, b[ et
a,b (x) = 0 pour tout x  R \ ]a, b[.
x
1
Soit, pour  > 0,  (x) = Z +
-1,1
.

-1,1 (u)du
-

Q5. Justifier que  est bien définie, puis que   D(R).
Z +
Q6. Calculer
 (x)dx.
-

Q7. Soit g une fonction continue de R dans R.
(a) Montrer que
Z +
lim+

0

 (x)g(x) dx = g(0).
-

(b) En déduire que, pour tout a  R,
Z +
 (x - a)g(x) dx = g(a).

lim

0+

-

1/4

Partie B ­ Distribution sur R
Pour tout segment K inclus dans R, on note D(K) l'ensemble des fonctions de 
D(R) nulles en dehors de K :
D(K) = {f  D(R) | x 
/ K, f (x) = 0}.
On appelle distribution sur R toute forme linéaire T sur D(R) telle que, pour 
tout segment K  R, il existe un réel
CK > 0 et un entier NK  N vérifiant
  D(K),

|T ()|  CK

(i)  .

max
i[[0,NK ]]

On note D (R) l'ensemble des distributions sur R.
Q8. Montrer que D (R) est un espace vectoriel.
Q9. Un premier exemple. Soit a  R et soit l'application a : D(R) 
R .
f
7 f (a)
Montrer que a est une distribution sur R.
Q10. Un second exemple. Soit f une fonction continue par morceaux sur R. Soit 
l'application
Tf : D(R)

R

Z +

7

f (t)(t) dt
-

Justifier que l'application Tf est bien définie, puis que Tf est une 
distribution sur R.
On dit que Tf est la distribution associée à f .
Q11. Montrer que si f1 et f2 sont deux fonctions continues telles que Tf1 = Tf2 
, alors f1 = f2 .

 (x) - (0)
si x = 0
Q12. Soit   D(R) et soit  l'application définie sur R par (x) =
.
x
 (0)
si x = 0
Z 1
(a) Montrer que, pour tout x  R, (x) =

 (tx) dt.

0

(b) En déduire que   C  (R).
Z -

Q13.

Z +
(x)
(x)
(a) Pour tout   D(R), justifier l'existence de la limite : lim+
dx +
dx .
0
x
x
-

On note V () cette limite et on dispose ainsi d'une application V de D dans R.
(b) Montrer que V est une distribution sur R.

Partie C ­ Dérivation d'une distribution
Pour tout T  D (R), on définit la forme linéaire T  sur D(R) par :
  D(R),

T  () = -T ( ).

Q14. Soit T  D (R). Montrer que T   D (R).
On dit que T  est la distribution dérivée de la distribution T , ou simplement 
dérivée de T .
Si f est une fonction continue par morceaux de R dans R, la distribution 
dérivée (Tf ) de la distribution Tf associée
à f (définie à la question Q10) pourra aussi être notée Tf  ou Tf .
Q15. Soit f une fonction de classe C 1 de R dans R. Montrer que Tf = Tf  .
Q16. Soit f la fonction valeur absolue : f (x) = |x| pour tout réel x.
(a) Montrer que f n'est pas dérivable sur R.
(b) Déterminer la distribution dérivée Tf de la distribution Tf .
2/4

(
Q17. Soit H la fonction définie de R dans R telle que H(x) =

si x  0
.
si x < 0 1 0 Justifier que H est continue par morceaux et montrer que TH = 0 . On rappelle que 0 a été défini à la question Q9. Q18. Soit T  D (R) telle que T  = 0. (a) Justifier que, pour tout   D(R), T ( ) = 0. Z + (t) dt = 0. Montrer que T () = 0. (b) Soit   D(R) telle que - Z x (t) dt. Indication : On pourra utiliser la fonction  : x 7 - Z + (c) Justifier qu'il existe 0  D(R) telle que 0 (t) dt = 1. - Z + (t) dt. (d) Soit   D(R). Montrer que T () = T (0 ) - Z + Z + (t) dt 0 . (t) dt 0 +  - Indication : Écrire  = - - (e) Conclure qu'il existe une fonction constante h sur R telle que T = Th . Q19. Déterminer les fonctions f continues de R dans R telles que Tf = 0. Si T  D(R), la distribution dérivée seconde de T est par définition la distribution T  = (T  ) . Si T = Tf , on note (Tf ) = Tf . Q20. Déterminer les fonctions f continues de R dans R telles que Tf = 0. Soient f et g deux fonctions continues sur R telles que Tf = Tg . Q21. Justifier qu'il existe une fonction G définie sur R telle que G = g. Q22. En déduire que (Tf - TG ) = 0. Q23. En déduire que f est de classe C 1 sur R et préciser sa dérivée. Partie D ­ Suite de distributions Soit (Tn )nN une suite de distributions. On dit que la suite (Tn )nN converge vers une distribution T si : D(R), lim Tn () = T () . n+ D On notera lim Tn = T . n+ D Q24. Soit (Tn )nN une suite de distributions qui converge vers une distribution T . Montrer que lim Tn = T  . n+ Q25. Donner un exemple d'une suite de fonctions (fn )nN définies et continues de R dans R telle que (fn )nN ne converge pas simplement sur R et telle que la suite (Tfn )nN converge vers la distribution nulle. Q26. Soit f une fonction définie et continue de R dans R. Soit (fn )nN une suite de fonctions continues de R dans R D qui converge uniformément vers f sur R. Montrer que lim Tfn = Tf . n+ Pour la question Q27, on donne les définitions suivantes. ­ Pour toute fonction f continue de R dans R et telle que f 2 soit intégrable sur R, on pose : Z + f 2 = - 3/4 1/2 f (t)2 dt . ­ On dit qu'une suite (fn )nN de fonctions continues de R dans R converge en norme 2 vers une fonction f continue de R dans R si les fonctions (fn - f )2 sont intégrables sur R et si lim fn - f 2 = 0. n+ Q27. Soit (fn )nN une suite de fonctions continues définies sur R. On suppose que (fn )nN converge en norme 2 vers D une fonction continue f . Montrer que lim Tfn = Tf . n+ Indication : On pourra utiliser librement l'inégalité de Cauchy-Schwarz suivante : pour toutes fonctions continues par morceaux f , g : [a, b]  R, !1/2 Z b Z b |f (t)g(t)| dt 2 f (t) dt 2 g(t) dt a a !1/2 Z b . a Partie E ­ Une application, le théorème d'unicité de Cantor Soient (an )nN et (bn )nN deux suites de réels telles que la série X (an cos(nx) + bn sin(nx)) converge pour tout réel n1 x et est de somme nulle. Q28. On souhaite montrer que les suites (an )nN et (bn )nN convergent vers 0. (a) Montrer que lim an = 0. n+ On suppose que la suite (bn )nN ne converge pas vers 0. (b) Montrer que pour tout réel x  [0, 2], lim bn sin(nx) = 0. n+ (c) Montrer qu'il existe  > 0 et  : N  N strictement croissante telle que pour 
tout n  N , b(n)  .
Z 2
(d) En déduire que lim
sin2 ((n)x) dx = 0.
n+

0

(e) Conclure.
Q29. On suppose dans cette question que les séries

X

|an | et

n1

X

|bn | convergent.

n1

Montrer que pour tout n  N , an = bn = 0.
Indication : Pour k  N , on pourra calculer
!
Z 2 +
Z 2
X
(an cos(nx) + bn sin(nx)) cos(kx) dx et
0

(an cos(nx) + bn sin(nx)) sin(kx)dx.

0

n=1

X

|an | et

n=1

On revient au cas général et on ne suppose plus que les séries

!

+
X

n1

X

|bn | convergent.

n1

an
bn
Q30. Pour n  N et x  R, on pose fn (x) = 2 cos(nx) + 2 sin(nx).
n
X n
Montrer que la série de fonctions
fn converge normalement sur R. On note F sa somme.
n1

Q31. En déterminant la distribution dérivée seconde de la distribution TF , 
montrer que F est une fonction affine.

Q33. Montrer que F est nulle.
Q34. Conclure.

Fin

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M089 - 24 mars 2026 - 14:13:45 c b e a

Q32. Montrer que F est bornée. En déduire que F est constante.