Centrale Maths 2 PC 2001

:: .....me . &...- :mm mmOEEm> _mm _m m:m...Èoä m m.5 m :_... :mÈfio . :mm mm Çm> _mm ...... m5U mmoaa:m : . . ... \ . _ _ ... _>_ &o ...OE. . n..._ 0 a D _ .mm__mE3mm> mmfimfi0805 mm...... mEËmmflm..._ :mm &...o m:_m :mËfioË ...... 2 | < m...... waoe: sw mm_£mmom m::m_m> mm_ Ë0m mm__m5® .© ... & ......m \W-. ... < fioOE .A @ m:m_m \...- m© mhoeËmfimÈfiS m_ &JOE m mm...--:o...-- m:o_m Êmfifim_Ëmn_am _ / w:m: m© m x m mmm_ËmS mm__ %...o 52... mmOEEm> mma pmm...fi _m m5d mmomn_sm GO Q.O._ .mmmOEEm> ËOm F... É mm _m5_mm_ .:5a @ m_... m_nfimmqm-m50m ss _mm &...o :m m n : ...- O._ fioBmmm mfimm mqu - D.-- .mmmqomm: mm_ :mOES -m5.n ... &...o :ma mmmOE_:m> Ëom _5_m mm ........._m mmËËQ0È mm...... mm__mm :mSËËÆ AN.m_._ , m.. &o Ëôa mn_ mËEQoË m_ m_... m:% :o-Ëma mSOE . \-...o m & ...ËB m_... mäoÈ .ËmËm> _mm :m m5U :mËfloË Q.OE._ . o H E.:: fl : A S _ m:_m mm__m..._ m.fi...-@-Ëm...m ...mmä5ËOEfi mËËË-æflÆä Ë0m E...... m ... OEË® " & mmm_ËmE mm_m m_nfimm:m..._ _mm %...o ... - m_._ fioBmmm mfimm mËoeD . m.-- .mmmqoam: mm_ :mOEB -ms.m ... N...o && mmmm_Em> Ë0m Ëw mn_ ........._m mmËËQ©È mm© mm__mm :m5ä%fi AN.<._ . &...o .En mmOEËm> _mm @@ mËËQoÈ m_ 9% m:Ë%m© Q...m .m.SE umm .? ...Ë m___Em-_ m_ 3 ...mm__ _mm Ta ...Ë m___Em._ m_ Am ...mmm N5m© :m:mËËoo ËmQ flo ... :oEmmzmfi . a " x< m5@ m__m..._ < mEOE:m>fi mmEme ma: mpm_xm __ > m© _5: son % .ËmËm> ËB .ËoQ m5d :mÈfloË . > m_... _5: Go...... :SmËm> :: : fioOE Ç.<._ .Êäm " xm- ... mm_£m:m>fi Ë0m ËU @ w < mm...... m_nfimmqm..._ pmm &o ... - <._ Gofimmm mfimm mqmû - <.-- moeËwËoeäoe moe33m3ü @@ m...ËËu - & m.£.ËÆ On_ mem___u_ . > " >> fi0m _>o... " & fi0m m-8_m ... &...o :ma m3m..._m > m_... _m_._3mm> mmmgmm-m50m ...Ë pmm >> _m ... mm .:...5 ... :: fl&- ... oe.<... ËEË % fië...ä .æ...... ......BË ...Ê &- ... m...... ... m m_... _mËBmm> mmmgmm-m50m :: pmm N...o ... fi... ... \ ...Emfifioo \...o ... mm ... : w:m: m...... mm...-_me ma: _mfioE 53 Ëm...Ëoo %...o ... mm ... _ wcoe: m_m moËËE ma: OEEoE 53 ËmSfl8 &...o ... _m ... mmuqm>Ëm mm...--mEQoË ...Ëm mmmm:mË_...m flo @ m...m &...- m_nfimem-m50m .ËS :=om .ÈUCË<...Æ w<> _m & :ma m_nmpm _mm >> mSU Ë... Go ... m m...... m_nfimmqm-m50m cs _mm &... _oe . Ë> ... Ës<... m_nfimm:m..._ mqw_mm_m CË< ... > m...... _mË3mm> mmmamm-m50m ms >> ..._m m % ËmEEm mm_ËmE mfl5 pmm < _oe : w : w _ . :.:N ... H N ...mfiËmË mm_Ëmfi m_ _ mum: :O . : w :: w _ ... : w : w _ ... :... .:OE mmm_ËmE N: mm...... mm5fläfiom _mm @ m...... m=_o_q0:mm mmmo_ mA doEm @ ..._m ?:.Ë " Q....® _m _ .Ëm> Q....ü mm%fi...© Ëm_mm_,_mom m_ Ëo© mm:qO_om : ..._m mm=oe__ : @ mm...-SRE mfi5 mfi:o© 3@ mm ... :...m... :m S.:OE mmom flo ... =: ..._ = w ?: ...Ë .Ëon_ _ © © © HÊ® ... ° © " NOE « © |||--® @ _ o o o _ m53fiofiä. mmmn -Ëog Ë8%m > _mËBmm> mmmgmmü . m o _m >o ËmEm>fimm%m: mmuo: Ë0m m_sq m-Ëmumm> mmA .mm__msm: mmo5m:mmo mm...... m......ËE _QV:.:ÿ_n ...... ... 51 .: n > m....mËmcom :o um NN : :mBQm a: mNOE GO _ . < m...... oeqm: m_ A<_%: ..._m < mo...ËæS m_ m...... mËm_mëmom mm_ m58 Ëm5w5Ê8 fim m5flmËo mo...ËæE m_ M ...< m...... mmmogm:mË mo...ËæE 2 <: m:ofi do 5%... .:\m < mm_Ëmfi 353 .Ëoù .mmxm_afiom mmËSoq mm...... ËOm mËm_mOE-_mom mm_ Ëo© mmq:o_om ...... ......m mmËoefi & @ mmm_Ëmfi mm_m m_nEmem..._ 5É .:ÿ :ma mqw_mmw QD Ë£ËÊ __ oew30_-r<îwI-r<_>_ ä>äa..._ --QQN mmäQ:OE - mË::mü mÈmmcoü :: .....me . &...- :mm mmOEEm> _mm _m m:m...Èoä m m.5 m :_... :mÈfio . :mm mm Çm> _mm ...... m5U mmoaa:m : . . ... \ . _ _ ... _>_ &o ...OE. . n..._ 0 a D _ .mm__mE3mm> mmfimfi0805 mm...... mEËmmflm..._ :mm &...o m:_m :mËfioË ...... 2 | < m...... waoe: sw mm_£mmom m::m_m> mm_ Ë0m mm__m5® .© ... & ......m \W-. ... < fioOE .A @ m:m_m \...- m© mhoeËmfimÈfiS m_ &JOE m mm...--:o...-- m:o_m Êmfifim_Ëmn_am _ / w:m: m© m x m mmm_ËmS mm__ %...o 52... mmOEEm> mma pmm...fi _m m5d mmomn_sm GO Q.O._ .mmmOEEm> ËOm F... É mm _m5_mm_ .:5a @ m_... m_nfimmqm-m50m ss _mm &...o :m m n : ...- O._ fioBmmm mfimm mqu - D.-- .mmmqomm: mm_ :mOES -m5.n ... &...o :ma mmmOE_:m> Ëom _5_m mm ........._m mmËËQ0È mm...... mm__mm :mSËËÆ AN.m_._ , m.. &o Ëôa mn_ mËEQoË m_ m_... m:% :o-Ëma mSOE . \-...o m & ...ËB m_... mäoÈ .ËmËm> _mm :m m5U :mËfloË Q.OE._ . o H E.:: fl : A S _ m:_m mm__m..._ m.fi...-@-Ëm...m ...mmä5ËOEfi mËËË-æflÆä Ë0m E...... m ... OEË® " & mmm_ËmE mm_m m_nfimm:m..._ _mm %...o ... - m_._ fioBmmm mfimm mËoeD . m.-- .mmmqoam: mm_ :mOEB -ms.m ... N...o && mmmm_Em> Ë0m Ëw mn_ ........._m mmËËQ©È mm© mm__mm :m5ä%fi AN.<._ . &...o .En mmOEËm> _mm @@ mËËQoÈ m_ 9% m:Ë%m© Q...m .m.SE umm .? ...Ë m___Em-_ m_ 3 ...mm__ _mm Ta ...Ë m___Em._ m_ Am ...mmm N5m© :m:mËËoo ËmQ flo ... :oEmmzmfi . a " x< m5@ m__m..._ < mEOE:m>fi mmEme ma: mpm_xm __ > m© _5: son % .ËmËm> ËB .ËoQ m5d :mÈfloË . > m_... _5: Go...... :SmËm> :: : fioOE Ç.<._ .Êäm " xm- ... mm_£m:m>fi Ë0m ËU @ w < mm...... m_nfimmqm..._ pmm &o ... - <._ Gofimmm mfimm mqmû - <.-- moeËwËoeäoe moe33m3ü @@ m...ËËu - & m.£.ËÆ On_ mem___u_ . > " >> fi0m _>o... " & fi0m m-8_m ... &...o :ma m3m..._m > m_... _m_._3mm> mmmgmm-m50m ...Ë pmm >> _m ... mm .:...5 ... :: fl&- ... oe.<... ËEË % fië...ä .æ...... ......BË ...Ê &- ... m...... ... m m_... _mËBmm> mmmgmm-m50m :: pmm N...o ... fi... ... \ ...Emfifioo \...o ... mm ... : w:m: m...... mm...-_me ma: _mfioE 53 Ëm...Ëoo %...o ... mm ... _ wcoe: m_m moËËE ma: OEEoE 53 ËmSfl8 &...o ... _m ... mmuqm>Ëm mm...--mEQoË ...Ëm mmmm:mË_...m flo @ m...m &...- m_nfimem-m50m .ËS :=om .ÈUCË<...Æ w<> _m & :ma m_nmpm _mm >> mSU Ë... Go ... m m...... m_nfimmqm-m50m cs _mm &... _oe . Ë> ... Ës<... m_nfimm:m..._ mqw_mm_m CË< ... > m...... _mË3mm> mmmamm-m50m ms >> ..._m m % ËmEEm mm_ËmE mfl5 pmm < _oe : w : w _ . :.:N ... H N ...mfiËmË mm_Ëmfi m_ _ mum: :O . : w :: w _ ... : w : w _ ... :... .:OE mmm_ËmE N: mm...... mm5fläfiom _mm @ m...... m=_o_q0:mm mmmo_ mA doEm @ ..._m ?:.Ë " Q....® _m _ .Ëm> Q....ü mm%fi...© Ëm_mm_,_mom m_ Ëo© mm:qO_om : ..._m mm=oe__ : @ mm...-SRE mfi5 mfi:o© 3@ mm ... :...m... :m S.:OE mmom flo ... =: ..._ = w ?: ...Ë .Ëon_ _ © © © HÊ® ... ° © " NOE « © |||--® @ _ o o o _ m53fiofiä. mmmn -Ëog Ë8%m > _mËBmm> mmmgmmü . m o _m >o ËmEm>fimm%m: mmuo: Ë0m m_sq m-Ëmumm> mmA .mm__msm: mmo5m:mmo mm...... m......ËE _QV:.:ÿ_n ...... ... 51 .: n > m....mËmcom :o um NN : :mBQm a: mNOE GO _ . < m...... oeqm: m_ A<_%: ..._m < mo...ËæS m_ m...... mËm_mëmom mm_ m58 Ëm5w5Ê8 fim m5flmËo mo...ËæE m_ M ...< m...... mmmogm:mË mo...ËæE 2 <: m:ofi do 5%... .:\m < mm_Ëmfi 353 .Ëoù .mmxm_afiom mmËSoq mm...... ËOm mËm_mOE-_mom mm_ Ëo© mmq:o_om ...... ......m mmËoefi & @ mmm_Ëmfi mm_m m_nEmem..._ 5É .:ÿ :ma mqw_mmw QD Ë£ËÊ __ oew30_-r<îwI-r<_>_ ä>äa..._ --QQN mmäQ:OE - mË::mü mÈmmcoü :: .....me . &...- :mm mmOEEm> _mm _m m:m...Èoä m m.5 m :_... :mÈfio . :mm mm Çm> _mm ...... m5U mmoaa:m : . . ... \ . _ _ ... _>_ &o ...OE. . n..._ 0 a D _ .mm__mE3mm> mmfimfi0805 mm...... mEËmmflm..._ :mm &...o m:_m :mËfioË ...... 2 | < m...... waoe: sw mm_£mmom m::m_m> mm_ Ë0m mm__m5® .© ... & ......m \W-. ... < fioOE .A @ m:m_m \...- m© mhoeËmfimÈfiS m_ &JOE m mm...--:o...-- m:o_m Êmfifim_Ëmn_am _ / w:m: m© m x m mmm_ËmS mm__ %...o 52... mmOEEm> mma pmm...fi _m m5d mmomn_sm GO Q.O._ .mmmOEEm> ËOm F... É mm _m5_mm_ .:5a @ m_... m_nfimmqm-m50m ss _mm &...o :m m n : ...- O._ fioBmmm mfimm mqu - D.-- .mmmqomm: mm_ :mOES -m5.n ... &...o :ma mmmOE_:m> Ëom _5_m mm ........._m mmËËQ0È mm...... mm__mm :mSËËÆ AN.m_._ , m.. &o Ëôa mn_ mËEQoË m_ m_... m:% :o-Ëma mSOE . \-...o m & ...ËB m_... mäoÈ .ËmËm> _mm :m m5U :mËfloË Q.OE._ . o H E.:: fl : A S _ m:_m mm__m..._ m.fi...-@-Ëm...m ...mmä5ËOEfi mËËË-æflÆä Ë0m E...... m ... OEË® " & mmm_ËmE mm_m m_nfimm:m..._ _mm %...o ... - m_._ fioBmmm mfimm mËoeD . m.-- .mmmqoam: mm_ :mOEB -ms.m ... N...o && mmmm_Em> Ë0m Ëw mn_ ........._m mmËËQ©È mm© mm__mm :m5ä%fi AN.<._ . &...o .En mmOEËm> _mm @@ mËËQoÈ m_ 9% m:Ë%m© Q...m .m.SE umm .? ...Ë m___Em-_ m_ 3 ...mm__ _mm Ta ...Ë m___Em._ m_ Am ...mmm N5m© :m:mËËoo ËmQ flo ... :oEmmzmfi . a " x< m5@ m__m..._ < mEOE:m>fi mmEme ma: mpm_xm __ > m© _5: son % .ËmËm> ËB .ËoQ m5d :mÈfloË . > m_... _5: Go...... :SmËm> :: : fioOE Ç.<._ .Êäm " xm- ... mm_£m:m>fi Ë0m ËU @ w < mm...... m_nfimmqm..._ pmm &o ... - <._ Gofimmm mfimm mqmû - <.-- moeËwËoeäoe moe33m3ü @@ m...ËËu - & m.£.ËÆ On_ mem___u_ . > " >> fi0m _>o... " & fi0m m-8_m ... &...o :ma m3m..._m > m_... _m_._3mm> mmmgmm-m50m ...Ë pmm >> _m ... mm .:...5 ... :: fl&- ... oe.<... ËEË % fië...ä .æ...... ......BË ...Ê &- ... m...... ... m m_... _mËBmm> mmmgmm-m50m :: pmm N...o ... fi... ... \ ...Emfifioo \...o ... mm ... : w:m: m...... mm...-_me ma: _mfioE 53 Ëm...Ëoo %...o ... mm ... _ wcoe: m_m moËËE ma: OEEoE 53 ËmSfl8 &...o ... _m ... mmuqm>Ëm mm...--mEQoË ...Ëm mmmm:mË_...m flo @ m...m &...- m_nfimem-m50m .ËS :=om .ÈUCË<...Æ w<> _m & :ma m_nmpm _mm >> mSU Ë... Go ... m m...... m_nfimmqm-m50m cs _mm &... _oe . Ë> ... Ës<... m_nfimm:m..._ mqw_mm_m CË< ... > m...... _mË3mm> mmmamm-m50m ms >> ..._m m % ËmEEm mm_ËmE mfl5 pmm < _oe : w : w _ . :.:N ... H N ...mfiËmË mm_Ëmfi m_ _ mum: :O . : w :: w _ ... : w : w _ ... :... .:OE mmm_ËmE N: mm...... mm5fläfiom _mm @ m...... m=_o_q0:mm mmmo_ mA doEm @ ..._m ?:.Ë " Q....® _m _ .Ëm> Q....ü mm%fi...© Ëm_mm_,_mom m_ Ëo© mm:qO_om : ..._m mm=oe__ : @ mm...-SRE mfi5 mfi:o© 3@ mm ... :...m... :m S.:OE mmom flo ... =: ..._ = w ?: ...Ë .Ëon_ _ © © © HÊ® ... ° © " NOE « © |||--® @ _ o o o _ m53fiofiä. mmmn -Ëog Ë8%m > _mËBmm> mmmgmmü . m o _m >o ËmEm>fimm%m: mmuo: Ë0m m_sq m-Ëmumm> mmA .mm__msm: mmo5m:mmo mm...... m......ËE _QV:.:ÿ_n ...... ... 51 .: n > m....mËmcom :o um NN : :mBQm a: mNOE GO _ . < m...... oeqm: m_ A<_%: ..._m < mo...ËæS m_ m...... mËm_mëmom mm_ m58 Ëm5w5Ê8 fim m5flmËo mo...ËæE m_ M ...< m...... mmmogm:mË mo...ËæE 2 <: m:ofi do 5%... .:\m < mm_Ëmfi 353 .Ëoù .mmxm_afiom mmËSoq mm...... ËOm mËm_mOE-_mom mm_ Ëo© mmq:o_om ...... ......m mmËoefi & @ mmm_Ëmfi mm_m m_nEmem..._ 5É .:ÿ :ma mqw_mmw QD Ë£ËÊ __ oew30_-r<îwI-r<_>_ ä>äa..._ --QQN mmäQ:OE - mË::mü mÈmmcoü % ......me ooo ZHrÆ ooo . m n \-u0 28 .$Ë:oË . &...o @ ËoeE -.:Ëmoe ... wma» @@ @ w < oeoËËË 353 3% EE... . a " oSÊ. @@ a u 35 95 23 \Wow É .@ 32%... = ... > w Ca ....3 ËB .ËoQ 93 353% mm . > " 3< 25 ....oeËQo--Z .> " 3% É ....>o... " ....D 35 983 ....oeËQo--Z . Ëo... @ fiswË @@ uoeoe.q :m 25 $ \uo .En 32 -3m > @@ ËËBË> oevæ@oeoe-m5©m ms umoe ....D 38 ËËQoË . >o & : . > .... 3 fioOE . G.:-- .1....m: " ....D ......Ëî. Æ\W...fi....ë " ....< oeoeoQ Go > w a .Ëo@ @@ .Ë. Î ?: .3 . > .Ëm oe53fiofi8 oe.:Æoeä ...:EËÈ @... fi5©oäfi GO .Êîl> w....3 ..:... EUR.Ë.â " ....ä oe....Eo@ Ëoea Go.... 98 oeoe...Ëoefi . &...o @ ËoeBË%Ë ËU _ wfloe.... @@ oeoËËE 93 5% muc--oe 39... GO .mfiÆoefiæm Ëo© pmæ Hm 3ËÈP& Æ .- : oeBËQ E @@ =m3 oeÊSoO .oe...... mËqum@ Ëo...... « :O . &o ... N 28 oeËË ....oeËfio--Z .o " ....<Ë+E+<Æ+ï£ Ë @ "... .£9... oe5v Qw.. w £..fi moeMoe--QE8 mae--fion oeoe© pæ @ A & ËSQoe fi: 3mËoe FSU 333% mm 23 .............= ...Ë...Ë â: ...Ë A : ..<.z ..<.< ... oeËEÆ E .m5oeoeoe©-Ü Bam-Æ... < oeoËËË E .Ëom oe5U ....oe...Ëflo--Z - D.H---- . < oe5...mä>fi oeoËËE ...Ës ËoeE:ooe &...- mæo m3 oe53 mflæ© ...Ëv oe-Æ5©m© :m-- .oeEOEË>E oeoËËE oeu5 oe:fi$... Ëd :. ....OE moeo @@ oehoewfifl ...ËÆOEGBEoo oem: poe>Do-Ê .%...owE.oem--.HÈflæ ...Eo© .Ë.Ë pmæ ËU A.....V @@ oehoeË:3 @... pmæ.u 35 ...o... oeoeo...Êfioe GO â.OE.E... QQ moeäÈk .oe...£mpoe>fi oeoEËE ...Ës ËÆË8 %...o 9% EE... _ N Y...oC&ËË oe5v -$ÈfioË . .N @@ E....@ .:...a ......Ë:oew:oe @ @@ ...oeEBooe> oeoæ@oeoe-oe5©m @... C.EéËfiô> "& mËË $a: :O .\...oÉ ... S.æOE $ 8% ...\ . N =: .; w È .oemôL ... EUR... oeoeo%Ëoe GO 3.OE....E . m.:-- .oem EURËofim@ onet @ :O .> " È 50 ....>o... " >> 35 oeä5©...ë nm . 31 251 Ns .Ëoe> :aOEfioeE% Æ Ëo© @@ &o ËÆË8 Ëd @ @@ ÊËoëoe> oeuæ@moe-oe50oe ss pmæ TS U CËË _m-- ... E.... 28 ....oeËflo--Z . >> @@ QoOE -:oeEË Æ ...\ 8.0: Go... &...o Ëa oe53m > @@ ËËBË> oeuæ@moe-m5©m :: >... ...:oOE - «:=-- .ËEËËË Ë%P& ÈQ oeEËm @ oe...... ÇÆQËÈÊ.Ü oemd 3ÆNoe.fl FSU oeäw-m-Ëoeb . m n \...o 25 mËQ .oeoemÈË> Ëooe @@ Ë mn...-- oe:w ....oeËqu Ëoe> QG . _ .. ...: @ Æoemw So ?ËÆËÎOE «m...... %...o @@ fioOE:oeE% E 95 $ m A @ oe:w oeoeo.Ë5oe :o oe...Ëoea oe...5oeu oefioeD - NË oe....Ï8Æ . _ n S 23 oe.Ë...ofioO . 333%. v 325 | <ofi N 38 Ë..... . A>VoËxQ ... î.Ëm oe:v oeËQ oZoË Ëm oefifioe ....moe A>VoË oe:v ....oeËfio--Z . m....-- .OEË .ËEÆ %: ..._oeoe :ë as: 25 ....Ëääaë ozoë ... £... oeoeo@ flo @@ N...... " _moZ oeËË> ËU &...o @@ ...EoefiEm :: eZ oeËË 8.9... :D .> " ë\...owZîm>è oe:v ....oeËfio--Z .<.= .....m -u ...æoË . :S .L w ....> 38 23 > @@ mËoeEËm moe@ && ...:...x 89... GO .A>Voë @@ sv..v_fimv mmæ& oe:: oeÈËoefioo flo É S n 3333 oeOEËm> ...:v &o 3... ËoeE2m as fè mËË oe.....ofl GO . N. N S 38 mQEOE. Ë...SoeÈ ms müæ@ oeoeo...Ëfioe :O .Hm oe.finoeË ËU oeo . _ n S 23 ....oeËfioE @@ oeoeoQo-ä oeoe flo Ë .ÎmîY...-...ë _ Ç5.OETË " :. 39... GO _ .oewOEEm> pmæ ...mmËoe Hm mËË.S@ ....oeË:oE Ëoe> :O .Amm @@ ....m @@ oeEQ a3 &...o .Ëm moe...Ëfi@> moemoe©%Ëoe Êooe ......m Ë mm m......ËEQO-ä m3 .oeBËQ oefioeo mflæû - : oe....ÎBÆ ....oe...o...Èoefi e...5-©0.Ë am...-- ®33m @ m...... ...oËoËoe> oeooeam®-m=o@ :: onc--u em® &o " m@@OEÊ@> m@@m°...Ëfim ufiOm mh «@ «& .®EÆËOHQ :...... oe...--...Sw «... 353 mflæû : OEOEDOÈ S>OETÈ- Sè % ......me ooo ZHrÆ ooo . m n \-u0 28 .$Ë:oË . &...o @ ËoeE -.:Ëmoe ... wma» @@ @ w < oeoËËË 353 3% EE... . a " oSÊ. @@ a u 35 95 23 \Wow É .@ 32%... = ... > w Ca ....3 ËB .ËoQ 93 353% mm . > " 3< 25 ....oeËQo--Z .> " 3% É ....>o... " ....D 35 983 ....oeËQo--Z . Ëo... @ fiswË @@ uoeoe.q :m 25 $ \uo .En 32 -3m > @@ ËËBË> oevæ@oeoe-m5©m ms umoe ....D 38 ËËQoË . >o & : . > .... 3 fioOE . G.:-- .1....m: " ....D ......Ëî. Æ\W...fi....ë " ....< oeoeoQ Go > w a .Ëo@ @@ .Ë. Î ?: .3 . > .Ëm oe53fiofi8 oe.:Æoeä ...:EËÈ @... fi5©oäfi GO .Êîl> w....3 ..:... EUR.Ë.â " ....ä oe....Eo@ Ëoea Go.... 98 oeoe...Ëoefi . &...o @ ËoeBË%Ë ËU _ wfloe.... @@ oeoËËE 93 5% muc--oe 39... GO .mfiÆoefiæm Ëo© pmæ Hm 3ËÈP& Æ .- : oeBËQ E @@ =m3 oeÊSoO .oe...... mËqum@ Ëo...... « :O . &o ... N 28 oeËË ....oeËfio--Z .o " ....<Ë+E+<Æ+ï£ Ë @ "... .£9... oe5v Qw.. w £..fi moeMoe--QE8 mae--fion oeoe© pæ @ A & ËSQoe fi: 3mËoe FSU 333% mm 23 .............= ...Ë...Ë â: ...Ë A : ..<.z ..<.< ... oeËEÆ E .m5oeoeoe©-Ü Bam-Æ... < oeoËËË E .Ëom oe5U ....oe...Ëflo--Z - D.H---- . < oe5...mä>fi oeoËËE ...Ës ËoeE:ooe &...- mæo m3 oe53 mflæ© ...Ëv oe-Æ5©m© :m-- .oeEOEË>E oeoËËE oeu5 oe:fi$... Ëd :. ....OE moeo @@ oehoewfifl ...ËÆOEGBEoo oem: poe>Do-Ê .%...owE.oem--.HÈflæ ...Eo© .Ë.Ë pmæ ËU A.....V @@ oehoeË:3 @... pmæ.u 35 ...o... oeoeo...Êfioe GO â.OE.E... QQ moeäÈk .oe...£mpoe>fi oeoEËE ...Ës ËÆË8 %...o 9% EE... _ N Y...oC&ËË oe5v -$ÈfioË . .N @@ E....@ .:...a ......Ë:oew:oe @ @@ ...oeEBooe> oeoæ@oeoe-oe5©m @... C.EéËfiô> "& mËË $a: :O .\...oÉ ... S.æOE $ 8% ...\ . N =: .; w È .oemôL ... EUR... oeoeo%Ëoe GO 3.OE....E . m.:-- .oem EURËofim@ onet @ :O .> " È 50 ....>o... " >> 35 oeä5©...ë nm . 31 251 Ns .Ëoe> :aOEfioeE% Æ Ëo© @@ &o ËÆË8 Ëd @ @@ ÊËoëoe> oeuæ@moe-oe50oe ss pmæ TS U CËË _m-- ... E.... 28 ....oeËflo--Z . >> @@ QoOE -:oeEË Æ ...\ 8.0: Go... &...o Ëa oe53m > @@ ËËBË> oeuæ@moe-m5©m :: >... ...:oOE - «:=-- .ËEËËË Ë%P& ÈQ oeEËm @ oe...... ÇÆQËÈÊ.Ü oemd 3ÆNoe.fl FSU oeäw-m-Ëoeb . m n \...o 25 mËQ .oeoemÈË> Ëooe @@ Ë mn...-- oe:w ....oeËqu Ëoe> QG . _ .. ...: @ Æoemw So ?ËÆËÎOE «m...... %...o @@ fioOE:oeE% E 95 $ m A @ oe:w oeoeo.Ë5oe :o oe...Ëoea oe...5oeu oefioeD - NË oe....Ï8Æ . _ n S 23 oe.Ë...ofioO . 333%. v 325 | <ofi N 38 Ë..... . A>VoËxQ ... î.Ëm oe:v oeËQ oZoË Ëm oefifioe ....moe A>VoË oe:v ....oeËfio--Z . m....-- .OEË .ËEÆ %: ..._oeoe :ë as: 25 ....Ëääaë ozoë ... £... oeoeo@ flo @@ N...... " _moZ oeËË> ËU &...o @@ ...EoefiEm :: eZ oeËË 8.9... :D .> " ë\...owZîm>è oe:v ....oeËfio--Z .<.= .....m -u ...æoË . :S .L w ....> 38 23 > @@ mËoeEËm moe@ && ...:...x 89... GO .A>Voë @@ sv..v_fimv mmæ& oe:: oeÈËoefioo flo É S n 3333 oeOEËm> ...:v &o 3... ËoeE2m as fè mËË oe.....ofl GO . N. N S 38 mQEOE. Ë...SoeÈ ms müæ@ oeoeo...Ëfioe :O .Hm oe.finoeË ËU oeo . _ n S 23 ....oeËfioE @@ oeoeoQo-ä oeoe flo Ë .ÎmîY...-...ë _ Ç5.OETË " :. 39... GO _ .oewOEEm> pmæ ...mmËoe Hm mËË.S@ ....oeË:oE Ëoe> :O .Amm @@ ....m @@ oeEQ a3 &...o .Ëm moe...Ëfi@> moemoe©%Ëoe Êooe ......m Ë mm m......ËEQO-ä m3 .oeBËQ oefioeo mflæû - : oe....ÎBÆ ....oe...o...Èoefi e...5-©0.Ë am...-- ®33m @ m...... ...oËoËoe> oeooeam®-m=o@ :: onc--u em® &o " m@@OEÊ@> m@@m°...Ëfim ufiOm mh «@ «& .®EÆËOHQ :...... oe...--...Sw «... 353 mflæû : OEOEDOÈ S>OETÈ- Sè

 Centrale Maths 2 PC 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par David Lecomte (ENS Cachan) ; il a été relu par Thomas Chomette (ENS Ulm) et Yohann Genzmer (ENS Cachan). Dans ce problème, on s'intéresse à six propriétés particulières que sont susceptibles de posséder certains sous-ensembles L de Mn (C). On étudie notamment les liens entre ces propriétés pour des parties L priviliégiées de Mn (C). Entrons un peu dans les détails. . . · Dans une première partie, on prend pour L l'ensemble des matrices inversibles et l'ensemble des matrices triangulaires inférieures, pour lesquels on est capable de préciser sans trop de difficulté quelles propriétés parmi P1 , . . . , P6 sont vérifiées. Puis on se place en dimension 2 et on étudie les sous-espaces vectoriels de M2 (C) contenant l'identité. On montre notamment que s'ils vérifient P6 , ils vérifient aussi P1 . · La deuxième partie est consacrée aux parties L qui vérifient P3 , . . . , P6 . On y montre que L vérifie aussi P1 . · Enfin, la troisième partie est consacrée aux sous-algèbres de Mn (C), qui sont également des hyperplans, la conclusion étant qu'une telle sous-algèbre est nécessairement Mn (C). C'est un problème assez facile, par lequel il convient de commencer lorsqu'on souhaite évaluer ses connaissances de base en algèbre. Il présente l'intérêt de toucher un peu à toutes les parties du programme d'algèbre linéaire de la classe de PC, de l'algèbre linéaire élémentaire aux espaces préhilbertiens. Indications Partie I I.A.1 Trouver A en la considérant comme une matrice de changement de base. Utiliser ce résultat pour montrer qu'un sous-espace vectoriel strict de V, non réduit à {0}, ne peut être stable par L. I.C.1 Pour montrer que A est une homothétie, utiliser le premier résultat établi dans cette question, ainsi que le fait que toute matrice complexe admet une valeur propre. I.C.2 Supposer P1 non satisfaite et utiliser la question précédente pour établir que tout sous-espace vectoriel de V est stable par L. Partie II II.A Pour obtenir que U = {Nz1 , N L} = V, montrer qu'il s'agit d'un sousespace vectoriel, stable par L. Conclure à l'aide de P6 . Pour montrer la liberté de (M0 , M1 ), considérer une relation de dépendance linéaire entre ces deux matrices, puis l'appliquer à x1 pour conclure. II.B Pour établir l'existence de et z, utiliser la première partie de la question pour en déduire que M0 N0 induit un endomorphisme de M0 (V). Ce dernier admet alors une valeur propre. En déduire que le noyau de M1 - M0 contient strictement le noyau de M0 , pour obtenir que son rang est strictement inférieur à celui de M0 . Partie III III.A Raisonner matriciellement. III.B.1 Utiliser la relation de Grassman pour obtenir le résultat demandé sur l'intersection de H et L. Considérer alors un élément de cette intersection et montrer qu'il est inversible, par exemple en calculant son déterminant. III.C Utiliser le fait que dans un espace vectoriel de dimension finie p, toute famille de p + 1 vecteurs est liée. III.D Utiliser les résulats de cours concernant un endomorphisme L et son adjoint t L sur un espace hermitien : notamment le fait qu'un sous-espace vectoriel d'un espace hermitien est stable par L si et seulement si son orthogonal est stable par t L. I. Étude de quelques exemples I.A.1 Donnons-nous x et y non nuls dans V. Le théorème de la base incomplète nous permet de compléter la famille (x) en une base de V : (x, x2 , . . . , xn ) De même, on peut compléter (y) en une base de V : (y, y2 , . . . , yn ) Notons a l'endomorphisme de V, qui envoie x sur y et xi sur yi pour i dans {2, . . . , n}. On sait que cela suffit pour déterminer a, puisqu'un endomorphisme d'un espace vectoriel est entièrement déterminé par les images des vecteurs d'une base. En outre, a est inversible, puisqu'il transforme une base en une base. Par conséquent, sa matrice A relativement à la base canonique de V est inversible et vérifie Ax = y. y V A L Ax = y Dans ce qui précède, on ne s'est pas servi de l'indication donnée par l'énoncé. Donnons tout de même une solution utilisant cette indication. Si x et y forment une famille liée, alors il existe complexe non nul, tel que y = x L'homothétie A de rapport constitue alors un endomorphisme de V, inversible car n'est pas nul, tel que Ax = y. Si x et y forment une famille libre, alors on peut compléter (x, y) en une base de V (x, y, x3 , . . . , xn ) et il suffit de considérer la matrice de passage A de cette base à la base (y, x, x3 , . . . , xn ) Utilisons ceci pour en déduire que la propriété P6 est vérifiée. Soit W un sousespace vectoriel de V, qui ne soit pas V ou {0}. Alors il existe x non nul dans W. Comme W est strictement inclus dans V, il existe y non nul, qui ne soit pas dans W. D'après ce qui précède, il existe A dans L, tel que Ax = y : l'image de W par A contient donc y, qui n'est pas dans W. Ce qui établit que W n'est pas stable par L. Les seuls sous-espaces vectoriels de V qui sont stables par L sont donc {0} et V. L vérifie la propriété P6 . I.A.2 Voyons lesquelles des propriétés P1 à P5 sont vérifiées par L : · L ne vérifie pas P1 : en effet, L est précisément l'ensemble des matrices inversibles, donc de rang n, et ne contient aucune matrice de rang 1. · L vérifie P2 et P3 puisque L contient l'identité qui est de rang n. · L ne vérifie pas P4 : en effet, I et -I sont dans L, mais leur somme, qui est 0, ne s'y trouve pas. L n'est donc pas stable par combinaison linéaire. · L vérifie P5 : en effet, c'est un résultat de cours que le produit de deux matrices carrées inversibles A et B est inversible. On le vérifie aisément en remarquant que B-1 A-1 (AB) = I et que (AB) B-1 A-1 = I ce qui montre que AB est inversible, d'inverse (AB)-1 = B-1 A-1 . I.B.1 Soit T dans L. Cette matrice est de la forme : t1,1 0 ··· 0 .. .. . . .. .. . . T= tn-1,1 tn-1,n-1 0 tn,1 ··· tn,n-1 tn,n On sait que l'image de en est donnée par la ne colonne de T, c'est-à-dire que Ten = tn,n en Donc en est vecteur propre de T. Par conséquent, la droite engendrée par en est stable par T. Ceci étant vrai pour tout T dans L, il s'ensuit que Vect(en ) est stable par L. Comme on a supposé n supérieur à deux, cette droite n'est pas égale à V. Elle n'est en outre pas réduite à {0} puisqu'elle contient en qui n'est pas nul. Il s'ensuit que : L ne vérifie pas la propriété P6 . I.B.2 Voyons lesquelles des propriétés P1 à P5 sont vérifiées par L : · L vérifie P1 : en effet, la matrice 0 ··· 0 0 .. .. .. . . . 0 ··· 0 0 0 ··· 0 1 est triangulaire inférieure et de rang 1. · L vérifie P2 et P3 puisque L contient l'identité, qui est triangulaire inférieure de rang n. · L vérifie P4 : c'est un résultat classique de cours que les matrices triangulaires inférieures forment un sous-espace vectoriel de Mn (C). · L vérifie P5 : on considère pour cela deux matrices triangulaires inférieures T = (ti,j )16i,j6n et T = (ti,j )16i,j6n Montrons que le produit TT a tous ses termes surdiagonaux nuls. On se donne i et j deux entiers, tels que 26i