Centrale Maths 2 PC 2001

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Centrale Maths 2 PC 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par David Lecomte (ENS Cachan) ; il a été relu par Thomas
Chomette (ENS Ulm) et Yohann Genzmer (ENS Cachan).

Dans ce problème, on s'intéresse à six propriétés particulières que sont 
susceptibles
de posséder certains sous-ensembles L de Mn (C). On étudie notamment les liens
entre ces propriétés pour des parties L priviliégiées de Mn (C). Entrons un peu 
dans
les détails. . .
· Dans une première partie, on prend pour L l'ensemble des matrices inversibles 
et
l'ensemble des matrices triangulaires inférieures, pour lesquels on est capable 
de
préciser sans trop de difficulté quelles propriétés parmi P1 , . . . , P6 sont 
vérifiées.
Puis on se place en dimension 2 et on étudie les sous-espaces vectoriels de
M2 (C) contenant l'identité. On montre notamment que s'ils vérifient P6 , ils
vérifient aussi P1 .
· La deuxième partie est consacrée aux parties L qui vérifient P3 , . . . , P6 
. On y
montre que L vérifie aussi P1 .
· Enfin, la troisième partie est consacrée aux sous-algèbres de Mn (C), qui sont
également des hyperplans, la conclusion étant qu'une telle sous-algèbre est 
nécessairement Mn (C).
C'est un problème assez facile, par lequel il convient de commencer lorsqu'on
souhaite évaluer ses connaissances de base en algèbre. Il présente l'intérêt de 
toucher
un peu à toutes les parties du programme d'algèbre linéaire de la classe de PC, 
de
l'algèbre linéaire élémentaire aux espaces préhilbertiens.

Indications

Partie I
I.A.1 Trouver A en la considérant comme une matrice de changement de base.
Utiliser ce résultat pour montrer qu'un sous-espace vectoriel strict de V, non
réduit à {0}, ne peut être stable par L.
I.C.1 Pour montrer que A est une homothétie, utiliser le premier résultat établi
dans cette question, ainsi que le fait que toute matrice complexe admet une
valeur propre.
I.C.2 Supposer P1 non satisfaite et utiliser la question précédente pour 
établir que
tout sous-espace vectoriel de V est stable par L.

Partie II
II.A Pour obtenir que U = {Nz1 , N  L} = V, montrer qu'il s'agit d'un 
sousespace vectoriel, stable par L. Conclure à l'aide de P6 .
Pour montrer la liberté de (M0 , M1 ), considérer une relation de dépendance
linéaire entre ces deux matrices, puis l'appliquer à x1 pour conclure.
II.B Pour établir l'existence de  et z, utiliser la première partie de la 
question
pour en déduire que M0 N0 induit un endomorphisme de M0 (V). Ce dernier
admet alors une valeur propre.
En déduire que le noyau de M1 - M0 contient strictement le noyau de M0 ,
pour obtenir que son rang est strictement inférieur à celui de M0 .

Partie III
III.A Raisonner matriciellement.
III.B.1 Utiliser la relation de Grassman pour obtenir le résultat demandé sur 
l'intersection de H et L. Considérer alors un élément de cette intersection et
montrer qu'il est inversible, par exemple en calculant son déterminant.
III.C Utiliser le fait que dans un espace vectoriel de dimension finie p, toute 
famille
de p + 1 vecteurs est liée.
III.D Utiliser les résulats de cours concernant un endomorphisme L et son 
adjoint
t
L sur un espace hermitien : notamment le fait qu'un sous-espace vectoriel
d'un espace hermitien est stable par L si et seulement si son orthogonal est
stable par t L.

I. Étude de quelques exemples
I.A.1 Donnons-nous x et y non nuls dans V. Le théorème de la base incomplète
nous permet de compléter la famille (x) en une base de V :
(x, x2 , . . . , xn )
De même, on peut compléter (y) en une base de V :
(y, y2 , . . . , yn )
Notons a l'endomorphisme de V, qui envoie x sur y et xi sur yi pour i dans {2, 
. . . , n}.
On sait que cela suffit pour déterminer a, puisqu'un endomorphisme d'un espace
vectoriel est entièrement déterminé par les images des vecteurs d'une base. En 
outre,
a est inversible, puisqu'il transforme une base en une base. Par conséquent, sa 
matrice
A relativement à la base canonique de V est inversible et vérifie Ax = y.
y  V

A  L

Ax = y

Dans ce qui précède, on ne s'est pas servi de l'indication donnée par
l'énoncé. Donnons tout de même une solution utilisant cette indication.
Si x et y forment une famille liée, alors il existe  complexe non
nul, tel que
y = x
L'homothétie A de rapport  constitue alors un endomorphisme de V, inversible 
car  n'est pas nul, tel que Ax = y.
Si x et y forment une famille libre, alors on peut compléter (x, y)
en une base de V
(x, y, x3 , . . . , xn )
et il suffit de considérer la matrice de passage A de cette base à la base
(y, x, x3 , . . . , xn )
Utilisons ceci pour en déduire que la propriété P6 est vérifiée. Soit W un 
sousespace vectoriel de V, qui ne soit pas V ou {0}. Alors il existe x non nul 
dans W.
Comme W est strictement inclus dans V, il existe y non nul, qui ne soit pas dans
W. D'après ce qui précède, il existe A dans L, tel que Ax = y : l'image de W 
par A
contient donc y, qui n'est pas dans W. Ce qui établit que W n'est pas stable 
par L.
Les seuls sous-espaces vectoriels de V qui sont stables par L sont donc {0} et 
V.
L vérifie la propriété P6 .
I.A.2 Voyons lesquelles des propriétés P1 à P5 sont vérifiées par L :
· L ne vérifie pas P1 : en effet, L est précisément l'ensemble des matrices
inversibles, donc de rang n, et ne contient aucune matrice de rang 1.
· L vérifie P2 et P3 puisque L contient l'identité qui est de rang n.
· L ne vérifie pas P4 : en effet, I et -I sont dans L, mais leur somme, qui est
0, ne s'y trouve pas. L n'est donc pas stable par combinaison linéaire.

· L vérifie P5 : en effet, c'est un résultat de cours que le produit de deux 
matrices
carrées inversibles A et B est inversible. On le vérifie aisément en remarquant
que

B-1 A-1 (AB) = I et que (AB) B-1 A-1 = I
ce qui montre que AB est inversible, d'inverse (AB)-1 = B-1 A-1 .
I.B.1 Soit T dans L. Cette matrice est de la forme :

t1,1
0
···
0

..
..
.
.
..
..

.
.
T=
 tn-1,1
tn-1,n-1
0
tn,1
···
tn,n-1
tn,n

On sait que l'image de en est donnée par la ne colonne de T, c'est-à-dire que
Ten = tn,n en
Donc en est vecteur propre de T. Par conséquent, la droite engendrée par en est
stable par T. Ceci étant vrai pour tout T dans L, il s'ensuit que Vect(en ) est 
stable
par L. Comme on a supposé n supérieur à deux, cette droite n'est pas égale à V. 
Elle
n'est en outre pas réduite à {0} puisqu'elle contient en qui n'est pas nul. Il 
s'ensuit
que :
L ne vérifie pas la propriété P6 .
I.B.2 Voyons lesquelles des propriétés P1 à P5 sont vérifiées par L :
· L vérifie P1 : en effet, la matrice

0 ··· 0 0
 ..
.. ..
 .
. .

 0 ··· 0 0
0 ··· 0 1

est triangulaire inférieure et de rang 1.
· L vérifie P2 et P3 puisque L contient l'identité, qui est triangulaire 
inférieure
de rang n.
· L vérifie P4 : c'est un résultat classique de cours que les matrices 
triangulaires
inférieures forment un sous-espace vectoriel de Mn (C).
· L vérifie P5 : on considère pour cela deux matrices triangulaires inférieures
T = (ti,j )16i,j6n

et T = (ti,j  )16i,j6n

Montrons que le produit TT a tous ses termes surdiagonaux nuls. On se donne
i et j deux entiers, tels que
26i