Thème de l'épreuve | Étude de quelques ensembles d'endomorphismes d'un espace vectoriel complexe |
Principaux outils utilisés | algèbre linéaire élémentaire, bases, changements de base, endomorphismes, matrices, valeurs et vecteurs propres, espaces hermitiens |
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Centrale Maths 2 PC 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par David Lecomte (ENS Cachan) ; il a été relu par Thomas Chomette (ENS Ulm) et Yohann Genzmer (ENS Cachan). Dans ce problème, on s'intéresse à six propriétés particulières que sont susceptibles de posséder certains sous-ensembles L de Mn (C). On étudie notamment les liens entre ces propriétés pour des parties L priviliégiées de Mn (C). Entrons un peu dans les détails. . . · Dans une première partie, on prend pour L l'ensemble des matrices inversibles et l'ensemble des matrices triangulaires inférieures, pour lesquels on est capable de préciser sans trop de difficulté quelles propriétés parmi P1 , . . . , P6 sont vérifiées. Puis on se place en dimension 2 et on étudie les sous-espaces vectoriels de M2 (C) contenant l'identité. On montre notamment que s'ils vérifient P6 , ils vérifient aussi P1 . · La deuxième partie est consacrée aux parties L qui vérifient P3 , . . . , P6 . On y montre que L vérifie aussi P1 . · Enfin, la troisième partie est consacrée aux sous-algèbres de Mn (C), qui sont également des hyperplans, la conclusion étant qu'une telle sous-algèbre est nécessairement Mn (C). C'est un problème assez facile, par lequel il convient de commencer lorsqu'on souhaite évaluer ses connaissances de base en algèbre. Il présente l'intérêt de toucher un peu à toutes les parties du programme d'algèbre linéaire de la classe de PC, de l'algèbre linéaire élémentaire aux espaces préhilbertiens. Indications Partie I I.A.1 Trouver A en la considérant comme une matrice de changement de base. Utiliser ce résultat pour montrer qu'un sous-espace vectoriel strict de V, non réduit à {0}, ne peut être stable par L. I.C.1 Pour montrer que A est une homothétie, utiliser le premier résultat établi dans cette question, ainsi que le fait que toute matrice complexe admet une valeur propre. I.C.2 Supposer P1 non satisfaite et utiliser la question précédente pour établir que tout sous-espace vectoriel de V est stable par L. Partie II II.A Pour obtenir que U = {Nz1 , N L} = V, montrer qu'il s'agit d'un sousespace vectoriel, stable par L. Conclure à l'aide de P6 . Pour montrer la liberté de (M0 , M1 ), considérer une relation de dépendance linéaire entre ces deux matrices, puis l'appliquer à x1 pour conclure. II.B Pour établir l'existence de et z, utiliser la première partie de la question pour en déduire que M0 N0 induit un endomorphisme de M0 (V). Ce dernier admet alors une valeur propre. En déduire que le noyau de M1 - M0 contient strictement le noyau de M0 , pour obtenir que son rang est strictement inférieur à celui de M0 . Partie III III.A Raisonner matriciellement. III.B.1 Utiliser la relation de Grassman pour obtenir le résultat demandé sur l'intersection de H et L. Considérer alors un élément de cette intersection et montrer qu'il est inversible, par exemple en calculant son déterminant. III.C Utiliser le fait que dans un espace vectoriel de dimension finie p, toute famille de p + 1 vecteurs est liée. III.D Utiliser les résulats de cours concernant un endomorphisme L et son adjoint t L sur un espace hermitien : notamment le fait qu'un sous-espace vectoriel d'un espace hermitien est stable par L si et seulement si son orthogonal est stable par t L. I. Étude de quelques exemples I.A.1 Donnons-nous x et y non nuls dans V. Le théorème de la base incomplète nous permet de compléter la famille (x) en une base de V : (x, x2 , . . . , xn ) De même, on peut compléter (y) en une base de V : (y, y2 , . . . , yn ) Notons a l'endomorphisme de V, qui envoie x sur y et xi sur yi pour i dans {2, . . . , n}. On sait que cela suffit pour déterminer a, puisqu'un endomorphisme d'un espace vectoriel est entièrement déterminé par les images des vecteurs d'une base. En outre, a est inversible, puisqu'il transforme une base en une base. Par conséquent, sa matrice A relativement à la base canonique de V est inversible et vérifie Ax = y. y V A L Ax = y Dans ce qui précède, on ne s'est pas servi de l'indication donnée par l'énoncé. Donnons tout de même une solution utilisant cette indication. Si x et y forment une famille liée, alors il existe complexe non nul, tel que y = x L'homothétie A de rapport constitue alors un endomorphisme de V, inversible car n'est pas nul, tel que Ax = y. Si x et y forment une famille libre, alors on peut compléter (x, y) en une base de V (x, y, x3 , . . . , xn ) et il suffit de considérer la matrice de passage A de cette base à la base (y, x, x3 , . . . , xn ) Utilisons ceci pour en déduire que la propriété P6 est vérifiée. Soit W un sousespace vectoriel de V, qui ne soit pas V ou {0}. Alors il existe x non nul dans W. Comme W est strictement inclus dans V, il existe y non nul, qui ne soit pas dans W. D'après ce qui précède, il existe A dans L, tel que Ax = y : l'image de W par A contient donc y, qui n'est pas dans W. Ce qui établit que W n'est pas stable par L. Les seuls sous-espaces vectoriels de V qui sont stables par L sont donc {0} et V. L vérifie la propriété P6 . I.A.2 Voyons lesquelles des propriétés P1 à P5 sont vérifiées par L : · L ne vérifie pas P1 : en effet, L est précisément l'ensemble des matrices inversibles, donc de rang n, et ne contient aucune matrice de rang 1. · L vérifie P2 et P3 puisque L contient l'identité qui est de rang n. · L ne vérifie pas P4 : en effet, I et -I sont dans L, mais leur somme, qui est 0, ne s'y trouve pas. L n'est donc pas stable par combinaison linéaire. · L vérifie P5 : en effet, c'est un résultat de cours que le produit de deux matrices carrées inversibles A et B est inversible. On le vérifie aisément en remarquant que B-1 A-1 (AB) = I et que (AB) B-1 A-1 = I ce qui montre que AB est inversible, d'inverse (AB)-1 = B-1 A-1 . I.B.1 Soit T dans L. Cette matrice est de la forme : t1,1 0 ··· 0 .. .. . . .. .. . . T= tn-1,1 tn-1,n-1 0 tn,1 ··· tn,n-1 tn,n On sait que l'image de en est donnée par la ne colonne de T, c'est-à-dire que Ten = tn,n en Donc en est vecteur propre de T. Par conséquent, la droite engendrée par en est stable par T. Ceci étant vrai pour tout T dans L, il s'ensuit que Vect(en ) est stable par L. Comme on a supposé n supérieur à deux, cette droite n'est pas égale à V. Elle n'est en outre pas réduite à {0} puisqu'elle contient en qui n'est pas nul. Il s'ensuit que : L ne vérifie pas la propriété P6 . I.B.2 Voyons lesquelles des propriétés P1 à P5 sont vérifiées par L : · L vérifie P1 : en effet, la matrice 0 ··· 0 0 .. .. .. . . . 0 ··· 0 0 0 ··· 0 1 est triangulaire inférieure et de rang 1. · L vérifie P2 et P3 puisque L contient l'identité, qui est triangulaire inférieure de rang n. · L vérifie P4 : c'est un résultat classique de cours que les matrices triangulaires inférieures forment un sous-espace vectoriel de Mn (C). · L vérifie P5 : on considère pour cela deux matrices triangulaires inférieures T = (ti,j )16i,j6n et T = (ti,j )16i,j6n Montrons que le produit TT a tous ses termes surdiagonaux nuls. On se donne i et j deux entiers, tels que 26i