Centrale Maths 1 PC 2026

PC
4 heures

Calculatrice autorisée

2026

Mathématiques 1

Découverte de la planète Neptune
Les quatre parties de ce problème sont indépendantes, le candidat peut les 
traiter dans l'ordre de son choix. Dans tout
ce problème, M3 (R) désigne l'ensemble des matrices à 3 lignes et à 3 colonnes 
à coefficients réels.

Urbain Le Verrier (source Wikipedia)
­ Urbain Le Verrier (1811-1877) doit sa célébrité à la découverte de la planète 
Neptune en 1846. À cette époque,
seules 7 planètes sont alors connues (Mercure, Vénus, La Terre, Mars, Jupiter, 
Saturne et Uranus). Les mouvements des planètes sont régis par les lois de 
Newton. Quand on ne néglige pas les interactions entre planètes,
les équations caractérisant les trajectoires des planètes sont pour l'instant 
impossibles à résoudre. Lagrange puis
Laplace ont apporté des simplifications mais n'ont pas abouti. Le Verrier a 
conclu leurs travaux et établi les
trajectoires des 7 planètes alors connues.
­ La trajectoire que Le Verrier prédit concernant la planète Uranus contredit 
les observations de Herschel effectuées
en 1781 : Uranus ne se trouve pas là où elle devrait être ! Ces écarts 
inexpliqués entre la position réelle d'Uranus
sur son orbite et celle déduite par la théorie suggèrent l'existence d'un corps 
céleste inconnu, plus lointain,
exerçant une force gravitationnelle perturbatrice. Plus tard, un astronome 
allemand, Johann Galle, observe
pour la première fois la planète à l'origine de cette anomalie, à partir des 
calculs de Le Verrier. Elle est baptisée
Neptune et on considère que c'est Le Verrier (et non Galle) qui l'a découverte.

Partie A ­ Étude du mouvement d'une planète seulement soumise
à l'attraction du soleil
­ On se place dans l'écliptique qui est le plan P d'origine le soleil et 
contenant le système solaire. On munit ce
#" #"
plan d'un repère orthonormé (O; i , j ) et, si M et N sont deux points de ce 
plan, M N désigne la longueur du
segment d'extrémités M et N .

2
­ Soit (a, c)  R+ tel que c < a. On pose b = a2 - c2 . On appelle F le point de coordonnées (c, 0) et F  le point de coordonnées (-c, 0). ­ On appelle E l'ensemble des points M de P tels que M F + M F  = 2a. On dit que E est une ellipse de foyers F et F  . ­ Dans cette partie, x et y sont deux réels et M est le point de P de coordonnées (x, y). 1/4 I ­ Équation réduite de E Q1. Rappeler l'inégalité triangulaire mettant en jeu les distances M F , M F et F F  puis prouver que : F F   |M F - M F  |. Q2. En déduire que M F - M F  - 2a = 0 et M F - M F  + 2a = 0. Q3. En déduire l'équivalence suivante : M  E  (M F  + M F - 2a) × (M F  + M F + 2a) × (M F - M F  - 2a) × (M F - M F  + 2a) = 0. Q4. En déduire l'équivalence suivante : M  E  ((M F  )2 + (M F )2 - 4a2 )2 = 4(M F  )2 (M F )2 . Q5. En déduire que E est l'ensemble des points M du plan P dont les coordonnées (x, y) vérifient y2 x2 + 2 = 1. 2 a b II ­ Étude d'une fonction Soit f : [0, a] x - R r 2 . - b 1- x a2 Q6. Dresser le tableau de variations de f et donner les équations des tangentes à Cf , la courbe représentative de f , en (0, b) et (a, 0). Q7. Tracer Cf . Q8. Représenter E. On y placera aussi les points A, A , B, B  de cordonnées respectives (a, 0), (-a, 0), (0, b), (0, -b), ainsi que F et F  . On dit que [A A] est le grand axe de E et [B  B] est le petit axe de E . III ­ Paramètres de l'ellipse On pose e = c , on appelle excentricité de E cette quantité. a Q9. Montrer que e  ]0, 1[ puis exprimer c et b en fonction de a et e. Q10. Donner l'allure de l'ellipse E suivant que e soit proche de 0 ou de 1. Partie B ­ Étude du mouvement des planètes massives du système solaire sans négliger les interactions ­ Les interactions entre les planètes existent et ne sont pas toujours négligeables. Pour les planètes massives, Le Verrier a pu toutefois négliger les petites planètes (Mercure, Vénus, Terre et Mars) et ne tenir compte que des planètes massives alors connues (Uranus, Jupiter et Saturne). Nous allons ainsi simplifier le problème et nous placer dans le cas où il n'y aurait que trois planètes. ­ Pour chacune des trois planètes massives, Le Verrier définit des fonctions numériques définies sur R+ et de classe C  , permettant, sans entrer dans des détails trop techniques, de décrire les trajectoires de ces planètes. Ainsi, pour tout i  J1, 3K, on définit des fonctions hi et li , fonctions du temps et deux fois dérivables sur R+ (h1 et l1 pour Uranus, h2 et l2 pour Jupiter, et enfin h3 et l3 pour Saturne). Les équations physiques de Lagrange et Laplace disent qu'il existe une matrice B  M3 (R) (dont les coefficients sont des réels constants et ne dépendent donc pas du temps) telle que : ( h1 (t) l1 (t) h1 (t) l1 (t) Gt = B × Lt t  R+ , avec Ht =  h2 (t)  , Lt =  l2 (t)  , Gt =  h2 (t)  et Kt =  l2 (t)  . Kt = -B × Ht h (t) l (t) h (t) l (t) 3 3 3 3 h1 (t) ­ Pour tout t  R+ , on pose Ft =  h2 (t) . h3 (t) Q11. Montrer que : t  R+ , Ft = A × Ht avec A = -B 2 . On suppose uniquement dans cette partie que A a trois valeurs propres réelles 1 , 2 et 3 telles que 1 < 2 < 3 < 0. 2/4 1 0 0 Q12. Montrer qu'il existe Q  GL3 (R) telle que A = Q ×  0 2 0  × Q-1 . 0 0 3 y1 (t) Q13. Pour tout t  R+ , on pose :  y2 (t)  = Yt avec Yt = Q-1 × Ht , la matrice Q ayant été définie dans la question y3 (t) précédente. Pour tout i  J1, 3K, montrer que yi est solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 qu'on précisera. Q14. Soit t  R+ . Pour tout i  J1, 3K, donner l'expression générale de yi (t) à des constantes multiplicatives près. Q15. Montrer que B  GL3 (R) et exprimer h1 , h2 , h3 puis l1 , l2 , l3 en fonction de y1 , y2 , y3 et des matrices B et Q. Partie C ­ Méthode de Le Verrier pour déterminer les valeurs propres Pour toute matrice M  M3 (R), on note Tr(M ) sa trace. I ­ Résolution des équations Q16. Démontrer que : (A, B)  M3 (R)2 , Tr(AB) = Tr(BA) et en déduire que deux matrices de M3 (R) semblables ont même trace. 1 0 0 On pose : A = Q ×  0 2 0  × Q-1 avec Q  GL3 (R) et (1 , 2 , 3 )  R3 . On note : 0 0 3 S1 = 1 + 2 + 3 , S2 = 21 + 22 + 23 et S3 = 31 + 32 + 33 . On note PA le polynôme caractéristique de A, et on pose : 0 + 1 X + 2 X 2 + 3 X 3 = PA . Q17. Exprimer Tr(A), Tr A2 et Tr A3 en fonction de S1 , S2 et S3 . Q18. Exprimer PA puis 0 , 1 et 2 en fonction de 1 , 2 et 3 . Q19. Exprimer 1 et 2 en fonction de S1 et S2 . On admet que 0 = 3S1 S2 - S13 - 2S3 . 6 Le Verrier a ainsi, sans notion de déterminant ni de rang, explicité le polynôme caractéristique de la matrice A intervenant dans ses calculs grâce aux traces de A, A2 et A3 . Une fois le polynôme caractéristique calculé, il en a déduit le spectre de A. II ­ Étude d'un cas particulier -4 1 0 On appelle A la matrice 2 0 11 1 7 13 7  et R le polynôme X 3 + X 2 - 14X - 24. 1 Q20. Justifier l'existence d'une matrice triangulaire supérieure T  M3 (C) et d'une matrice inversible Q  GL3 (C) telles que A = QT Q-1 . Les relations trouvées à la question Q19 sont-elles encore valables ici ? Q21. Déterminer Tr(A), Tr A2 et Tr A3 et en déduire que le polynôme caractéristique de A est R. Q22. Déterminer les valeurs propres de A. Q23. Déterminer une matrice Q  GL3 (R) telle que la matrice Q-1 AQ soit diagonale. 3/4 Partie D ­ Perturbation sur une matrice d'ordre 3 L'étude du système réduit aux trois planètes massives Jupiter, Saturne et Uranus fait en réalité intervenir une matrice dont on ne connaît que des valeurs approchées. Nous étudions dans cette partie l'influence de l'approximation effectuée sur le spectre de cette matrice. Dans toute cette partie, a, b et c sont trois réels vérifiant a < b < c et (u, v, w) est un élément de (R )3 . Pour tout M  M3 (R), on note M  la transposée de M . On pose : u U =  v  et T = U U  . w a 0 0 On note D la matrice 0 b 0 et on fixe t  R pour toute cette partie. On pose D(t) = D + tT et on considère 0 0 c l'équation (Et ) d'inconnue   R suivante : v2 w2 1 u2 + + = . -a -b -c t I ­ Solutions et spectre Soit   R\{a, b, c}. On suppose que  appartient au spectre de D(t). On note X un vecteur propre de D(t) associé à . Q24. Montrer que : I3 - D  GL3 (R) et U  X = t U  (I3 - D)-1 U U  X. 1 Q25. Montrer que : U  (I3 - D)-1 U = . t Q26. En déduire que  est une solution de l'équation (Et ). Q27. Dresser le tableau de variations de la fonction numérique F suivante : u2 v2 w2 + + · -a -b -c En déduire que F s'annule en deux points 1 et 2 vérifiant 1 < 2 . F :  7- Q28. Montrer que l'équation (Et ) admet trois solutions réelles distinctes 1 (t), 2 (t) et 3 (t) vérifiant 1 (t) < 2 (t) < 3 (t). On comparera ces quantités à a, b, c, 1 et 2 . On sera amené à distinguer les cas t > 0 et t < 0. Q29. Montrer que l'ensemble des solutions de (Et ) et le spectre de D(t) sont confondus. II ­ Les limites On note g1 la réciproque de la restriction de F à ]-, a[, g2 la réciproque de la restriction de F à ]a, b[, g3 la réciproque de la restriction de F à ]b, c[ et enfin g4 la réciproque de la restriction de F à ]c, +[. Q30. Prouver l'existence de gi pour tout i  J1, 4K, calculer g2 (0) et déterminer la limite de g2 en + et en - Q31. Exprimer 1 (t), 2 (t) et 3 (t) en fonction de g1 , g2 , g3 , g4 et de t. On sera amené à distinguer les cas t > 0 et
t < 0. Q33. Montrer que la fonction 1 , ainsi prolongée, est dérivable sur R et déterminer la valeur de 1 (0). On pourra s'appuyer sur l'expression de F (1 (t)). Donner, sans justification, les valeurs que l'on obtiendrait pour 2 (0) et 3 (0) en reprenant ce raisonnement. Q34. Calculer la limite de 1 en + et -. Quels commentaires peut-on faire quand on compare les valeurs propres de D et celles de D(t) ? Fin 4/4 M077 - 17 mars 2026 - 22:03:37 c b e a Q32. Montrer que la fonction 1 se prolonge en une fonction continue sur R. On admet qu'il en est de même pour 2 et 3 . On notera encore 1 , 2 et 3 ces fonctions prolongées.