CCINP Maths PC 2026

SESSION 2026

PC1M

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC
____________________

MATHÉMATIQUES
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
·

·
·

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction 
de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

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Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

1/7

EXERCICE 1
Réduction de matrices par blocs
Présentation générale
Dans tout l'exercice, on considère un entier n  N et une matrice A  Mn (R) .

L'objectif de cet exercice est d'étudier les propriétés de certaines matrices 
par blocs de la forme :
(
)
A A
M=
 M2n (R) avec (, , , )  R4 .
A A
On rappelle que les opérations sur les matrices par blocs s'effectuent de la 
même manière que sur
les matrices classiques du moment que les tailles des blocs sont compatibles. 
Par exemple, pour tout
élément (A1,1 , A1,2 , A2,1 , A2,2 , B1,1 , B1,2 , B2,1 , B2,2 )  Mn (R)8 , on 
a :
)(
) (
)
(
A1,1 B1,1 + A1,2 B2,1 A1,1 B1,2 + A1,2 B2,2
A1,1 A1,2 B1,1 B1,2
=
.
A2,1 A2,2 B2,1 B2,2
A2,1 B1,1 + A2,2 B2,1 A2,1 B1,2 + A2,2 B2,2
On note In la matrice identité de Mn (R) et On la matrice nulle de Mn (R) .
Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I - Étude d'une première forme
Dans cette partie, on étudie la matrice par blocs définie par :
(
)
A A
M=
 M2n (R) .
A A
I.1 - Étude d'un exemple
Dans cette sous-partie uniquement, on suppose que n = 2 et que :
(
)
1 0
A=
 M2 (R) .
0 2
Q1.

Justifier que la matrice M est diagonalisable.

Q2.

Déterminer les valeurs propres de la matrice M .

Q3.

Montrer que M est une matrice symétrique positive. Est-elle définie positive ?

I.2 - Réduction de la matrice M
Dans cette sous-partie, on revient au cas général où l'entier n  N et la 
matrice A  Mn (R) sont
quelconques. On considère la matrice :
)
(
In In
 M2n (R) .
P=
-In In
2/7

Q4.

Montrer que la matrice P est inversible et que :
(
)
1 In -In
-1
.
P =
2 In In

Q5.

En utilisant la matrice P définie précédemment, montrer que M est semblable à 
la matrice :
)
(
On On
.
D=
On 2A

Q6.

On note A le polynôme caractéristique de A et  M le polynôme caractéristique de 
M .
()
. En déduire le spectre de la matrice M en
Montrer pour tout   R que  M () = n 2n A
2
fonction du spectre de A .

Q7.

Soit un polynôme Q =

d

k=0

qk X k  R[X] avec d  N et (q0 , . . . , qd )  Rd+1 . Montrer que les deux

assertions suivantes sont équivalentes.

Q8.

(i) Le polynôme Q est annulateur de la matrice A et on a Q(0) = 0 .
(X)
est annulateur de D .
(ii) Le polynôme Q
2

En déduire que M est diagonalisable si et seulement si A est diagonalisable.

Partie II - Étude d'une seconde forme
Dans cette partie, on étudie la matrice par blocs définie par :
(
)
A A
M=
 M2n (R) .
On A
Q9.

Montrer que pour tout k  N , on a :

)
( k
A kAk
.
M =
On Ak
k

Q10. En déduire que pour tout polynôme Q  R[X] , on a :
(
)
Q(A) AQ (A)
Q(M) =
.
Q(A)
On

Jusqu'à la fin de l'exercice, on suppose que la matrice M est diagonalisable et 
on note S  R[X] un
polynôme annulateur de M scindé à racines simples sur R.
Q11. Établir que la matrice S  (A) est diagonalisable, puis exprimer son 
spectre en fonction de celui de
la matrice A et du polynôme S  .
Q12. Montrer que S  (A) est une matrice inversible. En déduire une condition 
nécessaire et suffisante
sur A pour que la matrice M soit diagonalisable.

3/7

EXERCICE 2
Autour de la loi géométrique
Présentation générale

Dans cet exercice, on fixe un réel p  ]0, 1[ et on note q = 1 - p . On 
considère une suite (Xk )kN de
variables aléatoires réelles indépendantes définies sur un espace probabilisé 
(, A, P) et suivant la loi
géométrique de paramètre p .
Pour tout n  N , on considère les variables aléatoires définies par :
Sn =

n

Xk ,

Vn = max(X1 , . . . , Xn ) .

k=1

L'objectif de cet exercice est d'étudier les lois des variables aléatoires S n 
et Vn pour n  N .

La partie I est indépendante des parties II et III. La partie III peut se 
traiter en admettant les résultats
de la partie II.

Partie I - Étude de la variable aléatoire S n
Dans cette partie, on considère un entier n  N . Nous allons déterminer la loi 
de S n .

Q13. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire S n .

Q14. Rappeler l'espérance et la variance de la variable aléatoire X1 , puis 
déterminer l'espérance et
la variance de la variable aléatoire S n .

Soit Y une variable aléatoire sur  à valeurs dans N . On rappelle que la 
fonction génératrice d'une telle
variable aléatoire est la fonction d'une variable réelle définie par :
+
( ) 
Y
GY : t  E t =
P(Y = k)tk .
k=0

Q15. Montrer que la série entière

P(Y = k)tk a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1 .

k0

Q16. Soit t  ] - 1, 1[. Exprimer GS n (t) en fonction de G X1 (t), . . . , G Xn 
(t), puis en déduire que :
(
)n
pt
GS n (t) =
.
1 - qt
Q17. Déterminer le développement en série entière de la fonction t  (pt)n (1 - 
qt)-n sur ] - 1, 1[ , puis
en déduire une expression de P(S n = k) pour tout entier k  S n () .

4/7

Partie II - Loi de la variable aléatoire V n
Dans cette partie, nous allons déterminer la loi de Vn où n  N est un entier.
Q18. Montrer pour tout k  N que P(X1 > k) = qk .

)n
(
Q19. En déduire pour tout k  N que P(Vn  k) = 1 - qk .

Les questions Q20 et Q21 peuvent se traiter de manière indépendante.
Q20. Montrer que Vn est d'espérance finie et que :
+ (

(
)n )
E(Vn ) =
1 - 1 - qk .
k=0

Q21. Déterminer la loi de la variable aléatoire Vn . On commencera par 
déterminer, pour tout k  N ,
une relation entre les évènements (Vn = k), (Vn  k) et (Vn  k - 1) .

Partie III - Équivalent de l'espérance de V n

Dans cette partie, on considère un entier n  N . Nous allons déterminer un 
équivalent simple de
l'espérance de Vn lorsque n  + .
)n
(
On considère la fonction n : [0, +[  R définie par n : x  1 - 1 - q x .

Q22. Montrer que la fonction n est décroissante et intégrable sur [0, +[ .

Q23. En utilisant la méthode de comparaison série-intégrale, montrer que :
 +
 +
n (x) dx  E(Vn )  1 +
n (x) dx .
0

0

x

Q24. En utilisant le changement de variable u = 1 - q , montrer que l'intégrale
et que :

 1
0

Dans la suite, on admet que :

1 - un
du = - ln(q)
1-u

 +
0

 1
0

1 - un
du converge
1-u

n (x) dx .

n

1
k=1

 ln(n) .
k n+

Cette relation admise pourra être utilisée librement dans la question suivante.
Q25. Déduire des questions précédentes un équivalent simple de E(Vn ) lorsque n 
 + .

5/7

EXERCICE 3
Résolution d'une équation différentielle non ordinaire
Présentation générale
Dans cet exercice, on considère un réel   [-1, 1] . On souhaite déterminer les 
fonctions f : R  R
dérivables telles que :
x  R ,

f  (x) = f (x) .

(E )

On note S  l'ensemble des fonctions dérivables f : R  R vérifiant l'équation (E 
) .

Les trois parties de cet exercice peuvent se traiter de manière indépendante, à 
l'exception de la Q37
qui nécessite l'utilisation des résultats des parties II et III.

Partie I - Généralités
Q26. On note D(R, R) l'espace vectoriel des fonctions dérivables de R dans R . 
Montrer que S est un
sous-espace vectoriel de D(R, R) .
Q27. Déterminer l'ensemble S1 .

Q28. Montrer que si f : R  R est une fonction vérifiant (E0 ), alors f est une 
fonction affine. En déduire
l'ensemble S0 .
Q29. Montrer que si f : R  R est une fonction vérifiant (E-1 ), alors la 
fonction f est deux fois dérivable
et on a f  + f = 0. En déduire l'ensemble S-1 .

Partie II - Solutions développables en série entière
Dans cette partie, on suppose que   0. Nous allons déterminer les solutions de 
(E ) développables
en série entière sur R .
 n(n-1) xn
Q30. Déterminer le rayon de convergence de la série entière
 2
.
n!
n0
Dans la suite de cette partie, on note  : R  R la somme de la série entière 
étudiée dans la question
précédente.
Q31. Montrer que   S .

an xn admet
Dans la suite, on considère une suite (an )nN de nombres réels telle que la 
série entière
n0

n
an x .
un rayon de convergence infini. On note f : R  R la somme de la série entière
n0

n

Q32. Montrer que si f est solution de (E ), alors on a (n + 1)an+1 =  an pour 
tout n  N .
Q33. En déduire que f est solution de (E ) si et seulement si f  Vect().

6/7

Partie III - Détermination de toutes les solutions
Dans cette partie, on suppose que   0 et on considère une fonction f  S  . Nous 
allons montrer que
la fonction f est développable en série entière sur R.
On admet et on pourra utiliser librement dans la suite la formule de Taylor 
suivante : si h : R  R est
une fonction de classe C sur R, alors on a :
x  R,

n  N,

h(x) =

n

h(k) (0)
k=0

k!

k

x +

 x
0

(x - t)n (n+1)
h
(t) dt.
n!

Q34. Montrer par récurrence pour tout n  N que f est Cn sur R et que :
t  R,

f (n) (t) = 

n(n-1)
2

( )
f n t .

Dans la suite, on considère un réel a > 0 et un réel x  [-a, a]. Pour tout n  
N, on définit la fonction :
gn : t 

(x - t)n (n+1)
(t) .
f
n!

Q35. Montrer que la suite de fonctions (gn )nN converge uniformément vers la 
fonction nulle sur [-a, a] .
Q36. Montrer que f est développable en série entière sur R .
Q37. Quelle est la dimension de l'espace vectoriel S ?

FIN

7/7