X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2026

ECOLE POLYTECHNIQUE
ESPCI

CONCOURS D'ADMISSION 2026

MARDI 14 AVRIL 2026
14h00 - 18h00
FILIERE MP

-

Epreuve n° 4

PHYSIQUE ET SCIENCES
DE L'INGÉNIEUR

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour
cette épreuve

Cette composition ne concerne qu'une partie des candidats de la
filière MP, les autres candidats effectuant simultanément la composition
d'Informatique A.
Pour la filière MP, il y a donc deux enveloppes de Sujets pour cette
séance.

Cette épreuve comprend deux parties indépendantes. La première partie, 
consacrée à la physique, s'intéresse
aux satellites d'étude du Soleil. La seconde, dédiée aux sciences de 
l'ingénieur, propose d'étudier le déploiement et l'orientation des panneaux 
solaires d'un tel satellite, en orbite.
5

 Il est conseillé de ne pas consacrer plus de deux heures par partie.
 Les applications numériques seront effectuées avec la précision qu'un calcul à 
la main permet aisément, et
sans excéder deux chiffres significatifs. Les ordres de grandeur seront donnés 
avec un seul chiffre significatif.
 Les réponses aux questions relevant de considérations qualitatives devront 
être systématiquement argumentées.

10

 Les références des questions abordées devront être indiquées de façon claire.

Sur les satellites d'étude du Soleil

Partie Physique

20

Cette année doit être lancé SMILE 1 , acronyme de "Solar Wind Magnetosphere 
Ionosphere Link Explorer".
Cette mission fait suite à celles de WIND et de SoHO, satellites lancés en 1993 
et 1995, qui ont étudié la
couronne solaire, le vent solaire et ses interactions avec la magnétosphère 
terrestre. Dépassant largement les
durées prévues pour leurs missions (soit 3 ans et 2 ans), ces satellites nous 
font toujours parvenir des données.
Avec SMILE, on observera l'interaction du vent solaire avec la magnétosphère et 
l'ionosphère terrestres et
en fin de compte avec la Terre. Les tempêtes et éruptions solaires peuvent en 
effet gravement endommager
les satellites en orbite et les installations électriques au sol. SMILE va 
ainsi nous aider à mieux comprendre
ces interactions entre le vent solaire et nous, et par là même à mieux se 
protéger de leurs effets.

25

Le positionnement d'un tel satellite est d'une importance cruciale pour pouvoir 
collecter des données de
manière efficace et continûment pendant des temps longs tout en s'assurant que 
celui-ci peut rester à
la position prévue le plus longtemps possible. C'est pourquoi les deux 
satellites WIND et SoHO ont été
positionnés de manière stratégique au point de Lagrange L1 pour permettre une 
meilleure observation du
vent solaire.

15

Ce problème est constitué de deux parties indépendantes. La première 
s'intéresse aux communications avec
le satellite, nécessaires pour contrôler ses systèmes et en récupérer les 
données. La deuxième vise à montrer
l'existence et la stabilité de points spécifiques appelés points de Lagrange et 
leur intérêt.
Notations et formulaire
Les vecteurs unitaires de la base cartésienne seront notés ex , ey , ez .
Formule du double produit vectoriel : soient trois vecteurs u, v et 
w, alors :
u  (v  
w) = (u · 
w) v - (u · v ) w

30

1

Communications entre le satellite et la Terre

35

Pour un satellite d'observation comme SoHO, WIND ou SMILE, la récupération des 
données enregistrées
par le satellite est réalisée de manière continue et directe. Le satellite 
transmet les données par l'émission
d'ondes électromagnétiques dans la bande Ku, bande de fréquences comprise entre 
10,7 GHz et 14,5 GHz.
Nous allons étudier dans cette partie les problématiques liées à la 
transmission d'ondes électromagnétiques
entre le satellite et la Terre, notamment celles provenant de la propagation de 
ces ondes dans l'ionosphère.
1. mission conjointe de l'European Space Agency (ESA) et l'Académie Chinoise 
des Sciences (CAS).

­ Page 1/12 ­

40

Dans cette partie, nous allons considérer l'ionosphère comme un plasma peu 
dense, constitué d'électrons
libres et d'ions produits par photoionisation UV (ou X) des constituants de 
l'atmosphère à l'altitude considérée (typiquement comprise entre 60 km et 800 
km). Dans cette zone, la densité électronique de l'ionosphère
est ne  1012 m-3 , et il y a autant d'ions (positifs, de charge qi = +e ) que 
d'électrons, d'où ni = ne . Selon
l'altitude, la nature précise de ces ions moléculaires ou atomiques peut 
changer et il peut subsister ou non
un gaz constitué d'atomes et de molécules neutres.
En outre nous négligerons l'influence du champ magnétique terrestre sur le 
plasma ionosphèrique.

Constantes physiques utiles pour la partie 1

45

50

55

notation
e
me
mp
0
µ0
ne

grandeur
charge élémentaire
masse de l'électron
masse du proton
permittivité diélectrique du vide
splitéabilité magnétique du vide
densité électronique de l'ionosphère

valeur
1,6 × 10-19
9,1 × 10-31
1,6 × 10-27
8,8 × 10-12
 4 × 10-7
1012

unité
C
kg
kg
F·m-1
H·m-1
m-3

1. a - Dans ces conditions, établir l'équation du mouvement d'une particule 
chargée (de charge q et de
masse m) du plasma, en présence du champ électromagnétique 
E(r,t) et 
B(r,t) de l'onde incidente.
b - Nous supposerons également que toutes les particules chargées sont non 
relativistes (au sens où
leur vitesse v est négligeable devant la vitesse de la lumière dans le vide c).
En déduire une forme simplifiée de l'équation du mouvement précédente, en 
justifiant cette simplification.
2. On considère maintenant que le champ électromagnétique se propageant dans le 
plasma est une onde
plane progressive harmonique, de pulsation , se propageant dans la direction 
donnée par le vecteur
d'onde k. On pourra la supposer polarisée rectilignement.
a - Justifier que les ions ne contribuent pratiquement pas à la densité de 
courant.
b - En déduire que

j =  E

(1)

 r,t) = Re(E),
 j est la
 est le champ électrique complexe défini par E(
 r,t) = E
 0 ei (k·r-t) et E(
où E
densité volumique complexe de courant dans le plasma et  la conductivité 
complexe du plasma.
Préciser l'expression de .
60

65

3. a - Etablir la relation de dispersion dans ce milieu et montrer l'existence 
d'une pulsation particulière,
appelée pulsation plasma et notée p , dont on donnera l'expression.
b - Calculer l'ordre de grandeur de la fréquence plasma fp , associée à p .
c - Interpréter physiquement ce que représente la fréquence plasma.
d - Indiquer quelles sont les implications de l'existence d'une telle 
fréquence, en matière de transmission d'ondes électromagnétiques.
4. Exprimer la vitesse de phase et la vitesse de groupe en fonction de la 
pulsation plasma. Commenter.

70

5. a - Tracer la courbe de dispersion k = f () pour k  0 et identifier sur 
cette courbe les zones de forte
ou de faible dispersion, en expliquant le critère utilisé.
b - Expliquer les effets de la propagation en milieu dispersif sur la 
transmission des données.
c - Justifier le choix de la bande de fréquences utilisée pour communiquer avec 
les satellites d'observation du Soleil.

­ Page 2/12 ­

75

80

2

Points de Lagrange et stabilité

L'étude du vent solaire requiert de positionner le satellite de manière 
stratégique dans l'espace. Pour permettre une observation permanente du Soleil 
et du vent solaire, il faut se placer face au Soleil, en amont de
la Terre. De plus, pour que la mission d'étude puisse être viable, il est 
intéressant de se placer en un point où
le besoin d'énergie pour maintenir une position stable est minimal. Il existe 
un point particulier respectant
à priori ces deux critères, c'est le point de Lagrange L1 . Mais le système 
gravitationnel Soleil-Terre présente
d'autres points d'équilibre dont il est intéressant d'étudier la position et la 
stabilité.
Constantes physiques utiles pour la partie 2
notation
UA
G
MS
MT
ST

85

grandeur
unité astronomique
constante de gravitation
masse du Soleil
masse de la Terre
distance Soleil-Terre

valeur
1,5 × 1011
6,7 × 10-11
2,0 × 1030
6,0 × 1024
1

unité
m
m3 ·kg-1 ·s-2
kg
kg
UA

Notations et formulaire
Gradient en coordonnées cylindriques (en notant er ,e ,ez les vecteurs 
unitaires de la base cylindrique) :
--
V
1 V
V
grad (V (r,,z)) =
er +
e +
ez
r
r 
z
2.1

Etude préliminaire

Nous considérerons ici le cas d'un satellite P, de masse m, sous l'influence 
gravitationnelle du Soleil et de la
Terre. Ces deux astres sont supposés de symétrie sphérique, de centres 
respectifs S et T, et de masses MS
et MT , devant lesquelles m est négligeable. Le système des trois corps S, T et 
P est supposé isolé dans l'espace.
90

95

Considérons alors un système de coordonnées (,,) appelé système sidéral 2 de 
coordonnées, centré sur
-
 à
le centre de masse O du Soleil et de la Terre. On choisit l'axe e selon 
l'orientation du vecteur ST = R
l'instant t = 0, et l'axe e perpendiculaire à l'axe e et contenu dans le plan 
orbital des deux astres. L'axe
e est alors orienté selon le moment cinétique du système Soleil-Terre, 
perpendiculairement au plan (O)
 l'angle entre l'axe e et le vecteur R
 à l'instant t.
(voir figure 1). Par la suite on notera  = (e ,R)

Figure 1 ­ Visualisation à l'instant t du plan contenant les deux astres, le 
Soleil et la Terre, ainsi que le satellite P et
présentation des coordonnées sidérales (, , ) et synodiques (x,y,z). L'origine 
O est le centre de masse des deux astres.

2. sidéral signifie ici que les axes e , e , e sont définis par rapport à des 
étoiles fixes.

­ Page 3/12 ­

100

On suppose de plus que les trajectoires du Soleil et de la Terre dans le 
référentiel Rs = (O, e , e , e ) sont
circulaires et donc que la distance ST = R entre le Soleil et la Terre est 
constante, ce qui entraîne que le
 tourne autour de O avec une vitesse angulaire  =  constante, d'où  = t. On 
introduit alors
vecteur R
 =  ez , appelé référentiel synodique
un référentiel R = (O, ex , ey , ez ) tournant à la vitesse angulaire 
- 
- 
(voir figure 1) ; le Soleil et la Terre sont donc fixes dans ce référentiel. On 
note OT = R
T et OS = RS .

6. a - Exprimer la vitesse angulaire  =  en fonction de G, R et de la masse 
totale M = MS + MT du
système Soleil-Terre.
b - Interpréter et proposer une valeur approchée de la période T = 2
 dans l'unité la plus adaptée,
en évitant tout calcul numérique.
105

110

Pour simplifier l'étude suivante, on considérera que la trajectoire du point P 
se situe dans le même plan
que les trajectoires de S et T (c'est-à-dire dans le plan de l'écliptique). On 
utilisera les notations suivantes :
-
-

-
OP = r = xex + yey , SP = rS , TP = rT (voir figure 1).
Dans la suite de cette partie, nous allons utiliser des concepts introduits par 
les mathématiciens et mécaniciens du 18ème siècle (par exemple Euler ou 
Lagrange) et de la première moitié du 19ème siècle (Jacobi).
Vous devrez donc réinterpréter dans le cadre de la mécanique que vous avez 
étudiée au 21ème siècle certaines
des grandeurs introduites dans les deux questions suivantes.
7. a -

Montrer que l'on peut trouver une fonction U (P) de la position du point P, 
telle que
x - 2y =

U
;
x

y + 2x =

U
y

(2)

La fonction U (P) a été appelée pseudo-potentiel.
b - Exprimer U (P) en fonction de r, rS et rT , et donner une interprétation 
physique de la fonction
U (P).

115

8. a - Déduire des équations précédentes l'existence d'une constante du 
mouvement CJ appelée constante
de Jacobi, telle que :
CJ = 2U - v 2

(3)

où v = xex + yey représente la vitesse de la particule P dans le référentiel 
tournant R et v représente
la norme de cette vitesse.
Et proposer une interprétation physique de la constante de Jacobi.
b - On définit les zones d'exclusion du mouvement comme étant les zones de 
l'espace où la particule P
ne peut pas pénétrer. Expliquer comment cette constante fournit les zones 
d'exclusion du mouvement
pour la particule P.

120

2.2

Détermination des positions des points de Lagrange

Le problème à deux corps en interaction gravitationnelle se prête bien à 
l'introduction de grandeurs adimensionnées. Pour ce faire, nous allons choisir 
une unité de masse uM , une unité de longueur uL et une unité
de temps ut définies par
uM = M = MS + MT ;

-
uL = R = ||ST||;

ut =

T
2

Nous allons nous servir de ces unités pour définir les grandeurs adimensionnées 
suivantes :
µi =
125

Mi
uM

i  (S,T);

=

r
;
uL

=

t
ut

9. a - Montrer que dans ce système d'unités, la vitesse angulaire adimensionnée 
 = u et la constante
de gravitation adimensionnée  sont toutes les deux égales à 1.
b - Montrer également que le temps adimensionné  est égal à l'angle  = (e ,ex 
). On pourra utiliser
les résultats de la question 6 si nécessaire.

­ Page 4/12 ­

Figure 2 ­ Localisation des points de Lagrange pour µT = 0,2. Le tracé montre 
différentes courbes de niveau de la fonction
U (x,y). La courbe  correspond à U1 = 1,903 = U (L1 ), la courbe  correspond à 
U2 = 1,776 = U (L2 ), la courbe  correspond
à U3 = 1,598 = U (L3 ), la courbe  correspond de nouveau à U4 = 1,903 = U (L1 
). Les deux points de Lagrange L4 et L5
correspondent à U (L4 ) = U (L5 ) = 1,420 , qui est la valeur minimale de la 
fonction U dans le plan (x,y).

130

135

Il existe au voisinage de l'orbite de la Terre autour du Soleil des points 
particuliers où un objet de masse
négligeable, par exemple un satellite, situé en ces points n'est soumis à 
aucune force dans le référentiel
tournant R (où S et T sont immobiles), et par conséquent tourne autour du point 
O avec la même vitesse
angulaire que la Terre. Ces points, appelés points de Lagrange, sont au nombre 
de cinq ; ils sont désignés
par Li où i  [[1,5]]. La disposition de ces points est présentée sur la figure 
2.
Dans la suite de ce problème, nous allons étudier l'existence et la stabilité 
de ces points. En introduisant les
grandeurs adimensionnées S = rRS et T = rRT , le potentiel adimensionné devient
U
U =
= µS
uU

1
2
+ S
S
2

!

+ µT

1
2
+ T
T
2

!

-

1
µS µ T
2

(4)

x
y
et y =
R
R
10. Déterminer la position des deux points d'équilibre notés L4 et L5 qui ne 
sont pas situés sur l'axe (Ox)
de symétrie de la figure 2 ; on donnera les valeurs de (S ,T ) et de (x,y) pour 
chacun de ces points.
Tant pour cette question que pour la suivante, on portera une attention toute 
particulière sur le fait
que les grandeurs S et T dépendent des variables x et y.

Dans la suite, on introduira les grandeurs adimensionnées x =

140

11. On se propose maintenant de déterminer la position du point L1 . Comme le 
montre la figure 2, ce
point d'équilibre est situé sur l'axe (Ox), entre le Soleil et la Terre.
Déduire de cette information deux relations entre S et x1 = x(L1 ) d'une part, 
et entre T et x1 = x(L1 )
d'autre part, puis s'en servir pour montrer que le point L1 vérifie l'équation 
suivante :
2

L1 :
145

1 - T + 3T
µT
= 3T
3µS
(1 - T )2 (1 - 3T )

(5)

µT
12. a - Calculer la valeur numérique de  = 3µ
, puis en déduire une valeur approchée de T (on pourra
S
se limiter au terme d'ordre le plus bas dans le développement limité de 
l'équation (5) ).
b - En déduire la valeur numérique de la distance rT du point L1 à la Terre.

­ Page 5/12 ­

2.3

150

Etude de la stabilité des points de Lagrange

La figure 2 présente plusieurs courbes de niveau de la fonction U (x,y). La 
courbe numérotée k est définie
par l'équation implicite U (x,y) = Uk , et les valeurs de Uk sont indiquées 
dans la légende de la figure 2, de
même que les valeurs de U (L4 ) et de U (L5 ) qui sont la valeur minimale de la 
fonction U (x,y) dans le plan
(Oxy). On notera que les courbes de niveau numérotées 1, 2 et 3 passent 
respectivement par L1 , L2 et L3 .
13. Expliquer de manière qualitative pourquoi les points L1 , L2 et L3 ne 
peuvent pas être stables.

155

160

165

En réalité, la résultante des forces agissant sur P dans le référentiel 
tournant R (soit la somme des forces de
gravitation dues au Soleil et à la Terre et de la force d'inertie 
d'entraînement due à la rotation du référentiel
 = ez ) dérive d'une énergie potentielle Ep (x,y) = -m U (x,y). Ainsi le minimum
R à la vitesse angulaire 
de U observé en L4 (ou L5 ) devient un maximum de Ep (x,y). Et dans un 
référentiel galiléen, on ne considère
pas à priori un maximum d'énergie potentielle comme un point d'équilibre 
stable. Mais R n'est pas un
référentiel galiléen.
14. Justifier qualitativement le fait que la force d'inertie de Coriolis puisse 
conduire à stabiliser P au
voisinage du point L4 . On parle alors de stabilité dynamique de L4 et de L5 .
Pour caractériser quantitativement la stabilité du point de Lagrange Li , nous 
allons étudier le mouvement
de la particule-test P au voisinage du point Li considéré. Les coordonnées 
adimensionnées de P sont alors
x = x0 + X et y = y0 + Y , en notant (x0 ,y0 ) = (xi ,yi ) les coordonnées 
adimensionnées de Li . On développera
le pseudo-potentiel U (x,y) à l'ordre 2 en X et Y au voisinage du point Li . 
Pour cela, on utilisera les notations
suivantes :
U (x0 ,y0 ) = U0 ;

Uxx =

 2 U
(x0 ,y0 ) ;
 x2

Uxy =

 2 U
(x0 ,y0 ) ;
 x y

Uyy =

 2 U
(x0 ,y0 )
 y 2

(6)

Les équations du mouvement (2) du point P conduisent aux relations entre 
grandeurs adimensionnées
 U
;
X

X  = 2Y  +

Y  = -2X  +

 U
Y

(7)

dX
d2 X
et X  =
.
d
d 2
15. Ecrire ces équations du mouvement (7) sous la forme du système matriciel

où X  =

X
X
Y 
Y 

   = A   
X 
X 
Y
Y 

170

(8)

et exprimer la matrice A avec les notations (6) introduites ci-dessus.
On admettra que les solutions du système matriciel peuvent se mettre sous la 
forme
X=

4
X

k e

k t

;

Y =

k=1

4
X

k ek t

(9)

k=1

où les k (k  [[1,4]]) sont les valeurs propres de la matrice A. Pour les points 
de Lagrange L4 et L5 , ces
valeurs propres sont solutions de l'équation
L4 ,L5 :

175

4 + 2 +

27
µT (1 - µT ) = 0
4

(10)

16. a - Donner une condition sur µT pour que les points L4 et L5 soient 
dynamiquement stables.
b - Estimer la valeur de µT et conclure sur la stabilité dynamique des points 
L4 et L5 pour le système
Soleil-Terre.
17. Montrer que le mouvement par rapport à R d'un objet dynamiquement stable au 
voisinage de L4
(ou L5 ) est caractérisé par deux périodes d'évolution différentes T1 et T2 (où 
T2 > T1 ) et calculer les
valeurs numériques de ces deux périodes (dans l'unité la plus appropriée).
­ Page 6/12 ­

180

Nous pouvons déduire de cette étude que les seuls points réellement stables 
sont les points L4 et L5 . Les
positions des points de Lagrange se déplacent en fonction de la force de 
traînée due au rayonnement solaire
qui s'exerce sur les objets présents en ces points. Il faut noter que des 
troyens terrestres ont récemment été
découverts aux points L4 et L5 du système Soleil-Terre. L'étude de ces objets 
est intéressante pour connaître
la composition du système solaire à sa formation.

185

Le point L1 est à priori instable, mais il a été prouvé que l'on peut choisir 
des conditions initiales particulières, méthode utilisée par le satellite SOHO, 
pour être sur une orbite particulièrement stable permettant
d'utiliser un minimum de carburant pour rester en place.

Partie Sciences de l'Ingénieur

190

Déploiement et orientation des panneaux solaires du satellite

1

195

Présentation du système de panneaux solaires

Nous nous intéressons désormais au déploiement du satellite SMILE et en 
particulier à son alimentation en
énergie. Le satellite est équipé de deux systèmes de panneaux solaires 
permettant de recharger des batteries
embarquées pour alimenter les différents appareils de mesure et de 
communication (Figure 3). Ces systèmes
sont chacun composés d'un bras portant et de 3 panneaux liés entre eux par des 
charnières équipées d'un
système de blocage. Ainsi le satellite est embarqué avec les panneaux repliés, 
puis des ressorts de torsion à
l'intérieur des charnières permettent la rotation des panneaux qui sont ensuite 
bloqués dans leur position
déployée.

Figure 3 ­ Représentation du satellite SMILE avec son module de propulsion et 
ses panneaux solaires,
repliés à gauche et déployés à droite.
200

205

L'étude proposée se concentre sur un système de panneaux solaires, représenté 
figure 4 et composé du sa) par
tellite 0, de l'arbre 1, du bras 2 et des panneaux 3, 4 et 5. L'arbre 1, en 
liaison pivot d'axe (O1 ,-
x
1
rapport au satellite, permet d'orienter les panneaux par rapport au Soleil. Une 
charnière placée en O2 , dite
principale, permet de déployer le bras 2 par rapport à l'arbre 1 puis de le 
verrouiller. Nous considérerons

par la suite cette charnière comme réalisant une liaison pivot autour de -
z2 . La charnière passive en J3 et la
charnière active en I3 permettent de positionner le panneau 3 par rapport au 
bras 2. Nous considérerons que
chacune de ces charnières permet les 3 rotations de l'espace entre les solides, 
et que seule la charnière active
­ Page 7/12 ­

contient le ressort de torsion nécessaire au déploiement. Il en est de même 
pour les charnières passives en J4
et J5 ainsi que les charnières actives en I4 et I5 qui positionnent 
respectivement le panneau 4 par rapport à
3 et le panneau 5 par rapport à 4.
210

0
1

2

3

4

5

Figure 4 ­ Schéma et paramétrage d'un système de panneaux solaires lors du 
déploiement.
Notations :
· le torseur des actions mécaniques du solide i sur le solide j sera noté {Tij 
} ;
· les torseurs
cinématique,
cinétiquen et o
dynamique du solide j par rapport au référentiel i seront notés
n
o n
o
respectivement Vj/i , Cj/i et Dj/i ;
· La vitesse du point M appartenant au solide j dans son mouvement par rapport 
au solide i sera notée

-

V j,i (M ) et son accélération -
a j,i (M ).

215

220

2

Déploiement des panneaux solaires

2.1

Analyse du mécanisme

La première étape est d'analyser la construction du système pour proposer une 
modélisation de son architecture. Pour cela, nous ne considérerons qu'un des 
deux systèmes de panneaux, tel que représenté à la
figure 4. Les ressorts de torsion ne sont pour l'instant pas considérés.
18. Etablir le graphe de liaisons du mécanisme.

225

19. Etablir le schéma cinématique du mécanisme. Il est possible de réaliser ce 
schéma dans la configuration
où les panneaux sont complètement déployés.
2.2

230

235

Dynamique du déploiement

Afin de simplifier l'étude, nous considérons un système constitué du bras, noté 
2, et d'un seul panneau

solaire, noté 3. L'arbre 1 est considéré comme bloqué lors du déploiement avec -
z0 = -
z1 , ce qui permet de

considérer un problème plan tel que représenté à la figure 5. Le bras 2 est en 
liaison pivot d'axe (O2 , -
z0 ) par

-
rapport au bâti 0, le panneau 3 est en liaison pivot d'axe (O3 , z0 ) par 
rapport au bras 2. Le centre de masse
du bras 2 est nommé G2 et celui du panneau 3 est nommé G3 . Nous considérons 
deux ressorts de torsion
dans les liaisons pivots : le ressort de la charnière principale (entre 2 et 0) 
de raideur K2 , et le ressort de la
charnière active entre 3 et 2 de raideur K3 . En configuration repliée, les 
valeurs initiales des angles 2 et 3
sont respectivement +90 et -180 . Un mécanisme permet de bloquer les liaisons 
pivots lorsque les angles
 atteignent 0. Le cahier des charges impose un déploiement en moins de 8 
secondes et à ce qu'aucun point

ne soit à une distance supérieure à 1,0 m du point O2 suivant -
y0 lors du mouvement.

­ Page 8/12 ­

2

3

0
Figure 5 ­ Schéma du système étudié
Hypothèses :
240

· Les solides sont considérés rigides et indéformables ;
· Les vibrations dues aux mécanismes de blocage des charnières sont négligées ;
· Les actions de la gravité sont négligées.
Données 3 :
--- L -

O2 G2 = 4 x
2

245

--- L -

O2 O3 = 2 x
2

--- L -

O3 G3 = 2 x
3

---

O3 M3 = L -
x
3

· Dimensions du panneau 3 :
 : L = 1,20 m ;
Longueur suivant -
x
3

-
Largeur suivant z3 : l = 0,84 m ;

Epaisseur suivant -
y3 : e = 0,02 m ;
· Masse du panneau 3 : m3 = 4,8 kg ;

250

· Masse du bras 2 : m2 = 3 kg ;
· Raideurs des ressorts de torsion : K2 = 0,07 N·m·rad-1 , K3 = 0,05 N·m·rad-1 ;
( A = 0,3 kg·m2
A2 0
0
2

B2 = 0,5 kg·m2
avec
· Matrice d'inertie du bras 2 : IG2 ,2 =  0 B2 0 
C2 = 1,0 kg·m2
0
0 C2 (G ,-
 ,-

x
y ,-
z )

2

2

2

2

20. Le référentiel R0 du satellite est-il Galiléen ? Si ce n'est pas le cas, 
quelles considérations permettraient
de l'assimiler à un référentiel Galiléen ?
255

Le référentiel R0 du satellite sera considéré comme Galiléen dans la suite du 
sujet.

21. Montrer que la matrice d'inertie du panneau 3 peut se mettre sous la forme 
suivante et exprimer ses
composantes en fonction de m3 , L, l et e.
A3 0
0

IG3 ,3 =  0 B3 0 
0
0 C3 (G ,-
 ,-

x
y ,-
z )

3

260

3

3

(11)

3

-

22. L'action du ressort de torsion s'exprime comme un moment M O2 ,02 appliqué 
par le solide 0 sur le
-

bras 2 tel que M O2 ,02 = -K2 2 -
z0 où K2 est sa constante de raideur. De même le second ressort
-

applique un moment M O3 ,23 = -K3 3 -
z0 du bras 2 sur le panneau 3. Exprimer selon le repère R2
du bras 2 les torseurs des actions mécaniques {T02 } et {T23 }.

-

-
23. Exprimer la vitesse V 2,0 (G2 ) du point G2 de 2 par rapport à 0 et la 
vitesse V 3,0 (G3 ) du point G3 de
3 par rapport à 0.

24. Exprimer les accélérations -
a (G ) et -
a (G ) dans le repère R du bras 2.
2,0

2

3,0

3

2

3. Les données numériques sont représentatives du système, mais ne 
correspondent pas aux valeurs réelles.

­ Page 9/12 ­

n

265

(

2.3
270

o

n

o

25. En déduire les expressions du torseur dynamique D2/0 au point O2 et de D3/0 
au point O3 , en
fonction des angles 2 et 3 , de leurs dérivées temporelles et de L, mi et Ci (i 
 (2,3) ).
26. Exprimer les deux équations différentielles reliant 2 , 2 , 2 , 3 , 3 et 3 .
27. Montrer qu'elles peuvent s'exprimer sous la forme suivante en fonction de 
L, m2 , m3 , C2 et C3 :
A(3 ) 2 + B(3 ) 3 - C(3 ) (3 + 2 )2 + K2 2 - E 3 = 0
F 3 + G(3 ) 2 + H(3 ) (2 )2 + K3 3 = 0

(54)

Validation des résultats

Les équations précédentes sont résolues numériquement, permettant d'obtenir les 
courbes des figures 6 et 7.
100

50

angle (°)

0

,
2
,3

-50

-100

-150

-200

0

1

2

3

4

5

6

7

8

temps (s)

Figure 6 ­ Evolution des angles 2 et 3 au cours du temps

O3
M3

0.6
0.4
0.2

y (m)

0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
0

0.5

1

1.5

2

x (m)

Figure 7 ­ Trajectoires des points O3 et M3 lors du déploiement

275

28. Les équations précédentes sont-elles valables pour l'ensemble du mouvement 
représenté à la figure 6 ?
Si ce n'est pas le cas, qu'a-t-il fallu modifier pour obtenir ces courbes ?
29. En se basant sur les figures 6 et 7, les critères du cahier des charges 
sont-ils respectés ?
30. Quel phénomène supplémentaire interviendra à t = 6,75 s ? Quel composant 
mécanique doit être ajouté
aux charnières pour réduire ce phénomène ? Ce composant pourrait-il impacter le 
respect du cahier
des charges ?
­ Page 10/12 ­

3

Orientation des panneaux solaires

Nous considérons désormais les panneaux déployés et verrouillés. L'arbre 1 de 
la figure 4 permet d'orienter
) afin d'obtenir la meilleure inclinaison pour la production d'électricité
les panneaux autour de l'axe (O1 ,-
x
1
à partir des rayons du Soleil. La rotation de l'arbre est obtenue par un 
système nommé SADA (Solar Array
Drive Assembly) qui contient un moteur et un réducteur (figure 8). La commande 
de ce système est réalisée
par deux boucles de contrôle permettant de maîtriser la vitesse angulaire et la 
position angulaire. L'étude
suivante propose de modéliser la commande de ce système afin de vérifier ses 
performances.

moteur
Roue motrice

Collecteur tournant

Roue menée
Interface
mécanique avec les
panneaux solaires
Interface
mécanique avec le
corps du satellite

Câbles de signaux
et puissance

Figure 8 ­ Composition du Solar Array Drive Assembly (SADA)
Dans la suite du sujet nous considérerons le comportement du système comme 
cohérent avec les hypothèses
des systèmes linéaires, continus et invariants.
La consigne de position angulaire est comparée à la position réelle de l'arbre 
de sortie du réducteur grâce à
un capteur angulaire de gain unitaire. Un comparateur de gain KG = 10 V/rad 
permet alors de convertir la
différence angulaire en une tension U . Cette tension est alors comparée à 
l'image de la vitesse de rotation du
moteur m (t), mesurée par un codeur incrémental de gain KC = 1 V·s·rad-1 . La 
différence est corrigée
par un régulateur de vitesse de fonction de transfert Hv (p) avant d'être 
modulée par le variateur de tension
de gain Ka = 1,3 pour obtenir la tension moteur Um . Le moteur est modélisé par 
un système du premier
ordre de gain Km = 1,8 rad·s-1 ·V-1 et de constante de temps m = 0,016 s. Le 
réducteur en sortie de
moteur a un rapport de réduction de 18 : 1.

Figure 9 ­ Schéma de la commande
31. Compléter le schéma figure 9 pour représenter les éléments du système de 
commande.
32. En considérant Hv (p) = Kv , montrer que la fonction de transfert H1 (p) = 
Um peut s'écrire sous la
forme d'un système du premier ordre dont on exprimera le gain K1 et la 
constante de temps 1 en
fonction de m , Km , Ka , Kv et KC .
33. Considérons uniquement la boucle correspondant à H1 (p). Pour une entrée en 
échelon d'amplitude U0 ,
quelle doit être la valeur de Kv pour que l'erreur statique en sortie soit 
inférieure à 5% de KUC0 ?

­ Page 11/12 ­

300

34. Modifier le schéma de commande de la figure 9 pour inclure un correcteur de 
fonction de transfert
C(p) à la boucle d'asservissement en position angulaire.

35. En considérant un correcteur proportionnel pour C(p), exprimer la fonction 
de transfert du système
en boucle ouverte. Quels sont son ordre et sa classe ?
36. Exprimer l'erreur statique du système pour une consigne de position 
angulaire en échelon.
305

37. L'erreur est-elle nulle pour une consigne en rampe ? Si ce n'est pas le 
cas, quel type de correcteur
faudrait-il alors envisager pour annuler cette erreur ?

­ Page 12/12 ­