X/ENS Physique MP 2026

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI
ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2026

MERCREDI 15 AVRIL 2026
08h00 - 12h00
FILIERE MP

-

Epreuve n° 5

PHYSIQUE

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Etude des ondes mecaniques dans une plaque elastique
Nous allons etudier la propagation d'ondes mecaniques dans un milieu solide 
elastique d'epaisseur finie.
Nous allons ainsi considerer une plaque solide homogene, d'epaisseur e, de 
largeur l et de longueur L,
initialement au repos dans le plan (Oxy). En preambule, nous etudierons une 
onde longitudinale de compression, puis le coeur du probleme consistera en 
l'etude d'un mode de deformation transverse particulier.
Cette onde dite de flexion, se propageant dans la direction (Ox), c'est-a-dire 
que nous supposerons une
invariance par translation selon l'axe (Oy) sur toute sa largeur l, est 
representee sur la figure 1. Nous
analyserons ensuite plusieurs applications avant d'etudier une methode de 
mesure optique de ces ondes.
Ces differentes parties sont pour certaines independantes.

Figure 1 ­ Plaque de solide elastique soumise a des deformations en flexion.
La rigidite de la plaque est suffisamment grande pour que la gravite soit 
negligee. Dans tout le probleme,
l'amplitude des deformations sera faible par rapport a toutes les autres 
longueurs.
I. Preambule : onde de compression unidimensionnelle
Etudions en preambule la propagation d'une onde de compression longitudinale 
dans une serie de
molecules identiques (de masse m) confinees sur l'axe (Ox) et reliees par des 
ressorts identiques (de
raideur  et de longueur a vide a), voir figure 2. Au repos, les masses sont 
regulierement espacees (avec
un pas a).

Figure 2 ­ Chaine de molecules identiques. Les traits continus entre les 
molecules representent des
ressorts de raideur  et de longueur a vide a. Le schema du haut represente la 
chaine au repos, alors que
le schema du bas represente les molecules deplacees lors du passage d'une onde 
de compression.
1. En notant n l'elongation du nieme ressort (definie comme la difference entre 
sa longueur et sa
longueur a vide), rappeler l'expression de l'energie potentielle elastique 
qu'il emmagasine.
Etudions un cas dynamique, dans lequel le mouvement des molecules est decrit 
par une onde plane
progressive harmonique (OPPH). Au passage de l'onde, les molecules s'ecartent 
de leur position
au repos (voir figure 2), et l'on notera u cet ecart.
En supposant que la maille du reseau (a) est tres petite devant la longueur 
d'onde de l'OPPH, il
apparait pertinent de decrire le systeme non pas comme une assemblee de 
molecules mais comme
un milieu continu. Ainsi, le deplacement u est donne par une fonction continue :
1

u(x, t) = U sin(kx - t)
ou U est l'amplitude, k le nombre d'onde et  la pulsation de l'OPPH.
2. Donner l'expression, sous forme d'une somme discrete de l'energie 
potentielle elastique emmagasinee sur une longueur d'onde, notee Ep .
3. Si la fonction u(x, t) etait constante selon x, cela signifierait que les 
molecules ont avance en bloc,
et donc qu'aucun des ressorts n'aurait ete comprime. Ainsi, dans le cas 
general, l'elongation de
chaque ressort est localement reliee non pas a la valeur de u mais a sa 
variation spatiale :
(x, t)
u(x, t)
=
a
x
Justifier alors que l'energie potentielle elastique definie a la question 
precedente peut desormais
s'ecrire :
1
Ep = a
2

 (
0

u
x

)2
dx

4. Donner, sous la forme d'une integrale, l'energie cinetique Ec sur une 
longueur correspondant a une
longueur d'onde.
5. On admettra qu'au passage de l'onde, l'energie mecanique est egalement 
repartie entre ses composantes cinetique Ec et potentielle Ep . En deduire la 
relation suivante :
 2 = k 2 c2
ou c est une constante dont on donnera l'expression et la signification 
physique.
6. Cette relation de dispersion (etablie par une approche energetique) peut 
permettre de remonter a
l'equation d'onde qui regit les deformations du milieu. En effet, la derivee 
temporelle d'une OPPH
fait apparaitre un facteur  (ou j en notation complexe).
Proposer alors une equation de propagation lineaire, sur une deformation u(x, 
t) quelconque, qui
corresponde a la relation de dispersion. Commenter cette equation d'onde.
II. Energie elastique pour une plaque en compression homogene
Nous allons desormais modeliser de facon simple le solide elastique par un 
ensemble de molecules
identiques, de masse m, dans un reseau cubique de maille a, reliees par des 
ressorts de raideur 
et de longueur a vide a (voir figure 3). On supposera que les dimensions de la 
plaque au repos (e,
l et L) sont tres grandes devant la maille a.

Figure 3 ­ Schema du solide vu comme un reseau cubique de maille a de molecules 
identiques. Les
traits entre les molecules representent des ressorts de raideur  et de longueur 
a vide a.

2

Lorsque l'on applique une force de compression dans la direction (Ox) a chaque 
extremite, la
plaque se contracte d'une longueur L, sans changer de dimension selon les 
directions transverses
(Oy) et (Oz). Dans ce mode de compression, seuls les ressorts diriges selon 
l'axe (Ox) peuvent se
comprimer et s'etendre.
7. Dans le regime statique ici considere, la compression est homogene, 
c'est-a-dire que tous les ressorts
individuels (dans la direction (Ox)) se compriment d'une meme longueur .
Tracer l'allure du deplacement u(x).
8. Exprimer en fonction des dimensions de la plaque (e, l et L) le nombre de 
ressorts individuels
comprimes.
9. Montrer alors que l'energie potentielle elastique de la plaque comprimee 
s'ecrit :
1 el
EpL = K L2
2 L
ou K = /a est la raideur par unite de longueur.
III. Flexion
Etudions desormais une tranche (longueur L, largeur l et epaisseur e) qui sous 
l'effet de contraintes
mecaniques de flexion (non detaillees ici) acquiert une courbure (figure 4). On 
admettra que la forme
adoptee par la tranche est un arc de cercle, d'angle  et de centre C, invariant 
selon la direction
(Oy). La longueur moyenne de la tranche reste alors inchangee mais sa face 
exterieure s'etire alors
que sa face interieure se contracte. L'element dont la longueur ne varie pas 
est appele fibre neutre
et se situe au milieu de la plaque, et sa distance au centre C est notee RC . 
On admettra que dans
ces conditions, les resultats etablis en partie II restent valables.

Figure 4 ­ Element de plaque en flexion (vue de cote). La fibre neutre, au 
milieu de la tranche, est
representee en pointilles. Le materiau est represente en gris et la tranche 
infinitesimale d'epaisseur dr en
gris fonce.
10. Quel est le sens physique de la grandeur RC ?
Donner une relation geometrique entre RC ,  et L.
11. On notera r la distance (algebrique) qui separe un point quelconque au sein 
de la plaque de la
fibre neutre (voir figure 4). Par convention, r sera positive dans la zone en 
extension, et negative
3

dans la zone en compression. Considerons le systeme d'epaisseur infinitesimale 
dr compris entre r
et r + dr (en gris fonce sur la figure 4).
Exprimer l'elongation de cette fibre en fonction de r, L et RC .

12. En utilisant le resultat de la question 9, exprimer l'energie potentielle 
elementaire emmagasinee
par cet element.

13. En deduire que l'energie potentielle elastique de la tranche sur toute son 
epaisseur e s'ecrit :
EpL = AK

Lle3
Rc2

ou A est un prefacteur numerique dont on donnera l'expression. Dans la suite, 
si necessaire, on
pourra utiliser ce resultat sans expliciter la valeur de la constante A.
IV. Relation de dispersion des ondes de flexion
Nous allons maintenant considerer une deformation plus complexe de la plaque 
sous forme d'une
onde plane progressive harmonique de pulsation  et de nombre d'onde k, comme 
represente sur
la figure 1. La fibre neutre est a nouveau situee au milieu de la plaque (selon 
son epaisseur e) et
sa position Z(x, t) s'ecrit alors :
Z(x, t) = aZ sin(kx - t)

14. On definit l'inclinaison locale de la plaque par rapport a la position au 
repos horizontale, notee
(x, t). Pour rappel, on se place dans le regime des faibles deformations.
Donner alors la relation liant (x, t) a Z(x, t).
Si la plaque a desormais une forme sinusoidale, il reste toujours possible de 
l'assimiler localement
a un arc de cercle (dont le rayon varie le long de la plaque), et ainsi 
d'utiliser les resultats de la
partie III. La relation liant les grandeurs Rc , L et  devient alors localement 
:
ds = Rc d
ou ds est une longueur infinitesimale le long de la fibre neutre, et d la 
variation d'inclinaison
associee.
Pour les faibles deformations etudiees ici, on donne :
1
2Z
=
Rc
x2

15. Calculer alors l'energie potentielle elastique integree sur une longueur 
d'onde, notee Ep .

16. Donner l'expression de l'energie cinetique totale sur une longueur d'onde, 
notee Ec , en fonction
des parametres de l'OPPH.

17. On admettra que lors de la propagation de l'onde, les moyennes temporelles 
des energies potentielles
elastique et cinetique sont egales. Etablir alors la relation de dispersion :
12  2 = e2 c2 k 4

18. Donner l'expression de c en fonction de la raideur K et de la masse 
volumique du materiau .
Calculer sa valeur numerique et commenter.
On prendra K = 70 GPa et  = 2500 kg/m3 , valeurs typiques pour le verre.

19. Montrer que la vitesse de groupe vaut le double de la vitesse de phase.
Comment ces vitesses varient-elles avec la frequence de l'OPPH ?
Quelles consequences cela a-t-il sur la propagation d'un paquet d'ondes ?
4

20. En reprenant la methode de la question 6, proposer une equation de 
propagation lineaire pour
l'equation d'onde. Commenter chacun des termes de cette equation.
V. Applications
Modes propres d'un anneau (flute a champagne)
Une flute a champagne peut emettre un son lorsqu'un doigt mouille sollicite ses 
modes propres.
Le verre sera assimile a un cylindre vertical de hauteur h = 10 cm, d'epaisseur 
e = 0,5 mm, et de
rayon R0 = 2 cm. On supposera que les deformations sont uniquement radiales, 
c'est-a-dire qu'elles
sont uniformes le long de la direction verticale.

Figure 5 ­ Deformations transverses d'un cylindre (vue du dessus) representant 
une flute a champagne.
La position au repos est representee en pointilles. Dans ce mode, la flute 
oscille en opposition de phase
selon deux directions perpendiculaires.
Dans ce systeme les modes propres peuvent etre vus comme la superposition de 
deux ondes de
memes amplitudes se propageant dans des directions opposees autour de la flute 
(ou s est la
position le long de l'anneau) :
Z(s, t) = aZ sin(ks - t) + aZ sin(ks + t)
21. A cause des conditions aux limites (ici periodiques), le nombre d'onde 
correspondant a un mode
propre est quantifie. Citer un systeme d'un autre domaine de la physique dans 
lequel une telle
condition existe.
22. Dans le cas de la flute, exprimer cette condition de quantification sur le 
nombre d'onde k.
23. La figure 5 correspond au second mode propre. Representer sur un schema 
similaire le premier
mode propre et decrire le mouvement du verre correspondant.
24. Lorsque l'on cherche a faire chanter une flute avec le doigt mouille, le 
second mode propre est
naturellement selectionne. Donner l'expression de la frequence (temporelle) de 
ce mode.
25. Faire l'application numerique et discuter du resultat obtenu (pour rappel : 
K = 70 GPa,  =
2500 kg/m3 ).
Seismes
Les seismes sont des oscillations de la croute terrestre, vue ici comme une 
plaque deformable
d'epaisseur e = 30 km, de raideur K = 100 GPa et de masse volumique  = 2800 
kg/m3 .
26. Lors d'un seisme, les ondes de compression longitudinales (ondes P) se 
propagent a une vitesse de
6 km/s. Cette valeur est-elle coherente avec les resultats precedents ?
27. On lit souvent dans la litterature que les ondes transverses S (que l'on 
assimilera abusivement ici
aux ondes de flexion etudiees) se propagent a une vitesse de 4 km/s. Pour que 
cette affirmation ait
un sens, s'agit-il de la vitesse de phase ou de groupe ? Justifier.
5

28. D'apres ces donnees, calculer la longueur d'onde des ondes S.
Lac gele
Les deformations transverses d'une plaque mince peuvent egalement modeliser le 
comportement
d'un lac dont la surface est gelee. Lorsque l'on jette une pierre sur la plaque 
de glace, un son etrange
peut etre entendu. L'impact de la pierre cree localement un train d'onde sur 
une large bande de
frequences s'etalant de quelques dizaines de Hz a quelques kHz. Cette onde de 
flexion transverse se
propage sur le lac gele et les vibrations transverses de la glace emettent 
alors une onde acoustique
audible.
3

-25

-30

2
-35

1.5
-40

Puissance (dB/Hz)

Fréquence (kHz)

2.5

1
-45

0.5
0

-50

0.5

1

1.5

2

Temps (s)

Figure 6 ­ Diagramme temps-frequence du son cree par deux impacts sur une 
couche de glace. L'amplitude est indiquee en decibel/Hz.
29. La figure 6 montre le diagramme temps-frequence d'un enregistrement 
acoustique a une certaine
distance de l'impact. Deux pierres ont ete lancees. L'origine des temps est 
arbitraire. Commentez
cette figure.
30. Expliquer comment, sur le principe, ces donnees pourraient permettre de 
calculer l'epaisseur de la
couche de glace.
31. Expliquer pourquoi le son percu sera different pour des observateurs situes 
a une distance de 50 m
ou 500 m de l'impact.
VI. Detection des ondes de flexion : vibrometrie laser
Il existe plusieurs instruments permettant de mesurer les vibrations d'une 
plaque. La vibrometrie
laser propose d'exploiter les interferences entre un rayon laser source et sa 
reflexion sur une plaque
vibrante. Cette methode optique sans contact permet ainsi de ne pas perturber 
le mouvement de
plaques legeres. C'est par exemple le cas pour l'etude d'un violon, dont la 
table d'harmonie est une
fine plaque de bois soumise a des ondes d'amplitude az = 100 µm a une frequence 
de 1 kHz.
Le principe du vibrometre laser est decrit sur la figure 7 a. L'appareil envoie 
un rayon laser de
longueur d'onde l = 315 nm (et de frequence temporelle fl ) sur la plaque qui 
le retrodiffuse. Une
partie de ce signal reflechi est capte par l'appareil, et cree a l'aide d'un 
montage optique interne des
interferences. L'intensite lumineuse est alors convertie en tension a l'aide 
d'une photodiode dont le
temps de reaction vaut 5 ns.
Le montage optique est decrit sur la figure 7b. La source laser (O) emet un 
rayon qui est divise
par une premiere lame semi-reflechissante, ou separatrice (S0 ). D'une part, le 
rayon de reference
6

Figure 7 ­ Vibrometrie laser. a) schema de principe. b) montage optique 
equivalent.
reflechi sur (S0 ) passe a travers la separatrice (S1 ), puis est reflechi par 
le miroir (M1 ) et ensuite
reflechi par (S1 ) puis transmis vers la photodiode (P ) a travers (S3 ). 
D'autre part, le rayon sonde
est transmis a travers (S0 ) et (S2 ), puis reflechi sur la plaque vibrante ici 
assimilee a un miroir plan
(M2 ), perpendiculaire au rayon, et dont la position oscille dans le temps : z 
= az sin(t). Ce rayon
reflechi subit ensuite une reflexion sur (S2 ), puis sur (S3 ) pour etre dirige 
vers la photodiode.
Au sein du vibrometre, la distance entre deux composants optiques consecutifs 
est partout identique et notee d = 1 cm : d = OS0 = S0 S1 = S1 M1 = S1 S3 = S3 
P = S0 S2 = S2 S3 . La distance,
notee D, entre la separatrice (S2 ) et la plaque sondee (M2 ), lorsqu'elle est 
au repos, depend du
positionnement de l'appareil. En general, la distance S2 M2 vaut ainsi D + 
z(t). Le miroir (M1 )
est en realite monte sur une vis micrometrique (non representee) qui permet 
d'ajuster finement sa
distance a la separatrice (S1 ) par un deplacement note . La distance S1 M1 
vaut alors d + .
On negligera les dephasages induits par l'epaisseur et l'indice optique propre 
des composants optiques car en realite, un arrangement adequat des faces 
reflechissantes des lames separatrices permet
d'annuler leurs effets. On supposera que les separatrices sont ideales, 
c'est-a-dire qu'elles transmettent la moitie de l'energie et qu'elles 
reflechissent l'autre moitie.
Mesure de l'amplitude des vibrations
32. On adoptera le modele scalaire de la lumiere et l'on notera s1 l'amplitude 
du rayon de reference a son
arrivee sur la photodiode, donne sous sa forme reelle : s1 = a1 cos(1 ), ou 1 
est le dephasage induit
le long du trajet optique (OS0 S1 M1 S1 S3 P ). De meme, le rayon sonde est 
note : s2 = a2 cos(2 ).
En notant a0 l'amplitude du laser a la source, exprimer les amplitudes a1 et a2 
.
Pourquoi ne pas avoir simplement place un miroir, judicieusement oriente, a la 
place de la separatrice
(S1 ) ?
33. Exprimer les dephasages 1 et 2 en fonction des distances en jeu et du temps.
34. A quelle condition sur la distance D peut-on obtenir des interferences ? 
Proposer un ordre de
grandeur.
Dans la suite, pour simplifier, on prendra D = d.
35. Montrer, en detaillant le raisonnement, que la tension produite par la 
photodiode s'ecrit :

7

))
(
(
z(t) - 
U (t) = U0 1 + cos 4
l
ou U0 est une constante dependant des caracteristiques de la photodiode et de 
l'intensite de la
source laser, que l'on ne cherchera pas a exprimer.
On rappelle que : 2 cos a cos b = cos(a + b) + cos(a - b).
36. On se place dans le cas (tres restrictif) des tres faibles deformations : 
az  l .
En se placant au contact optique ( = 0), representer l'allure de la tension U 
(t) mesuree sur un
oscilloscope pendant une periode de vibration.
Commenter.
37. Comment faut-il agir sur la vis micrometrique pour que la mesure de la 
vibration soit la plus
sensible possible ?
Avec quelle precision faut-il effectuer ce reglage ?
38. Dans ce cas optimise, tracer l'allure de U (t).
39. Dans le cas ou l'amplitude des vibrations est largement plus grande que la 
longueur d'onde du
laser, representer sur une periode de vibration le signal electrique U (t).
40. Comment faudrait-il proceder pour en deduire l'amplitude de vibration az 
sur un oscilloscope ?
Mesure de la vitesse des vibrations
La mesure directe de l'amplitude est ainsi limitee a des regimes precis et pose 
par ailleurs de
nombreuses difficultes techniques. Un second effet permet au vibrometre de 
mesurer directement
la vitesse de deplacement de la plaque. Il s'agit de l'effet Doppler, du au 
mouvement du miroir (M2 )
lors de la reflexion du rayon sonde. Cet effet, bien connu en acoustique, 
introduit ici un decalage
en frequence dans le rayon laser reflechi. Dans toute la suite du probleme, on 
prendra  = 0.
41. La figure 8 montre une succession de fronts d'onde (a la meme phase) de 
periode T , se deplacant
a une celerite c0 en direction d'un miroir avancant a une vitesse v. A 
l'instant t = 0 represente,
un front d'onde atteint le miroir. A t = T , le front d'onde suivant a avance 
d'une distance correspondant a la longueur d'onde mais le miroir s'est deplace. 
L'impact entre ce front et le miroir se
produit donc a un instant different T  (avec T  > T si v > 0). Exprimer la 
periode T  en fonction
de T et du rapport v/c0 (on se placera dans le cas non-relativiste ou v  c0 ).

Figure 8 ­ Effet Doppler : les fronts d'ondes (en pointilles) se deplacent a la 
celerite c0 et le miroir a
une vitesse v.
42. Le miroir agit ainsi comme une source mobile qui emet une onde en direction 
de (S2 ) avec une
periode T  . On note a nouveau t = 0 l'instant auquel un front d'onde est emis. 
A t = T  , ce front
d'onde a parcouru une distance c0 T  en direction de (S2 ) alors que le miroir 
a avance d'une distance
vT  . En deduire la longueur d'onde  de l'onde ainsi reemise. Donner alors la 
periode T  associee
en fonction de T  et du rapport v/c0 .

8

43. Montrer alors que le decalage en frequence Doppler fD defini comme la 
difference entre les frequences
des signaux reflechi et incident est donne par :
fD = -2fl

v
c0

44. Calculer la valeur numerique de la frequence du rayon laser a sa source.
En deduire l'amplitude des variations du decalage Doppler.
Le rayon de reference et le rayon sonde arrivent ainsi sur la photodiode avec 
des frequences
differentes mais nous allons voir que des interferences sont neanmoins 
possibles. Dans la suite,
on decouplera les effets de la position (etudies ci-dessus) de ceux de la 
vitesse de la plaque vibrante. Ainsi, on supposera desormais que le seul effet 
de la plaque est le decalage Doppler de
frequence et on negligera la variation de la distance S2 M2 .
45. Exprimer a nouveau les dephasages 1 et 2 .
Developper puis lineariser l'expression de l'intensite lumineuse sur la 
photodiode a un instant
donne.
Pour rappel, on considere desormais que D = d.
46. Afin d'etablir la formule de Fresnel, il faut classiquement moyenner cette 
intensite sur le temps.
Sur quelle duree typique cette integration doit-elle etre realisee ?
Expliquer alors pourquoi les deux rayons produisent neanmoins une intensite 
lumineuse variable
dans le temps.
47. Montrer alors que la tension peut s'ecrire sous la forme :
(
[
])
U (t) = U0 1 + cos 2fD (t)(t -  )
ou  est une constante dont on donnera l'expression.
48. Calculer la valeur numerique de  et commenter.
49. Expliquer pourquoi il n'est pas possible de distinguer le sens de 
deplacement de la plaque.
Afin de resoudre ce probleme, on ajoute classiquement un modulateur 
acousto-optique (ou reseau
de Bragg) sur le trajet du rayon sonde, entre les separatrices S0 et S2 . Ce 
composant optique
effectue un decalage constant en frequence. Ainsi, en arrivant sur la 
separatrice S2 , la frequence
du laser sonde vaut fl + fB , avec fB = 40 MHz. Ce decalage permet egalement a 
l'electronique
interne du vibrometre de fonctionner dans un regime de frequence plus adapte.
50. Donner alors l'expression de U (t) et expliquer pourquoi ce decalage permet 
de lever l'indetermination
sur le sens de deplacement de la plaque.
51. Avec le reseau de Bragg, le vibrometre repose ainsi sur le principe de 
modulation de frequence.
Justifier ce terme.
52. Representer schematiquement le signal U (t) en faisant apparaitre de facon 
exageree cette modulation.
53. Afin de mesurer la vitesse des vibrations, on realise le montage 
electrocinetique presente sur la
figure 9. Montrer que les tensions d'entree U (t) et de sortie Us (t) verifient 
:
Us
dUs
dU
=
+
dt
RC
dt
54. On cherche a utiliser ce circuit en regime derivateur, c'est-a-dire tel que 
la tension de sortie soit
directement proportionnelle a la derivee temporelle de la tension d'entree.
Proposer des valeurs pour R et C afin de se placer dans ce regime.
55. Tracer alors l'allure du signal de sortie Us (t).
9

Figure 9 ­ Circuit electrique compose d'une resistance R et d'un condensateur 
de capacite C.
56. Expliquer comment en deduire l'amplitude des vibrations.
 f in 

10