e3a Physique et Chimie MP 2026

SESSION 2026

MP9PC

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP
____________________

PHYSIQUE-CHIMIE
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
·

·
·

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction 
de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

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Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de cinq parties indépendantes.

· Les données utiles à la résolution du sujet figurent en fin de chaque partie.

· Tout résultat donné dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, 
même s'il n'a pas été
démontré par le ou la candidat(e).

· Les explications des phénomènes étudiés interviennent dans l'évaluation au 
même titre que les
développements analytiques et les applications numériques.

· Les résultats numériques exprimés sans unité ou avec une unité fausse ne sont 
pas comptabilisés.
1/9

Autour de l'hélium
L'hélium He est le deuxième élément chimique de la classification périodique. 
Le mot hélium a été construit
à partir du grec Helios (Soleil). C'est l'élément le plus abondant de l'Univers 
après l'hydrogène, et l'un des
constituants principaux du Soleil.
À température et pression ambiantes, l'hélium est un gaz très léger, 
parfaitement incolore, inodore et
chimiquement inerte. Ses propriétés physiques uniques permettent ou améliorent 
de nombreuses applications dans l'industrie, la synthèse et la recherche. Ce 
sujet aborde quelques propriétés, applications ou
expériences liées à cet élément.

Partie I ­ L'hélium, un gaz « rare » dans notre atmosphère
L'hélium est produit en permanence dans la croûte terrestre par désintégration 
radioactive de l'uranium
et d'autres éléments. Il se fraie ensuite un chemin vers l'atmosphère. 
Pourtant, la concentration d'hélium
dans l'atmosphère terrestre est très faible. On en propose une interprétation 
dans cette partie.
Q1.

Quels sont les deux principaux constituants de l'atmosphère terrestre ? Dans 
quelles proportions ?

La Terre est supposée sphérique, de centre O, de masse MT et de rayon RT . 
Considérons un atome
d'hélium dans l'atmosphère terrestre, assimilé à un point matériel P de masse 
m. Ce point matériel est
 due à la Terre. On se place dans le référentiel géocentrique
soumis uniquement à la force gravitationnelle F
supposé galiléen.
Q2.
Q3.
Q4.

Q5.

 , ainsi que l'énergie potentielle Ep dont elle dérive. On prendra l'énergie 
potenExprimer la force F
tielle nulle à l'infini.
Exprimer l'énergie mécanique Em du point matériel P. Justifier que celle-ci se 
conserve.
Montrer que le mouvement de P est plan. Le point P étant alors repéré par ses 
coordonnées
polaires (r, ), démontrer que le produit r2  est une constante du mouvement. 
Cette constante
sera notée C dans la suite.
Montrer que l'énergie mécanique peut se mettre sous la forme :

1
Em = mr2 + Ep,eff (r) .
2

(1)

On précisera l'expression de la fonction Ep,eff (r) en fonction de m, MT , r, C 
et de G.
Q6.

Q7.

Tracer, en la justifiant, la courbe représentative de Ep,eff (r). À l'aide d'un 
raisonnement graphique,
déterminer pour quelles valeurs de Em le point P peut « échapper » à 
l'attraction de la Terre, c'està-dire se trouver en état de diffusion.
La vitesse de libération v est la vitesse minimale qu'il faut communiquer à un 
corps depuis la
surface d'un astre pour qu'il échappe définitivement à son attraction 
gravitationnelle. En déduire
l'expression
de v en fonction de G, MT et de RT . Calculer numériquement v (aide numérique :

1, 4  1, 2).

Pour décrire l'atmosphère terrestre, on utilise le modèle du gaz parfait.
Q8.

Énoncer les hypothèses du modèle du gaz parfait.

Q9.

Définir la vitesse quadratique moyenne u d'un gaz parfait d'hélium, puis 
l'exprimer en fonction de
sa masse molaire MHe , de sa température T et de R.

2/9

On admet que les atomes d'hélium peuvent s'échapper de l'attraction de la Terre 
si la vitesse quadratique
moyenne est supérieure au dixième de la vitesse de libération.
Q10. En prenant T = 300 K, calculer numériquement u et conclure
quant à la faible quantité d'hélium

présente dans l'atmosphère terrestre (aide numérique : 1, 8  1, 3).
Données pour la partie I
Constante de gravitation universelle : G = 7, 0 · 10-11 m3 · kg-1 · s-2
Masse de la Terre : MT = 6, 0 · 1024 kg
Rayon de la Terre : RT = 6, 0 · 106 m
Constante des gaz parfaits : R = 8, 0 J · mol-1 · K-1
Masse molaire de l'hélium : MHe = 4, 0 · 10-3 kg · mol-1

Partie II ­ Le laser hélium-néon
Un laser (light amplification by stimulated emission of radiation) est 
constitué d'un milieu matériel dans
lequel l'amplification de la lumière est possible, d'un système de pompage qui 
fournit de l'énergie à ce
milieu et d'une cavité optique. Le premier laser a vu le jour en 1960. Les 
années suivantes ont vu naître une
grande variété de lasers, fonctionnant avec des milieux et des longueurs d'onde 
de plus en plus diversifiés.
De nos jours, cette « curiosité de laboratoire » est devenue un objet courant 
de la vie quotidienne.
Q11. Citer trois applications des lasers dans les domaines de votre choix : vie 
quotidienne, industrie,
médecine, recherche...

Figure 1 ­ Photographie du laser He-Ne 1107/P (JDS Uniphase)
Les lasers usuels utilisés en travaux pratiques sont des lasers à gaz de type 
hélium-néon. Ils émettent en
continu un faisceau de lumière rouge de longueur d'onde  = 632, 8 nm, 
correspondant à une transition
entre deux niveaux d'énergie du néon. On considère que l'onde lumineuse se 
propageant dans la cavité
optique, de longueur L selon l'axe x et assimilée au vide, adopte une structure 
d'onde stationnaire. Le
champ électrique de cette onde s'écrit alors :

E(x, t) = f (x) sin(t) .
3/9

(2)

Les miroirs placés aux extrémités de la cavité en x = 0 et en x = L sont 
assimilés à des conducteurs
parfaits.
Q12. Par des considérations énergétiques, justifier que le champ électrique au 
sein d'un conducteur
parfait est nul.
Q13. Redémontrer l'équation de d'Alembert satisfaite par le champ électrique 
dans une région vide de
charges et de courants ; on fera apparaître la célérité de la lumière dans le 
vide c. En déduire
l'équation différentielle satisfaite par la fonction f .
Q14. On admet la continuité de E(x, t) en x = 0 et en x = L. Résoudre cette 
équation différentielle, puis
exprimer les fréquences propres n des modes pouvant exister dans la cavité, 
quantifiées par un
entier n, en fonction de la longueur L de la cavité et de c. Déterminer ensuite 
l'Intervalle Spectral
Libre, défini comme l'écart en fréquence entre deux modes voisins :
ISL = n+1 - n .

(3)

Q15. Calculer l'ordre de grandeur de l'ISL du laser 1107/P JDS Uniphase (voir 
figure 1). La valeur
obtenue est-elle cohérente avec la spécification du fabricant, à savoir 1 090 
MHz ?
On propose un protocole expérimental permettant de mesurer la longueur d'onde  
d'un laser He-Ne.
On éclaire avec ce laser un interféromètre de Michelson réglé en configuration 
lame d'air. Ce dernier est
équipé d'un moteur permettant de translater l'un des miroirs à vitesse 
constante V0 = 0, 667 µm · s-1 . Sur
un groupe de n = 20 étudiants, chacun mesure avec un chronomètre la durée  
pendant laquelle défilent
k = 100 anneaux brillants au centre de l'écran.
Q16. En analysant le protocole, déterminer une relation entre , k, V0 et .
Un traitement statistique des résultats obtenus conduit aux valeurs suivantes : 
moyenne  = 47, 5 s, écarttype s = 1, 9 s. On obtient (calcul non demandé)  
=633, 7 nm. On considère que l'incertitude-type
de la moyenne des durées est donnée par u() = s / n. On donne également les 
incertitudes-types
expérimentales : u(k) = 1, u(V0 ) = 0, 001 µm · s-1 .
Q17. Exprimer littéralement l'incertitude-type u() en fonction de , k, V0 , , 
u(k), u(V0 ) et de u(). Sachant que u() = 7, 6 nm, comparer la valeur 
expérimentale à la valeur attendue (632, 8 nm) via le
calcul d'un écart normalisé (z-score) et conclure.

Dans les deux questions suivantes, on suppose que le laser utilisé émet deux 
modes propres voisins, de
fréquences respectives 1 = c/ et 2 = 1 + ISL avec ISL  1 .

Q18. Déterminer la différence de marche b , à partir du contact optique, pour 
laquelle on observe le
premier brouillage des anneaux d'interférences au centre de l'écran.

Q19. Calculer numériquement b en prenant ISL = 1, 1 GHz. Comparer la valeur de 
b obtenue à
la gamme de différences de marche accessible avec un interféromètre de 
Michelson usuel et
conclure.
Données pour la partie II
Célérité de la lumière dans le vide : c = 3, 0 · 108 m · s-1
Identité vectorielle :
---
- - 
 - E
rot (rot E) = grad (div E)

4/9

Partie III ­ De l'hélium pour détecter les fuites

source

O-
v0

-
B
(1)
(2)

-
ey

-
ez

(3)

-
ex
détecteur

Figure 2 ­ Schéma de principe du spectromètre de masse
L'utilisation d'hélium pour la détection de fuites est un système qui a fait 
ses preuves dans de nombreux
secteurs d'activité. L'hélium étant l'élément le plus léger après l'hydrogène, 
il pénètre rapidement dans
les plus petites fuites, alors que les éléments plus lourds n'y parviennent 
pas. Le composant à tester est
installé à l'intérieur d'une chambre à vide, puis mis sous pression avec un gaz 
traceur, composé d'air et
d'hélium. L'utilisation d'un détecteur de fuite à spectromètre de masse, 
schématisé sur la figure 2, permet
d'obtenir une mesure quantitative du débit total en raison de toutes les fuites 
de la pièce en cours de
test. Le gaz traceur qui pénètre dans le spectromètre de masse est ionisé et 
dirigé dans un tube courbe
plongé dans un champ magnétique. Pour une valeur donnée du champ magnétique, 
seuls les ions hélium
traversent, les autres sont détruits. Le courant électrique produit par le flux 
d'ions hélium est mesuré pour
quantifier la fuite.
À l'instant initial t = 0, un ion non relativiste de charge e > 0, de masse m 
et de vitesse v0 = v0 e x , arrive au
point O, pris comme origine du repère cartésien (O, e x , ey , ez ). Cet ion 
entre alors dans un tube où règne
un champ magnétique uniforme et stationnaire, de direction ez et de norme B. On 
étudie son mouvement
dans le référentiel terrestre supposé galiléen, son poids étant négligé.
Q20. Montrer que la trajectoire de l'ion est contenue dans le plan (O, e x , ey 
).

 permettant d'obtenir
Q21. Justifier que le mouvement de l'ion est uniforme. Préciser le sens du 
champ B
l'une des trajectoires illustrées sur la figure 2.
Q22. Déterminer deux équations différentielles reliant les composantes de la 
vitesse v x (t) et vy (t) de l'ion
à leurs dérivées par rapport au temps. On posera  = eB/m.
Q23. On introduit la variable complexe u = vy + jv x , avec j2 = -1. Démontrer 
que la variable u vérifie
l'équation différentielle :
du
(4)
- j u = 0 .
dt
Q24. Résoudre cette équation différentielle en tenant compte des conditions 
initiales. En déduire l'expression des composantes vy (t) et v x (t) de la 
vitesse de l'ion.
Q25. Établir les équations horaires x(t) et y(t).
Q26. Montrer que la trajectoire de l'ion est circulaire ; expliciter le rayon R 
de sa trajectoire en fonction de
B, e, m et de v0 .

5/9

Q27. On suppose que les ions présents dans le gaz traceur ont la même charge et 
la même énergie
cinétique initiale. Associer les trajectoires respectives (1), (2) et (3) du 
schéma de la figure 2 aux
différents ions présents : ions hélium / ions légers (dihydrogène, hélium 3) / 
ions lourds (diazote,
dioxygène, dioxyde de carbone, argon).

 , assimiQ28. Calculer numériquement la durée de passage  des ions hélium dans 
la zone de champ B
lable à un quart de cercle.
Q29. Le rayon R est généralement de l'ordre de quelques centimètres. Était-il 
pertinent de ne pas tenir
compte d'effets relativistes ? Justifier.
Données pour la partie III
Masse molaire de l'hélium : MHe = 4, 0 · 10-3 kg · mol-1
Nombre d'Avogadro : NA = 6, 0 · 1023 mol-1
Charge élémentaire : e = 1, 6 · 10-19 C
Norme du champ magnétique dans le tube courbe : B = 0, 10 T
Célérité de la lumière dans le vide : c = 3, 0 · 108 m · s-1

Partie IV ­ Des bulles de savon remplies d'hélium
L'hélium étant plus léger que l'air, il est utilisé pour gonfler des 
dirigeables et des ballons-sondes, notamment pour la météorologie, ou même le 
ballon soulevant la vasque olympique à l'occasion des Jeux
Olympiques de Paris 2024. On propose de former de petits ballons d'hélium dans 
l'expérience ludique
illustrée sur la figure 3. En soufflant de l'hélium au moyen d'une aiguille sur 
un cadre circulaire préalablement trempé dans une solution d'eau savonneuse, on 
génère un train de bulles de savon remplies
d'hélium jusqu'à l'éclatement du film de savon. La forme des bulles obtenues 
résulte d'une minimisation
de leur surface, à volume d'hélium fixé.

Figure 3 ­ Photographie de l'expérience
Q30. Considérons deux bulles de même volume V0 , l'une sphérique de rayon r et 
de surface S s , l'autre
cubique de côté a et de surface S c . Montrer que S s /S c = (/6)1/3 < 1. Commenter ce résultat. La taille des bulles est principalement contrôlée par le rayon de l'aiguille choisie. L'expérience montre que les grosses bulles, de rayon supérieur à un rayon critique rc = 6 mm montent, alors que les petites bulles de rayon inférieur à rc descendent. Pour interpréter cette observation, on assimile la bulle à une boule d'hélium de rayon r et de masse volumique He , entourée d'une coque liquide d'épaisseur e  r et de masse volumique  . Cette bulle est notamment soumise à la poussée d'Archimède, force verticale ascendante de norme égale au poids d'une boule d'air de rayon r + e  r. Q31. Faire le bilan des forces appliquées à une bulle de rayon critique rc . En déduire l'expression de e en fonction de rc et des masses volumiques utiles, puis la calculer numériquement. 6/9 L'épaisseur des bulles est supposée voisine de celle du film de savon sur le cadre circulaire : on souhaite le vérifier par une méthode interférométrique. Une source de lumière S ponctuelle et monochromatique, de longueur d'onde , éclaire le film liquide d'épaisseur e supposée constante et uniforme. On s'intéresse aux interférences entre les rayons (1) et (2) tracés sur la figure 4. Le film liquide est assimilé à un milieu non dispersif d'indice optique n ; l'air est assimilé au vide. air liquide i2 e S air i1 (1) (2) Figure 4 ­ Mesure de l'épaisseur du film liquide : schéma et notations Q32. On admet qu'à la réflexion air/liquide, le rayon (1) subit un déphasage de . En exploitant le théorème de Malus (et le principe de retour inverse de la lumière), montrer que le déphasage à l'infini entre les rayons (2) et (1) s'exprime selon : = cos i2 -  . (5) Expliciter le coefficient  en fonction de n et de e. En pratique, on utilise une source polychromatique couvrant le domaine visible. Un spectromètre placé au bout d'une fibre optique dans la direction commune des rayons (1) et (2) permet de relever des longueurs d'onde « éteintes », correspondant à des interférences destructives entre les deux rayons. Q33. Exprimer les longueurs d'onde éteintes k en fonction de , i2 et d'un entier k. On représente sur la figure 5 le spectre obtenu lorsque le film liquide est éclairé en incidence normale, ce qui revient à prendre i2 = 0 dans le calcul précédent. Q34. Déduire du spectre une valeur de e et la comparer à celle de la question Q31. I /I max 1 0, 8 0, 6 0, 4 0, 2 0 300 400 500 600 700  (nm) Figure 5 ­ Spectre mesuré 7/9 La fibre optique utilisée est constituée d'un coeur cylindrique en verre d'indice optique n1 et de diamètre d entouré d'une gaine en verre d'indice optique n2 (voir figure 6). La fibre étant éclairée sous incidence normale, on s'intéresse aux effets de courbure de celle-ci sur la transmission de la lumière. gaine coeur R d Figure 6 ­ Fibre optique courbée Q35. Calculer, littéralement puis numériquement, le rayon de courbure R minimal à partir duquel toute la lumière incidente reste confinée dans le coeur et traverse la fibre sans atténuation. Données pour la partie IV Masses volumiques : air hélium eau savonneuse a = 1, 2 kg · m-3 He = 0, 2 kg · m-3 = 1, 0 · 103 kg · m-3 Indice optique du film de savon : n = 1, 33 Caractéristiques de la fibre optique : - indice optique du coeur : n1 = 1, 55 - indice optique de la gaine : n2 = 1, 45 - diamètre : d = 50 µm Partie V ­ Gonfler un ballon volant sans hélium On propose un protocole expérimental permettant de faire s'envoler un ballon de baudruche sans hélium. On verse dans le ballon un détergent à base d'hydroxyde de sodium (Na+(aq) +HO-(aq) ) et un peu d'eau, puis on y ajoute quelques boulettes de papier d'aluminium A(s) . Une réaction chimique produit alors des ions aluminate A(OH)-4(aq) et du dihydrogène gazeux H2(g) , provoquant l'envol du ballon. Q36. Justifier qualitativement que cette réaction permet effectivement un envol du ballon. Q37. L'hydroxyde de sodium est une base forte. Définir ce terme, puis calculer le pH d'une solution d'hydroxyde de sodium de concentration c = 0, 1 mol · L-1 . 8/9 On donne sur la figure 7 le diagramme potentiel-pH de l'aluminium, obtenu pour une concentration totale - de tracé cT = 10-3 mol · L-1 . Les espèces retenues pour l'étude sont A(s) , A(3+ aq) , A(OH)3(s) et A(OH)4(aq) . 2 E(V) -1,5 4 6 A 8 10 12 14 pH C D -2,0 B -2,5 Figure 7 ­ Diagramme potentiel-pH de l'aluminium Q38. Calculer le nombre d'oxydation de l'élément A dans les différentes espèces, puis attribuer à chacune d'elles son domaine d'existence ou de prédominance dans le diagramme. Déterminer sur ce diagramme les domaines de passivation, d'immunité et de corrosion. Q39. En exploitant le diagramme, estimer les valeurs du pKs du précipité A(OH)3(s) et du potentiel standard du couple A(3+ aq) /A(s) . Comparer aux valeurs données en fin de partie. Q40. Prédire la pente théorique de la frontière du couple A(OH)-4(aq) /A(s) , puis la comparer à celle lue sur le diagramme. On s'intéresse à la réaction se produisant dans le ballon. Q41. Écrire les demi-équations électroniques mises en jeu en milieu basique, puis en déduire l'équation-bilan de la réaction. Q42. On indique que la loi de Hess s'applique à l'enthalpie libre de la même manière qu'à l'enthalpie. Calculer numériquement l'enthalpie libre standard de réaction rG , puis exprimer littéralement la constante d'équilibre K  de cette réaction en fonction de rG , R et de T . L'application numérique (non demandée) donne K  = 7 · 10134 à T = 298 K ; commenter cette valeur. Q43. On suppose que le dihydrogène formé est à la pression P = 1, 013 bar et à la température T = 298 K. En considérant l'hydroxyde de sodium en excès, calculer la masse d'aluminium m nécessaire à la formation d'un volume V = 5, 0 L de dihydrogène. Données pour la partie V À 298 K : pKe = 14, pKs (A(OH)3(s) ) = 33, 5, E  (A(3+ aq) /A(s) ) = -1, 66 V Tables thermodynamiques à 298 K : -1 fG (kJ · mol ) A(s) 0 HO-(aq) H2 O() -230 -237 Constante des gaz parfaits : R = 8, 3 J · mol-1 · K-1 Masse molaire de l'aluminium : MA = 27 g · mol-1 FIN 9/9 A(OH)-4(aq) -1 325 H2(g) 0